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2016年4月浙江省普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题(三)(教师版)


2016 年 4 月浙江省普通高校招生选考科目考试模拟测试 数学试题(三)
选择题部分
一、选择题(本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目 要求的,不选、多选、错选均不得分) 1.函数 f ( x) ? 4? | x | 的值域为( A. R 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 x ? 0 ,所以 4

? x ? 4 ,故选 B。 考点:函数的值域 【命题意图】以绝对值函数为载体考察函数的值域。 2.在 ?ABC 中,若 cos A ? A.
? 4
2 ,则 ?A ? ( 2 ? B. 3

) C. ? 4, ?? ? D. ? ??,0?

B. ? ??, 4?

) C.
3? 4

D.

? 3? 或 4 4

【答案】A 【解析】 试题分析:在三角形中,因为 cos A ? 考点:特殊角的三角函数值 【命题意图】已知三角函数值,考察角的大小。 3.已知直线方程 tan 45? x ? y ? 1 ? 0 ,则其倾斜角为( A. 0 ? 【答案】D 【解析】 试题分析:因为直线 tan 45? x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 ?1 ,所以倾斜角为 135? ,故选 D。 考点:直线的倾斜角与斜率 【命题意图】由直线的一般形式,考察直线的倾斜角。 4.若数列 1, x, 4, y,16 成等比数列,则下列等式一定成立的是( ) B. 45? ) C. 30? D. 135?

? 2 ,所以 A ? ,故选 A。 4 2

A. x ? 2 【答案】D 【解析】

B. x ? ?2

C. y ? 8

D. xy ? 16

试题分析:因为 1, x, 4, y ,16 成等比数列,所以 x 2 ? 4, y 2 ? 64, xy ? 16 ,故选 D。 考点:等比中项 【命题意图】已知等比数列,考察各项之间的联系。 5.抛物线 x 2 ? 2 y 的焦点到直线 y ? 3x 的距离为( A.
1 4

) C.
1 2

B.

3 4

D.

3 2

【答案】A 【解析】
1 ? 1? 2 试题分析:抛物线 x ? 2 y 的焦点为 ? 0, ? ,所以距离为 ? 2? 1? 3
2

? ?

2

?

1 ,故选 A。 4

考点:点到直线的距离 【命题意图】以抛物线的焦点为载体,考察点到直线的距离。 6.已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2, ? ? ,若 b ? 2 a ,则 ? ? ( A. ? 1 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 a ? 2, b ? 4 ? ? 2 ,所以 4 ? ? 2 ? 2 2 ,所以 ? ? ?2 ,故选 C。 考点:向量模长 【命题意图】已知平面向量的坐标表示,考察模长的计算。 7.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 1 ,则 a 2 ? ( A.1 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 a2 ? S2 ? S1 ? 7 ? 1 ? 6 ,故选 C。 考点:数列前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系 B.4 C.6 ) D.7
? ?

) D.0

B. ? 2

C. ? 2

【命题意图】已知数列前 n 项和 S n ,考察数列中某一项的计算。

?? ? 8.要得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 向右平移( 3? ?
A.

) D.
5? 个单位 12

?
12

个单位

B.

? 个单位 6

C.

? 个单位 4

【答案】D 【解析】 试题分析:因为 y ? sin ? 2 x ? 考点:函数图象的平移 【命题意图】以正、余弦函数为载体,考察函数图象的平移。 9.如图,三棱锥 S ? ABC 三个顶点 A,B,C 分别位于一正方体的三个顶点,S 为正方体一条棱的中点,则 三棱锥 S ? ABC 的侧视图为( )
? ?

??

5? ? ? ? cos ? 2 x ? 3? 6 ?

? ? 5? ? ? ? ? ? cos ? 2 ? x ? ? ,故选 D。 12 ? ? ? ? ? ?

A.

B.
第 9 题图

C. 【答案】A 【解析】

D.

试题分析:由图可知,在左投影的情况下,A 点的投影点为 C 点,B 点的投影点为正方体顶点 C 正下方的顶点,C、S 点投影点为本身。故选 A。 考点:三视图 【命题意图】以正方体为载体,考察空间几何体的三视图。 10.空间直角坐标系 Oxyz 中,点 A 在 z 轴上,它到点(3,2,1)的距离是 13 ,则点 A 的坐标是( A.(0,0, ?1 ) 【答案】C 【解析】 试题分析:设点 A ? 0,0, z ? ,所以 32 ? 22 ? ?1 ? z ? ? 13 ,解得 z ? 1 ,故选 C。
2



B.(0,1,1)

C.(0,0,1)

D.(0,0,13)

考点:空间中两点的距离

【命题意图】已知空间点的坐标及与另外一点的距离,考察点的坐标。 11.“ 0 ? x ? 2 ”是“ 2 x ? 4 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】
1 ? 2x ? 4 , ? 时, 试题分析: 当 0 ? x ? 2 时, 则可以推出 0 ? 2 x ? 4 ; 当 0 ?2 x 4 推不出 0 ? x ? 2 。 x ? 2,

) B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

综上可知“ 0 ? x ? 2 ”是“ 2 x ? 4 ”的充分而不必要条件。 考点:充分条件与必要条件 【命题意图】以指数不等式为载体,考察充分必要条件。 12.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题中正确的是 A.若 m / /? , ? / / ? ,则 m / / ? C.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n 【答案】C 【解析】 试题分析:对于选项 A,有可能 m ? ? ;对于选项 B,有可能 ? 与 ? 相交;对于选项 D, ? / / ? 。 故选 C。 考点:空间中直线、平面的位置关系 【命题意图】考察学生空间推理、想象能力。 13. 若 a,b 为实数,且 a ? b ,下列命题中正确的是( A. 若 x ? a ? x ? b ,则 x ? b C. 若 x ? a ? x ? b ,则 x ? 【答案】C 【解析】 试题分析: x ? a 表示坐标轴上动点 x 到定点 a 的距离, x ? b 表示坐标轴上动点 x 到定点 b 的距 离,若 x ? a ? x ? b ,则动点 x 在 a,b 中点的右端,故选 C。 考点:绝对值不等式的几何意义 【命题意图】考察绝对值不等式的几何意义。
a?b 2

B.若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?



B. 若 x ? a ? x ? b ,则 x ? b D. 若 x ? a ? x ? b ,则 x ?
a?b 2

? x ? y ?1 ? 0 ? 14.若实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 y 的最大值为( ? x2 ? y 2 ? 4 ?



A.

7 ?1 2

B.

8 5

C .2

D.3

【答案】B 【解析】 试题分析:作出不等式组表示的可行域,如图。则点 M 为最高位置,其
8 纵坐标为 ,故选 B。 5

考点:简单的线性规划 【命题意图】给出不等式组,考察可行域的画法,从而求最值。 15. 已知 a, b 为正数,且直线 3x ? ?1 ? 2b ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 4 ? 0 相互平行,则 ? 的最小值为( A. 25 【答案】A 【解析】 试题分析:因为直线 3x ? ?1 ? 2b ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 4 ? 0 相互平行,所以
3a ? 1 ? 2b ,即 3a ? 2b ? 1 ,

3 a

2 b



B. 12

C.

13 6

D. 1

3 2 ?3 2? 6b 6a 6b 6a ? ? ? ? ? ? 3a ? 2b ? ? 13 ? ? ? 13 ? 2 ? ? 25. 故选 A。 a b ?a b? a b a b

考点:基本不等式 【命题意图】以直线的位置关系为载体,考察利用基本不等式求最值。 16.如图,平行六面体(每个面都是平行四边形) ABCD ? A1 B1C1 D1 中,直线 AC1 与平面 A1 BD 的交点为 E,线 段 BD 的中点为 O,则( )

A.三点 A1 , E , O 共线,且 A1 E ? EO B.三点 A1 , E , O 不共线,且 A1 E ? EO C.三点 A1 , E , O 共线,且 A1 E ? 2 EO D.三点 A1 , E , O 不共线,且 A1 E ? 2 EO
第 16 题图

【答案】C 【解析】 试题分析:因为面 A1 ACC1 ? 面 A1 DB ? 直线 A1O ,直线 AC1 ? 面 A1 DB ? 点 E,所以点 E ? 直线 A1O ,

即三点 A1 , E , O 共线。在平行四边形 A1 ACC1 中, 考点:空间中点、线、面的位置关系

OE AO 1 ? ? 。故选 C。 A1 E A1C1 2

【命题意图】以平行六面体为载体,考察空间中三点共线。 17.已知过双曲线
x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 右焦点的直线与双曲线右支交于 A, B 两点,若 a 2 b2

AB ? 4a ,则双曲线离心率的取值范围是(


?2 3 ? , 3? ? ? 3 ?

A. 1, 3 ? ? 【答案】A 【解析】

?

B. ? 3, ?? ?

?

C. ?

D. ?

?2 3 ? , ?? ? ? ? 3 ?

试题分析:因为 AB 为焦点弦长,所以 AB ? 因为 e2 ? 1 ?

2b2 2b2 ,即 4a ? ,所以 b 2 ? 2a 2 , a a

b2 ,故选 A。 ? ?1,3? ,所以 e ? 1, 3 ? ? a2

?

考点:双曲线的基本性质 【命题意图】已知双曲线的焦点弦长,考察离心率的求法。 18. 在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? SB ? SC ? 1 , ?ASB ? ?ASC ? 90? , ?CSB ? 120? . 点 Q 在线段 AB 上(包括端 点) ,则直线 CQ 与 SB 所成角的余弦值的范围是( A. ? ?
? ? 2 3? , ? 4 2 ?

) D. ?
? 2 3? , ? ? 4 2 ?

B. ? 0,
?

?

3? ? 2 ?

C. ? 0,
?

?

2? ? 4 ?

【答案】D 【解析】
? ?? 试题分析:本题可用排除法,因为异面直线所成角范围是 ? 0, ? ,故排除选项 A。若异面直线 CQ ? 2?
Q B S ? 与 SB 所成角为 0, 则C

。 设 Q 在底面 SBC 上的射影为 M, 则 M 在线段 SB 上, 则有 CM ? SB ,

这与 ?CSB ? 120? 矛盾,故排除 B,C,选 D。 考点:异面直线所成角 【命题意图】以三棱锥为载体,考察异面直线所成角的求解。

非选择题部分
二、填空题(本大题共 4 小题,每空 3 分,共 15 分) 19.已知集合 A ? {x | log 2 x ? 1}, B ? {x ? N | x ? 4} ,则集合 A ? 【答案】 ?x | 0 ? x ? 2? , ?1? (6 分,每空 3 分) , A? B ? .

【解析】 试题分析:因为 A ? {x | log 2 x ? 1} ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x ? N | x ? 4} , 所以 A ? B ? ?1? 。 考点:集合的基本运算 【命题意图】与不等式结合,考察集合的基本运算。 20. 设 a,b 为平面向量. 若 a ? (0, ?1) ,b ? ?1, 2? ,且 a ? (a ?? b),则实数 ? ?
1 【答案】 (3 分) 2

.

【解析】 试题分析:因为 a ? (a ?? b),所以 a ? (a ?? b) = 0,即 (0, ?1) ? (? , 2? ? 1) ? 0 ,解得

??

1 。 2

考点:向量的坐标运算 【命题意图】已知向量垂直,考察向量的坐标运算。 21. 在数列 ?an ? ? n ? N ? ? 中, ai ? i ?i ??1, 2,3, 4?? .若数列 ?an?1 ? tan ? ( t 是常数)是等比数列,则 a2015 ? 【答案】2015(3 分) 【解析】
, t 2, ? 4 3 t ? t 成等比数列, 试题分析: 由题可知 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4 , 则 2 ?3 则 t ? 1, 所以 an ? n ,

.

故 a2015 ? 2015 。 考点:等比数列 【命题意图】已知数列的某些项,考察数列的通项。 22.已知 a ? 0 ,且不等式 x 2 ? ax ? a ? 0 解集中仅有两个整数,则 a 的取值范围为
4 1 【答案】 ? ? a ? ? (3 分) 3 2

.

【解析】
2 2 2 试题分析: x ? ax ? a ? 0 ? x ? ax ? a ? f ( x) ? x , g ( x) ? a( x ? 1), f ( x) ? g ( x) ,

g ( x) 恒过点 (1, 0) ,由图可知:不等式 x 2 ? ax ? a ? 0 解集中仅有两个整数,

一个整数为 0,一个整数为 ?1 ,则 ? 考点:函数与方程

? g (?1) ? f (?1) 4 1 ?? ?a?? . 3 2 ? g (?2) ? f (?2)

【命题意图】以不等式解集为载体,考察数形结合思想。 三、解答题(本大题共 3 小题,共 31 分) 23.(本题 10 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
?? ? ? (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 1 ,且 x0 ? ? , ? ,求 x 0 的值. ?4 2?

【解析】 试题分析: (I)因为 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
? 2sin(2 x ? ) ,………………………………………………3 分 6

?

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? ? . …………………………………5 分

? (II)因为 f ( x0 ) ? 2sin(2 x0 ? ) ? 1 , 6
? 1 所以 sin(2 x0 ? ) ? , 6 2

? ? 2? 7? ? ?? ? ? 又 x0 ? ? , ? 时, 2 x0 ? ? ? , ? , …………………………8 分 6 ? 3 6 ? ?4 2?
所以 2 x0 ? 故 x0 ? 考点:三角函数 【命题意图】考察三角函数中化一公式和求值。 24. (本题 10 分)已知椭圆
1 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,且过点 0, 3 . 2 a 2 b2

?
6

?

5? , ………………………………………………………9 分 6

?
3

. ………………………………………………………………10 分

?

?

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 椭圆的左顶点为 A, 左右焦点分别为 F1 , F2 .已知直线 l 与椭圆交于 P, Q 两点 (点 P 在第一象限) ,
???? 9 ???? ? 线段 PQ 的中点为 M,线段 PQ 的中垂线交 x 轴于点 N,若 P, M , N , F2 四点共圆,且 AN ? F1 N ,求直 5

线 l 的方程. 【解析】 试题分析:解: (I)因为椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 过点 0, 3 , a 2 b2

?

?

所以 b ? 3 .…………………………………………………………………1 分

1 又因为离心率为 , 2

所以

a 2 ? b2 1 c 1 ? ,b ? 3 . ? ,即 a 2 a 2

所以 a ? 2 . ………………………………………………………………2 分 所以椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1. ………………………………………3 分 4 3

(II)因为 P, M , N , F2 四点共圆,且 PM ? MN , 所以 PF2 ? F2 N .…………………………………………………………4 分 因为 F2 ?1,0 ? , 所以 P 点横坐标为 1,代入椭圆
y??

x2 y 2 ? ? 1 中,解得 4 3

3 ,因为点 P 在第一象限, 2

? 3? 所以 P ?1, ? .…………………………………………………………5 分 ? 2?

由题直线 l 的斜率存在且不为 0,故设 l 的方程为
y ? k ? x ? 1? ? 3 .………………………………………………………6 分 2

3 ? y ? k ? x ? 1? ? ? ? 2 联立 ? 2 ,消去 y 得 2 x y ? ? ?1 ? 3 ? 4

? 4k

2

? 3? x2 ? ? ?8k 2 ? 12k ? x ? 4k 2 ?12k ? 3 ? 0 ,
4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 12k ? 3 ,即 xQ ? ,…………………7 分 2 4k ? 3 4k 2 ? 3
? 4k 2 ? 6k ? 3 9 ? 6k 4k 2 ? 6k ,纵坐标为 k ? 2 . ? 1? ? ? 2 2 4 k ? 3 4k ? 3 2 ? 4k 2 ? 3? ? ?
? ? ? ? 1? 4k 2 ? 6k ? ? ? ? ?x? ? ,令 y ? 0 , k? 4k 2 ? 3 ? 2 ? 4k ? 3 ? ? ? 9 ? 6k
2

所以 xQ ?1 ?

所以点 M 的横坐标为

所以直线 MN 的方程为 ? y ?
2k 2 ? 3k

解得 xN ?

2 ? 4k 2 ? 3 ?

.…………………………………………………8 分

???? 9 ???? ? 因为 AN ? F1 N , 5

所以 ? xN ? 2,0? ?

9 ? xN ? 1,0? ,………………………………………9 分 5

2k 2 ? 3k 1 1 1 所以 xN ? , 即 ? ,解得 k ? ? . 2 4 4 2 2 ? 4k ? 3 ?

1 综上所述直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 .……………………………10 分 2

y M A Q
第 24 题图

P

F1

N

O

F2

x

考点:椭圆 【命题意图】综合直线与椭圆的位置关系,考察学生化简变形能力。 25. (本题 11 分)已知函数 f ( x) 满足: f ? x ? 1? ? x2 ? 2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 在 ? 0,1? 上的单调性并证明; (Ⅲ)对于任意的 x ? ? 0, ?? ? ,不等式 f ( x) ? m2 ? 【解析】 试题分析: (I)令 t ? x ?1 ,因为 f ? x ? 1? ? x2 ? 2x ?
2 所以 f ? t ? ? t 2 ? 1 ? , t 2 即 f ? x ? ? x2 ? ? 1 .……………………………………………………2 分 x 2 (Ⅱ) f ? x ? ? x2 ? ? 1 , x ? ? 0,1? x 2 , x ?1
1 恒成立,求实数 m 的取值范围. m 2 . x ?1

证明:任取 x1 , x2 ? ? 0,1? ,设 x1 ? x2 ,则
? ? ? ? 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x12 ? ? 1? ? ? x2 2 ? ? 1? x1 ? ? x2 ? ? ?2 2? ? ? x12 ? x2 2 ? ? ? ? ? ? x1 x2 ?

? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ?

2 ? x2 ? x1 ? x1 x2

? 2 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? x1 ? x2 ? ? ? ……………………………………4 分 x ? 1 x2 ?

因为 x1 , x2 ? ? 0,1? , 所以 x1 ? x2 ? ? 0, 2 ? , x1 x2 ? ? 0,1? , 从而
2 ? ? 2, ?? ? ,…………………………………………5 分 x1 x2 2 ? 0, x1 x2

所以 ? x1 ? x2 ? ?

又因为 x1 ? x2 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递减.……………………………………6 分
2 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数 f ? x ? ? x2 ? ? 1 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增,即 x
f ( x) ? f (1 ?) ……………………………………………… 2. 7分 m i n

因为任意的 x ? ? 0, ??? ,不等式 f ( x) ? m2 ? 所以 m2 ?
m2 ?

1 恒成立, m

1 ? f ( x)min ? 2 ,即…………………………………8 分 m

1 ? 2 ? 0 ,即 m

m3 ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m

? m ? 1? ? m2 ? m ? 1?
m

? 0 ,即…………………………………9 分

2 ? ?m ? m ? 1? ? m ? m ? 1? ? 0 ,即………………………………10 分 ? m ? 0 ? ?

?

1? 5 ?1 ? 5 ? m ? 0或 ? m ? 1 .…………………………11 分 2 2

考点:函数的性质 【命题意图】结合恒成立问题,考察函数的单调性和最值。


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