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如何提高高中数学计算能力


提高计算能力

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只 是满足于解出来, 只有对数学思想、 数学方法理解透彻及融会贯通时, 才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考 查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思 想方法。我们要有意识地应用数学思

想方法去分析问题解决问题,形 成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ① 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、 参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③ 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊 与一般、类比、归纳和演绎等; ④ 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思 想、转化(化归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。 数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的 推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学 意识, 只能够领会和运用, 属于思维的范畴, 用以对数学问题的认识、
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处理和解决, 掌握数学思想方法, 不是受用一阵子, 而是受用一辈子, 即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行 为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。 数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知 识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化, 提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用, 数 学素质的综合体现就是“能力”。 在学习数学方面,计算能力的重要性不言而喻。高考中,计算 能力的好坏可以说决定着考试的成败。然而,提高计算能力又决非易 事。如何解决这一困扰众多考生的大难题呢?下面,我将从自己高三 的经历出发,谈一点心得体会,希望能对大家有所帮助。 首先,同学们要有信心去挑战这一难题,别总是想着,“我数 学差,提高不了。”计算能力强绝非尖子生的专利,只要肯下工夫, 谁都能在这方面有所突破。其次,要克服浮躁的心态。计算能力的提 高不可能一蹴而就,同学们要有打持久战的准备。沉稳、冷静、细致 乃是攻克这一难关的核心要诀!另外,一定要能吃苦,空有三分钟热 情的人是注定啃不下计算难关的,只有付出别人无法付出的努力,吃 别人吃不了的苦, 成功的大门才有可能为你敞开。 总之, 自信、 耐心、 刻苦市提高计算能力的必要条件!请同学们务必努力做到。 给大家提供一些解答计算类题的方法,希望对大家有所帮助。
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一、示范性题组 1、圆锥曲线专题。 圆锥曲线方面的题目一直令人谈虎色变,计算量大,题目要素关系复杂使得圆锥 曲线成为众多考生的梦魇。那么,我们又该如何去征服这一数学恶魔呢?请同学们 看例题。 例 1:已知曲线 C 上任意一点 P 到定点 F1(-,0)和 F2(,0)的距离之和为 4。求曲 线 C 的方程。 思路分析:这是一道十分典型的圆锥曲线题目。考查的是考生对椭圆概念的理解 和相关知识,属于基础性问题。同学们在面对这一问题时,应对自己的能力有充分 信心,冷静回忆所学的知识,寻找恰当的突破口。以本题为例,曲线上动点到两点 距离之和为定值,显然与椭圆概念相符。因而,同学们应从椭圆概念出发,设立相 关表达式。解法如下: 解:根据椭圆定义,可知动点 P 轨迹为椭圆。 其中 a=2,c=3, 则 b==1 所以动点 P 轨迹方程为+y2=1 寥寥数笔,问题解决,同学们是否一种快感呢? 可见,提高圆锥曲线类题目首要方法是:熟悉概念。 解完题后,大家一定要总结一下解题的成功方法: 熟练掌握直线,圆锥相关的概念。 冷静、耐心地运算。 (别怕烦,这种题没有太多的技巧,拼命算就行了。 ) 例 2:已知点 F(1,0) ,直线 L:x=-1,点 B 是 L 上的动点,若过 B 垂直于 y 轴的直 线与线段 BF 的垂直平分线相交于点 M。 求点 M 的轨迹 C 的方程 (与椭圆相比,抛物线的解答较易,运算量较小,同学们只要时刻记住从其概念 出发,一切问题都会迎刃而解) 解:由已知,得|MF|=|MB|,据抛物线的定义,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,L 为 准线的抛物线,其方程为 y2=4x(抛物线定义与垂直平分线定义的理解)

心得:上述 2 道题只是反映了圆锥曲线问题的其中一些方面,同学们要想彻底解 决这一难题,还需付出大量的心血与汗水。但是,“艰难困苦,玉汝于成”,我相信, 经历“地狱”磨炼的你们, 一定能拥有打造天堂的力量。 总之, 当同学们与圆锥曲线“狭 路相逢”时,一定要沉着冷静,熟练运用相关定义,灵活使用各种解题方法。只有这 样,复杂的关系,繁冗的计算才会变得“和蔼可亲”,为大家 让开通往成功的路!二、
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2、数列专题 数列的题目是高考常客,部分题目兼有思维和计算方面的难度。成功解决数列题 目,对高考成功有着不同寻常的意义。下面,我将从一些常见方法入手,带大家去 挑战数列难题。 例 1、已知正项数列{an}的通项公式为 an=2n-1,若 bn=,求{bn}的前 n 项和 Tn。 解:由题意,得 bn==(2n-1)· (好戏在下面) Tn=1×+3×+…+(2n-1)· ① Tn= 1×+…+(2n-3)· +(2n-1)—② (这就是数列中又一条金钥匙——错位相减此类题目计算较复杂,为防出错,请 同学们将相减项排在同一列,看起来一目了然) 。 ①-②,得 Tn=+2(++…+)-(2n-1)· ∴Tn=1+4· × -(2n-1)· =1+2(1--(2n-1)· =3-4--(2n-1)· =3-(2n-1)· (复杂的运算,同学们务必要有勇气和毅力去挑战,多少“数学高手”就是栽在这 里!因而,过了这关,你的数例知识定有质的飞跃。P.S:算完后别忘合并同类项)

例 2、已知 an=,若数列{bn}满足 bn=anan+1· 3n,Sn=b1+b2+b3……+bn,求 Sn 解: bn=anan+1· 3n=· · · 3n= =(你可能发现了,这就是裂项相消法的“前奏曲”,将裂成需要细致的观察和熟练 的运算技巧,同学们只要多练此类题目,慢慢就能把裂项相消法运用自如) Sn=b1+b2+……+ bn=(-)+(-)+……+(-)= 大功告成,裂项相消的精髓就在于此,裂项时,同学们千万要细心,要留意各项 分子的部分! )

心得:其实,数列的难题也不是那么可怕嘛!看完这几道例题后,同学们应该能 总结出一些规律吧!提高数列的计算能力,我们应做到: 1、熟练运用裂项相消、错位相减,放缩等常见方法 2、学会观察题中式子的结构,寻找化简的突破口。 3、考虑问题一定要全面,千万别漏了 n=1 之类的情况。 总之,希望这几点小小的建议能使同学们有所启迪,从而扬起自信的风帆,征服 数列的大海!

3、函数与导数专题 自高考出现之日起,函数的题目从没离开过高考试卷,函数与导数相结合,更是 高考常见题型。函数与导数的题目,对考生思维能力和计算能力均有较高要求,解 决此类问题,除有赖于成熟的方法技巧外,更离不开耐心细致的计算,同学们在做
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题时,务必以“稳”字当头,一味求快将会带来无尽的遗憾,下面,我们还是从例题 出发,与函数、导数一决高下!

例 1 已知函数若 k=e,试确定函数 f(x)的单调区间 解: (求单调区间时,求导是常见方法,同学们优先考虑) 由 k=e,得 f(x)=ex-ex,则 f’(x)=ex-e (熟记求导公式) 由 f’(x) >0,得 x>1,由 f’(x) <0, 得 x<1, (此步较简单,同学们注意细心算) ∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞),递减区间为(-∞,1) (上题为函数与导数结合之经典例题,包含了求导的常规方法,同学们应在熟悉 掌握这些方法的基础上,冷静、全面地考虑问题,昼避免失分)

例 2、已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a、b 为常数)是奇函数,并且它的图象在 x=1 处的切线斜率为 6 求实数 a、b 的值 (本题为函数奇偶性与导数切线知识结合考查。) 解:依题意得 f(-x)=-f(x),即(-x)3+a(-x)2+b(-x)=-x3-ax2-bx ∴a=0(耐心化简), f(x)=x3+bx(函数奇偶性知识的运用)则 f’(x)= 3 x2+b 依题意得 k= f’(1)=3+b=6 ∴b=3(切线知识) (同学们,解决本题的关键在于熟悉切线的概念并灵活地运用,这是我们克敌制 胜的“倚天长剑”! ) 心得:上述 2 道例题均为有代表性的函数与导数结合的题目,透过这几道例题, 我们不难发现,相比起数列,导数方面的技巧性不是太强,它更需要我们踏踏实实, 一步一步地去分类讨论,运算,除细致,全面外,此类问题的解决离不开同学们的 毅力与勇气。函数与导数类的题目既是思维与运算的完美结合体,又能全面体现一 个人的数学水平和心理素质。只有熟练方法,不畏艰难的同学,才能又好又快地计 算此类计算此类难题。

4.其他专题 大的计算专题就讲到这里,接下来,我将为大家补充几道其他方面的典型题目, 希望能有助于提高同学们在这些方面的计算能力。 例 1、三角函数与正余弦定理 已知在 Δabc 中,a、b、c 分别为的对边, (Ⅰ)求∠C 的大小。 (Ⅱ)求 a+b 的值 (三角函数与正余弦定理在高中的难度逐年降低,但始终是必考题。此类题目的计
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算时常能出现“浅水淹死鸭”的结果。因而,同学们还是要多加小心) 解: (1) (防止此类计算出错的关键在于准确运用公式) (Ⅱ)由题意可知: (三角形面积公式的化简运用)

(余弦定理与完全平方公式的综合应用,可使计算又准又快) 由上题可见,此类题目比较简单,同学们只要熟悉公式,快速完成此类题目应不成 问题)

例 2、 (线性回归方程) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 请根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 (线性回归系列的题目是同学们比较生疏的一类题。 在不允许使用计算器的情况下, 运算量较大。 ) () 解:由题所给数据计算得: (答案上写得简单,运算过程可不简单) 由最小二乘法确定的回归方程系数为 终于算出来了,坚持就是胜利! 因此,所求的线性回归方程为 y=0.7x+0.35 在没有计算器的情况下,大家必须坚持计算,多找些类似题目做,工多自然手熟! 在平常做题时,大家千万别养成计算器的习惯,否则高考时将后悔莫及! )

二、能力训练 1.已知直线 x+y-1=0 与椭圆相交于 A、B 两点,M 是线段 AB 上的一点, ,且 M 在 直线 L:上。 求椭圆离心率 (离心率的计算向来是综合考查思维与运算能力的“招牌菜”,对离心率的计算如把 握不好,极易引发很多不必要的麻烦,同学们得留点神) 解:由,知 M 是 AB 的是 AB 的中点(向量的知识) 设 AB 两点坐标分别为 A(x1,y1)、 B (x2,y2) 由 , ,得 (a2+b2) x-2a2x+a2-a2b2=0
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(联立方程组的思想,永远是“万金油”) 所以 x1+x2=y1+y2=-(x1+x2)+2=耐心! M 点坐标为(, ) (中点的知识) 又 M 在直线 L 上,=0 a2=2b2=2(a2-c2) a2=2c2 e= (离心率的计算,务必要从 e=出发找相应的关系,尽可能找到 a 与 c 的等量关 系,b 这个量常用 b2=a2-c2 加以消去。 )

2.已知等比数列{bn}的通项公式为 bn=,记 cn=,数列{cn}前 n 项和为 Sn, 求证 Sn< 解: Cn===+(关键!注意学会把分子构造成与分母相似的结构以利于约分,这 是一种十分巧妙的运算方法! ) ∴Cn<+(精华所在!这是巧妙地运用了“放缩法”) 所以 Sn=c1+ c2+ ……cn<+(++……+) =+(1-)< (本题精髓在于“放缩法”的应用。“放缩”看似高深实则不难,当同学们在解题中 看到形如“数列前 n 项和大于(或小于)某数或式子时,应多考虑“放缩”。通俗来看, “放缩”就是将式子中累赘多余部分干掉。学会 “放缩法”,你的运算能力定会大有提 高,同时可以少走弯路!

3、已知函数 f(x)=x2-4ax+a2(a∈R),设函数 g(x)=2x3+3af(x),如果 g(x)在 (0,1)上 存在极小值,求 a 的取值范围。 解:g(x)=2x3+3ax2+3a3 , g’(x)=6x2+6ax-12a2=6(x-a)(x+2a) (十字相乘法的运用能大大减轻计算负担) ①当 a=0 时,g’(x)=6x2≥0, g(x)在 R 上递增,没有极值点,与条件不符(细心! 别漏此情况) ②当 a>0 时, -2a<a 由 g’(x) >0 解得 x<-2a 或 x>a,由 g’(x) <0 解得-2a<x<a, ∴g(x)的单调区间为(-∞,2a)和(a,+ ∞) ,递减区间为(-2a,a),则在 g(x)处 x=a 处取得极小值,由已知得 0<a<1 (注意紧扣题目要求解题,留意 a 的设定范围) ③当 a<0 时,同理可求得 g(x)在 x=-2a 处取得极小值,从而 0<-2a<1,则-<a <0。 综上所述,实数 a 的取值范围是(-,0)∪(0,1) (上题综合考查同学们二次不等式,极值等方面知识,熟悉“十字相乘”等解二次 不等式的方法是解答此类问题提高计算能力之关键。本题的另一焦点是分类讨论方 法的运用,分类讨论时,细心、全面的考虑是必不可少的。分类讨论的成功有赖于 同学们平常的大量训练和良好的考场心态。只有参悟“细、稳、全”三字的真谛,同 学们才不会在分类讨论步骤上“摔跟头”)

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