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浙江省绍兴一中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版


绍兴一中期中测试试题卷高二数学(理)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是 A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

/>
D.

5? 6

2.在空间直角坐标系中,点 M(-3,1,5),关于 x 轴对称的点的坐标是 A.(-3,-1,-5) B.(-3,1,-5) C. (3,1,-5) D.(3,-1,-5) 3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 4.在平面直角坐标系内,若曲线 C : x2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a2 ? 4 ? 0 上所有的点均在第 二象限内,则实数 a 的取值范围为 A.

? ??, ?2?

B. ? ??, ?1?

C. ?1, ?? ?

D. ? 2, ???

5.已知 AB =(1,5,-2), BC =(3,1,z),若 AB ⊥ BC , BP =(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x、y、z 分别为 33 15 40 15 40 40 A. ,- ,4 B. ,- ,4 C. ,-2,4 D.4, ,-15 7 7 7 7 7 7 6.设 a 、 b 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,则下列命题错误 的是 .. A.若 a ? ? , b // ? ,则 a ? b C.若 a ? ? , b ? ? , ? // ? ,则 a // b B.若 a ? ? , b // a , b ? ? ,则 ? ? ? D.若 a // ? , a // ? ,则 ? // ?

E 是 AD 的中点,则异面直线 A1B 与 C1E 所成角 7.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
的大小是

A.

? 6
2 2

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

8.若圆 C:x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆 C 所作 的切线长的最小值是 A.2 B. 3 C.4 D. 14

9.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF ? 则下列结论中错误 的是 .. A. AC ? BE B.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 C.二面角 A-EF-B 的大小为定值 D.异面直线 AE,BF 所成角为定值

2 , 2

10.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最
1

小值为 A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离 d ? ▲ .

D.-3+2 2

12.在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,以顶点 A 为端点 的三条棱长都为 1,且它们彼此的夹角都是 60°,则对 角线 AC1 的长是 ▲ . 13. 一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示, 其中正 (主) 视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等 2 腰三角形,则这个几何体的表面积是 ▲ cm . 14.已知圆C过直线2 x + y +4=0 和圆x +y +2 x-4 y +1=0 的交点,且原点在圆C上.则圆C的方程为 ▲ .
2 2

(第 13 题)

2 15.若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,则半

径 r 的取值范围是 ▲


?

16.将一个水平放置的正方形 ABCD 绕直线 AB 向上转动 45 到 ABC1 D1 ,再将所得正方 形 ABC1 D1 绕直线 BC1 向上转动 45 到 A2 BC1 D2 ,则平面 A2 BC1 D2 与平面 ABCD 所 成二面角的正弦值等于____▲ ___. 三、解答题 (本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(本小题满分 8 分) 光线从 A(-3,4)点射出,到 x 轴上的 B 点后,被 x 轴反射,这时反射光线恰好过点 C(1,6) ,求 BC 所在直线的方程及点 B 的坐标.
?

18. (本小题满分 12 分)

AB // DC , ?ABC ? 45? , 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形,
DC ? 1 , AB ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 .
(Ⅰ)求证: AB // 平面 PCD ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅲ)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M—ACD 的体积. P

A

M

B

D

C

2

19. (本小题满分 10 分) 已知点 E (2,1) 和圆 O: x2 ? y 2 ? 16 . (Ⅰ)过点 E 的直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 4 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)试探究是否存在这样的点 M:M 是圆 O 内部的整点(平 面内横、纵坐标均为整数的点称为整点) ,且△OEM 的面 积 S?OEM ? 2 ?若存在,求出点 M 的坐标,若不存在, 说明理由.

20.(本小题满分 10 分) 如图,已知三角形 ?ABC 与 ?BCD 所在平面互相垂直,且 ?BAC ? ?BCD ? 900 ,

AB ? AC , CB ? CD ,点 P , Q 分别在线段 BD, CD 上,沿直线 PQ 将 ? PQD 向上翻折,
使 D 与 A 重合. (Ⅰ)求证: AB ? CQ ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 ACQ 所成角的正弦值.
A A

C

Q

C

Q

B

P

D

B

P

D

21.(本小题满分 12 分) 如图,圆 C: x ? (1 ? a) x ? y ? ay ? a ? 0 .
2 2

(Ⅰ)若圆 C 与 x 轴相切,求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 a ? 1 ,圆 C 与 x 轴相交于两点 M,N(点 M 在点 N 的左侧) .过点 M 任作一条直线与圆 O: x ? y ? 4 相交
2 2

于两点 A, B. 问: 是否存在实数 a , 使得 ?ANM ? ?BNM ? 若存在,求出实数 a 的值,若不存在,请说明理由.

3

2013 学年 期中测试试题卷 绍兴一中 第一学期 高二数学(文理)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是 A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

【答案】B 2.在空间直角坐标系中,点 M(-3,1,5),关于 x 轴对称的点的坐标是 A.(-3,-1,-5) B.(-3,1,-5) C. (3,1,-5) D.(3,-1,-5) 【答案】A 3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A 4. (文)在平面直角坐标系内,若圆 C : x2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a2 ? 4 ? 0 的圆心在第二 象限内,则实数 a 的取值范围为 A.

? ??, ?2?

B. ? ??,0?

C. ? 0, ???

D. ? 2, ???

【答案】C (理)在平面直角坐标系内,若曲线 C : x2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a2 ? 4 ? 0 上所有的点均 在第二象限内,则实数 a 的取值范围为 A.

? ??, ?2?

B. ? ??, ?1?

C. ?1, ?? ?

D. ? 2, ???

【答案】D 5.已知 AB =(1,5,-2), BC =(3,1,z),若 AB ⊥ BC , BP =(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x、y、z 分别为 33 15 40 15 40 40 A. ,- ,4 B. ,- ,4 C. ,-2,4 D.4, ,-15 7 7 7 7 7 7 【答案】 B 6.设 a 、 b 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,则下列命题错误 的是 .. A.若 a ? ? , b // ? ,则 a ? b C.若 a ? ? , b ? ? , ? // ? ,则 a // b 【答案】D B.若 a ? ? , b // a , b ? ? ,则 ? ? ? D.若 a // ? , a // ? ,则 ? // ?

E 是 AD 的中点,则异面直线 C1E 与 BC 所成的 7. (文)在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
角的余弦值是

4

A.

10 5

B.

10 10

C.

1 3

D.

2 2 3

【答案】C

E 是 AD 的中点,则异面直线 A1B 与 C1E 所成角的 (理)在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
大小是 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】 D 2 2 8. (文)已知点 A(a,b) 满足方程 x-y-3=0,则由点 A 向圆 C:x +y +2x-4y+3=0 所作 的切线长的最小值是 A.2 B. 3 C.4 D. 14 【答案】C 2 2 (理)若圆 C:x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆 C 所作的切线长的最小值是 A.2 【答案】C B. 3 C.4 D. 14

9.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF ? 则下列结论中错误 的是 .. A. AC ? BE B.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 C.二面角 A-EF-B 的大小为定值 D.异面直线 AE,BF 所成角为定值 【答案】D

2 , 2

10.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最 小值为 A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 【答案】D 二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离 d ? 【答案】 5 12. (文)已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此 球体的半径为 ▲ . 【答案】3 (理)在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,以顶点 A 为端 点的三条棱长都为 1,且它们彼此的夹角都是 60°,则 对角线 AC1 的长是 ▲ . 【答案】 6 13. 一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示, 其中正 (主) 视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等 ▲ .

(第 13 题)

5

腰三角形,则这个几何体的表面积是 ▲ cm . 【答案】 2 2 ? 2? 2 2 14.已知圆 C 过直线 2 x + y +4=0 和圆 x +y +2 x-4 y +1=0 的交点,且原点在圆 C 上.则圆 C 的方程为 ▲ .

2

【答案】 x ? y ?
2 2

3 17 x? y?0 2 4

2 15. (文)若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) ? r 2 上有且仅有一个点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,

则半径 r 的值是 ▲ 【答案】4



2 (理)若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,则

半径 r 的取值范围是 ▲ 【答案】 (4,6)



16. (文) 已知四面体 ABCD 中,DA ? DB ? DC ? 3 2 ,且 DA, DB,DC 两两互相垂直,点 O 是 ?ABC 的中心,将 ?DAO 绕 直线 DO 旋转一周,则在旋转过程中,直线 DA 与直线 BC 所成 角的余弦值的最大值是___▲ __.
(第 16 题)

【答案】

6 3
?

(理)将一个水平放置的正方形 ABCD 绕直线 AB 向上转动 45 到 ABC1 D1 ,再将所得正 方形 ABC1 D1 绕直线 BC1 向上转动 45 到 A2 BC1 D2 ,则平面 A2 BC1 D2 与平面 ABCD 所成二面角的正弦值等于____▲ ___. 【答案】
?

3 2

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(本小题满分 8 分) 光线从 A(-3,4)点射出,到 x 轴上的 B 点后,被 x 轴反射,这时反射光线恰好过点 C(1,6) ,求 BC 所在直线的方程及点 B 的坐标. 【解析】 点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(- 3,- 4) , A′在直线 BC 上, ∴ k BC ?

5 2 7 ,0) . 5
6

∴BC 的方程为 5x-2y+7=0. 点 B 的坐标为 B(?

18. (本小题满分 12 分)
? 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB // DC , ?ABC ? 45 ,

DC ? 1 , AB ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 .

P

(Ⅰ)求证: AB // 平面 PCD ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅲ)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M—ACD 的体积. M A B 【解析】 (Ⅰ)证明: AB // DC ,且 AB ? 平面 PCD ∴ AB// 平面 PCD . D C (Ⅱ)证明:在直角梯形 ABCD中,过 C 作 CE ? AB 于点 E ,则四边形 ADCE 为矩形 ∴ AE ? DC ? 1 ,又 AB ? 2 ,∴ BE ? 1 ,在Rt△ BEC 中, ?ABC ? 45? , ∴ CE ? BE ? 1, CB ?

2
2 2 2 AD2 ? DC 2 ? 2 , AC ? BC ? AB

∴ AD ? CE ? 1,则 AC ? ∴ BC ? AC 又? PA ? 平面ABCD

P ∴ PA ? BC A M

PA? AC ? A ∴ BC ? 平面 PAC (Ⅲ)∵ M 是 PC 中点, ∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半 1 1 1 1 1 1 VM ? AC D ? S ?AC D ? ( PA) ? ? ( ?1?1) ? ? 3 2 3 2 2 12
19. (本小题满分 10 分) (文)已知点 E (2,1) 和圆 O: x ? y ? 16 .
2 2

B

D

C

(Ⅰ)过点 E 的直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 2 15 ,求直 线 l 的方程; (Ⅱ)若△OEM 的面积 S?OEM ? 2 ,且 M 是圆 O 内部第一、 二象限的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点) ,求 出点 M 的坐标. 【解析】 (Ⅰ)方程为: y ? 1 或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . (Ⅱ) (?2,1),(2,3), (理)已知点 E (2,1) 和圆 O: x ? y ? 16 .
2 2

(Ⅰ)过点 E 的直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 4 3 ,求直线 l 的方程;
7

(Ⅱ)试探究是否存在这样的点 M:M 是圆 O 内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数 的点称为整点) ,且△OEM 的面积 S?OEM ? 2 ?若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理 由. 【解析】 (Ⅰ)方程为: x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 . (Ⅱ)连结 OE,点 A (?4, 0) ,B (4, 0) 满足 S?OEA ? S?OEB ? 2 , 分别过 A、B 作直线 OE 的两条平行线 l1 、 l2 . ∵ kOE ?

1 2

∴直线 l1 、 l2 的方程分别为:

y?

1 1 ( x ? 4) 、 y ? ( x ? 4) 2 2

设点 M ( x, y ) ( x, y ? Z ) ∴ x2 ? y 2 ? 16

? x 2 ? y 2 ? 16 ? x 2 ? y 2 ? 16 2 2 ? ? 分别解 ? 与? ,得 ?4 ? x ? 2 与 ?2 ? x ? 4 1 1 5 5 ? y ? ( x ? 4) ? y ? ( x ? 4) ? 2 ? 2
∵ x, y ? Z ∴ x 为偶数,在 ( ?4, 2 ) 上 x ? ?2,,0, 2 对应的 y ? 1, 2,3 在 ( ?2

2 5

2 , 4) 上 x ? ?2,0, 2 ,对应的 y ? ?3, ?2, ?1 5

∴满足条件的点 M 存在,共有 6 个,它们的坐标分别为:

(?2,1),(0, 2),(2,3), (?2, ?3),(0, ?2),(2, ?1) .
20.(本小题满分 10 分) ( 文 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 V ? ABCD, 底 面 ABCD 是平行四边形,点 V 在平面 ABCD 上的 射影 E 在 AD 边 上 , 且 AE ?

1 ED , 3

VE ? 4, BE ? EC ? 2, ?BEC ? 90 .
(Ⅰ) 设 F 是 BC 的中点, 求异面直线 EF 与 VC 所成角的余弦值; (Ⅱ) 设点 P 在棱 VC 上, 且 DP ? EC . 求 的值.

VP PC

8

【解析】 (Ⅰ) 在平面 ABCD 内, 过 C 作 CM // FE 交 AD 与 M ,连接 VM ,则 ?VCM 或其补角即为异面直线 EF 与 VC 所成角. V C 中 M , 在 △

CM ? EF ?

BC ? 2 VC ? , 2

VM ?

2 ,

5

,

3

2

由余弦定理得 cos ?VCM ?

10 , 10 10 . 10

故异面直线 EF 与 VC 所成角的余弦值为

(Ⅱ)在平面 ABCD 内,过 D 作 DN ? EC 交 EC 与 N ,连接 PN , ∵ DP ? EC ,∴ EC ? 平面NDP ,∴ EC ? PN . 又 VE ? 平面ABCD ,故 VE ? EC ,故在平面 VEC 中可知 PN // VE ,



VP EN 3 2 3 ? ,又 EN ? ED ? cos 45 ? ? 2 2 ? ? , PC NC 4 2 2

3 VP EN 2 故 ? ? ? 3. PC NC 1 2
(理)如图,已知三角形 ?ABC 与 ?BCD 所在平面互相垂直,且 ?BAC ? ?BCD ? 900 ,

AB ? AC , CB ? CD ,点 P , Q 分别在线段 BD, CD 上,沿直线 PQ 将 ? PQD 向上翻折,
使 D 与 A 重合. (Ⅰ)求证: AB ? CQ ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 ACQ 所成的角的正弦值.

A

A

C

Q

C

Q

B

P

D

B

P

D

【解析】

9

(I)证明

面 ABC ? 面 BCQ

又 CQ ? BC ? CQ ? 面 ABC

? CQ ? AB
(Ⅱ)解 1:作 AO ? BC ,垂足为 O ,则 AO ? 面 BCQ , 连接 OP 设 AB ? 1 ,则 BD ? 2 ,设 BP ? x 由题意 AP ? DP 则(
A

C O B P

Q

2 2 2 2 ) ? x2 ? 2 ? ? x cos 45? ? ( ) 2 ? (2 ? x) 2 2 2 2

解得 x ? 1 由(Ⅰ)知 AB ? 面 ACQ

D

? 直线 AP 与平面 ACQ 所成的角的正弦值
sin ? ?

1 . 2

21.(本小题满分 12 分) 如图,圆 C: x 2 ? (1 ? a) x ? y 2 ? ay ? a ? 0 . (Ⅰ)若圆 C 与 x 轴相切,求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 a ? 1 ,圆 C 与 x 轴相交于两点 M,N(点 M 在点 N 的左侧) .过点 M 任作一条直线与圆 O: x ? y ? 4 相交
2 2

于两点 A, B. 问: 是否存在实数 a , 使得 ?ANM ? ?BNM ? 若存在,求出实数 a 的值,若不存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)因为 ?
2

y?0 2 ? x ? (1 ? a) x ? y ? ay ? a ? 0 ?
2

得 x ? (1 ? a) x ? a ? 0 ,
2 2 由题意得 ? ? (1 ? a) ? 4a ? (a ? 1) ? 0 ,所以 a ? 1

故所求圆 C 的方程为 x ? 2x ? y ? y ? 1 ? 0 .
2 2 2 (Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? (1 ? a) x ? a ? 0 ,

即 ( x ? 1)(x ? a) ? 0

10

所以 M (1,0), N (a,0) 假设存在实数 a , 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入 x 2 ? y 2 ? 4 得, (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 从而 x1 ? x 2 ?

2k 2 k2 ?4 , x x ? 1 2 1? k 2 1? k 2

因为

y1 y2 k[(x1 ? 1)(x2 ? a) ? ( x2 ? 1)(x1 ? a)] ? ? x1 ? a x2 ? a ( x1 ? a)(x2 ? a)

而 ( x1 ? 1)(x2 ? a) ? ( x2 ? 1)(x1 ? a) ? 2 x1 x2 ? (a ? 1)(x2 ? x1 ) ? 2a

?2
?

k2 ?4 2k 2 ? ( a ? 1 ) ? 2a 1? k 2 1? k 2

2a ? 8 1? k 2

因为 ?ANM ? ?BNM ,所以

y1 y2 2a ? 8 ? 0 ,得 a ? 4 . ? ? 0 ,即 1? k 2 x1 ? a x2 ? a

当直线 AB 与 x 轴垂直时,也成立. 故存在 a ? 4 ,使得 ?ANM ? ?BNM .

11


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