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2015年高中数学新课标一轮复习上册2-1


一轮复习 · 新课标数学 · 理(上册)

第一节 函数及其表示

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记忆最新考纲
1.了解构成函数

的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了 解映射的概念 2. 在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用

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命题规律透视
1.考查方式多为选择题或填空题. 2.函数的表示方法是高考的常考内容,特别是图象法与解析法 更是高考的常客,如 2013 年陕西 T1,江西 T2 等. 3.分段函数是高考的重点也是热点,常以求解函数值,由函数 值求自变量以及与不等式相关的问题为主,如 2013 年全国课标 卷ⅠT11,陕西 T8 等.

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命题趋势 1.热点预测:预计 2014 年,表示函数的解析法、图象法、 分段函数以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点, 题型既 有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏上.客观题主要考 查解析法、图象法、分段函数的应用及对函数概念的理解. 2.趋势分析:函数的概念、解析式、图象、分段函数的应 用为高考主要考点,重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推 理能力,2014 年复习时应予以高度关注.

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1.函数与映射的概念
函 数
两集合 A,B 设A,B是两个________ 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A中的________ 一个数x,在集合B中都有 ____________的数f(x)和它对 应 称______________为从集合A 到集合B的一个函数
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映 射
设A,B是两个________ 如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合A中的________ 一个元素x,在集合B中都有 ____________的元素y与之对 应 称对应__________为从集合A 到集合B的一个映射
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对应关系 f:A→B

名 称

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2.函数的定义域、值域、相等函数 (1)定义域: 在函数y=f(x),x∈A中,____________________的取值范 围(数集A)叫做函数的定义域. (2)值域: 函数值的集合______________________叫做函数的值域. (3)相等函数: 如果两个函数的____________相同,并且______________ 完全一致,则这两个函数为相等函数.
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3.函数的表示方法 表示函数的常用方法:________、________和________. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因______________不 同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________, 其值域等于各段函数的值域的____________,分段函数虽由几 个部分组成,但它表示的是一个函数.

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[答案] 1.非空数集 非空的集合 每 唯一确定 任意 唯一确定 f:A→B f:A→B 2.(1)x (2){f(x)|x∈A} (3)定义域 对应关系

3.解析法 图象法 列表法 4.(1)对应关系 (2)并集 并集

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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“ (1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( (2)函数y=1与y=x0不是同一个函数.( ) )

”).

(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等 函数.( ) )

(4)映射是特殊的函数.(

(5)若函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<3},则函数f(x)的定义 域为{x|1≤x<5}.( )

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(6)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数f(2x-1)的定义 域为{x|1≤x<5}.( ) ) )

(7)函数f(x)= x2+3+1的值域是{y|y≥1}.( (8)分段函数是一个函数而不是几个函数.(

[答案] (1) (7) (8)√

(2)√ (3)

(4)

(5)√ (6)

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考点一:函数定义域的探究

1 [调研1] (1)(2012· 山东)函数f(x)= + 4-x2 的定义 ln?x+1? 域为( ) B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]

[答案]

B
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[解析] 要使函数有意义,必有 ?x+1>0, ? ?ln?x+1?≠0, ?4-x2≥0, ? 选B. ?x>-1, ? 则 ?x≠0, ?-2≤x≤2, ?

得-1<x<0或0<x≤2.故

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(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域. [答案] (1,3)

[解析] 令t=2x+1,由0<x<1,得1<t<3. ∴ f(t)即f(x)的定义域为(1,3).

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(3)已知函数f(log2x)的定义域为[ ________.
[解题指导] 解.

2 ,4],则f(x)的定义域是

结合复合函数的运算方法及对数的运算求

[答案]

?1 ? ? ,2? ?2 ?

[解析] 由条件可知x∈[

?1 ? 2 ,4],则log2x∈ ?2,2? ,则由函 ? ?

?1 ? 数的概念,可得f(x)的定义域即为?2,2?. ? ?
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[互动探究答案] [-1,1]
?1 ? 由已知,得f(x)的定义域为?2,2?, ? ?

[互动探究解析] 则由2
x

?1 ? ∈?2,2?,得x∈[-1,1]. ? ?

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1.确定函数定义域的原则 (1)当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域是指表格 中实数x的集合. (2)当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域是指图象 在x轴上的投影所覆盖的实数的集合. (3)当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解 析式有意义的实数的集合. (4)当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际 问题的意义确定.
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(5)求复合函数的定义域: ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定 义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为 g(x)在x∈[a,b]时的值域.

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2.求定义域时的常见限制条件 (1)分式的分母不为零; (2)偶次根式的被开方数不小于零; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1; π (5)正切函数y=tan x,x≠kπ+2(k∈Z); (6)零次幂的底数不能为零; (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实 际问题本身的要求.
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(1)(2013· 江西)函数y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1]
[答案]
[解析]

)

B.[0,1) D.[0,1]
B
? ?x≥0, 由? ? ?1-x>0,

解得0≤x<1,故选B.

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lg?x+2? (2)(2014· 大连模拟)函数f(x)= + 2-x2 的定义域为 |x|-x ________________________.
[答案] [- 2,0)

[解析] 要使函数有意义,则有 ?x+2>0, ? ?|x|-x≠0, ?2-x2≥0, ? ∴- 2≤x<0. 故所求函数的定义域为[- 2,0).
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?x>-2, ? 得?x<0, ?- 2≤x≤ 2, ?

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考点二:求解函数解析式的几种技巧

[调研2]

? 1? 3 1 (1)已知f?x+x ?=x +x3,则f(x)=________. ? ?

[解题指导] 义域.

利用整体换元法求解,注意标出函数f(x)的定

[答案] x3-3x(x≥2或x≤-2)
[解析]
? ? 1? 1? 1 ? 1? 3 3 ∵f ?x+x ? =x + x3 = ?x+x ? -3 ?x+x ? ,∴f(x)=x3- ? ? ? ? ? ?

3x(x≥2或x≤-2).
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[提醒] 若解析式y=f(g(x))中的g(x)的值域与化简后的y= f(x)的定义域恰好一致,可不标注y=f(x)的定义域.

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?2 ? (2)已知f?x +1?=lg ? ?

x,则f(x)=________.

[解题指导]

利用换元法进行求解并注明函数的定义域. 2 2 [解析] 令 x +1=t(t>1),则x= , t-1

2 ∴f(t)=lg , t-1 2 ∴f(x)=lg (x>1). x-1

[提醒] 利用换元法求函数的解析式时,一定要注意标明 自变量的取值范围.

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求函数解析式的三种类型及方法 (1)关于复合函数f(g(x))的解析式. ①配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于 g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式; ②换元法:令g(x)=t,用t表示x,代入f(g(x))求解. (2)已知函数类型求解析式. 一般用待定系数法求解,根据函数类型设出函数解析式, 然后根据条件求出待定系数.

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?1? (3)已知关于f(x)与f?x ?或f(-x)的解析式求f(x). ? ?

1 通常用解方程组法,用 x 或(-x)替代x,构造方程,与原方 程构成方程组,解方程组可求f(x).

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(2014· 合肥二模)已知一次函数 f(x)满足 f(f(x))=3x+2,则函 数 f(x)的解析式为________.
[答案] f(x)= 3x+ 3-1或f(x)=- 3x- 3-1
[解析] 由题意,令f(x)=ax+b,则 f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=3x+2.
2 ? a ? =3, ∴? ? ?ab+b=2,

? ?a= 解得? ? ?b=

? 3, ?a=- 3, 或? ? 3-1 ?b=- 3-1,

∴f(x)= 3x+ 3-1或f(x)=- 3x- 3-1.

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教师用书独具———————————————
?1? 已知f(x)满足2f(x)+f?x ?=3x,求f(x). ? ?

1 [解析] 把题目中的x换成x , ?1? 3 ? ? 得2f x +f(x)=x , ? ? ?1? ? ?=3x,① ?2f?x?+f? ?x ? 联立方程? ? ? ?2f?1?+f?x?=3,② x ? ?x? 3 ①×2-②,得3f(x)=6x-x , 1 所以f(x)=2x-x (x≠0).
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考点三:分段函数及其创新应用
2 ? ?-x +2x,x≤0, ? ? ?ln?x+1?,x>0.

[调研3] (1)已知函数f(x)= 恒成立,则a的取值范围是( A.(-∞,0] C.[-2,1]

若|f(x)|≥ax

) B.(-∞,1] D.[-2,0]

[命题意图]

本题考查一次函数、二次函数、对数函数、

分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题,意在考查 考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力.
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[答案]

D

[解析] 当x≤0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所 以|f(x)|≥ax化简为x2-2x≥ax,即x2≥(a+2)x,因为x≤0,所以 a+2≥x恒成立,所以a≥-2;当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,所 以|f(x)|≥ax化简为ln(x+1)>ax恒成立.由函数图象可知a≤0,综 上,当-2≤a≤0时,不等式|f(x)|≥ax恒成立,选择D.

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? ?-x-1,-1≤x<0, (2)(2014· 唐山模拟)已知函数f(x)= ? ? ?-x+1,0<x≤1,



f(x)-f(-x)>-1的解集为(

)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
? 1? B.?-1,-2?∪(0,1] ? ?

C.(-∞,0)∪(1,+∞)
? 1? D.?-1,-2?∪(0,1) ? ?

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[解题指导]

对分段函数背景下的x进行分类讨论,-

1≤x<0和0<x≤1两种情况求解.

[答案]

B

[解析] ①当-1≤x<0时,0<-x≤1,此时f(x)=-x-1, f(-x)=-(-x)+1=x+1, ∴f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1, 1 1 得x<-2,则-1≤x<-2.
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②当0<x≤1时,-1≤-x<0, 此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1, ∴f(x)-f(-x)>-1化为-2x+2>-1, 3 解得x<2,则0<x≤1.
? 1? 故所求不等式的解集为?-1,-2?∪(0,1]. ? ?

故选B.

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[互动探究解析] ∵f(1)=-1+1=0, ∴f(a)=0, 若-1≤a<0,得a=-1; 若0<a≤1,得a=1, 综上所述知a=± 1.

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分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析 式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变 量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. [提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨

论.
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? ?|lg x|,0<x≤10, 已知函数f(x)= ? 1 - x+6,x>10. ? ? 2 且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( A.(1,10) C.(10,12)
[答案] C

若a,b,c互不相等, )

B.(5,6) D.(20,24)

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[解析] a,b,c互不相等,不妨设a<b<c,作出f(x)图象如 下. ∵f(a)=f(b)=f(c),由图象可知0<a<1,1<b<10,10<c<12.

∵f(a)=f(b),∴|lg a|=|lg b|, 1 1 ∴lg a=-lg b,即lg a=lg b?a=b, ∴ab=1,10<abc=c<12,故选C.
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1.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A与集合B只能 是非空数集,即函数是非空数集A到非空数集B的映射. (2)映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不是 数集,则这个映射便不是函数.

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2.定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数 如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不 是相同函数;再如函数y=sin x与y=cos x,其定义域与值域完 全相同,但不是相同函数.因此判断两个函数是否相同,关键 是看定义域和对应关系是否相同.

3. 求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义域 的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域应是 其定义城内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

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错解档案:忽视函数的定义域失误 [典例] 已知2x2+y2=6x,则x2+y2的值域是( A.(-∞,9] C.[0,9] [错解] A B.[9,+∞) D.(0,9] 根据已知y2=6x-2x2,① )

代入x2+y2得x2+y2=-x2+6x,根据二次函数的性质,当x =3时,函数f(x)=-x2+6x取得最大值9.故x2+y2的值域是(- ∞,9].②
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[错因分析]

①处:在得出y2=6x-2x2后,首先要根据

y2≥0求出x的取值范围. ②处:求出的是在x∈R的情况下的值域. [正解] 根据已知y2=6x-2x2,
由于y2≥0,故6x-2x2≥0,解得0≤x≤3, 把y2=6x-2x2代入x2+y2得x2+y2=-x2+6x, 根据二次函数的性质,当x=3时,函数f(x)=-x2+6x取得 最大值9, 当x=0时,f(x)=-x2+6x取得最小值0,故函数的值域是 [0,9].正确选项C. [答案] C
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易错误区:分段函数中忽视讨论失误 教师用书独具——————————————— (2014· 南京模拟)已知实数a≠0,函数f(x)=
? ?2x+a,x<1, ? ? ?-x-2a,x≥1,

若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.

[误区警示]

本题易出现的错误主要有两个方面:

(1)误以为1-a<1,1+a>1,没有对a进行讨论直接代入求 解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误.
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[规范解答]

当a>0时,1-a<1,1+a>1,

由f(1-a)=f(1+a),可得2-2a+a=-1-a-2a, 3 解得a=-2,不合题意; 当a<0时,1-a>1,1+a<1, 由f(1-a)=f(1+a),可得-1+a-2a=2+2a+a, 3 解得a=-4. 3 [答案] -4

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[方法点评] 1.分类讨论思想在求函数值中的应用 对于分段函数的求值问题,若自变量的取值范围不确定, 应分情况求解. 2.检验所求自变量的值或范围是否符合题意 求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意, 因此要检验结果是否符合要求.

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