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2014年高考理科数学新课标卷2试题及答案全world


绝密★启用前 6 月 17 日 15:00—17:00

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)





(理科)

注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填 写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷

时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 设集合 M={0,1,2},集合 N={x|x2-3x+2 ? 0},则 M∩N= A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} (2) 设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2= A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i (3 ) 设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a·b= A.1 B.2 C.3 D.5

1 (4) 锐角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC= 2
A.5 B. 5 C.2 D.1

(5) 某地区空气资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优 良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 (6) 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面 半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削 掉的体积与原来毛坯体积的比值为

(6)题图
开始 输入 x,t

17 27 10 C. 27
A.

5 9 1 D. 3
B.

M=1,S=3 k=1 k≤t

M M ? x k

否 输出 S, 结束

(7) 执行右面的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2, 则输出的 S= A.4 B.5 C.6 D.7 (8) 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A.0 B.1 C.2 D.3

S=M+S k=k+1

?x ? y ? 7 ? 0 ? (9) 设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z=2x-y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.8 C.3 D.2 2 (10) 设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为 A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D.

9 4

(11) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BAC=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 A.

1 10

B.

4 5

C.

3 10 10

D.

2 2

(12) 设函数 f(x)= 3 sin

?x 2 ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 ? [ f ( x)]2 ? m2 ,则 m 的取值范围是 m
C. (-∞,-2)∪ (2,+ ∞) D. (-∞,-2)∪ (2,+ ∞)

A. (-∞,-6)∪ (6,+ ∞) B. (-∞,-4)∪ (4,+ ∞)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选 考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) (x+a)10 的展开式中,x7 的系数为 15,则 a= (14) 函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sinφ cos(x+φ )的最大值为 (15) 已知偶函数 f(x)在 [0, ??) 上单调递减,f(2)=0,若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是 (16) 设点 M(x0,1),若圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 (用数字作答)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. (I) 证明{ an + (II) 证明

1 }是等比数列,并求{an}的通项公式。 2

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

?

1 3 ? an 2

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点。 (I) 证明:PB∥平面 AEC。 (II) 设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积。
P E A

D C

B

(19) (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯 y(单位:千克)的数据如下表: 年 份 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

年份代号 t 人均纯收入 y

(I) 求 y 关于 t 的线性回归方程。 (II) 利用(I)中的回方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该 地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入。 附:回归直线的低斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
2 i

? (t ? t )
i ?1

n

, a ? y ? bt

(19) (本小题满分 12 分) 设 F1,F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, a 2 b2

直线 MF1 与 C 的另一个焦点交为 N。

(I) 若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率。 4

(II) 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

(21)

(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= e ? e
x ?x

? 2x

(I) 讨论 f(x)的单调性。 (II) 设 g(x)=f(2x)-4bf(x).当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值。 (III) 已知 1.4142< 2 <1.4143,估计 ln2 的近似值。 (精确到 0.001)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分) 如图,P 是⊙O 处一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD A O 的延长线交⊙O 于点 E。证明: P D (I) BE=EC (II) AD DE=2PB2
B E C

(23)

(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正关轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程

为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0,

?
2

]

(I) 求曲线 C 的参数方程。 (II) 设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l: y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程, 确定 D 点的坐标。 (24) (本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=|x+

1 |+|x-a| (a>0) a

(I) 证明 f(x)≥2 . (II) 若 f(3)<5,求 a 的取值范围。 参考答案附后

参考答案 一、选择题 1. 解析 D

把 M={0,1,2}中的数,代入不等式 x 2 - 3x + 2 ≤0, 经检验 x=1,2 满足。所以选 D.
2. 解析 A

z1 ? 2 ? i, z1与z2关于虚轴对称, ? z2 ? -2 ? i, z1 z2 ? -1-4 ? -5, 故选A.
3. 解析 A

?| a + b |= 10, | a - b |= 6,, ∴ a + b + 2ab = 10, a + b - 2ab = 6, 联立方程解得 ab = 1, 故选A.
4. 解析 B

2

2

2

2

1 1 1 2 ac sin B = ? 2 ? 1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4 ? S ΔABC =
5. 解析 A

设某天空气质量优良, 则随后一个空气质量也 优良的概率为 p, 则据题有0.6 = 0.75? p, 解得p = 0.8, 故选A.

6. 解析

C

? 加工前的零件半径为 3,高6, ∴体积v1 = 9π ? 6 = 54π. ? 加工后的零件,左半部 为小圆柱,半径 2,高4,右半部为大圆柱,半 径为3,高为2. ∴体积v2 = 4 π ? 4 + 9π ? 2 = 34π. ∴削掉部分的体积与原体 积之比=
7. 解析 D

54π - 34π 10 = .故选C. 54π 27

x ? 2, t ? 2, 变量变化情况如下: M 1 2 2 故选D.
8. 解析 D

S 3 5 7

K 1 2 3

? f ( x) = ax - ln(x + 1),∴ f ′( x) = a -

1 . x+1 ∴ f (0) = 0, 且f ′(0) = 2.联立解得a = 3.故选D.
B

9. 解析

画出区域,可知区域为 三角形,经比较斜率, 可知目标函数 z = 2 x - y在两条直线x - 3 y + 1 = 0与x + y - 7 = 0的交点(5,2)处, 取得最大值z = 8.故选B.
10. 解析 D

设点A、B分别在第一和第四象限 ,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 3 3 3 3 2m = 2 ? + 3m,2n = 2 ? - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 1 3 9 z B ∴ S ΔOAB = ? ? (m + n) = .故选D. 2 C 2 4 4 2
A C1
2

11. 解析

C
x

B1

y

A1

如图,分别以 C1 B1,C1 A1,C1C为X , Y , Z轴,建立坐标系。令 AC = BC = C1C = 2, 则 A(0,2,2), B(2,0,2), M (1,1,0), N (0,1,0).∴ BM = ( - 1,1, - 2), AN = (0, - 1, - 2)。 cosθ = BM ? AN | BM | ? | AN |
C

=

0 - 1+ 4 30 = .故选C. 10 6 5

12. 解析

? f ( x) = 3 sin

πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 2 ∴ x0 + [ f ( x0 )] ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4

二.填空题 13. 解析

1 1 3 7 3 3 3 ? C10 x a = 15x 7 ∴ C10 a = 15, a = .故a = . 2 2

14. 解析

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1.
15. 解析

偶函数y ? f ( x)在[0, ??)上单增,且f (2) ? 0 可得f ( x) ? 0的解集为 | x |? 2. 于是f ( x-1) ? 0的解集为 | x-1|? 2,解得x ? (-1,3) . 故解集为 | x-1|? 2,解得xx ? (-1,3) .
16. 解析

在坐标系中画出圆 O和直线y = 1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x 0 ∈[-1,1].故x 0 ∈[-1,1].
三.解答题: 17.解析: (1)

? a1 = 1, an+1 = 3an + 1.n ∈ N * . 1 1 1 = 3an + 1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2 ∴ a n+1 +
(2)

1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1 1 1 2 1 = 1, 当n > 1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 ∴ + + + ?+ < 1+ 1 + 2 + ?+ n-1 = 3 = ( 1- n ) < . 1 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + + ?+ < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2 118. 解析 (1)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。因为 ABCD 为矩形,所 O 为 BD 中点。又 E 为 PD 中点,所以 EO∥PB.EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC. (2)设 CD=m, 分别以 AD,AB,AP 为 X,Y,Z 轴建立坐标系,则

3 1 ,0, ), C ( 3 , m,0). 2 2 3 1 ∴ AD = ( 3 ,0,0), AE = ( ,0, ), AC = ( 3 , m,0). 2 2 A(0,0,0), D( 3 ,0,0), E ( 设平面ADE法向量为n1 = ( x1 , y1 , z1 ), 则n1 AD = 0, n1 AE = 0, 解得一个n1 = (0,1,0). 同理设平面ACE法向量为n2 = ( x2 , y2 , z 2 ),则n2 AC = 0, n2 AE = 0, 解得一个n2 = (m,- 3 ,- 3m). π | n2 ? n2 | ? cos =| cos< n2 , n2 >|= = 3 | n2 | ? | n2 | 3
2 2

m + 3 + 3m EF 1 设F为AD的中点,则PA // EF , 且PA = = , EF ⊥ 面ACD, 2 2 1 1 1 3 1 3 即为三棱锥E - ACD的高.∴VE - ACD = ? S ΔACD ? EF = ? ? ? 3 ? = . 3 3 2 2 2 8 3 所以,三棱锥E - ACD的体积为 。 8

=

1 3 , 解得m = . 2 2

19.解析: (1)

?t =

1 + 2 + ?+ 7 2.9 + 3.3+ 3.6 + 4.4 + 4.8 + 5.2 + 5.9 = 4, y = = 4.3 7 7 设回归方程为y = bt + a, 代入公式,经计算得 3 *14+ 2 + 0.7 + 0 + 0.5 + 1.8 + 4.8 14 1 = = , (9 + 4 + 1) * 2 14* 2 2 1 a = y - bt = 4.3 - * 4 = 2.3 2 所以,y关于t的回归方程为y = 0.5t + 2.3. b=
1 > 0,∴ 2007 年至2013 年该区人均纯收入稳步 增长,预计到 2015 年, 2 该区人均纯收入 y = 0.5 ? 9 + 2.3 = 6.8(千元) 所以,预计到 2015 年,该区人均纯收入约 6千8百元左右。

?b =

20. 解析: (1)

MF 3 b 2 1 3 ?由题知, 1 = ∴ ? = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2
(2)

由三角形中位线知识可 知,MF2 = 2 ? 2,即

b2 = 4. a 设F1 N = m,由题可知MF1 = 4m.由两直角三角形相似, 可得 3 M , N两点横坐标分别为 c,- c.由焦半径公式可得: 2 3 c MF1 = a + ec, NF1 = a + e(- c),且MF1 : NF1 = 4 : 1, e = , 2 a 2 2 2 a = b + c .联立解得a = 7, b = 2 7 . 所以,a = 7, b = 2 7

21. 解析: (1)

? f ( x) = e x - e- x - 2 x,x ∈ R ∴ f ′( x) = e x + e- x - 2 = e x + 所以,f ( x)在R上单增 .
(2)

1 1 -2 ≥ 2 e x ? x - 2 = 0. x e e

g ( x) = f (2 x) - 4bf ( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x) > 0, x > 0. 令h( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x), x > 0, 则h(0) = 0. h′( x) = 2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2), ∴?x∈ (0,m),m > 0,使h′( x) ≥ 0. 即2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2) ≥ 0 即e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2) ≥ 0. 同理,令m( x) = e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2),x ∈ (0,m),m > 0, 则m(0) = 0. m′( x) = 2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ), ∴?x∈ (0,t ),t > 0,使m( x) ≥ 0. 即2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ) ≥ 0,即(e x + e - x )(e x e - x ) - b (e x - e - x ) ≥ 0且e x - e - x > 0, 即e x + e - x ≥ b,即e x + e - x > 2 e x ? e - x = 2 ≥ b,所以b的最大值为2

(3)

由(2)知,g(ln 2 )=

3 8 2 ?3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 >0,ln2> >0.6928 2 12

当 b=

3 2 ? 1 时,ln(b-1+ b2 ? 2b )=ln 2 4

g(ln 2 )=-

3 18 ? 2 ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 <0,ln2< <0.6934 2 28

所以,ln2 的近似值为 0.693. 22. 解析: (1)

? PC = 2 PA, PD = DC, ∴ PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。 连接AB, 则∠PAB = ∠DEB = β ,∠BCE = ∠BAE =α . ?∠PAB+ ∠BCE = ∠PAB+ ∠BAD = ∠PAD = ∠PDA = ∠DEB + ∠DBE ∴β + α = β + ∠DBE,即α = ∠DBE,即∠BCE = ∠DBE,所以BE = EC.
(2)

由切割线定理得:PA 2 ? PB ? PC ,因为PD ? DC ? PA, 所以DC ? 2 PB, BD ? PB 由相交弦定理得 : AD ? DC ? BD ? DC.所以 AD ? DC ? 2 PB 2

23.解析: (1) C 的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0≤y≤1)

可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? c o ts , (t 为参数,0≤t≤π ) ? t ?y ? s i n
(2) 设 D(1+cost,sint).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同。 tant= 3 ,t=

? ? ? 3 3 . 故点 D 的坐标是(1+cos ,sin )即 D( , ) 3 3 3 2 2

24.解析:

(1) 由 a>0,有 f(x)= | x ? 所以 f(x)≥2 (2) f(3)= | 3 ?

1 1 1 | ? | x ? a |?| x ? ? ( x ? a) |? ? a ? 2 a a a

1 | ? |3? a | a 1 5 ? 21 ,由 f(3)<5 得 3 ? a ? a 2 1 1? 5 ,由 f(3)<5 得 ?a?3 a 2

当 a>3 时,f(3)= a ?

当 0<a≤3 时,f(3)=6 - a ?

综上,a 的取值范围是(

1 ? 5 5 ? 21 , ) 2 2


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