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对数函数知识精讲(教师讲义打印一份)


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对数函数及其性质
【同步教育信息】 重点、难点
1. 对数 (1)对数恒等式 ① loga a b ? b ( 0 ? a ? 1 ) ③ loga a ? 1 (2)对数的运算性质 对于 0 ? a ? 1 ,M ? 0 ,N ? 0 ,则 ① loga (MN )

? loga M ? loga N ② a
loga N

?N

④ loga 1 ? 0

M ? log a M ? log a N N ③ loga M n ? n loga M ( n ? R )
② log a (3)对数换底公式

loga b ?

logc b ( a 、 c ? 0 且 a , c ? 1) logc a
loga b

事实上,由 (loga b) ? (logc a) ? logc a 2. 对数函数图象和性质

? logc b ,则 loga b ?
0 ? a ?1

logc b 。 logc a

a ?1
y y=log ax

图 象

0

1

0

1

定义域(0, ? ? ) 性 质 值域( ? ? , ? ? ) 当 x ? 1 时, y ? 0 ,过点(1,0) 在(0,? ? )上是单调 递增函数 在(0, ? ? )上是单 调递减函数

【典型例题】
[例 1] 计算: (1) lg 2 lg 50 ? lg 20lg 5 ? lg100lg 2 lg 5 (2) [(1 ? log6 3) ? log6 2 ? log6 18] ? log6 4
2

解: (1)原式 ? lg 2(2 ? lg 2) ? (1 ? lg 2)(1 ? lg 2) ? 2 lg 2(1 ? lg 2)

? 2 lg 2 ? (lg 2) 2 ? 1 ? (lg 2) 2 ? 2 lg 2 ? 2(lg 2) 2 ? 1 (2)原式 ? [1 ? 2 log6 3 ? (log6 3) 2 ? (1 ? log6 3)(1 ? log6 3)] ? log6 4

? [1 ? 2 log6 3 ? (log6 3) 2 ? 1 ? (log6 3) 2 ] ? log6 4
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? 2(1 ? log6 3) ? log6 2 2 ?
x y

log6 2 ?1 log6 2
z

[例 2] 已知正实数 x 、 y 、 z 满足 3 ? 4 ? 6 ,试比较 3 x 、 4 y 、 6 z 的大小。
x y z 解:设 3 ? 4 ? 6 ? t ( t ? 1 ),则 x ? log3 t , y ? log4 t , z ? log6 t ,从而

3x ? 4 y ? 3 log3 t ? 4 log4 t ? ?

3 lg t 4 lg t 3 lg 4 ? 4 lg 3 ? ? lg t lg 3 lg 4 lg 3 ? lg 4
故 3x ? 4 y

lg t (lg 4 3 ? lg 3 4 ) ? 0 lg 3 ? lg 4

又由 4 y ? 6 z ? 2(2 log4 t ? 3 log6 t ) ? 2(

2 lg t 3 lg t 2 lg t (2 lg 6 ? 3 lg 4) ? )? lg 4 lg 6 lg 4 ? lg 6

2 lg t (lg 6 2 ? lg 4 3 ) ? lg 4 ? lg 6 2 而 lg t ? 0 , lg 4 ? 0 , lg 6 ? 0 , lg 6 ? lg 43 ,则上式 ? 0 故 4 y ? 6 z ,综上 3x ? 4 y ? 6 z [例 3] 已知 m 和 n 都是不等于 1 的正数,并且 logm 5 ? logn 5 ,试确定 m 和 n 的大小关系。 log5 n ? log5 m 1 1 解:由 logm 5 ? logn 5 ? ? ? ?0 log5 m log5 n log5 m ? log5 n

?log5 n ? log5 m ? 0 ?log 5 n ? log 5 m ? 0 或? ?? log m ? log n ? 0 ?log 5 m ? log 5 n ? 0 5 5 ? ?n ? m ?n ? m 或? ?? ?m ? 1 , n ? 1 ?0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1 综上可得 n ? m ? 1 或 0 ? n ? m ? 1 或 0 ? n ? 1 ? m 。
[例 4] 试求函数 f ( x) ?

x2 ? 4 的定义域。 lg( x 2 ? 2 x ? 3)

?x 2 ? 4 ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2 ? 2 ? 解:由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ? x ? ?3 或 x ? 1 ? ?lg( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0 ? x ? ?1 ? 5 ?
则所求定义域为( ? ? , ? 1 ? 5 ) ? ( ? 1 ? 5 , ? 3 ) ? [2 , ? ?) [例 5](1)若函数 y ? lg(ax2 ? ax ? 1) 的定义域为实数集 R,求实数 a 的取值范围;(2) 若函数 y ? lg(ax2 ? ax ? 1) 的值域是实数集 R,求实数 a 的取值范围。 解: (1)由已知,则有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? ?
2

?a ? 0 ?a ? 0 或? 2 ?1 ? 0 ?? ? a ? 4a ? 0

?0?a?4

?a ? 0 ?a?4 ?? ? 0 x ? x2 )与 [例 6] 已知函数 f ( x) ? loga x ,当 0 ? x1 ? x2 时,试比较 f ( 1 2
(2)已知等价于函数 ax ? ax ? 1 的值域包含(0, ? ? ),故 ?
2

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1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 的大小。 2 x ? x2 x ? x2 1 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? loga 1 ? [loga x1 ? loga x2 ] 解: f ( 1 2 2 2 2 x1 ? x 2 x ? x2 ? loga ? loga x1 x 2 ? loga 1 2 2 x1 x2
又由 0 ? x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ,即

?1 2 x1 x2 x ? x2 x ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 故① a ? 1 时, loga 1 ? 0 ,此时 f ( 1 2 2 2 x1 x2 x ? x2 x ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ② 0 ? a ? 1 时, loga 1 ? 0 ,此时 f ( 1 2 2 2 x1 x2

x1 ? x2

A 级 课时对点练 (时间:40 分钟 满分:60 分)

一、选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是 A.y=2|x| C.y=2x+2
-x

( B.y=lg(x+ x2+1) D.y=lg 1 x+1

)

解析:依次根据函数奇偶性定义判断知,A,C 选项对应函数为偶函数,B 选项对应函 数为奇函数,只有 D 选项对应函数定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数. 答案:D 1 2.若 log2a<0,?2?b>1,则

? ?

( B.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0

)

A.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0

1 解析:由 log2a<0?0<a<1,由?2?b>1?b<0.

? ?

答案:D 2 3.设 f(x)=lg( +a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 1-x
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(

)

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A.(-1,0) C.(-∞,0)

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

解析:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1. ∴f(x)=lg x+1 x+1 ,由 f(x)<0 得,0< <1, 1-x 1-x

∴-1<x<0. 答案:A 1 1 11 4.设 a=log 2,b=log ,c=?2?0.3,则 3 23 ? ? A.a<b<c C.b<c<a B.a<c<b D.b<a<c ( )

1 1 解析:∵log 2 <log 1=0,∴a<0; 3 3 11 11 ∵log >log =1,∴b>1; 23 22 1 ∵?2?0.3<1,∴0<c<1,综上知 a<c<b.

? ?

答案:B 5.(2014· 青岛模拟)已知函数 f(x)=ax+logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和 为 loga2+6,则 a 的值为 1 A. 2 1 B. 4 C .2 D .4 ( )

解析:∵函数 f(x)=ax+logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最值恰为两个端点的值,∴f(1) + f(2)=a1+loga1+a2+loga2=a+a2+loga2=6+loga2, 解得 a=2 或 a=-3(舍去), 故应 选 C. 答案:C 二、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1 6.计算:[(-4)3] +log525=________. 3 解析:原式=(-4)1+log552=-4+2=-2.
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答案:-2 7.(2014· 东莞模拟)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范 围是(c,+∞),其中 c=________. 解析:∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A?B,∴a>4,∴c=4. 答案:4 8.函数 y=log3(x2-2x)的单调减区间是________. 解析:令 u=x2-2x,则 y=log3u. ∵y=log3u 是增函数,u=x2-2x>0 的减区间是(-∞,0), ∴y=log3(x2-2x)的减区间是(-∞,0). 答案:(-∞,0) 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 2 3 lg 3+ lg 9+ lg 27-lg 3 5 5 9.求值: . lg 81-lg 27 4 9 1 lg 3+ lg 3+ lg 3- lg 3 5 10 2 解:解法一:原式= 41g 3-3lg 3



?1+4+ 9 -1?lg 3 ? 5 10 2? 11
?4-3?lg 3

= . 5

2 1 3 1 11 lg?3×9 ×27 × ×3- ? lg 3 5 2 5 2 5 11 解法二:原式= = = . 81 lg 3 5 lg 27 10.若函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2x 2-3×4x 的最值及相应 的x


的值. 解:y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0, 解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1,或 x>3}, f(x)=2x 2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.


令 2x=t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2.

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2 4 ∴f(t)=4t-3t2=-3?t-3?2+ (t>8 或 0<t<2). ? ? 3 由二次函数性质可知: 4 当 0<t<2 时,f(t)∈?0,3?,

?

?

当 t>8 时,f(t)∈(-∞,-160), 2 2 4 当 2x=t= ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 综上可知:当 x=log2 2 4 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3 B 级 素能提升练 (时间:30 分钟 满分:40 分)

一、选择题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)
?log3x ?x>0? ? 1.(2014· 湖北卷)已知函数 f(x)=? x ? ?2 ?x≤0?

1 则 f?f?9??=(

? ? ??

) 1 C.-4 D.- 4

A.4 B.

1 4

1 1 解析:∵f?9?=log3 =-2, 9 ? ? 1 1 - ∴f?f?9??=f(-2)=2 2= . 4 ? ? ?? 答案:B 2 .(2014· 株州模拟)已知偶函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程 f(x)=log3|x|的根的个数是 A.2 B.3 C .4 D.多于 4 ( )

解析:本题注意函数的奇偶性及周期性的应用及数形结合的思想方法,关键是作图时
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明确当 x>3 时,log3x>f(x)恒成立,此时 两曲线没有交点,如图,易知两函数在(0,+∞)上有两个不同的交点,又由于两函数 为偶函数,由对称性可知共有 4 个交点. 答案:C 二、填空题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)
2 2 3.设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2…x2 011)=8,则 f(x2 1)+f(x2)+…+f(x2 011)=

________. 解析:∵f(x1x2…x2 011)=f(x1)+f(x2)+…+f(x2 011)=8,
2 2 ∴f(x2 1)+f(x2)+…+f(x2 011)=2[f(x1)+f(x2)+…+f(x2 011)]=2×8=16.

答案:16
x ? ?x≥2?, ?2 4.已知函数 f(x)=? 则 f(log23)=________. ?f?x+2? ?x<2?, ?

解析:∵1<log23<2, ∴log23+2>2 ∴f(log23)=f(log23+2)=f(log212) =2log212=12. 答案:12 三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 5.设 a、b∈R,且 a≠2,若奇函数 f(x)=lg (1)求 a 的值; (2)求 b 的取值范围; (3)判断函数 f(x)在区间(-b,b)上的单调性. 解:(1)f(-x)=-f(x),即 lg 1-ax 1+ax 1-ax 1+2x =-lg ,即 = , 1-2x 1+2x 1-2x 1+ax 1+ax 在区间(-b,b)上有 f(-x)=-f(x). 1+2x

整理得:1-a2x2=1-4x2,∴a=± 2,又 a≠2,故 a=-2. (2)f(x)=lg 1-2x 1 1 1 的定义域是?-2,2?,∴0<b≤ . 2 ? ? 1+2x

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(3)f(x)=lg

2 ? 1-2x -?1+2x?+2 ? =lg =lg -1+1+2x . 1+2x 1+2x ? ?

∴函数在定义域内是单调递减的. 6.函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且对任意的 x∈R,均有 f(x+2)=f(x)成立,当 x∈[0,1] 时,f(x)=loga(2-x)(a>1). (1)当 x∈[-1,-1]时,求 f(x)的表达式; 1 1 (2)若 f(x)的最大值为 ,解关于 x∈[-1,1]的不等式 f(x)> . 2 4 解:(1)当 x∈[-1,0]时, f(x)=f(-x)=loga[2-(-x)]=loga(2+x),
?loga?2-x?, x∈[0,1] ? 所以 f(x)=? . ?loga?2+x?. x∈[-1,0] ?

(2)因为 f(x)是以 2 为周期的周期函数,且为偶函数,所以 f(x)的最大值就是当 x∈[0,1] 时,f(x)的最大值. 因为 a>1,所以 f(x)=loga(2-x)在[0,1]上是减函数. 1 所以[f(x)]max=f(0)=loga2= , 2 所以 a=4. 1 当 x∈[-1,1]时 f(x)> 得 4 -1≤x<0 0≤x≤1, ? ? ? ? ? 1 或? 1 log4?2+x?> log4?2-x?> , ? ? 4 4 ? ? 得 2-2<x<2- 2.

【基础练习】
1.函数 f ( x) ?

x?2 lg 4 ? x 的定义域是_________. x ?3

2.函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调递增区间是_________ 3.已知 0<a<1, loga m ? loga n ? 0 ,则 ( ) A.1<n<m B.1<m<n C.m<n<1 D.n<m<1 4.函数 f ( x) ? log2 2x ?1 的单调减区间是_________

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5.设 f(x)= ?

?2e x ?1 , x ? 2, ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,

则不等式 f(x)>2 的解集为_________



6.若函数 f ( x) ? loga (2x 2 ? x) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (0, ) 内恒有 f(x)>0, 则 f(x)的单调 递增区间为_________.

1 2

【反馈演练】
1 .给出下列四个数:① (ln 2)2 ;② ln(ln 2) ;③ ln 2 ;④ ln 2 . 其中值最大的序号是 _____ . 2 . 设 函 数 f ( x) ? l o a 图 像 过 点 (2,1) , (8, 2) , 则 a ? b 等 于 g x ( ? b )a (? 0, a? 的 1) ___ . . 3.函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,则定点 A 的坐标是___

4 . 函 数 f ( x) ? a x ? lo g [0,1] 上 的 最 大 值 和 最 小 值 之 和 为 a , 则 a 的 值 为 a ( x ? 1)在 ___ . 5.函数 f ?x ? ? ? 个. 6.下列四个函数:① y ? x ? lg x ; ② y ? x ? lg x ;③ y ? ? x ? lg x ; ④ y ? ? x ? lg x .其中,函数图像只能是如图所示的序号为_____. 7.设 a,b,c 均为正数,且 2a ? log 1 a , ?
2

? 4x ? 4 , x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数有_____ 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

?1? ?1? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c .则 a,b,c 的 ?2? ?2? 第6题 2

b

c

大小关系为___ ___ .



8 .设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是
x 9.已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称,

记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? 2 f (2) ? 1] .若 y ? g ( x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数,则实数 a 的取 值范围是___ .

1 2

10.求函数 f ( x) ? log 2 2 x ? log 2

x 1 , x ? [ , 4] 的最大值和最小值. 4 2

x?b (a ? 0, a ? 1, b ? 0) . x?b (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x ) 的单调性,并证明.
11.已知函数 f ( x) ? log a

答案
【基础练习】
1. (2,3) ? (3,4) 2. [ , 2) .3. A 4. (??, ) .5. (1, 2) ? ( 10, ??) .6. (??, ? ) .

1 4

1 2

1 2

【反馈演练】
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1. __④___.2. ___5_ _.3. (?2, ?1) .4. 7. a ? b ? c .8. (??,loga 3) .9. (0, ] . 10.解: f ( x) ? log 2 2 x ? log 2

1 .5. ___3___6. __②___. 2

1 2

x ? (log 2 x ? 1)(log 2 x ? 2) ? log22 x ? log2 x ? 2 4

令 t ? log2 x ,? x ? [ , 4] ,则 t ?[?1, 2] , 即求函数 y ? t 2 ? t ? 2 在 [?1, 2] 上的最大值和最小值. 故函数 f ( x ) 的最大值为 0,最小值为 ? 11.解: (1)解:由

1 2

9 . 4

x?b ? 0 ,故的定义域为 (?? ? b) ? (b, ??) . x?b ?x ? b ) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. (2)? f (? x) ? log a ( ?x ? b
(3)证明:设 b ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a

( x1 ? b)( x2 ? b) , ( x2 ? b)( x1 ? b)

( x1 ? b)( x2 ? b) 2b( x2 ? x1 ) ?1 ? ? 0. ( x2 ? b)( x1 ? b) ( x2 ? b)( x1 ? b)
当 a ? 1 时, 故 f ( x) 在 (b, ??) 上为减函数; 同理 f ( x) 在 (??, ?b) 上 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 也为减函数; 当 0 ? a ? 1 时,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故 f ( x) 在 (b, ??) , (??, ?b) 上为增函数.

【模拟试题】
。 10 2 ? 2 2. 若 log8 a ? log4 b ? 5 ,且 log8 b ? log4 a 2 ? 7 ,则 ab ? 10 3. 已知 a ? b ? 1 , log a b ? log b a ? ,则 loga b ? logb a = 3 1. 4. 函数 y ? log 1
2

1 2? lg16

。 。

x 2 ? 2 x ? 8 的递增区间为



5. 已知 f ( x) ? 2 ? log3 x , x ? [1 , 9] ,求函数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的最大值及相应的

x 的值
试题答案
1. 20 2. 512 3. ?

8 3

4. 解: y ?

1 log 1 ( x 2 ? 2 x ? 8) ,令 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? x ? ?4 或 x ? 2 2 2
x 2 ? 2 x ? 8 的递增区间为( ? ? , ? 4 )

2 由 u ? x ? 2 x ? 8 的递减区间为( ? ? , ? 4 ),( u ? 0 )

则 y ? log 1
2

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5. 解: f ( x) ? 2 ? log3 x

y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) ? (2 ? log3 x) 2 ? 2 ? log3 x 2

? (log3 x ? 3) 2 ? 3
由 f ( x) 定义域为[1,9],则 ?

?1 ? x 2 ? 9 ?1? x ? 3 ?1 ? x ? 9

故 0 ? log3 x ? 1 ,所以 6 ? y ? (log3 x ? 3) 2 ? 3 ? 13 当 log3 x ? 1 ,即 x ? 3 时 y ? 13 故当 x ? 3 时,函数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 取最大值 13。

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