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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案:第3章 拓展资料:例析反正法的应用


例析反正法的应用
我们知道,反证法是先否定结论成立,然后依据已知条件以及有关的定义、 定理、公理,逐步导出与定义、定理,公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结 论, 从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法, 是解决某些 “疑 难”问题的有力工具,也是数学上非构造性证明中极为重要的方法,它对于处理 存在性命题、否定性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。 现以例说明。 一 否定型命题

当结论为“否定性”的命题时,应用反证法。也就是说原题的结论出现“不 可能??” 、 “不能表示为??” 、 “不是??” 、 “不存在??” 、 “不等于??” 、 “不具有某种性质”等否定形式出现时,可考虑使用反证法进行证明。 例 1:试证 2 不是有理数。 分析:要求证的结论是以否定的形式出现的,因此可应用反正法来进行证明。 证明:假设 2 是有理数,注意到 1 ? 1 ? 2 ? 4 ? 2 ,
p q ( p 、 q 为互质的正整数,且 q ? 1 ),

2?

可设

2 2 两边平方,得 2q ? p ①,

表明, p 是 2 的倍数, 因为 p 是正整数,故当 p 是奇数时,令 p ? 2k ? 1 ( p ? N ),则

2

p2 ? (2k ? 1)2 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 2(2k 2 ? 2k ) ? 1 ,
即 p 是奇数,与 p 是 2 的倍数矛盾。
2 2

-1-

* 2 2 当 p 是偶数,又可设 p ? 2l ( p ? N ),代入①式,整理后得 q ? 2l ②,②

式表明, q 是 2 的倍数。这样 p 与 q 都是 2 的倍数,它们至少有公因数 2,与所作 假定 p 、 q 为互质的正整数相矛盾。 因此 2 不是有理数。 点评:在应用反证法证题时,必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行, 反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾,从而说明假设不成立。本题从假设中 推出的结论是与自身相矛盾 二 存在性命题

2

当命题的结论是以存在性的形式出现时,宜用反证法。也就是说,解决存在 性探索命题的总体策略是先假设结论存在,并以此进行推理,若推出矛盾,即可 否定假设;若推出合理结果,经验证成立即可肯定假设正确。
2 2 例 2、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x ? y ? 1的右支交于不同的两点 A, B ,⑴

求实数 k 的范围;⑵是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直经的圆经过双曲线 C 的右 焦点 F ?若存在求出的值;若不存在,说明理由。 分析:第(1)提示求参数范围的常规题,第⑵问是一道探讨结论是否存在的 开放性命题,为此先假设结论存在并在此假设的条件下进行一系列的推导,或推 出矛盾或验证成立。 解:⑴略可求得 ? 2 ? k ? ? 2 。

? y ? kx ? 1 ? 2 2 2 2 ⑵由 ?2 x ? y ? 1 消去 y 得 (k ? 2) x ? 2kx ? 2 ? 0 ,①
设 A, B 两点的坐标为 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 时方程①的两解

-2-

所以

x1 ? x2 ?

2k 2 , x1 x2 ? 2 2 2?k k ?2 ,

假设存在实数 k 使得以线段 AB 为直经的圆经过双曲线 C 的右焦点 F (c, 0) , 则 FA ? FB ,得 ( x1 ? c)( x2 ? c) ? y1 y2 ? 0 , 即 ( x1 ? c)( x2 ? c) ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0
2 2 整理得 k x1x2 ? (k ? c)( x1 ? x2 ) ? c ?1 ? 0 ,

将 x1 ? x2 , x1x2 及

c?

2 2 带入上式,得

5k 2 ? 2 6k ? 6 ? 0 ,

解得

k ??

6? 6 6? 6 k? ? ?2, ? 2 5 或 5

?

?

(舍去)

从而存在实数 点。

k ??

6? 6 5 使得以线段 AB 为直经的圆经过双曲线 C 的右焦

点评:在本题在假设的条件下推导出的结果并没有出现矛盾,而是验证了存 在符合题设条件的实数,从判断结论存在,对于探究具有某种性质的存在性问题, 一般先由特例探求结果的存在性,然后进行论证。 三 “至少”、“至多” 型命题 当命题的结论是以“至多”、“至少”的形式出现时,可考虑应用反证法来 解决。

例 3、设 a, b, c 均为实数,且

a ? x2 ? 2 y ?

?
2,

b ? y2 ? 2z ?

?
3,

c ? z2 ? 2x ?

?
6

求证: a, b, c 中至少有一个大于 0。

-3-

分析:如果直接从条件出发推证,方向不明,思路不清,不移入手,较难, 说证结论是以“至少”形式出现,因而可用反证法证明。 证明:设 a, b, c 中都不大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ? a ? b ? c ? 0

a ? b ? c ? ( x2 ? 2 y ? ) ? ( y 2 ? 2z ? ) ? ( z 2 ? 2 x ? ) 2 3 6 而

?

?

?

? ( x2 ? 2x) ? ( y 2 ? 2 y) ? ( z 2 ? 2 z) ? ? ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? ( z ?1)2 ? ? ? 3
? a ? b ? c ? 0 ,这与 a ? b ? c ? 0 矛盾,

故 a, b, c 中至少有一个大于 0 点评:当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时,一般是多用 反证法;应注意 “至少有一个” “都是”的否定形式分别是“一个也没有” “不都是”, 本题是一个自相矛盾的题目类型。 四 “唯一”性命题, 若命题的结论是以“唯一”、“ 有且只有一个”等形式出现时,可用反证法 进行证明。 例 4、求证:两条相交直线有且只有一个交点。 分析:此题是含有“ 有且只有一个”的命题,可考虑用反证法进行证明。 证明:假设结论不成立,则有两种情况:或者没有交点,或者不只一个交点。 如果直线 a , b 没有交点,那么 a ∥ b ,这与已知矛盾;

-4-

如果直线 a , b 不只有一个交点,则至少交于点 P, P ,这样经过两点 P, P 就有 两条直线 a , b ,这与两点确定以直线矛盾。 由(1)和(2)可知,假设错误, 所以,两条相交直线有且只有一个交点。 点评:此题是证明一个命题的充要条件,用反证法证明了它的否定,从而获 得结论正确,也可正面证明,需证明存在性和唯一性。在证明唯一性命题时,应 找出除这一个元素外的其它的所有元素,并逐一推导出矛盾,排除掉。 五 肯定型命题

'

'

有些命题结论是以“都有”“所有” “都是”等形式出现时,我们在进行证 明时,也往往采用反证法。
x ) ?f ( x) 例 5、设函数 f ( x) 对定义域上任意实数都有 f ( x) ? 0 ,且 f (x ?y ) ? f (

成立。 求证:对定义域内的任意 x 都有 f ( x) ? 0 。 分析:这是一个肯定型命题,可考虑用反正发来进行证明。 证明:假设满足体设条件的任意 x 都有 f ( x) ? 0 部成立,即存在某个 x0 有

f ( x0 ) ? 0 ,
f ( x) ? 0 ,? f ( x0 ) ? 0 ,? f ( x0 ) ? 0
x0 x0 x x x ? ) ? f ( 0 )? f ( 0 ) ? f 2( 0 ) ? 0 2 2 2 2 2 ,这与假设 f ( x0 ) ? 0 矛

又因为 盾。

f ( x0 ) ? f (

假设不成立,故对定义域内的任意 x 都有 f ( x) ? 0 。

-5-

点评:在反设命题的结论时要注意正确写出结论的否定形式是非常重要的。 在本体中对“任意 x 都有 f ( x) ? 0 ”的否定是“存在某个 x0 有 f ( x0 ) ? 0 ” 六 证明不等式

对于证明不等式,有时直接进行证明因较抽象、不明朗,一时还难以找出解 题思路,其反面常却出现的条件较多、较具体,又较容易寻找解题思路,因此也 常考虑用反证法进行证明。

??, ??? a, b ? R , 例 6、 已知函数 f ( x) 是 ? 上的增函数, 试判断命题 “若 a ? b ? 0 ,
则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ”的逆命题是否正确,并证明你的结论。 分析:先写出逆命题,然后证明不等式,而直接证明的条件较少,因此应用 反证法。 证明:逆命题为:“若 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ,则 a ? b ? 0 。”用反证法 进行证明: 假设 a ? b ? 0 ,则 a ? ?b, b ? ?a

??, ??? 因为函数 f ( x) 是 ? 上的增函数,
所以有 f (a) ? f (?b), f (b) ? f (?a) , 两式相加得 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) , 这与已知 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 矛盾, 故只有 a ? b ? 0 ,逆命题成立。 点评:反正法常用于直接证明较困难的不等式,也是不等式证明的一种常用 方法。

-6-

以上我们介绍了反证法的经常应用的几种类型,由此可以看出它有相当广泛 的应用,正难则反是反证法的特点,因为如果由一个命题直接得到的结论很少、 较抽象、较困难时,其反面常会有较多、较具体、较容易的信息结论,这样反证 法就为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题,提供了一条解题 途径,它是通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提,从而使那种只依靠所给 前提而变得山穷水尽的局面,有了柳岸花明又一村的境地。当然要想再接题中用好 反证法,这还要有待于平时训练和不断的积累。

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