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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题三 数列与不等式第三节 不等式选讲


不等式选讲是一个选考内容,纵观近年关于课程标准的高考试题,含绝对值不等式的试题常以选做题 的形式出现,属于中档偏易题.最值与恒成立问题是高考的常考点,不等式的证明常与数列相结合,考查数 学归纳法、放缩法等技能方法,属于中高档题,甚至是压轴题,难度一般控制在 0.3 ~ 0.75 之间. 考试要求: ⑴理解绝对值 | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? |

b | 及其几何意义. ①绝对值不等式的变式: | a ? b |?| a ? c | ? | c ? b | . ②利用绝对值的几何意义求解几类不等式:① | ax ? b |? c ;② | ax ? b |? c ;③ | x ? a | ? | x ? b |? c . ⑵了解不等式证明的方法:如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 题型一 含绝对值不等式 例 1 (2011 全国课标卷理科第 24 题)设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

点拨:⑴解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号. ⑵可考虑采用零点分段法. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 , 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 ,

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} . ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4 ?x ? a ? ? a 或 x?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 . 2

易错点:⑴含绝对值的不等式的转化易出错;⑵不会运用分类讨论的数学思想,去掉绝对值符号. 变式与引申 1 :若 f ( x) ? x2 ? x ? c,| x ? a |? 1,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) .

题型二

不等式的性质
1 ab

例 2 .⑴设 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? A. 1 ⑵设 x ? R ? 且 x 2 ?
2

?

1 a (a ? b)

的最小值是(

). C. 3 D. 4

B. 2
2 y ? 1 ,求 x 1 ? y 的最大值. 2

点拨:⑴观察分母能发现其和为 a 2 ,则添加 ? ab ? ab 可配凑成

a2 ?

1 ab

?

1 a ( a ? b)

? ab ?

1 ab

? a ( a ? b) ?

1 a ( a ? b)

,再利用基本不等式求解;

⑵观察已知条件,可将所求式子转化为 2 x 2 ( ? (1)【答案】D 解: a 2 ?
1 ab

1 2

y2 ) ,再利用基本不等式求解. 2
? ab ?
1 ab

?

1 a (a ? b)

? a 2 ? ab ? ab ?

1 ab

?

1 a (a ? b)

? a (a ? b ) ?

1 a (a ? b )

? 2 ? 2 ? 4 ,当且仅当

ab ? 1 , a (a ? b) ? 1 时等号成立.如取 a ? 2 , b ?
2

2 2

满足条件.选 D.

(2)∵ x ? 0 ,∴ x 1 ? y 2 ? 2 ? x 2 ( ? 又 x2 ? ( ?
1 2

1 2

y )? 2

1 y2 2[ x 2 ? ( ? )] 2 2 . 2

1 3 3 2 3 2 y2 y2 1 3 ,即 ( x 1 ? y 2 )max ? ) ? ( x2 ? ) ? ? ,∴ x 1 ? y 2 ? 2( ? ) ? 2 2 2 2 2 2 4 4

易错点:忽视基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”条件. 1 4 9 变式与引申 2:已知 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求证: ? ? ? 36 . x y z 题型三 例3 不等式的证明

25 . 2 1 1 1 1 2 点拨:由 a ? b ? 1 ,得 ab ? , a2 ? b2 ? 1 ? 2ab ? , 2 ? 2 ? ? 8 .可使问题得证. 4 2 a b ab a?b 1 1 1 1 1 2 解:∵ ? ab ,∴ ab ? , a2 ? b2 ? 1 ? 2ab ? 1 ? 2 ? ? , 2 ? 2 ? ? 8, 2 4 4 2 a b ab
已知 a, b ? R ? ,且 a ? b ? 1 ,求证: (a ? )2 ? (b ? )2 ?
1 25 1 1 1 1 ∴ (a ? )2 ? (b ? )2 ? a2 ? b2 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? 8 ? 4 ? . 2 2 a b a b

1 a

1 b

易错点:⑴易出现 (a ? )2 ? (b ? ) ? a2 ? b2 ? 式中等号成立的条件. 变式与引申 3: A. 1

1 a

1 b

1 1 1 ? 2 ? 4 ? 2(ab ? ) ? 4 ? 8 的错误;⑵忽视基本不等 2 a b ab
). D. 4

3b 是 1 ? a 和 1 ? a 的等比中项,则 a ? 3b 的最大值为(
B. 2 C. 3

题型四

不等式与函数的综合应用
2

例 4 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) .当 x ? [?1,1] 时 | f ( x) |? 1 .求证: | b |? 1 .

点拨:本题中所给条件并不足以确定参数 a , b , c 的值,但应该注意到:所要求的结论不是 b 的确定值,而 是与条件相对应的“取值范围” , 因此 , 我们可以用 f (? 1) 、 f (1) 来表示 a , b , c , 因为由已知条件有 , | f (1) |? 1,可使问题获证. | f (? 1) ? | 1 证明:由 f (1) ? a ? b ? c, f (?1) ? a ? b ? c ? b ? 1 [ f (1) ? f (?1)] ,从而有 2

1 1 1 | b |? [ f (1) ? f (?1)] ? (| f (1) | ? | f (?1) |) ,∵ | f (1) |? 1,| f (?1) |? 1 ,∴ | b |? (| f (1) | ? | f (?1) |) ? 1 . 2 2 2 易错点:⑴不会用 f (?1) 、 f (1) 来表示 a 、 b 、 c 及其它们的和差关系式,从而解题思路受阻;⑵不能灵活 运用绝对值 | a ? b |?| a | ? | b | , | a ? b |?| a | ? | b | 对问题进行转化.
变式与引申 4:设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,函数 F ( x) ? f ( x) ? x 的两个零点为 m, n(m ? n) .
2

(1)若 m ? ?1, n ? 2, 求不等式 F ( x) ? 0 的解集; (2)若 a ? 0, 且 0 ? x ? m ? n ?

1 ,比较 f ( x ) 与 m 的大小. a

本节主要考查:⑴不等式的性质(基本不等式与柯西不等式)应用;⑵含绝对值不等式的解法; ⑶逆求参数取值范围;⑷函数方程思想、分类讨论思想、转化化归思想以及比较法、分析法、综合法 等数学思想方法. 点评:⑴运用不等式性质解有关问题时,要随时对性质成立的条件保持高度警惕,避免错误发生; ⑵应用绝对值不等式解题时,要注意绝对值不等式中等号成立的条件;解含绝对值不等式的关键是去 掉绝对值符号,主要思路有:①利用绝对值的几何意义;②零点分段讨论;③平方转化;④借助图象直观 获解. ⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式选讲的重点考查内容之一,解题中常用技巧是注意创 设应用基本不等式的条件,合理地拆分项或配凑因式,即把已知式子转化成基本不等式和柯西不等式的模 型.在应用
a?b 2

? ab (a ? 0, b ? 0) 求最值时,“一正、二定、三相等”三个条件不可缺一.

⑷证明不等式的常用方法: ①比较法,即作差比较法与作商比较法;②综合法—-由因导果;③分析法---执果索因;④放缩法, 常出现在与数列和式有关的不等式证明中,运用时应注意观察 “放与缩” 的方向和 “放与缩” 的量的大小, 把握好放缩的“度”,熟记一些常用放缩技巧和放缩的结构形式. ⑸不等式作为工具,常与函数、导数、数列、解析几何结合在一起,有着广泛的应用,应给予关注. 习题 3-3 1.(2011 陕西文科第 3 题)设 0 ? a ? b ,则下列不等式中正确的是 ( )

a?b 2 a?b (c) a ? ab ? b ? 2
(A) a ? b ?

ab ?

(B) a ? (D) ).

a?b ?b 2 a?b ab ? a ? ?b 2 ab ?

2.不等式 | A. (0, 2)

x?2 x

|?

x?2 x

的解集是( B. ( ??,0)

C. (2, ??)

D. (??,0)

(0, ??)
).

3.不等式 | x ? 3| ? | x ? 1|? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] [4, ??) B. (??, ?2] [5, ??) C. [1, 2]

D. (??,1] [2, ??)

4.(2011 年山东卷文科第 16 题).已知 f ( x) ? log a x ? x ? b(a ? 0, a ? 1) 当 2<a<3<b<4 时,函数

f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n=
?
2 1 cos t

.

5.设 0 ? t ?

, a 是大于 0 的常数,若 f (t ) ?

?

a 1 ? cos t

的最小值是 16 ,则 a 的值等于______.

【答案】

当且仅当

1 1 1 y ? 2 x, z ? 3x, 即x ? , y ? , z ? 时,等号成立. 6 3 2
变式与引申 3:选 B 解:由条件可知 3b 2 ? a 2 ? 1 ,用三角代换设 a ? cos? , b ?

1 sin ? , 3

则 a ? 3b ? cos ? ? 3sin ? ? 2sin(? ? ? ) ∴选 B. 变式与引申 4: (1)由题意知, F ( x) ? f ( x) ? x ? a( x ? m)( x ? n) 当 m ? ?1, n ? 2 时,不等式 F ( x) ? 0 即为 a( x ? 1)( x ? 2) ? 0 . 当 a ? 0 时,不等式 F ( x) ? 0 的解集为 {x x ? ?1, 或 x ? 2} ; 当 a ? 0 时,不等式 F ( x) ? 0 的解集为 {x ?1 ? x ? 2}. (2) f ( x) ? m ? a( x ? m)( x ? n) ? x ? m ? ( x ? m)(ax ? an ? 1)

a ? 0, 且 0 ? x ? m ? n ?
∴ f ( x) ? m ? 0 , 即 f ( x ) ? m .

1 ,∴ x ? m ? 0,1 ? an ? ax ? 0 a

习题 3-3

| x ? 3| ? | x ? 1|? a2 ? 3a 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 , 则 a 2 ? 3a ? 4 , 解 得 a ? ?1 或 a ? 4 . 故
a ? (??, ?1] [4, ??) .
4.【答案】2 【解析】因为函数 f ( x) ? loga x ? x ? b(2 ? a ? 3) 在(0, ??) 上是增函数,

f (2) ? loga 2 ? 2 ? b ? loga a ? 2 ? b ? 3 ? b ? 0, f (3) ? loga 3 ? 3 ? b ? loga a ? 3 ? b ? 4 ? b ? 0 , ? x0 ? (2,3) 即 n ? 2 .
5.【答案】 a ? 9 解: (
1 cos t

?

a 1 ? cos t

)(cos t ? 1 ? cos t ) ? a ? 1 ? 2 a ? ( a ? 1)2 ? 16 .∴ a ? 9 .


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