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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 1.5函数y=Asin(wx+ )的图象教案 新人教A版必修4


1.5 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象
一、教学分析 本节通过图象变换,揭示参数φ 、ω 、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与正弦曲线的关系,以及 A、ω 、φ 的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦 函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难

点. 如何经过变换由正弦函数 y=sinx 来获取函数 y=Asin(ω x+φ )的图象呢?通过引导学生对函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想;并通 过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛 盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ 、ω 、A 的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式 变换的内在联系. 本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正 确找出函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,这也是本节课的重点所在. 二、教学目标: 1、知识与技能 借助计算机画出函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象,观察参数Φ ,ω ,A 对函数图象变化的影响;引导学 生认识 y=Asin(ω x+φ ) 的图象的五个关键点,学会用“五点法”画函数 y=Asin(ω x+φ )的简图;用准 确的数学语言描述不同的变换过程. 2、过程与方法 通过引导学生对函数 y=sinx 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由 简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时,一般采取先“各个击破”后“归纳整合” 的方法. 3、情感态度与价值观 经历对函数 y=sin x 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一 般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题,解决问题的能力. 三、教学重点、难点: 重点:将考察参数Α 、ω 、φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )图象的影响的问题进行分解,找出函数 y=sin x 到 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.;会用五点作 图法正确画函数 y=Asin(ω x+φ )的简图. 难点:学生对周期变换、相位变换顺序不同,图象平移量也不同的理解. 四、教学设想: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(一) (一) 、导入新课 思路 1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 y=Asin(ω x+φ )的函数(其中 A、 ω 、φ 是常数).例如,物体做简谐振动时位移 y 与时间 x 的关系,交流电中电流强度 y 与时间 x 的关系等, 都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这 些函数的图象.揭示课题:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象. 思路 2.(直接导入)从解析式来看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ω x+φ )存在着怎样的关系?从图象上看, 函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ω x+φ )存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ 、ω 、A 对 y=Asin(ω x+ φ )的图象的影响. (二) 、推进新课、新知探究、提出问题 ①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系?你认为可以怎样讨论参数φ 、ω 、A 对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响?
1

②分别在 y=sinx 和 y=sin(x+

? )的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察 3

其横坐标的变化,你能否从中发现,φ 对图象有怎样的影响?对φ 任取不同的值,作出 y=sin(x+φ )的图象, 看看与 y=sinx 的图象是否有类似的关系? ③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到 y=sin(x+φ )的图象. ④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω 对 y=sin(ω x+φ )的图象的影响吗?为了作图的方便, 先不妨固定为φ =

? ? ,从而使 y=sin(ω x+φ )在ω 变化过程中的比较对象固定为 y=sin(x+ ). 3 3 ? ? ⑤类似地,你能讨论一下参数 A 对 y=sin(2x+ )的图象的影响吗?为了研究方便,不妨令ω =2,φ = . 3 3 ? )的图象之间的关系. 3

此时 , 可以对 A 任取不同的值 , 利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象 , 观察它们与 y=sin(2x+

⑥可否先伸缩后平移?怎样先伸缩后平移的? 活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段 ,教师引导学生思考研究问题的方法. 同时引导学生 观察 y=sin(x+

? )图象上点的坐标和 y=sinx 的图象上点的坐标的关系,获得φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影 3

响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐 标总是相差

? 的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ 、ω 、A 对 y=Asin(ω x+φ ) 3

的图象的影响,然后再整合.

图1 问题②,由学生作出φ 取不同值时,函数 y=sin(x+φ )的图象,并探究它与 y=sinx 的图象的关系,看看是 否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ 对 y=sin(x+φ )的图象影响的经验.为了研究的方便,不 妨先取φ =

? ,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图 1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐 3
? ? )的图象上的点的横坐标总是等于 y=sinx 的图象上对应点的横坐标减去 . 3 3

标相同的点 A、 B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现, 对于同一个 y 值,y=sin(x+

这样的过程可通过多媒体课件,使得图中 A、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察 A、B 的坐

? )的图象,可以看作是把正弦曲线 y=sinx 上所有的点向左 3 ? ? ? 平移 个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx 的图象向左平移 使之与 y=sin(x+ )的图象 3 3 3 ? 重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ = ? ,用同样的方法可以得到 y=sinx 的图象向 4 ? ? 右平移 后与 y=sin(x ? )的图象重合. 4 4
标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明 y=sin(x+ 如果再变换φ 的值,类似的情况将不断出现,这时φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响的铺垫已经完成,学 生关于φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③,引导学生通过自己的研究认识φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响,并概括出一般结论:
2

y=sin(x+φ )(其中φ ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ >0 时)或向右(当φ <0 时 )平行移动|φ |个单位长度而得到. 问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的 思路得出结论,具体过程是:(1)以 y=sin(x+ 比较,取点 A、B 观察.发现规律:

? ? ? )为参照,把 y=sin(2x+ )的图象与 y=sin(x+ )的图象作 3 3 3

图2 如图 2,对于同一个 y 值,y=sin(2x+

? ? 1 )的图象上点的横坐标总是等于 y=sin(x+ )的图象上对应点的 倍. 3 3 2

教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基

? 1 1 ? ,让学生自己比较 y=sin( x+ )的图象与 y=sin(x+ )图象.教学中可以让学 3 2 2 3 ? 生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把 y=sin(x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来 3 1 ? 的 2 倍(纵坐标不变),就得到 y=sin( x+ )的图象. 2 3 ? 当取ω 为其他值时,观察相应的函数图象与 y=sin(x+ )的图象的关系,得出类似的结论 .这时ω 对 3
础上给出规律.(2)取ω = y=sin(ω x+φ )的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω 对 y=sin(ω x+φ )的图象的影响的一般结论已有 了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳 y=sin(ω x+φ )的图象与 y=sin(x+φ )的图象之间的关 系,得出结论: 函数 y=sin(ω x+φ )的图象可以看作是把 y=sin(x+φ )的图象上所有点的横坐标缩短(当ω >1 时)或伸 长(当 0<ω <1 时)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变)而得到.

图3 问题⑤,教师点拨学生,探索 A 对图象的影响的过程,与探索ω 、φ 对图象的影响完全一致,鼓励学生独 立完成.学生观察 y=3sin(2x+

? ? )的图象和 y=sin(2x+ )的图象之间的关系.如图 3,分别在两条曲线上各 3 3

取一个横坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的

? ? )的图象上的点的 纵坐标等于函数 y=sin(2x+ )的图 3 3 ? ? 象上点的纵坐 标的 3 倍.这说明,y=3sin(2x+ )的图象,可以看作是把 y=sin(2x+ )的图象上所有的点的 3 3
关系.可以发现,对于同一个 x 值,函数 y=3sin(2x+ 纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况.有了前 面两个参数的探究,学生得出一般结论:
3

函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象,可以看作是把 y=sin(ω x+φ )上所有点的纵坐标伸长 (当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函数 y=Asin(ω x+φ )的值域是 [-A,A],最大值是 A,最小值是-A. 由此我们得到了参数φ 、ω 、A 对函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象变化的影响情况. 一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象,可以看作用下面的方法得到: 先画出函数 y=sinx 的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ |个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ )的图 象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的

1

?

倍,得到函数 y=sin(ω x+φ )的图象;最后把曲线上各点的

纵坐标变为原来的 A 倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(ω x+φ )的图象. ⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学 生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节. 由此我们完成了参数φ 、ω 、A 对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中 体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. (三) 、讨论结果: ①把从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ 、ω 、 A 对函数图象的影响,然后整合为对 y=Asin(ω x+φ )的整体考察. ②略②略. ③图象左右平移,φ 影响的是图象与 x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω 影响了图象的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图象的形状. (四) 、规律总结: 先平移后伸缩的步骤程序如下:

向左(? ?0 )或向右 (? ?0 ) ? ????? ?? 得 y=sin(x+φ )的图象 y=sinx 的图象 平移|? |个单位长度
( 0?? ?1)或缩短 (? ?1) ?横坐标伸长 ??? ? ? ? ??? 得 y=sin(ω x+φ )的图象 1 到原来 (纵坐标不变 )

?

( A?1)或缩短 ( 0? A?1) ?纵坐标伸长 ??? ?????? 得 y=Asin(ω x+φ )的图象. 为原来的 A倍( 横坐标不变 )

先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移. y=sinx 的图象

( A?1)或缩短 ( 0? A?1) ?纵坐标伸长 ??? ?????? 得 y=Asinx 的图象 这原来的 A倍( 横坐标不变 )

( 0?? ?1)或缩短 (? ?1) ?横坐标伸长 ??? ? ? ? ??? 1 到原来的 (纵坐标不变 )

得 y=Asin(ω x)的图象

?

(? ?0 )或缩短 (? ?1) ?向左 ?? ??? ?? 平移| |个单位

? ?

得 y=Asin(ω x+φ )的图象.

4

(五) 、应用示例 例 1 画出函数 y=2sin(

1 ? x- )的简图. 3 6 1 ? ,ω = ,A=2,鼓励学生根据本节所学内容自 3 6 ?

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ = ? 己写出得到 y=2sin(

1 ? x- )的图象的过程:只需把 y=sinx 的曲线上所有点向右平行移动 个单位长度, 3 6 6 ? 1 ? 得到 y=sin(x- )的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变),得到 y=sin( x- ) 6 3 6 1 ? 的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到函数 y=2sin( x- )的图 3 6
象,如图 4 所示.

图4 (2)学生完成以上变换后 ,为了进一步掌握图象的变换规律 ,教师可引导学生作换个顺序的图象变换 , 要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质. (3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数 y=2sin( 发学生能否利用“五点法”作图画出函数 y=2sin( 求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数 y=2sin(
?

1 ? x- )的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要 3 6

1 ? x- ),简图的方法,教师再进一步的启 3 6

1 ? x- )简图的方法为 3 6

y=sinx

?? ? ? ?? y=sin(x- ? )
6

右移 个单位 6

横坐标不变 1 ? y=sin( x- ) 纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标伸长到原来的 3倍 3 6 1 ? y=2sin( x- ). 3 6 1 ? 方法二:画出函数 y=2sin( x- )简图的又一方法为 3 6

?纵坐标不变 ? ???

?? ???

y=sinx

横坐标伸长到原来的 3倍 横坐标不变

?纵坐标不变 ? ???

y=sin

1 x 3
右移 个单位 2

?? ??? y=2sin 1 x 纵坐标伸长到原来的 2 倍 3

?? ? ? ?? y=2sin( 1 x- ? )=2sin 1 (x- ? ).
3 6 3 2
5

?

方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)

令 X= X X Y

1 ? ? x- ,则 x=3(X+ ).列表: 3 6 6
0

? 2
2π 2

π

3? 2
5π -2



?
2
0

7? 2
0

13? 2
0

描点画图,如图 5 所示.

图5 点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强 调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于 “五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与 x 轴相交的点.找出它们的方 法是先作变量代换,设 X=ω x+φ ,再用方程思想由 X 取 0,

? 3? ,π , ,2π 来确定对应的 x 值. 2 2

(六) 、课堂小结 1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识, 使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出 y=Asin(ω x+

? )的图象,并分别观察参数φ 、ω 、A 对函 3

数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想. (七) 、作业

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(二)
6

(一) 、导入新课 思路 1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ 、ω 、A 对函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响 及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,φ ≠0)的图象变换及其 物理背景.由此展开新课. 思路 2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及 “五点作图法” 画出函数 y=4sin(

1 ? x- )的简图,学生 2 3

动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展 开新课. (二) 、推进新课、新知探究、提出问题 ①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时,列表中最关键的步骤是什 么?

? )的图象; 3 ? (2)把函数 y=sin3x 的图象向_______平移_______个单位长度得到函数 y=sin(3x+ )的图象; 6 ? (3)如何由函数 y=sinx 的图象通过变换得到函数 y=sin(2x+ )的图象? 3 ? ③将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度,所得到的曲线 2 1 是 y= sinx 的图象,试求函数 y=f(x)的解析式. 2
②(1)把函数 y=sin2x 的图象向_____平移_____个单位长度得到函数 y=sin(2x- 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.

? ? 1 1 sinx 的图象先向右平移 个单位长度,得到 y= sin(x- )的图象,再将所 2 2 2 2 ? 1 1 1 得 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 , 得 到 y= sin(2x- ), 即 y= ? cos2x 的 图 象 , ∴ 2 2 2 2 1 f(x)= ? cos2x. 2
甲:所给问题即是将 y= 乙: 设 f(x)=Asin(ω x+φ ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=Asin( 象,再将所得的图象向左 平移

?
2

x+φ )的图

? ? ? ? 1 1 ? 个单位长度,得到 y=Asin( x+ +φ )= sinx,∴A= , =1, +φ =0, 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 1 即 A= ,ω =2,φ =- .∴f(x)= sin(2x- )= ? cos2x. 2 2 2 2 2 ? 丙: 设 f(x)=Asin(ω x+φ ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=Asin( x+φ )的图 2 ? ? ? ? ?? 1 象,再将所得的图象向左平移 个单位长度,得到 y=Asin[ (x+ )+φ ]=Asin( x+ +φ )= sinx, 2 2 4 2 2 2 1 ? ?? ∴A= , =1, +φ =0. 2 2 4 ? 1 解得 A= ,ω =2,φ =- , 2 2 ? 1 1 ∴f(x)= sin(2x- )= ? cos2x. 2 2 2
活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、 难点创设情境.让学生回答并回忆 A、
7

ω 、φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生 准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题②,让学生通过实例综合以上两种变换 ,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的 根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力 ,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能 力. 问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由 y=

1 sinx 变换到 y=f(x),解 2

答正确.乙、丙都是采用代换法,即设 y=Asin(ω x+φ ),然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解 析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答 过程中存在实质性的错误,就是将 y=Asin( 象向左平移

?
2

x+φ )的图

? ? ? 个 单 位 长 度 时 , 把 y=Asin( x+ φ ) 函 数 中 的 自 变 量 x 变 成 x+ ,应该变换成 2 2 2 ? ? ? ? y=Asin[ (x+ )+φ ],而不是变换成 y=Asin( x+ +φ ),虽然结果一样,但这是巧合,丙的解答是正确 2 2 2 2
的. 三 角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在 对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量 x 而言的, 比如乙同学的变换就出现了这种错误.

? 3? ,π , ,2π . 2 2 ? ? ? 1 ②(1)右, ;(2)左, ;(3)先 y=sinx 的图象左移 ,再把所有点的横坐标压缩到原来的 倍(纵坐 6 3 18 2
讨论结果:①将ω x+φ 看作一个整体,令其分别为 0, 标不变). ③略. 提出问题 ①回忆物理中简谐运动的相关内容 ,并阅读本章开头的简谐运动的图象 ,你能说出简谐运动的函数关 系吗? ②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与 A、ω 、φ 有何关 系. 活动:教师引导学生阅读并适时点 拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联 系,了解常数 A、ω 、 φ 与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下 形式:y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω >0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率 等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大 距离;这个简谐运动的周期是 T= 频率由公式 f=

2?

1 ? = 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ω x+φ 称为相位;x=0 时 T 2?

?

,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的

的相位φ 称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω >0. ②略. (三) 、应用示例 例 1 图 7 是某简谐 运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
8

图7 活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提 醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考 y=Asin(ω x+φ )中的参数φ 、ω 、A 在图象上是怎样反映的,要解 决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ 、ω 、A 等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思 路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括 出研究函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为 2 cm;周期为 0.8 s;频率为

5 . 4

(2)如果从 O 点算起,到曲线上的 D 点,表示完成了一次往复运动;如果从 A 点算起,则到曲线上的 E 点, 表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),

5? ;由图象知初相φ =0. ? 2 5? 于是所求函数表达式是 y=2sin x,x∈[0,+∞). 2
那么 A=2;由 =0.8,得ω = 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结 合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练 函数 y=6sin(

2?

1 ? x- )的振幅是,周期是____________,频率是____________,初相是___________,图象 6 4 1 8? ?

最高点的坐标是_______________. 解:6 8π

? 6

(8kπ +

8? ,6)(k∈Z) 3

例 2 若函数 y=Asin(ω x+φ )+B(其中 A>0,ω >0)在其一个周期内的图象上有一个最高点( 点(

? ,-5),求这个函数的解析式. 12

? ,3)和一个最低 12

活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为 y=Asin(ω x+φ )+B(其中 A>0,ω >0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与 y=Asin(ω x+φ )的图象的关系, 它只是把 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最 大值与最小值时相应的 x 的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ 的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟 没有直接给出图象,不像例 1 那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ |<π ,如不注明, 就取离 y 轴最近的一个即可. 解:由已知条件,知 ymax=3,ymin=-5, 则 A=

T 7? ? ? 1 1 (ymax-ymin)=4,B= (ymax+ymin)=-1, = - = . 2 12 12 2 2 2

∴T=π ,得ω =2. 故有 y=4sin(2x+φ )-1. 由于点(

? ? ,3)在函数的图象上,故有 3=4sin(2× +φ )-1, 12 12
9

? ? ? ? ? +φ )=1.一般要求|φ |< ,故取 +φ = .∴φ = . 6 2 6 2 3 ? 故所求函数的解析式为 y=4sin(2x+ )-1. 3
即 sin( 点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图 ,结 合图象可直接求得 A、ω ,进而求得初相φ ,但要注意初相φ 的确定.求初相也是这节课的一个难点. 变式训练 已知函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)一个周期的图象如图 8 所示,求函数的解析式.

解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程 ω xi+φ =0,

? 3? ,π , ,2π (i=1,2,3,4,5),得出φ 的值. 2 2
=3π ,得ω =

方法一:由图知 A=2,T=3π ,

2 2 ,∴y=2sin( x+φ ). ? 3 3 3? 由“五点法”知,第一个零点为( ,0), 4 ? 2 3? ∴ · +φ =0 ?φ =- , 2 3 4 2 ? 故 y=2sin( x- ). 3 2 2 方法二:得到 y=2sin( x+φ )同方法一. 3 3? 9? 由图象并结合“五点法”可知,( ,0)为第一个零点,( ,0)为第二个零点. 4 4 2 9? ? ∴ · +φ =π ?φ = ? . 3 4 2 2 ? ∴y=2sin( x- ). 3 2
由 点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ω x1+φ =0 或ω x2+φ =π 求出φ . 2.2007 海南高考,3 函数 y=sin(2x-

2?

? ? )在区间[ ? ,π ]上的简图是( 3 2

)

10

图9 答案:A (四) 、课堂小结 1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊 到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值. 2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的 思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可;如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数, 且需 x 的系数相同.左右平移时,如果 x 前面的系数不是 1,需将 x 前面的系数提出,特别是给出图象确定解 析式 y=Asin(ω x+φ )的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点( ? 升降情况找准第一零点的位置. (五) 、作业

? ,0)作为突破口,一定要从图象的 ?

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