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高考数学专题训练3 探索性问题专题练习


题型专题训练三
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

探索性问题

1. (05 山东卷) ? a n ? 是首项 a 1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 a n =2005,则序号 n 等 于( ) A.667 B.668
x ?1 x ?1

C. 669

D.670

2. (05 湖南卷)集合 A={x|

<0} ,B={x || x -b|<a } ,若“a=1”是“A∩B≠ ? ”

的充分条件, 则 b 的取值范围是( ) A.-2≤b<0 B.0<b≤2 C.-3<b<-1 D.-1≤b<2 3. 函数 f(x)的定义域为 R, 满足条件: x 1 ? x 2 时, f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) , f(x+y)= f(x)+ f(y), 当 且 则( ) A. f(x)>0 B. f(x)<0 C. f(x)≤0 D. f(x)的正负不确定 4. (06 年安徽)若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 则 t 的取值范围为(
3

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

5.等比数列的前三项 a 1 , a 2 , a 3 的和为定值 m(m>0) ,公比 q<0,令 t= a 1 a 2 a 3 , A. ?? m , 0 ? B. ?? m 3 , ?? ? C.(0,m3) D.( ? ? , m 3 ) 6.已知函数 f(x)=|x2-2 a x+b|(x∈R),给出下列命题: ①f(x)必是偶函数; ②当 f(0)=f(2) 2 2 时, f(x)的图象必关于直线 x=1 对称; ③若 a -b ≤0,则 f(x)在区间 ?0 , ?? ? 是增函数; ④f(x) 2 的最大值是| a -b|.其中正确命题是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.③ 7.给出下列三个命题:① 若 a ? b ? ? 1 ,则 则
m ?n ? n? ? n 2 a 1? a ? b 1? b

;② 若正整数 m 和 n 满足 m ? n ,

;③ 设 P ? x1 , y1 ? 是圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 9 上的任意一点,圆 O 2 以 Q ? a , b ? 为
2 2

圆心,且半径为 1.当 ? a ? x1 ? ? ? b ? y1 ? ? 1 时,圆 O1 与 O 2 圆相切. 其中假命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8 已知直线 l⊥平面α ,直线 m ? 平面β ,有下面四个命题,其中正确命题是( ) ①α ∥β ? l⊥m; ②α ⊥β ? l∥m;③l∥m ? α ⊥β ;④l⊥m ? α ∥β . A. ①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④
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9. (2004 年北京)已知三个不等式: ab ? 0 , bc ? ad ? 0 ,

c a

?

d b

? 0 (其中 a,b,c,d

均为实数) ,用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可 组成的正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

1

C

10. (06

?x ? ?y 年广东)在约束条件 ? ?y ?y ?

? 0 ? 0 ? x ? s ? 2x ? 4

y

下,当 3 ? s ? 5 时,

y ? 2x ? 4

E
x? y ? s

目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化范围是( A. [6,1 5] B. [7 ,1 5] C. [6, 8] D. [7, 8]



A

B C

O

x

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.观察 sin220°+cos250°+sin20°cos50°= 写出一个与以上两式规律相同的一个等式
3 4
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图3
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,sin215°+cos245°+sin15°?cos45°=
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12. (06 天津)设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x 则 f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? f ? 4 ? ? f ? 5 ? ? __________.
? ? ? ? ? ? ? a |=3,| b |=2,| c |=1,则 a 用 b 、 c 表示为 ? 2 14 . 抛 物 线 y ? x ? 2 x s i n ? 1 ( θ 为 常 数 ) 的 顶 点 在 椭 圆 2
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?

1 2

对称,

13.已知三个向量 a 、b 、c ,其中每两个之间的夹角为 120°,若|
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?

?

b -a c a

x ? 4y
2

2

? 1 上,这样的抛物线有_____条.

15.设 x、y、z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是_____. (只需写出一个条 件即可) 16. (2000 年全国高考试题)如图,E、F 分别为正方体的面 ADD1A1 和面 BCC1B1 的中心, 则四边形 BFD1E 在该正方体的 面上的射影可能是_____________(要求把可能的图形的序号 都填上)

2

三、解答题(共 4 小题,10+12+12+12=46,共 46 分) 2 17. (本题 10 分) 设函数 f(x)=1-x ,g(x)=f [ f (x)] 、φ (x)=p?g(x)-4f(x) , 是否存在实数 p,使 φ (x)在(-∞,-3)上是增函数,且在(-3,0)上是减函数? 若存在,求出 p 的值;若不存在,说明理由.

18. (本题 12 分) (05 年福建)已知方向向量为 v=(1, 3)的直线 l 过点(0,-2 3) 和椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>0)的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C

的右准线上. (1)求椭圆 C 的方程;? (2)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、
4 → → N,满足OM?ON?= 3

6?cot∠MON≠0(O 为原点) .若

存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

3

19. (本题 12 分) (2006 年湖北卷)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,
p 是侧棱 CC 1 上的一点, CP ? m .

(Ⅰ)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD 1 B 1 所成角的正 切值为 3 2 ; (Ⅱ)在线段 A1 C 1 上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的
m ,D 1 Q 在平面 APD
1

上的射影垂直于 AP . 并证明你的结论.

20. (本题满分 12 分) (05 年湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这 一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在 第 n 年年初的总量,n∈N*,且 x1>0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕 捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变? (不要求证明) (Ⅱ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论.

4

参考答案 一、选择题 1.C 提示: a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? 1 ? 3( n ? 1) ? 2005 ,解得 n ? 669 ,选 C 2.D 提示:由题意得:A:-1<x<1,B:b-a<x<a+b. 由”a=1”是“ A ? B ? ¢”的充分 条件. 则 A:-1<x<1 与 B: b-1<x<1+b 交集不为空.所以-2<b<2,检验知: ? 1 ? b ? 2 能 使 A ? B ? ¢.故选 D. 3.A 4. A 提示: f(x)=f(
x 2 ? x 2

)= f ( ) ? 0 ,用反证法可证明 f(x)≠0
2

x

2

提示:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x 4 在某一

点的导数为 4, y ? ? 4 x 3 , 而 所以 y ? x 4 在(1, 1)处导数为 4, 此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 , 故选 A. 5.A 提示:m= a 1 + a 2 + a 3 = a 1 ? a 1 q ? a 1 q 2 ? a 1 (1 ? q ? q 2 ) ? 0 ,∵1+q+q2>0,
3
2

故 a1>0,∴t= a 1 a 2 a 3 = a 1 q 3 <0.选 A 6.D 提示:当 a≠0 时,f(x)不可能是偶函数,①错;| a -b|既不是最大值也不是最 小值,④错;若 f(x)=|x2-2|有 f(0)=f(2),但不关于直线 x=1 对称,②错;故只能是③ 对.选 D 7 . B 提 示 : ① 用 “ 分 部 分 式 ” 判 断 , 具 体 :
a 1? a ? b 1? b ? 1? 1 1? a ? 1? 1 1? b ? 1 1? a ? 1 1? b

,又 a ? b ? ? 1? a ? 1 b? 1 0 知 ? ?
m , ? x n?m,

本命题为真命题. 用基本不等式: xy ? x 2 ? y 2 x , y ? R ? ) 取 x ? ② ( , 2

知本命题为真.③ 圆 O 1 上存在两个点 A、B 满足正弦 A B ? 1 ,所以 P、O 2 可能都在圆 O 1 上,当 O 2 在圆 O 1 上时,圆 O 1 圆 O 2 相交.故本命题假命题.本题答案选 B 8 B 提示: ①l⊥α 且α ∥β ? l⊥β ,m ? β ? l⊥m ②α ⊥β 且 l⊥α ? l∥β ,但 不能推出 l∥m ③l∥m,l⊥α ? m⊥α ,由 m ? β ? α ⊥β ④l⊥m,不能推出α ∥β 答案 B
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9. D

提示:若 ab ? 0 , bc ? ad ? 0 , 则
c a ? d b

c a

?

d b

?

bc ? ad ab c a ? d b

? 0, ? 0,则 bc ? ad ab ? 0,

∴ ab ? 0 , bc ? ad ? 0 ?
? bc ? ad ? 0 , 即 ab ? 0 , 若 bc ? ad ? 0 , c a ? d b

? 0 ;若 ab ? 0 ,

c a

?

d b

? 0 ? bc ? ad ? 0 ? 0

? 0,则 c a ?

bc ? ad ab d b

? ab ? 0 , 即 bc ? ad ? 0 ,

? 0 ? ab ? 0

C

故三个命题均为真命题,选 D. 10 . D 提示:画出可行域如图所示 ,当 3 ? s ? 4 时, 目标函数 z ? 3x ? 2 y 在点
B ( 4? s , 2s ?
5

4处 取 得 最 大 值 , 即 z m ax ? 3(4 ? s ) ? 2(2 s ? 4) ? s ? 4 ? [7, 8) ; 当 )

4 ? s ? 5 时,

目标函数 z ? 3 x ? 2 y 在点 E (0, 4 ) 处取得最大值,即 z m ax ? 3 ? 0 ? 2 ? 4 ? 8 ,

故 z ? [7, 8] ,从而选 D; 二、填空题 11.sin2α +cos2(α +30°)+sinα cos(α +30°)= 提示 由 50°–20°=(45°–15°)=30°,
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可得 sin2α +cos2(α +30°)+sinα cos(α +30°)= 12.0

3
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4

提示: f ? ? 0 ? ? ? f ? 0 ? 得 f ? 0 ? ? 0 ,假设 f ? n ? ? 0 ,
? 1 2

因为点( ? n ,0)和点( n ? 1, 0 )关于 x

对称,所以 f ? n ? 1 ? ? f ? ? n ? ? ? f ? n ? ? 0

因此,对一切正整数 n 都有: f ? n ? ? 0 ,从而: f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? f ? 4 ? ? f ? 5 ? ? 0 . 13. a =–3 c –
?
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?

?

3 ? b 2

解析

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如图– a 与 b , c 的夹角为 60°,且| a |=|
? ?
3 ? 3 ? ? ? b ,∴ a =–3 c – b 2 2
2

?

?

?

?

b
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– a |=3 由平行四边形关系可得– a =3 c +
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-a c

a

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14. 4
cos

提示: ( sin 顶点
? 0 ,? 1 2

?
2

, cos

2

?
2

) 在椭圆上, sin ∴
3 2

?
2

? 4 cos

4

?
2

? 1,

?
2

.∴ sin

?
2

? ?

1 2

,?

,答案:4 条.

15.x 为直线,y、z 为平面 提示:由线面垂直及平行的知识可知,当 x 为直线,y、z 为平面,由 x⊥平面 z,且平面 y⊥平面 z,则直线 x∥平面 y; 当 x、y 为直线,z 为平面,由直线 x⊥平面 z,且直线? y⊥平面 z,则直线 x∥直线 y; 当 x、y 为平面,z 为直线,由直线 z⊥平面 x,且直线? z⊥平面 y,则平面 x∥平面 y; ?综上,符合条件的有:①x 为直线,y、z 为平面;②x、y 为直线,z 为平面;?③x、y 为平面,z 为直线,任填一种情况都行. 16.②③ 提示:根据不变价格的对称性,找出截面 BFD1E 分别在左、后、下三个面 上的射影.答案为②③. 三、解答题 2 2 4 2 2 4 17.解:由 g(x)=f[f(x)]=1-(1-x ) =-x +2x ,所以 φ (x)=p?(2x -x ) 2 4 2 -4(1-x )=-px +2(p+2)x -4. 3 2 ∴φ ′(x)=-4px +4(p+2)x=4x(p+2-px ) .? 要使 φ (x)在(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数,故有 φ ′(- 1 1 3)=0,即 p+2-9p=0,所以 p= ,而当 p= 时,φ ′(x) =-x(x+3) (x-3) ,当 x<- 4 4 3 时,?φ ′(x)>0,当-3<x<0 时,φ (x)<0. 1 故当 p= 时,φ (x)在(-∞,-3)上递增,在(-3,0)上递减,即符合条件的 4 1 p 存在,且 p= . 4

6

18. 【解】 :直线 l:y= 3x-2 3,①?过原点垂直于 l 的直线方程为 y=- (1) ②?解①②得 x=
3 2

3 3

x,


a c
2

∵椭圆中心 O (0, 关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上, 0) ?∴

=2?

3 2

=3. ?

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0) .?∴c=2,a2=6,b2=2.? 故椭圆 C 的方程为
x
2

?

y

2

=1.

③?

6

2

(2) :设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) .? 当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m:y=k(x+2)代入③, 整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,? x1+x2= ? |MN|= 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k ? ( ?
2 2 2

12 k 3k
2

2

2

?1

,x1x2= ?
12k ? 6
2

12 k 3k

2 2

?6 ?1


2

12k
2

3k ? 1

)? 4?

3k ? 1
2

? 2 6

(1 ? k ) 3k ? 1
2

点 O 到直线 MN 的距离 d= → → 4 ∵?OM?ON=

2k 1? k
2

?

6?cot∠MON,

3 ???? ? ???? 4 cos ? MON ? 0 ,? 即?| O M |?| O N |cos∠MON ?= 6 3 sin ? MON ???? ? ???? 4 2 ∴| O M |?| O N |sin∠MON= 6?,∴S△OMN= 6 3 3

∴|MN|?d= 整理得 k2=
1 3

4 3

6?,即 4 6|k| k2+1=
3 3

4 3

6 (3k2+1) .

,?∴k=±

.?
2 3

当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S△OMN= 故直线 m 的方程为 y=
3 3

6,
3 3

x+

2 3

3

,?或 y=-

x-

2 3

3

,或 x=-2.?

→ → 经检验上述直线均满足OM?ON≠0.? 所以所求直线方程为 y=
3 3

x+

2 3

3

,或? y=-

3 3

x-

2 3

3

,或 x=-2.?

19. 解法 1: (Ⅰ)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与 平面 B D D 1 B1 相交于点,,连结 OG,因为 PC∥平面 B D D 1 B1 , 平面 B D D 1 B1 ∩平面 APC=OG,
7
A1

D1

C1 B1
G O P

D

C

A

B

故 OG∥PC,所以,OG=

1 2

PC=

m 2



又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 B D D 1 B1 , 故∠AGO 是 AP 与平面 B D D 1 B1 所成的角.
2

在 Rt△AOG 中,tan ? AGO=

OA GO

?

2 m 2

? 3 2 ,即 m=

1 3



所以,当 m=

1 3

时,直线 AP 与平面 B D D 1 B1 所成的角的正切值为 3 2 .

(Ⅱ)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1, 又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直. 解法二:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1, m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1) 所以 B D ? ( ? 1, ? 1, 0), B B1 ? (0, 0,1), A P ? ( ? 1,1, m ), A C ? ( ? 1,1, 0). 又 由 A C ? B D ? 0 , A C? B1B ? 0 知 , A C 为 平 面
B B1 D1 D 的一个法向量.
z

????

????

??? ?

????

? ? ?? ? ? ??

? ? ?? ? ? ??

????

设 AP 与 平 面 B B1 D1 D 所 成 的 角 为 ? , 则
s i n ? ? c o s? ? ( 2
2 2?
m ? 1 3

D1

C1
j

?

??? ???? ? AP ? AC ? ??? ???? ? ) ? AP ? AC
? 3 2

O1

2 2? 2?m
2

P B1

.依题

A1 D

意有

, 解得 m ?
2

1 3

C

y

.故当
A
x

2?m

2

1 ? (3 2 )

时,直线 AP 与平面 B B1 D1 D 所成的角的正切值为

B

3 2.

(Ⅱ)若在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x ,则 Q(x,1- x ,1), ???? ? D1Q ? ( x ,1 ? x , 0) .依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP,等 ??? ???? ? ? 1 价于 D1Q⊥AP ? A P ? D 1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x ) ? 0 ? x ? . 即 Q 为 A1C1 的中点时,满 2
8

足题设要求. 20.解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
cx n , 因此 x n ? 1 ? x n ? ax
2 n

? bx

n

? cx n , n ? N * .(*)
2

即 x n ? 1 ? x n ( a ? b ? 1 ? cx n ), n ? N * .(**)

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得
x n ( a ? b ? cx n ) 恒等于 0 , n ? N *, 所以 a ? b ? cx 1 ? 0 .即 x 1 ? a ?b c .

因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x 1 ?
a ?b c

时,每年年初鱼群的总量保持不变.

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? ( 0 ,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允 许值是 1.

9


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