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初升高数学衔接教材1


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1 绝对值: ⑴在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

? a ( a ? 0) ? ⑵正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,0 的绝对值是 0,即 a ? ? 0( a ? 0) ? ? a ( a ? 0) ?
⑶两个负数比较大小,绝

对值大的反而小 ⑷两个绝对值不等式: | x |? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a ; | x |? a(a ? 0) ? x ? ?a 或 x ? a 2 乘法公式: ⑴平方差公式: a ? b ? (a ? b)(a ? b)
2 2

⑵立方差公式: a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
3 3 2 2

⑶立方和公式: a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
3 3 2 2

⑷完全平方公式: (a ? b) ? a ? 2ab ? b ,
2 2 2

(a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc
⑸完全立方公式: (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3 3 2 2 3

3 分解因式: ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。 4 一元一次方程: ⑴在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是 1,这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为 1。 ⑶关于方程 ax ? b 解的讨论 ①当 a ? 0 时,方程有唯一解 x ? ②当 a ? 0 , b ? 0 时,方程无解 ③当 a ? 0 , b ? 0 时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组: (1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 (2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。

b ; a

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(3)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。 (4)解二元一次方程组的方法:①代入消元法,②加减消元法。

6 不等式与不等式组 (1)不等式: ①用符不等号(>、≠、<)连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。 (2)不等式的解集: ①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 (3)一元一次不等式: 左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。 (4)一元一次不等式组: ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。 7 一元二次方程: ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

①方程有两个实数根 ?

? ? b2 ? 4ac ? 0

②方程有两根同号 ?

? ??0 ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ? ? ??0 ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?
b c , x1 x2 ? a a

③方程有两根异号 ?

④韦达定理及应用: x1 ? x2 ? ?
2 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ,

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? b 2 ? 4ac ? a a

3 2 2 x13 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 3x1 x2 ? ?

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8 函数 (1)变量:因变量,自变量。 在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 (2)一次函数:①若两个变量 y , x 间的关系式可以表示成 y ? kx ? b ( b 为常数, k 不等于 0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数。②当 b =0 时,称 y 是 x 的正比例函数。 (3)一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点, 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数 y = k x 的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中,当 k ? 0, b ? O,则经 2、3、4 象限;当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、2、4 象限;当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、3、4 象限;当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、2、3 象限。 ④当 k ? 0 时, y 的值随 x 值的增大而增大,当 k ? 0 时, y 的值随 x 值的增大而减少。

(4)二次函数:

①一般式: y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

b b 2 4ac ? b2 , ) ? ( a ? 0 ),对称轴是 x ? ? 2a 2a 4a

(- 顶点是

b 4ac ? b 2 , ); 2a 4a

②顶点式: y ? a( x ? m)2 ? k ( a ? 0 ),对称轴是 x ? ? m, 顶点是 ? ?m , k ? ;

③交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 ),其中( x1 ,0 ) , ( x2 ,0 )是抛物线与 x 轴的交点

(5)二次函数的性质

①函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。 2a

② a ? 0 时,在对称轴 ( x ? ?

b b )左侧, y 值随 x 值的增大而减少;在对称轴( x ? ? )右侧; y 的值随 x 值 2a 2a

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的增大而增大。当 x ? ?

b 4ac ? b 2 时, y 取得最小值 2a 4a b b )左侧, y 值随 x 值的增大而增大;在对称轴( x ? ? )右侧; y 的值随 x 值 2a 2a

③ a ? 0 时,在对称轴 ( x ? ? 的增大而减少。当 x ? ? 9 图形的对称

b 4ac ? b 2 时, y 取得最大值 2a 4a

(1)轴对称图形:①如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形, 这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 (2)中心对称图形:①在平面内,一个图形绕某个点旋转 180 度,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做 中心对称图形,这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 10 平面直角坐标系 (1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做 x 轴或横轴,铅直的数轴叫 做 y 轴或纵轴, x 轴与 y 轴统称坐标轴,他们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点。 (2)平面直角坐标系内的对称点:设 M ( x1 , y1 ) , M ?( x2 , y2 ) 是直角坐标系内的两点, ①若 M 和 M ' 关于 y 轴对称,则有 ?

? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? y2

②若 M 和 M ' 关于 x 轴对称,则有 ?

? x1 ? x2 。 ? y1 ? ? y2 ? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? ? y2 ? x1 ? y2 。 ? y1 ? x2

③若 M 和 M ' 关于原点对称,则有 ?

④若 M 和 M ' 关于直线 y ? x 对称,则有 ?

⑤若 M 和 M ' 关于直线 x ? a 对称,则有 ?

? x1 ? 2a ? x2 ? x2 ? 2a ? x1 或? 。 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2

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章节突破
1.1 数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即

? a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ? ? a, a ? 0. ?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 例 1 解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4.





1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________.

2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) . (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b ( )

1.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

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(1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式 (5)两数差立方公式

(a ? b)(a ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ;
2

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2





1.填空: (1)

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3

) ;

(2) (4m ?
2

)2 ? 16m2 ? 4m ? (
2 2 2

); ).

(3) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题: (1)若 x ?
2

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2
2





(A) m

(B)
2

1 2 m 4
2

( C) m

1 3

2

(D)

1 2 m 16
( )

(2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值 (A)总是正数 (C)可以是零 (B)总是负数

(D)可以是正数也可以是负数

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1.1.3.二次根式 一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

3a ? a2 ? b ? 2b , a2 ? b2 等是无理式,而 2 x 2 ?
1.分母(子)有理化

2 x ? 1 , x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式. 2

把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两 个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如 2 与

2 , 3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 , 2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ,等等. 一般地, a x 与 x , a x ? b y
与 a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和 分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式

a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次
根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 2.二次根式 a2 的意义

a2 ? a ? ?
例1

?a, a ? 0, ??a, a ? 0.

将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a2b (a ? 0) ;
6 (3) 4 x y ( x ? 0) .

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) .

例 3 试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; (2)

2 和 2 2- 6 . 6?4

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例 4 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .

例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2) x ?
2

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

例 6 已知 x ?

3? 2 3? 2 2 2 ,求 3x ? 5xy ? 3 y 的值 . ,y? 3? 2 3? 2





1.填空: (1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? 2.选择题: 等式

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1

x ? x?2

x 成立的条件是 x?2
(B) x ? 0 (C) x ? 2

( (D) 0 ? x ? 2



(A) x ? 2 3.若 b ?

a2 ?1 ? 1 ? a2 ,求 a ? b 的值. a ?1
5- 4(填“>”,或“<”) .

4.比较大小:2- 3

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1.1.4.分式 1.分式的意义 形如

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列性质: B B B

A A? M ? ; B B?M
A A?M ? . B B?M
上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式

a m?n? p 像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p
例1 若

5x ? 4 A B ? ? ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2

例 2 (1)试证:

1 1 1 ? ? (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1
1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3 ? 1 ; 9 ?10

(2)计算:

(3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有

1 1 ? ? 2 ? 3 3? 4

?

1 1 ? . n(n ? 1) 2

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例 3 设e ?

c 2 2 ,且 e>1,2c -5ac+2a =0,求 e 的值. a

练 习 1.填空题: 对任意的正整数 n, 2.选择题: 若

1 ? n(n ? 2)

(

1 1 ? ); n n?2

x 2x ? y 2 ? ,则 = y x? y 3
(B)
2 2





(A)1

5 4

(C)

4 5

(D)

6 5

3.正数 x, y 满足 x ? y ? 2 xy ,求

x? y 的值. x? y

4.计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

习题 1.1 A 1.解不等式: (1) x ? 1 ? 3 ; (3) x ?1 ? x ? 1 ? 6 .
3 3 2.已知 x ? y ? 1 ,求 x ? y ? 3xy 的值.



(2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ;

3.填空: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________;
2 2 (2)若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ,则 a 的取值范围是________;

(3)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6

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B 1.填空: (1) a ?



1 1 3a 2 ? ab ? ____ , b ? ,则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2

____;

(2)若 x2 ? xy ? 2 y 2 ? 0 ,则

x 2 ? 3xy ? y 2 ? __ x2 ? y 2

__;

2.已知: x ?

y y 1 1 , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y

C 1.选择题: (1)若 ? a ? b ? 2 ab ? (A) a ? b (2)计算 a ? (A) ?a 2.解方程 2( x ?
2



?b ? ? a ,则
(C) a ? b ? 0

( (D) b ? a ? 0 ( )



(B) a ? b

1 等于 a
(B) a (C) ? ?a (D) ? a

1 1 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 . 2 x x

3.计算:

1 1 1 ? ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

1 . 9 ?11

4.试证:对任意的正整数 n,有

1 1 ? ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4

?

1 1 < . n( n ?1)( n ? 2) 4

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1. 2

分解因式

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x -3x+2;
2

(2)x +4x-12;

2

(3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

(4) xy ? 1 ? x ? y .

2.提取公因式法与分组分解法 例 2 分解因式: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ;
3 2

(2) 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 .
2 2

3.关于 x 的二次三项式 ax +bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x 2 ,则二次三项式 ax ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为
2

2

2

a( x ? x1 )( x ? x2 ) .
例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x ? 2 x ? 1 ;
2

(2) x ? 4 xy ? 4 y .
2 2





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1.选择题: 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 ( A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x +6x+8;
2

( (C) x ? 3 y (D) x ? 5 y



(B) x ? 3 y

(2)8a -b ;

3

3

(3)x -2x-1;

2

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) .

习题 1.2 1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x2 ? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4 .

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x ? 4 xy ? y ;
2 2

(4) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ? 12 .

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状.
2 2 2

4.分解因式:x +x-(a -a).

2

2

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2.1 一元二次方程

2.1.1 根的判别式

我们知道,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

2

(x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2
2



因为 a≠0,所以,4a >0.于是 (1)当 b -4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2=
2 2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 b -4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-
2

(3)当 b -4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ? 没有实数根.

b 2 ) 一定大于或等于零,因此,原方程 2a
2

由此可知,一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b -4ac 来判定,我们把 b -4ac 叫做一元二次 方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=
2 2

2

2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-

(3)当 Δ <0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x -3x+3=0;
2

(2)x -ax-1=0;

2

(3) x -ax+(a-1)=0;

2

(4)x -2x+a=0.

2

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2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根

2

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , x1 ? 2a 2a
则有

x1 ? x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac b2 ? (b2 ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax +bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?
2 2

b c ,x1·x2= .这一关系也被称为韦达定理. a a

特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x +px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1·x2,
2 2 2

所以,方程 x +px+q=0 可化为 x -(x1+x2)x+x1·x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x +px+q=0 的两根,所 以,x1,x2 也是一元二次方程 x -(x1+x2)x+x1·x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x -(x1+x2)x+x1·x2=0. 例 2 已知方程 5 x
2
2 2

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

例3 求 m 的值.

已知关于 x 的方程 x +2(m-2)x+m +4=0 有两个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21,

2

2

例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数.

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例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x +5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求
3

2

1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2
3

(3)x1 +x2 .

说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简 便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,则
2

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? ∴| x1-x2|= 2a 2a 2a

b2 ? 4ac ? . ? ? |a| |a|
于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=
2

? 2 (其中 Δ =b -4ac) . |a|

例 6 若关于 x 的一元二次方程 x -x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围.

2





1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是
2 2





(A)有一个实数根

(B)有两个不相等的实数根

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(C)有两个相等的实数根
2

(D)没有实数根

( 2 ) 若 关 于 x 的 方 程 mx + (2m + 1)x + m = 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( )

(A)m<

1 4 1 ,且 m≠0 4

(B)m>-

1 4

(C)m< 2.填空:

(D)m>-

1 ,且 m≠0 4

(1)若方程 x -3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx +x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是
2

2

1 1 ? = x1 x2





2

3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx +ax+b=0 有两个不相等的实数根?

4.已知方程 x -3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

2

习题 2.1 A 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x +kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (2)下列四个说法: ①方程 x +2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x -2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x -7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?
2 2 2 2 2





(B)3

(C)-2

(D)2

7 ; 3
( )

④方程 3 x +2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 (A)1 个 (B)2 个
2 2

(C)3 个

(D)4 个 )

(3)关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( (A)0 2.填空: (1)方程 kx +4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= (2)方程 2x -x-4=0 的两根为 α ,β ,则 α +β =
2 2 2 2 2

(B)1

(C)-1

(D)0,或-1

. .

(3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是

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. (4)方程 2x +2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|=
2



3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m x -(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个相等的实数 根?没有实数根?

2 2

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x -7x-1=0 各根的相反数.

2

B 1.选择题: 若 关 于 x 的 方 程



x + (k - 1) x + k + 1 = 0

2

2

的 两 根 互 为 相 反 数 , 则 ( )

k

的 值 为

(A)1,或-1 2.填空:

(B)1

(C)-1

(D)0

(1)若 m,n 是方程 x +2005x-1=0 的两个实数根,则 m n+mn -mn 的值等于 (2)如果 a,b 是方程 x +x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a +a b+ab +b 的值是 3.已知关于 x 的方程 x -kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.
2 2 3 2 2 3

2

2

2

. .

4.一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和 (2)x1 +x2 .
3 3

2

x1 ? x2 ; 2

5.关于 x 的方程 x +4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

2

C 1.选择题:



( 1 )已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x - 8x + 7= 0 的两根,则这个直角三角形的斜边长等于

2

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) (B)3
2

(A) 3

(C)6

(D)9 ( )

(2)若 x1,x2 是方程 2x -4x+1=0 的两个根,则

x1 x2 ? 的值为 x2 x1
(D)

(A)6

(B)4
2

(C)3
2

3 2
的取值范围为 ( )

( 3 ) 如 果 关 于 x 的 方 程 x - 2(1 - m)x + m = 0 有 两 实 数 根 α , β , 则 α + β

(A)α +β ≥

1 2

(B)α +β ≤

1 2

(C)α +β ≥1
2

(D)α +β ≤1

( 4 ) 已 知 a , b , c 是 Δ ABC 的 三 边 长 , 那 么 方 程 cx + (a + b)x + ( (A)没有实数根 (C)有两个相等的实数根 2.填空: 若方程 x -8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m=
2 2

c =0 的根的情况是 4



(B)有两个不相等的实数根 (D)有两个异号实数根



3. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx -4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=-

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由; 2

(2)求使

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x1 ,试求 ? 的值. x2

(2) 若 k=-2, ? ? (3)

m2 ?0. 4.已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ? 4
2

(1)求证:无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;

(2)若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足|x2|=|x1|+2,求 m 的值及相应的 x1,x2.

5.若关于 x 的方程 x +x+a=0 的一个大于 1、零一根小于 1,求实数 a 的取值范围.

2

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2. 2

二次函数

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质

问题 1 函数 y=ax 与 y=x 的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x ,y=
2 2 2

2

2

1 2 2 2 x ,y=-2x 的图象,通过这些函数图象与函数 y=x 的图象 2

之间的关系,推导出函数 y=ax 与 y=x 的图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x ,y=2x 的图象. 先列表: x x
2 2 2

? ?
2

-3 9 18

-2 4 8
2

-1 1 2

0 0 0
2

1 1 2

2 4 8

3 9 18

? ?

2x

?

从表中不难看出,要得到 2x 的值,只要把相应的 x 的值扩大两倍就可以了. 再描点、连线,就分别得到了函数 y=x ,y=2x 的图象(如图 2-1 所示) ,从图 2-1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数 y=2x 的图象可以由函数 y=x 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到. 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y= 两个函数图象与函数 y=x 的图象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=ax (a≠0)的图象可以由 y=x 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍 得到.在二次函数 y=ax (a≠0)中,二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个 坐标系中的开口的大小. 问题 2 函数 y=a(x+h) +k 与 y=ax 的图象之间存在怎样的关系? 同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数 y=2(x+1) +1 与 y=2x 的图象(如图 2-2 所示) ,从函数的同学我们不难发现,只要把函数 y=2x 的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数 y=2(x +1) +1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x ,y=-3(x-1) +1 的图象,研究它们 图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方 向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了
-1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y=2x2

y

y=x2

1 2 2 x, y=-2x 的图象, 并研究这 2

O 图 2.2-1

x

y

y=2(x+1)2+1 y=2(x+1)2 y=2x2

O 图 2.2-2

x

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二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的方法: 由于 y=ax +bx+c=a(x +
2 2 2

b b b2 b2 x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a

? a( x ?

b 2 b2 ? 4ac ) ? , 2a 4a
2 2

所以,y=ax +bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax 的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函 数 y=ax +bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 ( ?
2 2

b b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴为直线 x=- ; 2a 2a 4a

当 x< ?

b b b 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= 2a 2a 2a

4ac ? b 2 . 4a
(2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 ( ?
2

b b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴为直线 x=- ; 2a 2a 4a

当 x< ?

b b b 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= 2a 2a 2a

4ac ? b 2 . 4a
上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时, 可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 例 1 求二次函数 y=-3x -6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何 值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.
2

例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间关系如下表 所示: x /元 y/件 130 70 150 50 165 35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此 时每天的销售利润是多少? .

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例 3 把二次函数 y=x +bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x 的图像,求 b, c 的值.

2

2

例 4 已知函数 y=x ,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时 所对应的自变量 x 的值.

2





1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 (A)y=2x
2


2



(B)y=2x -4x+2 (D)y=2x -4x
2 2 2

(C)y=2x -1

2

(2)函数 y=2(x-1) +2 是将函数 y=2x





(A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1)二次函数 y=2x -mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= (2)已知二次函数 y=x +(m-2)x-2m,当 m= 顶点在 x 轴上;当 m=
2 2 2

,n=

. 时,函数图象的

时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m=

时,函数图象经过原点. ,对称轴为 ,顶点坐标为 ;当 x=

(3)函数 y=-3(x+2) +5 的图象的开口向 时,函数取最 值 y= ;当 x

时,y 随着 x 的增大而减小.

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画出其图象. (1)y=x -2x-3;
2 2

(2)y=1+6 x-x .

2

4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最 大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

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2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax +bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h) +k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数 y =ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax +bx+c=0.
2 2 2 2 2


2

并且方程①的解就是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵坐标为零) ,于是,不难发现,抛物线 y =ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ =b -4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ =b -4ac 存在下列关系: (1)当 Δ >0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ >0 也成立. (2)当 Δ =0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ =0 也成立. (3)当 Δ <0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴 没有交点,则 Δ <0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的 两根,所以 x1+x2= ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b c ,x1x2= , a a



b c =-(x1+x2), =x1x2. a a
2

2 所以,y=ax +bx+c=a( x ?

b c x? ) a a

= a[x -(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x-x1) (x -x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形 式中的某一形式来解题.
2

2

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例1 解析式.

已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求二次函数的

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式.

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.





1.选择题: (1)函数 y=-x +x-1 图象与 x 轴的交点个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个
2

( (D)无法确定 (



1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是 2 (A)(1,2) 2.填空: (B)(1,-2) (C)(-1,2)



(D)(-1,-2)

( 1 ) 已 知 二 次 函 数 的 图 象 经 过 与 x 轴 交 于 点 ( - 1 , 0) 和 (2 , 0) , 则 该 二 次 函 数 的 解 析 式 可 设 为 y = a (a≠0) . (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).
2



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2.2.3 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状, 因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可. 例 1 求把二次函数 y=x -4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.
2

2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时, 有什么特点?依据这一特点, 可以怎样来 研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数 图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象 的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来 解决问题. 例2 求把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于下列直线对称后所
2

x=-1

y

得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1. 图 2.2-7 O A(1,-1) x

二、分段函数

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一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例 3 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超过 40g 不超 过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达式,作出函数图 象.

例 4 如图 9-2 所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发 沿折线 ABCD 移动一周后,回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,Δ PAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围.

D

C

P

A 图 2.2-10

B

2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 方程 x ? 2 xy ? y ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,这
2 2

样的方程叫做二元二次方程.其中 x , 2 xy , y 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常数项. 我们看下面的两个方程组:

2

2

? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ?2 x ? y ? 1 ? 0;
2 2 ? ? x ? y ? 20, ? 2 2 ? ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的, 像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.

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例 1 解方程组

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

① ②

例2

解方程组

? x ? y ? 7, ? ? xy ? 12.
练 习 1.下列各组中的值是不是方程组

① ②

? x 2 ? y 2 ? 13, ? ?x ? y ? 5
的解? (1) ?

? x ? 2, ? y ? 3;

(2) ?

? x ? 3, ? x ? 1, ? x ? ?2, (3) ? (4) ? ? y ? 2; ? y ? 4; ? y ? ?3;

2.解下列方程组: (1)

? y ? x ? 5, ? 2 2 ? x ? y ? 625;

(2) ?

? x ? y ? 3, ? xy ? ?10;

(3)

? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 ? y ? x ? 3; ?

(4) ?

2 ? ? y ? 2x , 2 2 ? ? x ? y ? 8.

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2.3.2

一元二次不等式解法

二次函数 y=x -x-6 的对应值表与图象如下:

2

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x -x=6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x -x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x -x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x -x-6 与 x 轴的交点是(-2,0)与(3,0), 那么 一元二次方程 x -x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x -x-6>0 的解是 x<-2,或 x>3; 一元二次不等式 x -x-6<0 的解是 -2<x<3. 上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法, 借助于二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式 ax +bx+ c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0),设△=b -4ac,它的解的情形按照△>0,△=0,△<0 分别为 下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线 y=ax +bx+c(a>0) 与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的 一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)与 ax +bx+c<0(a>0)的解.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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(1)当 Δ >0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程 ax +bx+c=0 有 两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax +bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2; 不等式 ax +bx+c<0 的解为 x1<x<x2. (2)当 Δ =0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax +bx+c=0 有两个相等的 b 实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax +bx+c>0 的解为 b x≠- ; 2a 不等式 ax +bx+c<0 无解. (3)如果△<0,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax +bx+c=0 没有实数根,由图 2.3 -2③可知 不等式 ax +bx+c>0 的解为一切实数; 不等式 ax +bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果二次项系数小 于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式. 例 3 解不等式: (1)x +2x-3≤0; (3)4x +4x+1≥0; (5)-4+x-x <0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

(2)x-x +6<0; (4)x -6x+9≤0;
2

2

他山之石可以攻玉

学海无涯扬帆起航
2

例 4 已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.

例 5 解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? ax ? 1 ? 0(a 为实数).

例 6 已知函数 y=x -2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来.

2





1.解下列不等式: (1)3x -x-4>0; (3)x +3x-4>0;
2 2

(2)x -x-12≤0; (4)16-8x+x ≤0.
2

2

2.解关于 x 的不等式 x +2x+1-a ≤0(a 为常数) .

2

2

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习题 2.3 A 1.解下列方程组: 组

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? x2 ? ? y 2 ? 1, ( 1) ? 4 ? x ? y ? 2 ? 0; ?

?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9, (2) ? ? x ? 2 y ? 0;

(3) ?

2 2 ? ? x ? y ? 4, 2 2 ? ? x ? y ? 2.

2.解下列不等式: (1)3x -2x+1<0;
2

(2)3x -4<0;

2

(3)2x-x ≥-1;

2

(4)4-x ≤0.

2

B 1. m 取什么值时,方程组



? y 2 ? 4 x, 有一个实数解?并求出这时方程组的解. ? ? y ? 2x ? m

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2.解关于 x 的不等式 x -(1+a)x+a<0(a 为常数) .
2

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C
2


2

1.已知关于 x 不等式 2x +bx-c>0 的解为 x<-1,或 x>3.试解关于 x 的不等式 bx +cx+4≥0.

2.试求关于 x 的函数 y=-x +mx+2 在 0≤x≤2 上的最大值 k.

2

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