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2017届广东省梅州市高考数学一模3月试卷(理科)(解析版)


2017 年广东省梅州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.已知集合 A={x|x2﹣1<0},B={x|x>0},则集合(?RA)∪B=( A. (0,1] B.[1,+∞) C. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) (0,+∞) 2.设 i 是虚数单位,如果复数 为( A. ) B. C.3 D.﹣3 的实部与虚部是互为相反数,那么实数 a 的值 )

D. (﹣∞,﹣1] ∪

3.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正 确的是( )

A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n 4.已知命题 p:? x∈R,2x+ 则下列命题中为真命题的是( A.¬p∧¬q D.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β ],使 sinx+cosx= ,

>2,命题 q:? x∈[0, )

B.¬p∧q C.p∧¬q D.p∧q

5.箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸出两 个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖,现有 4 人参与 摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是( A. B. C. D. (m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心 ) )

6.设椭圆

率为 ,则此椭圆的方程为( A. B.

C.

D.

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7.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一 个伟大的创举,这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样,如图的 程序框图源于“辗转相除法”.当输入 a=6102,b=2016 时,输出的 a=( )

A.6

B.9

C.12 D.18 ,且| |=2,| |=1,则 与 +2 的夹角为( )

8.若向量 , 的夹角为 A. B. C.

D. )﹣cos2x,其中 x∈R,给出下列四个结论

9.已知函数 f(x)=cos(2x+

①函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数; ②函数 f(x)图象的一条对称轴是 x= ③函数 f(x)图象的一个对称中心为( ④函数 f(x)的递增区间为[kπ+ 则正确结论的个数是( ) ,kπ+ ,0) ],k∈Z.

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 10.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

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A.4

B.8

C.

D. ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O

11.已知双曲线 C:

为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,直线 PO,PF2 分别交双曲线 C 左、 N, 右支于另一点 M, |PF1|=2|PF2|, 且∠MF2N=60°, 则双曲线 C 的离心率为 ( A. B. C. D. )

12.设函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为 f′(x) ,f′(x)在区间(a,b) 上的导函数为 f″(x) ,如果在区间(a,b)上恒有 f″(x)<0,则称函数 f(x) 是区间(a,b)上的“凸函数”,若 f(x)= x4﹣ mx3﹣ x2,当|m|≤2 时是区间(a,b)上的凸函数,则 b﹣a 的最大值 为( A.4 ) B.3 C.2 D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.设 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x﹣y 的最小值为 .

14.在二项式(



)8 的展开式中,第四项的系数为



15.已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a=1,2cosC+c=2b, 则△ABC 的周长的取值范围是 .

16.函数 f(x)的定义域为实数集 R,f(x)=

对于任意的

x∈R 都有 f(x+2)=f(x﹣2) .若在区间[﹣5,3]上函数 g(x)=f(x)﹣mx+m 恰有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 .

三、解答题 17.已知数列{an}中,a1=3,且 an=2an﹣1+2n﹣1(n≥2 且 n∈N*)
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(Ⅰ)证明:数列{

}为等差数列;

(Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 18.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后得到的,其中 ∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADG; (Ⅱ)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.

19. 中石化集团获得了某地深海油田块的开采权,集团在该地区随机初步勘探了 部分几口井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网络点米布置井位 进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合 或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用,勘探初期 数据资料见下表: 井号 I 1 2 3 4 5 6

y) 30) (4, 40) (5, 60) (6, 50) (8, 70) (1,y) 坐标 (x, (km) (2, 钻探深度(km) 出油量(L) 2 40 4 70 5 110 6 90 8 160 10 205

1~6 号旧井位置线性分布, (Ⅰ) 借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y=6.5x+a, 求 a,并估计 y 的预报值; (Ⅱ)现准备勘探新井 7(1,25) ,若通过 1、3、5、7 号井计算出的 , 的值 ( , 精确到 0.01)与(I)中 b,a 的值差不超过 10%,则使用位置最接近的已 有旧井 6(1,y) ,否则在新位置打开,请判断可否使用旧井?(参考公式和计

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算结果: =

, = ﹣



=94,

=945)

(Ⅲ)设出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探井称为优质井,那么在原 有 6 口井中任意勘探 4 口井,求勘探优质井数 X 的分布列与数学期望. 20.已知动圆 C 过点 F(1,0) ,且与直线 x=﹣1 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹方程;并求当圆 C 的面积最小时的圆 C1 的方程; (Ⅱ)设动圆圆心 C 的轨迹曲线 E,直线 y= x+b 与圆 C1 和曲线 E 交于四个不同 点,从左到右依次为 A,B,C,D,且 B,D 是直线与曲线 E 的交点,若直线 BF, DF 的倾斜角互补,求|AB|+|CD|的值. 21.已知函数 f(x)=alnx﹣x﹣ +2a(其中 a 为常数,a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,是否存在实数 a,使得当 x∈[1,e]时,不等式 f(x)>0 恒 成立?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由(其中 e 是自然对数 的底数,e=2.71828…)

四、选修题 22.已知曲线 C1 的参数方程是 (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=4sinθ. (Ⅰ)求曲线 C1 与 C2 交点的平面直角坐标; (Ⅱ)A,B 两点分别在曲线 C1 与 C2 上,当|AB|最大时,求△OAB 的面积(O 为 坐标原点) .

五、选修题 23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0) . (Ⅰ)求证:f(x)≥8 恒成立; (Ⅱ)求使得不等式 f(1)>10 成立的实数 m 的取值范围.

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2017 年广东省梅州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.已知集合 A={x|x2﹣1<0},B={x|x>0},则集合(?RA)∪B=( A. (0,1] B.[1,+∞) C. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) (0,+∞) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】 解不等式求出集合 A, 根据补集与并集的定义写出集合 (?RA) ∪B 即可. 【解答】解:集合 A={x|x2﹣1<0}={x|﹣1<x<1}, B={x|x>0}, 则集合?RA={x|x≤﹣1 或 x≥1}, 所以集合(?RA)∪B={x|x≤﹣1 或 x>0} =(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞) . 故选:D. )

D. (﹣∞,﹣1] ∪

2.设 i 是虚数单位,如果复数 为( A. ) B. C.3 D.﹣3

的实部与虚部是互为相反数,那么实数 a 的值

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 求解即可得答案. 【解答】解: ∵复数 ∴ 故选:C.
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, 再由已知条件列出方程,

=

=



的实部与虚部是互为相反数, ,即 a=3.

3.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正 确的是( )

A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一核对四个命题得答案. 【解答】解:对于 A,如图,m∥α,α∩β=n,此时 m,n 异面,故 A 错误; 对于 B,若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n? α,故 B 错误; 对于 C,若 n⊥β,α⊥β,则 n∥α 或 n? α,又 m⊥α,∴则 m⊥n,故 C 正确; 对于 D,若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m 可能与 β 相交,也可能与 β 平行,也可 能在 β 内,故 D 错误. ∴正确的选项为 C. 故选:C. D.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β

4.已知命题 p:? x∈R,2x+ 则下列命题中为真命题的是( A.¬p∧¬q

>2,命题 q:? x∈[0, )

],使 sinx+cosx= ,

B.¬p∧q C.p∧¬q D.p∧q

【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假. 【分析】判断两个命题的真假,然后利用复合命题的真假判断选项即可. 【解答】解:命题 p:? x∈R,2x+ 是假命题,则¬p 是真命题; 命题 q:? x∈[0, ],使 sinx+cosx= sin(x+ )∈[1, ],所以? x∈[0, >2,当 x=0 时,命题不成立.所以命题 p

],使 sinx+cosx= ,不正确;
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则¬q 是真命题,所以¬p∧¬q. 故选:A.

5.箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸出两 个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖,现有 4 人参与 摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是( A. B. C. D. )

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】首先做出摸一次中奖的概率,摸一次中奖是一个等可能事件的概率,做 出所有的结果数和列举出符合条件的结果数,得到概率,4 个人摸奖.相当于发 生 4 次试验,根据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果. 【解答】解:由题意知首先做出摸一次中奖的概率, 从 6 个球中摸出 2 个,共有 C62=15 种结果, 两个球的号码之积是 4 的倍数, 共有(1,4) (3,4) , (2,4) (2,6) (4,5) (4,6) , ∴摸一次中奖的概率是 = ,

4 个人摸奖.相当于发生 4 次试验,且每一次发生的概率是 , ∴有 4 人参与摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是 故选:B. ×( )3× = ,

6.设椭圆

(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心 )

率为 ,则此椭圆的方程为( A. B.

C.

D.

【考点】椭圆的标准方程.
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【分析】先求出抛物线的焦点,确定椭圆的焦点在 x 轴,然后对选项进行验证即 可得到答案. 【解答】解:∵抛物线的焦点为(2,0) ,椭圆焦点在 x 轴上,排除 A、C, 由 故选 B 排除 D,

7.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一 个伟大的创举,这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样,如图的 程序框图源于“辗转相除法”.当输入 a=6102,b=2016 时,输出的 a=( )

A.6

B.9

C.12 D.18

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,该程序执行的是欧几里得辗转相除法,求出 运算结果即可. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; a=6102,b=2016, 执行循环体,r=54,a=2016,b=54, 不满足退出循环的条件,执行循环体,r=18,a=54,b=18, 不满足退出循环的条件,执行循环体,r=0,a=18,b=0, 满足退出循环的条件 r=0,退出循环,输出 a 的值为 18. 故选:D.

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8.若向量 , 的夹角为 A. B. C.

,且| |=2,| |=1,则 与 +2 的夹角为(



D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出. 【解答】解:∵向量 , 的夹角为 ∴ ∴ = ∴ ∴ 与 +2 的夹角为 故选:A. = = = = . . = = , = ,且| |=2,| |=1,

=1. =22+2 × 1=6 ,

9.已知函数 f(x)=cos(2x+

)﹣cos2x,其中 x∈R,给出下列四个结论

①函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数; ②函数 f(x)图象的一条对称轴是 x= ③函数 f(x)图象的一个对称中心为( ④函数 f(x)的递增区间为[kπ+ 则正确结论的个数是( ) ,kπ+ ,0) ],k∈Z.

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】展开两角和的余弦公式后合并同类项,然后化积化简 f(x)的解析式. ①由周期公式求周期,再由 f(0)≠0 说明命题错误; ②③直接代值验证说明命题正确; ④由复合函数的单调性求得增区间说明命题正确.

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【解答】解:∵f(x)=cos(2x+ = ∴ 但 ∵ =

)﹣cos2x= =﹣ .

,即函数 f(x)的最小正周期为 π, ,函数 f(x)不是奇函数.命题①错误; , .命题②正确; , ,0) .命题③正确;

∴函数 f(x)图象的一条对称轴是 x= ∵ ∴函数 f(x)图象的一个对称中心为( 由 . ∴函数 f(x)的递增区间为[kπ+ ∴正确结论的个数是 3 个. 故选:C. ,kπ+ ,得:

],k∈Z.命题④正确.

10.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(



A.4

B.8

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由已知中的三视图可得:该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组 合体,画出几何体的直观图,求出两个棱锥的体积,相加可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示:
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该几何体是一个四棱锥 A﹣CDEF 和一个三棱锥组 F﹣ABC 成的组合体, 四棱锥 A﹣CDEF 的底面面积为 4,高为 4,故体积为: ,

三棱锥组 F﹣ABC 的底面面积为 2,高为 2,故体积为: , 故这个几何体的体积 V= 故选:C. ,

11.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O

为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,直线 PO,PF2 分别交双曲线 C 左、 N, 右支于另一点 M, |PF1|=2|PF2|, 且∠MF2N=60°, 则双曲线 C 的离心率为 ( A. B. C. D. )

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意,|PF1|=2|PF2|,|PF1|﹣|PF2|=2a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a, 由 ∠ MF2N=60° , 可 得 ∠ F1PF2=60° , 由 余 弦 定 理 可 得 4c2=16a2+4a2 ﹣ 2?4a?2a?cos60°,即可求出双曲线 C 的离心率. 【解答】解:由题意,|PF1|=2|PF2|,|PF1|﹣|PF2|=2a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a, ∵∠MF2N=60°,∴∠F1PF2=60°, 由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos60°, ∴c= a, .

∴e= =

故选:B.

12.设函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为 f′(x) ,f′(x)在区间(a,b)
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上的导函数为 f″(x) ,如果在区间(a,b)上恒有 f″(x)<0,则称函数 f(x) 是区间(a,b)上的“凸函数”,若 f(x)= x4﹣ mx3﹣ x2,当|m|≤2 时是区间(a,b)上的凸函数,则 b﹣a 的最大值 为( A.4 ) B.3 C.2 D.1

【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】先求 f″(x)=x2﹣mx﹣3,从而由凸函数的定义知|m|≤2 时,x2﹣mx ﹣3<0 在(a,b)上恒成立,并且可以得到 mx>x2﹣3 恒成立,讨论 x 的取值: x=0 时, x>0 时, 容易判断上面不等式成立; 会得到 , 从而得到﹣2 ,

解该不等式 0<x<1;同样的方法 x<0 时,会得到﹣1<x<0,最后即得到﹣1 <x<1,从而得出 b﹣a 的最大值 2. 【解答】解:根据已知,|m|≤2 时,f″(x)=x2﹣mx﹣3<0 在(a,b)上恒成 立; ∴mx>x2﹣3 恒成立; (1)当 x=0 时,f″(x)=﹣3<0 显然成立; (2)当 x>0 时, ∵m 的最小值为﹣2; ; 解得 0<x<1; (3)当 x<0 时,m ∵m 的最大值为 2; ∴ ; ; ;

解得﹣1<x<0; 综上可得﹣1<x<1; ∴b﹣a 的最大值为 1﹣(﹣1)=2. 故选 C.

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.设 x,y 满足约束条件 【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=2x﹣y 的最小值. 【解答】解:由 z=2x﹣y,得 y=2x﹣z,作出不等式对应的可行域(阴影部分) , ,则 z=2x﹣y 的最小值为 ﹣2 .

平移直线 y=2x﹣z,由平移可知当直线 y=2x﹣z, 经过点 A 时,直线 y=2x﹣z 的截距最大,此时 z 取得最小值, 由 ,解得 x=﹣1,y=0,

即 A(﹣1,0) ,代入 z=﹣2, 即目标函数 z=2x﹣y 的最小值为﹣2, 故答案为:﹣2.

14.在二项式(



)8 的展开式中,第四项的系数为

﹣7



【考点】二项式系数的性质. 【分析】先求得二项式( 的系数. ﹣ )8 的通项公式,再令 r=3,即可求得第四项

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【解答】解:∵二项式(



)8 的通项公式为 Tr+1=C8r?(﹣ )r?



∴第四项的系数为 C83?(﹣ )3=﹣7, 故答案为:﹣7.

15.已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a=1,2cosC+c=2b, 则△ABC 的周长的取值范围是 【考点】余弦定理. 【分析】由余弦定理求得 cosC,代入已知等式可得 (b+c)2﹣1=3bc,利用基 本不等式求得 b+c≤2,故 a+b+c≤3.再由三角形任意两边之和大于第三边求得 a+b+c>2,由此求得△ABC 的周长的取值范围. 【解答】 解: △ABC 中, 由余弦定理可得 2cosC= ∴ ∵bc≤ 取等号) . 故 a+b+c≤3. 再由任意两边之和大于第三边可得 b+c>a=1,故有 a+b+c>2,故△ABC 的周长 的取值范围是(2,3], 故答案为 (2,3]. +c=2b,化简可得 (b+c)2﹣1=3bc. ,∴(b+c)2﹣1≤3× ,解得 b+c≤2(当且仅当 b=c 时, 2cosC+c=2b, , ∵a=1, (2,3] .

16.函数 f(x)的定义域为实数集 R,f(x)=

对于任意的

x∈R 都有 f(x+2)=f(x﹣2) .若在区间[﹣5,3]上函数 g(x)=f(x)﹣mx+m 恰有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】求出 f(x)的周期,问题转化为 f(x)和 y=m(x﹣1)在[﹣5,3]上有 3 个不同的交点,画出 f(x)的图象,结合图象求出 m 的范围即可.
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【解答】解:∵f(x+2)=f(x﹣2) ,∴f(x)=f(x+4) , f(x)是以 4 为周期的函数, 若在区间[﹣5,3]上函数 g(x)=f(x)﹣mx+m 恰有三个不同的零点, 则 f(x)和 y=m(x﹣1)在[﹣5,3]上有 3 个不同的交点, 画出函数函数 f(x)在[﹣5,3]上的图象,如图示:



由 KAC=﹣ ,KBC=﹣ ,结合图象得: m∈ 故答案为: , .

三、解答题 17.已知数列{an}中,a1=3,且 an=2an﹣1+2n﹣1(n≥2 且 n∈N*) (Ⅰ)证明:数列{ }为等差数列;

(Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】 (1)整理变形 an﹣1=2(an﹣1﹣1)+2n, (n≥2 且 n∈N*)式两端同除以 2n 得出: =1=常数,运用等差数列的和求解即可.

(2)根据数列的和得出 Sn=(1×21+2×22+3×23+…+n×2n)+n,设 Tn=1×21+2 ×22+3×23+…+n×2n,运用错位相减法求解即可.得出 Tn,代入即可. 【解答】解: (1)∵an=2an﹣1+2n﹣1(n≥2 且 n∈N*)
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∴an﹣1=2(an﹣1﹣1)+2n, (n≥2 且 n∈N*) ∴等式两端同除以 2n 得出: ∵a1=3, ∴ = =1, =1=常数,

∴数列{

}为等差数列,且首项为 1,公差为 1,

(2)∵根据(1)得出

=1+(n﹣1)×1=n,an=n×2n+1

∴数列{an}的前 n 项和 Sn=(1×21+2×22+3×23+…+n×2n)+n, 令 Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,① 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n﹣1)×2n+n×2n+1,② ①﹣②得出:﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1, ∴Tn=n×2n+1﹣2×2n+2, ∴Sn=n×2n+1﹣2n+1+2+n

18.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后得到的,其中 ∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADG; (Ⅱ)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)由余弦定理得 BD= ,满足 AB2=AD2+DB2,得 AD⊥DB,直平行六

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面体中 GD⊥面 ABCD,得 BD⊥平面 ADG. (Ⅱ)如图以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣xyz,求出法向量,利用公式求 解. 【解答】解: (Ⅰ)证明:在△BAD 中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°. 由余弦定理得 BD= ,满足 AB2=AD2+DB2,∴AD⊥DB

直平行六面体中 GD⊥面 ABCD,DB? 面 ABCD,∴GD⊥DB,且 AD∩GD=D ∴BD⊥平面 ADG. (Ⅱ)如图以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣xyz, ∵∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∴A(1,0,0) ,B(0, 2) ,C(﹣1, . , 设平面 AEFG 的法向量 , ,z=1 ,0) ,E(0, ,

,令 x=1,得 y= ∴ ∴

,而平面 ABCD 的法向量为 .

∴平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为

19. 中石化集团获得了某地深海油田块的开采权,集团在该地区随机初步勘探了 部分几口井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网络点米布置井位 进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合
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或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用,勘探初期 数据资料见下表: 井号 I 1 2 3 4 5 6

y) 30) (4, 40) (5, 60) (6, 50) (8, 70) (1,y) 坐标 (x, (km) (2, 钻探深度(km) 出油量(L) 2 40 4 70 5 110 6 90 8 160 10 205

1~6 号旧井位置线性分布, (Ⅰ) 借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y=6.5x+a, 求 a,并估计 y 的预报值; (Ⅱ)现准备勘探新井 7(1,25) ,若通过 1、3、5、7 号井计算出的 , 的值 ( , 精确到 0.01)与(I)中 b,a 的值差不超过 10%,则使用位置最接近的已 有旧井 6(1,y) ,否则在新位置打开,请判断可否使用旧井?(参考公式和计

算结果: =

, = ﹣



=94,

=945)

(Ⅲ)设出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探井称为优质井,那么在原 有 6 口井中任意勘探 4 口井,求勘探优质井数 X 的分布列与数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)利用前 5 组数据与平均数的计算公式可得 =5 , y=6.5x+a,可得 a,进而定点 y 的预报值. =50 ,代入

(Ⅱ) 根据计算公式可得 , , =

≈6.83, =18.93, =6.83,

计算可得并且判断出结论. (Ⅲ)由题意,1、3、5、6 这 4 口井是优质井,2,4 这两口井是非优质井,勘 察优质井数 X 的可能取值为 2,3,4,P(X=k)= 数学期望. 【解答】解: (Ⅰ)利用前 5 组数据得到 =
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,可得 X 的分布列及其

( 2+4+5+6+8 ) =5 ,

=

(30+40+60+50+70)=50, ∵y=6.5x+a, ∴a=50﹣6.5×5=17.5, ∴回归直线方程为 y=6.5x+17.5, 当 x=1 时,y=6.5+17.5=24, ∴y 的预报值为 24. (Ⅱ)∵ =4, =46.25, =94, =945,

∴ =

=

≈6.83,

∴ =46.25﹣6.83×4=18.93, 即 =6.83, 超过 10%, ∴使用位置最接近的已有旧井 6(1,24) . (Ⅲ)由题意,1、3、5、6 这 4 口井是优质井,2,4 这两口井是非优质井, ∴勘察优质井数 X 的可能取值为 2,3,4, P(X=k)= ∴X 的分布列为: X P EX=2× +3× +4× = . 2 3 4 ,可得 P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= . =18.93,b=6.5,a=17.5, ≈5%, ≈8%,均不

20.已知动圆 C 过点 F(1,0) ,且与直线 x=﹣1 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹方程;并求当圆 C 的面积最小时的圆 C1 的方程; (Ⅱ)设动圆圆心 C 的轨迹曲线 E,直线 y= x+b 与圆 C1 和曲线 E 交于四个不同 点,从左到右依次为 A,B,C,D,且 B,D 是直线与曲线 E 的交点,若直线 BF,
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DF 的倾斜角互补,求|AB|+|CD|的值. 【考点】轨迹方程. 【分析】 (Ⅰ)由题意圆心为 M 的动圆 M 过点(1,0) ,且与直线 x=﹣1 相切, 利用抛物线的定义,可得圆心 M 的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线;圆心 C 在原点时,圆 C 的面积最小,可得圆 C1 的方程; (Ⅱ)先求出 b,再利用韦达定理,结合|AB|+|CD|= ﹣x4)= (x1+x2﹣x3﹣x4) ,可得结论. (x1﹣x3)+ (x2

【解答】解: (I)∵动圆圆心到点 F(1,0)的距离等于到定直线 x=﹣1 的距离, ∴动圆圆心的轨迹 C 为以 F 为焦点,以直线 x=﹣1 为准线的抛物线, ∴动圆圆心的轨迹方程为 y2=4x. 圆心 C 在原点时,圆 C 的面积最小,此时圆 C1 的方程为 x2+y2=1; (II)F(1,9) ,设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,A(x3,y3) ,C(x4,y4) , 由 ,得 x2+(4b﹣16)x+4b2=0,△>0,b<2,

x1+x2=16﹣4b,x1x2=4b2, ∵直线 BF,DF 的倾斜角互补, ∴kBF+kDF=0, ∵kBF+kDF= + ,

∴y2(x1﹣1)+y1(x2﹣1)=0, ∴x1x2+(b﹣ ) (x1+x2)﹣2b=0, 代入解得 b= ,



,得 5x2+2x﹣25=0,∴x3+x4=﹣ ,

∴|AB|+|CD|=

(x1﹣x3)+

(x2﹣x4)=

(x1+x2﹣x3﹣x4)=



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21.已知函数 f(x)=alnx﹣x﹣ +2a(其中 a 为常数,a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,是否存在实数 a,使得当 x∈[1,e]时,不等式 f(x)>0 恒 成立?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由(其中 e 是自然对数 的底数,e=2.71828…) 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区 间即可; (Ⅱ)通过讨论 a 的范围,根据函数的单调性求出 f(x)的最小值,从而确定 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)由于 f(x)=alnx﹣x﹣ +2a, (x>0) , f′(x)= ,

①a≤0 时,f′(x)<0 恒成立, 于是 f(x)的递减区间是(0,+∞) , ②a>0 时,令 f′(x)>0,解得:0<x< ,

令 f′(x)<0,解得:x>



故 f(x)在(0, (Ⅱ)a>0 时, ①若

)递增,在(

,+∞)递减;

≤1,即 0<a≤ ,此时 f(x)在[1,e]递减,

f(x)min=f(e)=3a﹣e﹣ =(3﹣ )a﹣e≤(3﹣ × ﹣e<0, f(x)>0 恒成立,不合题意, ②若 >1, <e,

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即 <a<

时, )递增,在( ,e)递减,

此时 f(x)在(1,

要使在[1,e]恒有 f(x)>0 恒成立, 则必有 解得: ③若 ,则 <a< ; 时, ,

≥e,即 a≥

f(x)在[1,e]递增,令 f(x)min=f(1)=a﹣1>0, 解得:a≥ , ,+∞) ,使得 f(x)>0 恒成立.

综上,存在实数 a∈(

四、选修题 22.已知曲线 C1 的参数方程是 (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=4sinθ. (Ⅰ)求曲线 C1 与 C2 交点的平面直角坐标; (Ⅱ)A,B 两点分别在曲线 C1 与 C2 上,当|AB|最大时,求△OAB 的面积(O 为 坐标原点) . 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)求出曲线 C1,C1 的平面直角坐标方程,把两式作差,得 y=﹣x, 代入 x2+y2=4y,能求出曲线 C1 与 C2 交点的平面直角坐标. (Ⅱ)作出图形,由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2 距离为 ,由此能求出△OAB 的面积. (θ 为参数) , ,O 到 AB 的

【解答】解: (Ⅰ)∵曲线 C1 的参数方程是 ∴曲线 C1 的平面直角坐标方程为(x+2)2+y2=4. 又由曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=4sinθ,
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得 ρ2=4ρsinθ,∴x2+y2=4y, 把两式作差,得 y=﹣x, 代入 x2+y2=4y,得 2x2+4x=0, 解得 或 ,

∴曲线 C1 与 C2 交点的平面直角坐标为(0,0) , (﹣2,2) . (Ⅱ)如图,由平面几何知识可知: 当 A,C1,C2,B 依次排列且共线时, |AB|最大,此时|AB|=2 O 到 AB 的距离为 , . ,

∴△OAB 的面积为 S=

五、选修题 23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0) . (Ⅰ)求证:f(x)≥8 恒成立; (Ⅱ)求使得不等式 f(1)>10 成立的实数 m 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 【分析】 (Ⅰ)利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f(x)≥8 恒成立. (Ⅱ)当 m> 时,不等式即 +2m>10,即 m2﹣5m+4>0,求得 m 的范围.当

0<m≤ 时,f(1)=1+ +(1﹣2m)=2+ ﹣2m 关于变量 m 单调递减,求得 f (1)的最小值为 17,可得不等式 f(1)>10 恒成立.综合可得 m 的范围. 【解答】 (Ⅰ)证明:函数 f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0) , ∴f(x)=|x+ |+|x﹣2m|≥|x+ ﹣(x﹣2m)|=| +2m|= +2m≥2
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=8,

当且仅当 m=2 时,取等号,故 f(x)≥8 恒成立. (Ⅱ)f(1)=|1+ |+|1﹣2m|,当 m> 时,f(1)=1+ ﹣(1﹣2m) ,不等式 即 +2m>10,

化简为 m2﹣5m+4>0, 求得 m<1,或 m>4,故此时 m 的范围为( ,1)∪(4, +∞) . 当 0<m≤ 时,f(1)=1+ +(1﹣2m)=2+ ﹣2m 关于变量 m 单调递减, 故当 m= 时,f(1)取得最小值为 17, 故不等式 f(1)>10 恒成立. 综上可得,m 的范围为(0,1)∪(4,+∞) .

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2017 年 3 月 15 日

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