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河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三数学第三次调研考试试题 理


河南省平顶山新乡许昌 2016 届高三第三次调研考试 理 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答题前,考生务必先将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡相应位置上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指 定位置上. 2.问答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案答在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.设复数 z1=-1+3i,z2=1+i,则

z1+z2 = z1-z2

A.-1-i B.1+i C.1-i D.-1+i 2.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优 良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 3.如图所示的程序框图,当输入 n=50 时,输出的结果是 i= A.3 B.4 C.5 D.6 4.函数 f(x)=cos(ω x+ ? )的部分图象如图所示,则下列结论 成立的是 A.f(x)的递增区间是(2kπ -

? )是奇函数 3 ? C.函数 f(x- )是偶函数 12 ? D.f(x)=cos(2x- ) 6
B.函数 f(x-

5? ? ,2kπ + ) ,k∈Z 12 12

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积为 A.54 B.60 C.66 D.72 6.经过原点并且与直线 x+y-2=0 相切于点 (2,0)的圆的标准方程是 A. ( x- 1) +( y+ 1) =2
2 2

B.4 ( x+ 1) +( y- 1) =2
1

2

2

C. ( x- 1)2+( y+ 1)2=4

D. ( x+ 1)2+( y- 1)2=4

7.已知{ an }为等比数列, a4 + a7 =2, a5a6 =-8,则 a1 + a10 = A.7 B.5 C.-5 D.-7
2 1 )=3x+2,那么 ? f ( x)dx = 1 x 7 C.-( +ln2) D.-(4+2ln2) 2

8.设函数 f(x)对 x≠0 的实数满足 f(x)-2f( A.-(

7 7 +2ln2)B. +2ln2 2 2
x

9.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ∈R,使 e 0 < x0 +1 成立 B.a,b,c∈R, a + b + c =3abc 的充要条件是 a=b=c C.对 ?x ∈R,使 2 > x 成立
x

3

3

3

2

D.a, b∈R,a>b 是 a|a|>b|b|的充要条件 10.设 F1、F2 分别为双曲线

x2 y 2 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足| a 2 b2

PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 A.3x ? 4y=0 B.3x ? 5y=0 C.4x ? 3y=0 D.5x ? 4y=0 11.在由数字 0,1,2,3,4,5 组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共有 A.372 B.180 C.192 D.300 12.设 x∈(1,+∞) ,在函数 f(x)= 则 b 的最小值为 A.e B.

x 的图象上,过点 P(x,f(x) )的切线在 y 轴上的截距为 b, ln x

e 2

C.

e2 2

D.

e2 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题 为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

x≥0 ? ? 13.若 x, y 满足约束条件: ? x+2y≥3, 则 x- y 的取值范围是 ?2 x+y≤3 ?
___________. 14.如图,△ABC 中, BD =2 DC , AE =m AB , AF =n AC ,m>0,n>0,那么 m+2n 的最小值是 __________. 15.已知数列 { an }满足 a1=1, an+1 + (- 1)n an =2n,其前 n 项和为 Sn ,则

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

S2016 =________。 2016

2

16.设函数 f(x)= ?

?

2 x+a,

x<1,

?( x+a)( x+2a), x≥1.

若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的范围是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+ (Ⅰ)若 a=2,b= 7 ,求 c; (Ⅱ)若 3 sin(2A-

3 csinB. 3

? ? 2 )-2 sin (C- ) =0,求 A. 12 6

18. (本小题满分 12 分) 某高中为了适应“新高考模式改革” ,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始, 在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技 术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座, 也可 以放弃任何一门科目的辅导讲座. (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座, 否则称为不 满座) 统计数 据表明, 各学 科讲座各天 的满座的概 率如下表: 根据上表: (Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ)设周三各 辅导讲座满座的科目数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面 PAB,△PAB 是等边 三角形,DA=AB=2,BC=

1 AD,E 是线段 AB 的中点. 2

(Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (Ⅱ)试问线段 PB 上是否存在点 F,使二面角 C-DE-F 的余弦值为 说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 设 A1(-2 2 ,0) ,A2(2 2 ,0) ,P 是动点,且直线 A1P 与 A2P 的斜率之积等于 -

1 ?若存在,确定点 F 的位置;若不存在, 4

1 . 2

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设轨迹 E 的左、右焦点分别为 F1,F2.作两条互相垂直的直线 MF1 和 MF2 与轨迹 E 的交点 分别为

3

A、B 和 C、D,求证:

1 1 + 恒为定值. CD AB

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx,g(x)=

1 2 x -2x. 2

(Ⅰ)设 h(x)=f(x+1)- g ?( x ) (其中 g ?( x ) 是 g(x)的导函数) ,求 h(x)的单调区间; (Ⅱ)设 k∈Z,当 x>1 时,不等式 k(x-1)<xf(x)+3 g ?( x ) +4 恒成立,求 k 的最大值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,请写清楚 题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (Ⅰ)证明:△ABE∽△ADC; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=

1 AD·AE,求∠BAC 的大小. 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1: ? (Ⅰ)当 ? =

1+t cos ? , ? x= ? x=cos ? , (t 为参数) ,圆 C2: ? (θ 为参数) . ? y=t sin ? , ? y=sin ? ,

(Ⅱ)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点轨迹的参数方程,并指出它是什么 曲线. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)解不等式:|2x-1|-|x|<1; (Ⅱ)设 f(x)= x -x+1,实数 a 满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|< 2(|a|+1) .
2

? 时,求 C1 被 C2 截得的线段的长; 3

4

平顶山许昌新乡 2016 届高三第三次调研考试 理科数学答 案 一.选择题:(每小题 5 分) (1)C (2)A (3)C (4)D 二.填空题:(每小题 5 分) (5)B (6)A (7)D (8)A (9)D (10)C (11)C (12)D

(13) [?3, 0] ,(14) 3,(15)1009, (16) ( ??, ?2] ? ( ?1, ? ] . 三.解答题: (17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ a ? b cos C ?

1 2

3 3 3 3

c sin B ,∴ sin A ? sin B cos C ?

3 3

sin C sin B ,

∴ cos B sin C ?

sin C sin B ,

3 2 2 2 ∵ b ? a ? c ? 2ac cos B ,∴ c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , ∴ c ? 3. ??6 分 ? ? ? ? 2 (Ⅱ)∵ ? ? 3 sin(2 A ? ) ? 2sin (C ? ) ? 3 sin(2 A ? ) ? 1 ? cos(2C ? ) 6 12 6 6 ? ?? ? ? ? ? 3 sin(2 A ? ) ? cos( ? 2 A ? ) ? 1 ? 3 sin(2 A ? ) ? cos(2 A ? ) ? 1 6 3 6 6 6 ? ? 2sin(2 A ? ) ? 1 . ???10 分 3 ? ? ? ? ∴由 2sin(2 A ? ) ? 1 ? 0 ,及 ? A ? ,可得 A ? . ???12 分 3 6 2 4
( 18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 则 P ( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

∴ tan B ? 3 ,∴ ?B ?

?



1 2

2 3

2 3

1 . 18

??4 分

(II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5.

1 2 1 P (? ? 0) ? (1 ? ) 4 ?(1 ? ) ? , 2 3 48 1 1 2 1 2 1 1 P(? ? 1) ? C4 ? ?(1 ? )3 ?(1 ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? , 2 2 3 2 3 8 1 1 2 1 2 7 2 1 1 P(? ? 2) ? C4 ?( ) 2 ?(1 ? ) 2 ?(1 ? ) ? C4 ? (1 ? )3 ? ? , 2 2 3 2 2 3 24 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 P(? ? 3) ? C4 ?( ) ?(1 ? )?(1 ? ) ? C4 ? ( ) ? (1 ? ) 2 ? ? , 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 P(? ? 4) ? ( ) 4 ? (1 ? ) ? C4 ? ( ) ? (1 ? )? ? , 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P(? ? 5) ? ( ) 4 ? ? , ???9 分 2 3 24
5

所以随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24
?10 分

故 E? ? 0?

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? . 48 8 24 3 16 24 3

?????12 分

(19)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 AD ? 侧面 PAB , PE ? 平面 PAB ,所以 AD ? PE . 又因为△ PAB 是等边三角形, E 是线段 AB 的中点,所以 PE ? AB . 因为 AD ? AB ? A ,所以 PE ? 平面 ABCD . 由 DA=AB=2, BC ? ??3 分

1 AD ,可得 BC=1. 2

因为△ PAB 是等边三角形,可求得 PE ? 3 . 所以 VP ? ABCD ?

1 1 1 S ABCD ? PE ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 . ????6 分 3 3 2

(Ⅱ)以 E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标 系 E ? xyz . 则有 A(0,1,0), E(0,0,0),B(0, ?1,0), C(1 , ?1,0), D(2,1,0), P(0,0,3) . 设 F ( x0 , y0 , z0 ), PF ? ?PB ,则 ( x0 , y0 , z0 ? 3 ) ? ? (0,?1,? 3 ) , 所以 F (0, ??, 3 ? 3?) . ????7 分

??? ?

??? ?

设 n ? ( x, y, z) 为平面 DEF 的法向量, ED ? (2,1,0), EF ? (0, ??, 3 ? 3?),

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?2 x ? y ? 0, ? ED ? n ? 0, 即? ? ? ??? ( 3 ? 3?)z ? 0. ? ? ???y ? ? EF ? n ? 0,

z P

? ? x ? 1, 2? ? ? ? n ? (1, ?2, ) . 所以 ? y ? ?2, ( 3 ? ? 1 ) ? 2? ?z ? . ? ( 3 ? ?1 ) ?

B

E

A

y

C x D

) 又平面 CDE 的法向量为 m ? (0,0,1 .

??10 分

6

∴ cos m, n

? 2? ? 1? 4 ? ? ? 3 ? ?1 ) ? ( ? 1 1 解得 ? ? ?1 (舍去)或 ? ? .所以存在点 F ,且 PF ? PB . 3 3
(20)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则由题意得

?

2? ( 3 ? ?1 )
2

?

1 2 ,化简得 3? ? 2? ? 1 ? 0 . 4

?12 分

y y 1 ? ?? , 2 x?2 2 x?2 2

?? 3 分

x2 y 2 ? ? 1 且 x ? ?2 2 . 化简得: 8 4
故动点 P 的轨迹 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 且 x ? ?2 2 . 8 4

? 5分

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,则直线 CD 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 2) .? 6 分 k
???? 7 分

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 . ?1 ? ? 4 ? 8
由韦达定理得: x1 ? x2 ?

?8k 2 k2 ?8 x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2

所以, AB ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ?
2

4 2(k 2 ? 1) . 2k 2 ? 1

???? 9 分

同理可得 CD ?

4 2(k 2 ? 1) . k2 ? 2

???? 10 分

所以

1 1 2k 2 ? 1 k2 ? 2 3 2 . ? ? ? ? 2 2 AB CD 4 2(k ? 1) 4 2(k ? 1) 8

???? 12 分

(21)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 , x ? ?1 ,
/

所以 h?( x) ?

1 ?x . ?1 ? x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 . 因此, h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0 , ? ?) 上单调递减.
/ (Ⅱ)不等式 k ( x ?1) ? xf ( x) ? 3g ( x) ? 4 化为 k ?

???? 5 分

x ln x ? x ?2, x ?1
7

所以 k ?

x ? x ln x ? 2 对任意 x ? 1 恒成立. x ?1 x ? x ln x x ? ln x ? 2 ? 2 ,则 g ? ? x ? ? . 2 x ?1 ? x ? 1?
1 x ?1 ? ?0, x x

令 g ? x? ?

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ? 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.

因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , 所以函数 g ? x ? ? 所以 ? ? g ? x ?? ?

x ? x ln x ? 2 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x ?1 ? x0 ? 2 ? ?2? 0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . x0 ? 1 x0 ? 1

所以 k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? 2 ? ? 5, 6 ? . 故整数 k 的最大值是 5 . (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 证明: (Ⅰ)由已知条件得∠BAE=∠CAD, ∵∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,∴∠AEB=∠ACB, ∴△ABE∽△ADC. (Ⅱ)∵△ABE∽△ADC,∴ ??? 12 分

? 5分

AB AD ? ,即 AB·AC=AD·AE. AE AC 1 1 ∵△ABC 的面积 S= AB·ACsin∠BAC,又 S= AD·AE, 2 2
??? 10 分

故 AB·ACsin∠BAC = AD·AE,∴sin∠BAC =1. 因为∠BAC 是三角形的内角,所以∠BAC =90°. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)当 ? ?

? 2 2 时, C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C2 的普通方程为 x ? y ? 1. 3

联立方程组 ?

? ? y ? 3( x ? 1)
2 2 ? ?x ? y ? 1

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)与 ? ,
???? 5 分

?1 ?2 ?

3? ?. 2 ? ?

所以, C1 被 C2 截得的线段的长为 1.
2

(Ⅱ)将 C1 的参数方程代入 C2 的普通方程得 t ? 2t cos ? ? 0 , ∴A 点对应的参数 t ?

t1 ? t2 ? ? cos ? ,∴A 点坐标为 ? sin 2 ? , ? cos ? sin ? ? . 2
8

故当 ? 变化时,A 点轨迹的参数方程为: ?

? x ? sin 2 ? , ? y ? ? sin ? cos ?
2

( ? 为参数) .

因此,A 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) ? y ?
2

1 2

1 . 4
? 10 分

故 A 点轨迹是以 ( , 0) 为圆心,半径为

1 2

1 的圆. 2

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 解: (Ⅰ)当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ x ? 0 ,∴ x 不存在; 当0? x? 当x?

1 1 1 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ 0 ? x ? ,∴ 0 ? x ? ; 2 2 2

1 1 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ,解得 x ? 2 ,又∵ x ? ,∴ ? x ? 2 ; 2 2 2 综上,原不等式的解为 0 ? x ? 2 . ???? 5 分
(Ⅱ)∵ | f ( x) ? f (a) |?| x2 ? x ? a2 ? a |?| x ? a | ? | x ? a ?1|

?| x ? a ? 1|?| x ? a ? 2a ?1| ?| x ? a | ? | 2a ? 1| ? 1? | 2a | ?1 ? 2(| a | ?1) .
∴ | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) . ???? 10 分

9


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