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上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:数列


上海市各区县 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 数
一、填空题 1、 (虹口区 2015 届高三上期末) 设等比数列 ?an ? 的公比为 q , 前 n 项和为 Sn , 若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q ? 2、 (嘉定区 2015 届高三上期末) 设数列 {an } 是等差数列, 其首项 a1 ? 1 , 公差 d ?

0 ,{an }
* * 的前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N ,总存在 m ? N ,使得 S n ? am .则 d ? _______



3、 (金山区 2015 届高三上期末)等差数列{an}中,a2=8,S10=185,则数列{an}的通项公式 an= ▲ (n?N*). 4、 (静安区 2015 届高三上期末) 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 2?n ? 2 n?1 (其中 n ? N * ) , 则该数列的前 n 项和 S n ? 5、 (普陀区 2015 届高三上期末)若无穷等比数列 {an } 的各项和等于公比 q ,则首项 a1 的最 大值是 6、 (青浦区 2015 届高三上期末)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? 42 ,则 a4 ? 7、 ( 松 江 区 2015 届 高 三 上 期 末 ) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , a2 ? 6, a5 ? 15 , 则

a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ?



8、 ( 徐 汇 区 2015 届 高 三 上 期 末 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a1 ? 1 ,

1 S n ? an ?1 ? 0(n ? N * ) ,则 ?an ? 的通项公式为 2
9、 (杨浦区 2015 届高三上期末)已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式为

an ? ______________
二、选择题

则a7 ? a9 ? a11 1、 (浦东区 2015 届高三上期末) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 S17 ? 170 ,
的值为 ( )

( A) 10

( B ) 20

(C ) 25

( D) 30

2、 (徐汇区 2015 届高三上期末)某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖, 全部商品共有 n 类 (n ? N ) ,分别编号为 1, 2,
*

, n ,买家共有 m 名 (m ? N * , m ? n) ,

分别编号为 1, 2,

?1, 第i名买家购买第j类商品 1 ? i ? m,1 ? j ? n , , m .若 aij ? ? ?0, 第i名买家不购买第j类商品


则同时购买第 1 类和第 2 类商品的人数是( (A)a11 ? a12 ?

? a1m ? a21 ? a22 ? ? am1am2

? a2m (B)a11 ? a21 ?

? am1 ? a12 ? a22 ? ? a1ma2m

? am2

(C) a11a12 ? a21a22 ?

(D) a11a21 ? a12 a22 ?

3、 (杨浦区 2015 届高三上期末)对数列 ?an ? , ?bn ? ,若区间 ? an , bn ? 满足下列条件:

? bn ? an ? ? 0 , ? an , bn ? n ? N * ;② lim ① ? an ?1 , bn ?1 ? ? ? n ??
则称 ? ? an , bn ? ? 为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是(

?

?

?

?



?1? ? 2? A an ? ? ? , bn ? ? ? ; ?2? ? 3? ?1? C . an ? , bn ? 1 ? ? ? n ? 3?
n ?1
n

n

n

n ?1? B. an ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ?3?
D . an ?

n

n?3 n?2

, bn ?

n?2 n ?1

4、 (闸北区 2015 届高三上期末)已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 【 】 A.若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 ; B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 ; C.若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 ; 三、解答题 1、 (宝山区 29)已知抛物线 x 2 ? 4 y ,过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一 点 P1 ,又过点 P1 作斜率为 1 的直线交抛物线于点 P2 ,再过 P2 作斜率为 1 的直 学科网线交抛物
2 4

D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 .

线于点 P3 , ,如此继续。一般地,过点 Pn 作斜率为 1 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点
2n

Pn ( xn , yn ) .
(1)求 x3 ? x1 的值; (2)令 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (3)记 P 为点列 P 1, P 3 , ???, P 2n?1 , ??? 的极限点,求 奇 (x奇 , y奇 ) 点P 的坐标. 奇

2、 (宝山区 32)设数列 ?an ? 的首项 a 1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an (n ? N*) . (1)证明: ?an ?

? ?

3n ? ? 是等比数列; 5?

(2)若 a1 ? 3 , ?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说 2 明理由. (3)若 ?an ? 是递增数列,求 a 1 的取值范围. 3、 (崇明县 23)已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 m ?
n ? 1, ?1, 2an ,数列 ?bn ? 满足关系式 bn ? ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n ?2 2 ?bn ?1 ? m, n ? 2,

( 3 ) 设 ( 2 ) 中 的 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 S n , 对 任 意 的 正 整 数 n ,

?1 ? n ? ? ? Sn ? n ? 2? ? ? n ? p ? 2n?1 ? 2 恒成立,求实数 p 的取值范围.
4、 (奉贤区 28)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更 换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车, 学科网更换的新车为电力型 车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计划以 后电力型车每年的投入量比上一年增加 50% ,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.设

an 、bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设 Sn 、Tn 分别为 n
年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。 (1)求 S n 、 Tn ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值.

5、 (奉贤区 30)对于正项数列 {an } ,若

an ?1 ? q 对一切 n ? N * 恒成立,则 an ? a1 ? qn?1 对 an
1 ? (3c) n ; 1 ? 3c

n ? N * 也恒成立是真命题.
(1) 若 a1 ? 1 , 且 an ? 0 , (2)若 x1 ? 4 , xn ?

an ?1 1 ? 3( cc ? , c ? 1 ) an 3

, 求证: 数列 {an } 前 n 项和 Sn ?

2 2 2 xn?1 ? 3(n ? 2, n ? N * ) ,求证: 3 ? ( ) n ?1 ? xn ? 3 ? ( ) n ?1 . 3 3

6、 (虹口区 22) 已知各项均不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 4Sn ? an ? an?1 ? 1 n ? N ? , 其中 a1 ? 1 . (1)求证: a1 , a3 , a5 成等差数列; (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (3)设数列 ?bn ? 满足 2bn ? 1 ? 等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立.
1 ? n ? N ? ? ,且 Tn 为其前 n 项和,求证:对任意正整数 n ,不 an

?

?

7、 (黄浦区 22)定义:若各项为正实数的数列 ?an ? 满足 an?1 ? an (n ? N* ) ,则称数列 ?an ? 为“算术平方根递推数列”. 已知数列 ?xn ? 满足 xn ? 0,n ? N* , 且 x1 ? 9 , 点 ( xn ?1 , xn ) 在二次函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2 x 的图
2

像上. (1)试判断数列 ?2 xn ? 1? (n ? N ) 是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
*

(2)记 yn ? lg(2 xn ? 1) (n ? N ) ,求证:数列 ? yn ? 是等比数列,并求出通项公式 yn ;
*

(3)从数列 ? yn ? 中依据某种顺序自左至右取出其中的项 yn1 , yn2 , yn3 , 一个新数列 ?zn ? : z1 ? yn1 , z2 ? yn2 , z3 ? yn3 ,

,把这些项重新组成

.(理科)若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( 1 ) m ?1 、公比为 q ? 1k ( m, k ? N* ) 的无穷等比数列,且数列 2 2

?zn ? 各项的和为 16 ,求正整数 k、 m 的值.
63

8、 (嘉定区 23) 已知数列 {an } 、{bn } 的各项均为正数, 且对任意 n ? N , 都有 an ,bn ,an ?1
*

成等差数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15 . (1)求证:数列 { bn } 是等差数列; (2)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;

(3)设 Sn ?

b 1 1 1 ? ? ? ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2a ? S n ? 2 ? n 恒成立, a1 a2 an an

求实数 a 的取值范围.

9、 (金山区 21)已知 a>0 且 a?1,数列{an}是首项与公比均为 a 的等比数列,数列{bn}满足 bn=an?lgan(n?N*). (1)若 a=3,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (2)若对于 n?N*,总有 bn < bn+1,求 a 的取值范围.

10、 (静安区 23)在数列 ?a n ? 中,已知 a 2 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?
n ? N *)

n(an ? a1 ) .(其中 2

(1)理:求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)理:求 lim

Sn

n2 a ?1 (3)设 lg bn ? n n ,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ) ,使得 b1 , b p , b q 成等 3 比数列?若存在,求出所有满足条件的数组 ( p , q ) ;否则,说明理由.
n???



11、 (浦东 29) 在数列 { an } , { bn } 中,a1 ? 3 , b1 ? 5 , an ?1 ? (1)求数列 { bn ? an } 、 {an ? bn } 的通项公式;

bn ? 4 a ?4 * , bn ?1 ? n (n? N ) . 2 2
*

(2)设 Sn 为数列 { bn } 的前 n 项的和,若对任意 n ? N ,都有 p( Sn ? 4n) ? [1, 3] , 求实数 p 的取值范围. 12、 (普陀区 22)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ?N*) ,记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这 样的常数 C ,使得数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理 由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有

?1? n?2 成立,求证:数列 {bn } 是等差数 b1an ? b2an ?1 ? b3an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?

n

列; 13、 (青浦区 22)已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ?

3 , 数列 ?bn ? 是等比数列, 2

且 b1 ? a1 , b2 ? ?a3 , b3 ? a4 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,记点 Qn (bn , Sn ), n ? N * . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:点 Q1、Q2、Q3、 、Qn、 在同一直线 l 上,并求出直线 l 方程; (3)若 A ? Sn ?

1 ? B 对 n ? N * 恒成立,求 B ? A 的最小值. Sn

14、 (松江区 22)已知数列 ?an ? 的首项为 1 ,记
1 2 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? k ? ak Cn ?
* n ( n ? N ). ? anCn

(1)若 ?an ? 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 ?an ? 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)是否存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2 对一切 n ? N 都成立?若存在,求
n
*

出数列 ?an ? 的通项公式;若不存在,请说明理由. 15、 (徐汇区 23)已知有穷数列 {an } 各项均不相等 ,将 {an } 的项从大到小重新排序后相应 .... .. 的 . 例 如 数 列 : a1 , a2 , a3 满 足 .项 .数 .构 成 新 数 列 { pn } , 称 { pn } 为 {an } 的 “ 序 数 列 ”

a1 ? a3 ? a2 ,则其序数列 { pn } 为 1,3,2 .
(1)写出公差为 d (d ? 0) 的等差数列 a1 , a2 ,L , an 的序数列 { pn } ;
* (2)若项数不少于 5 项的有穷数列 {bn } 、 {cn } 的通项公式分别是 bn ? n ? ( ) ( n ? N ),

3 5

n

cn ? ?n 2 ? tn ( n ? N * ),且 {bn } 的序数列与 {cn } 的序数列相同,求实数 t 的取值范
围;
* (3)若有穷数列 {d n } 满足 d1 ? 1 , | d n ?1 ? d n |? ( ) (n ? N ) ,且 {d 2 n ?1} 的序数列单调
n

1 2

递减, {d 2 n } 的序数列单调递增,求数列 {d n } 的通项公式.

16、 (杨浦区 23)数列
2 Tn ? Sn

?an ? 各项均不为 0,前 n 项和为 S n , bn ? an3 , bn 的前 n 项和为 Tn ,且

若数列 ? 求证:

an ?

共 3 项,求所有满足要求的数列;

an ? n n ? N *

?

? 是满足已知条件的一个数列;
an ?

请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ? 求的数列,请一并写出(不超过四个) 。

,并使得 a2015 ? ?2014 ;若还能构造其他符合要

17、 (长宁区 21)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (2 ? n) x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A(an ,0) ,

n =1,2,3,?. (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式;
(2) 令 bn ? 3

? (?1) n?1 ? ? ? 2 an ( n 为正整数), 问是否存在非零整数 ? , 使得对任意正整 数 n ,都有 bn?1 ? bn ? 若存在, 求出 ? 的值 , 若不存在 , 请说明理由.
an

18、 (长宁区 23)已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N , 均有 bn ? bk ;
*

(3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

19、 (闸北 16)设数列{an}满足:① a1=1;② 所有项 an∈N ;③ 1=a1<a2<…<an<an+1<…设集 * 合 Am={n|an≤m,m∈N },将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm.换句话说,bm 是数列{an} 中满足不等式 an≤m 的所有项的项数的最大值.我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列.例 如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (1)若数列{an}的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列{an}; n﹣1 (2)设 an=3 ,求数列{an}的伴随数列{bn}的前 100 之和; (3)若数列{an}的前 n 项和 Sn= 前 m 项和 Tm. n+c(其中 c 常数) ,试求数列{an}的伴随数列{bn}

*

参考答案 一、填空题 1、-2 2、-1

n(n ? 1) n(n ? 1) d ?n? d ,因为对任意 n ? N* ,存在 m ? N* ,使得 2 2 n(n ? 1) 1 d ? 1 ? (m ? 1)d ,取 n ? 2 ,得 1 ? d ? (m ? 1)d , m ? 2 ? , Sn ? am ,即 n ? d 2 因为 d ? 0 ,所以 m ? 2 ,故 m ? 1 , d ? ?1 .
详解: S n ? na1 ? 3、3n+2
n 4、 4(2 ?

1 ) 2n

5、

1 4

6、6

7、90

8、 an ? ?

?1, n ? 1 ?2 ? 3
n?2

, n ? 2, n ? N *

9、 10 ? n n ? N

?

*

?
4、C

二、选择题 1、D 2、C 三、解答题

3、C

1、解: (1)直线 OP 1 的方程为 y ? x ,由

?x 2 ? 4 y 解得 P ? 1 (4, 4) ,??1 分 ?y ? x

直线 P2P1 的方程为 y ? 4 ? 1 ? x ? 4 ? ,即 y ? 1 x ? 2 2 2



?x 2 ? 4 y ? 得 P2 (?2,1) ,?????????????2 分 ? 1 y ? x ? 2 ? ? 2

直线 P2P3 的方程为 y ? 1 ? 1 ? x ? 2 ? ,即 y ? 1 x ? 3 4 2 4



?x 2 ? 4 y ? 9 ? 1 3 解得, P3 (3, ) 4 ?y ? x ? ? 4 2
?????????????????????3 分
[

所以 x3 ? x1 ? 3 ? 4 ? ?1 .

(2)因为 Pn ( xn , 1 xn 2 ) , Pn ?1 ( xn ?1 , 1 xn ?12 ) ,由抛物线的方程和斜率公式得到
4
4

1 xn?12 ? xn 2 1 4 ? n ? xn?1 ? xn ? n ??????????????????5 分 4 xn?1 ? xn 2 2
所以 xn ? xn ?1 ? 8 ,两式相减得 xn ?1 ? xn ?1 ? ? 4 2n 2n 用 2n 代换 n 得 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? 4 , 4n ??????????6 分

由(1)知,当 n ? 1 时,上式成立, 所以 {bn } 是等比数列,通项公式为 bn ? ? 4 . 4n (3)由 x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? ??????????????7 分

4 得, 4n 4 4 4 x3 ? x1 ? ? , x5 ? x3 ? ? 2 ,??, x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? n , ????????8 分 4 4 4 8 4 以上各式相加得 x2 n ?1 ? ? ,????????????????????10 分 3 3 ? 4n 8 1 2 19 所以 x奇 ? lim x2 n ?1 ? , y奇 ? x奇 ? . n ?? 3 4 9
即点 P 的坐标为 ? , 奇

? 8 16 ? ? . ???????????????????????12 分 ?3 9 ?
an ?1 ?

1 n ?1 ? 3? ? 3n ? 5 2、证明: (1)因为 ,所以数列 ? ?2 ?an ? ? 是等比数列;??3 分 1 n 5? ? an ? ? 3? 5
(2) ?an ?

? ?

3n ? 3 9 ? 是公比为-2,首项为 a1 ? ? 的等比数列. 5? 5 10

通项公式为 an ?

3n ? 3? 3n 9 ? ? a1 ? ? (?2)n?1 ? ? (?2)n?1 , ???????4 分 5 ? 5? 5 10

若 ?an ? 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an? 2 , 即 2[

3n ?1 9 3n 9 3n?2 9 ? (?2) n ] ? ? (?2) n ?1 ? ? (?2) n ?1 5 10 5 10 5 10

解得 n ? 4 ,即 a 4 , a5 , a 6 成等差数列. ???????????????7 分 (3)如果 an?1 ? an 成立,即 数均成立.

3n?1 ? 3? 3n ? 3? ? ? a1 ? ? (?2)n ? ? ? a1 ? ? (?2)n?1 对任意自然 5 ? 5? 5 ? 5?

4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )( ?2) n ????????????????9 分 15 5 3 4 3 n ( ) , 当 n 为偶数时 a1 ? ? 5 15 2 3 4 3 n ( ) 是递减数列,所以 p(n) max ? p(2) ? 0 , 因为 p ( n) ? ? 5 15 2
化简得 即 a1 ? 0 ; ???????????????????????10 分

当 n 为奇数时, a1 ?

3 4 3 n 3 4 3 ? ( ) ,因为 q(n) ? ? ( ) n 是递增数列, 5 15 2 5 15 2

所以 q(n) min ? q(1) ? 1 ,即 a1 ? 1;???????????????11 分 故 a 1 的取值范围为 (0,1) . ???????????????????12 分 3、解: (1)等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 得?

? a1 ? 2d ? 7 ?2a1 ? 10d ? 26
?a1 ? 3 , an ? 2n ? 1 (n ? N ? ) d ? 2 ?
n ?1

所以 ?

(2) m ? 2

1 n ?1 ? bn ? ? n ?1 n?2 ?bn ?1 ? 2
由上 n ? 2 时, bn ? 2 n ? 1
1 ? 由于当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? 1 ? b1 ,所以 bn ? 2 n ? 1 (n ? N )

(3)由 ( 1 ? n) (Sn ? n ? 2)+(n ? p) 2n?1 ? 2 得p?

1 ? 1 对一切 (n ? N ? ) 恒成立, n 2

由于

1 1 ? 1 (n ? N ? ) 为减函数,所以 p ? lim ( n ? 1) ? ?1 ,取值范围是 ?? ?,?1?。 n 2 2 n ??

4、 (1)设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 依题意知,数列 {an } 是首项为 128 、公比为 1 ? 50% ? 数列 {bn } 是首项为 400 、公差为 a 的等差数列,

3 的等比数列; 2

1分 2分

3 128[1 ? ( ) n ] 2 ? 256[( 3 )n ? 1] , 所以数列 {an } 的前 n 和 Sn ? 3 2 1? 2 n(n ? 1) a, 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 400n ? 2 所以经过 n 年,该市更换的公交车总数

4分

6分

3 n(n ? 1) Fn ? Sn ? Tn ? 256[( ) n ? 1] ? 400n ? a; 2 2
(2)因为 256[( ) ? 1] 、 400n ?
n

7分

3 2

n(n ? 1) a(a ? 0) 是关于 n 的单调递增函数, 9 分 2
10 分 11 分 12 分 13 分 2分 4分
n ?1

因此 Fn 是关于 n 的单调递增函数, 所以满足 a 的最小值应该是 F7 ? 10000 , 即 256[( ) ? 1] ? 400 ? 7 ?
7

3 2

3082 7?6 a ? 10000 ,解得 a ? , 21 2

又 a ? N ,所以 a 的最小值为 147.
*

5、 (1)?

an?1 n ?1 ? 3c,? an ? a1 ? ?3c ? , an
an ? ? 3c ?
n ?1

? a2 ? 3c, a3 ? 9c 2 ,

, ,

S n ? a1 ? a2 ?
n

? an ? 1 ? 3c ? 9c 2 ? ? 3c ?

6分 7分

1 ? ? 3c ? ; ? Sn ? 1 ? 3c
(2) x n ? 3 ?

2 xn ?1 ? 3 ? 3 ?
2 xn ?1 ? 3 , 3
n ?1

?

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn ?1 ? 3 ? 3

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn?1 ? 3 2 xn ?1 ? 3 ? 3

, 10 分

? xn ? 3 ?

11 分

? 2? ? xn ? 3 ? x1 ? 3 ? ? ? ? 3?



12 分

?2? ? xn ? 3 ? ? ? ?3?
? 2? ?3 ? ? ? ? 3?
n ?1

n ?1

13 分
n ?1

? 2? ? xn ? 3 ? ? ? ? 3?



14 分

6、 (1)解: 4Sn ? an an?1 ? 1 ①; 4Sn?1 ? an?1an ? 1 ②;①-②得 an?1 ? an?1 ? 4 ,得证; (2)解:由 a1 ? 1 ,得 a2 ? 3 ,结合第(1)问结论,即可得 {an } 是等差数列; (3)解:根据题意, bn ? log 2

2n 2 4 6 2n , Tn ? log 2 ? ? ? … ? ; 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1

要证 2Tn ? log 2 an?1 ? log 2 (2n ? 1) ,即证 当 n ? 1 时, 2 ? 3 成立; 假设当 n ? k 时,

2 4 6 2n ? ? ? …? ? 2n ? 1 ; 1 3 5 2n ? 1

2 4 6 2k ? ? ? …? ? 2k ? 1 成立; 1 3 5 2k ? 1

当 n ? k ? 1 时,

2k ? 2 2 4 6 2k 2k ? 2 2k ? 2 ? ? ? …? ? ? 2k ? 1 ? ; ? 1 3 5 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

要证

2k ? 2 ? 2k ? 3 ,即证 (2k ? 2)2 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,展开后显然成立, 2k ? 1

所以对任意正整数 n ,不等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立; 7、解(1)答:数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列. 理由: 点( xn?1 , xn ) 在函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x 的图像上,
2 ? xn ? 2xn ?1 ? 2 xn ?1 ,

2 2 即2xn ? 1 ? 4xn ?1 ? 4 xn?1 ? 1, 2 xn ? 1 ? (2 xn ?1 ? 1) .

又 xn ? 0, n ? N* , ∴ 2 xn?1 ? 1 ?

2 xn ? 1, n ? N * .

∴数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列. 证明(2)

yn ? lg(2 xn ? 1), 2 xn ?1 ?1 ? 2 xn ?1, n ? N * ,
n ?1

?y


?

1 yn . 2

9 y1 ? lg(2 x1 ? 1) ? 1( x1 ? ) , 2
1 的等比数列. 2

? 数列 ? yn ? 是首项为 y1 ? 1 ,公比 q ?
1 ? yn ? y1 ? ( ) n ?1 , n ? N* . 2

( 理 )(3) 由 题 意 可 知 , 无 穷 等 比 数 列

?zn ?

的 首 项 z1 ?

1 2
m ?1

, 公 比

1 * (k、 m ? N 且 、 k 为常数 m ) , 2k 1 m ?1 16 ? 2 ? . 1 63 1? k 2 16 63 化简,得 k ? m ?1 ? 16 . 2 2 16 63 16 63 16 63 ? + ? 16 .这是矛盾! 若 m ? 1 ? 3 ,则 k ? m ?1 ? k + 2 2 2 8 2 8 ? m ?1 ? 2 .

又 m ? 1 ? 0或1 时,

16 63 ? ? 16 , 2 k 2 m ?1

? m ? 1 ? 2,即m ? 3 .
? 16 63 k ? 1 6? , 2? k 2 4 6解得 4, k ? . 6

?m ? 3, ?? ?k ? 6.
8、 (1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得 an ?1 ? bnbn ?1 ③
2 ①, an ?1 ? bnbn ?1

②,

????????(1 分) ????????(2 分)

n ? N* , 将③代入①, 得对任意 n ? 2 , 有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 , 即 2 bn ? bn ?1 ? bn ,
所以, { bn } 是等差数列. ?????????(4 分)

(2)设数列 { bn } 的公差为 d ,由 a1 ? 10 , a2 ? 15,得 b1 ? 所以, b1 ?

25 , b2 ? 18 ,??(1 分) 2

5 2 2 , b2 ? 3 2 , d ? b2 ? b1 ? , ?????????(2 分) 2 2 (n ? 4) 2 5 2 2 2 所以 bn ? b1 ? (n ? 1) ? d ? .?(4 分) ? (n ? 1) ? (n ? 4) , bn ? 2 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) 由已知,当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? ,而 a1 ? 10 也满足此式.??(5 分) 2 (n ? 3)( n ? 4) (n ? 4) 2 所以数列 {an } 、{bn } 的通项公式为: an ? , bn ? . ???(6 分) 2 2 1 2 1 ? ? 1 (3)由(2) ,得 ????????(1 分) ? ? 2? ? ?, an (n ? 3)(n ? 4) ? n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 则 Sn ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? ? ? , ????(2 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ?
不等式 2aSn ? 2 ?

bn 1 ? n?4 ?1 化为 4a? ? , ?? 2? an n?3 ?4 n? 4?
2

???????(3 分)

(以下有两种解法) 解法一:不等式化为 (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 ,
2

???????????(4 分)
*

设 f (n) ? (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ,则 f (n) ? 0 对任意 n ? N 恒成立. ???(5 分) 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,不满足条件. 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,满足条件. 当 a ?1 ? 0 , 即 a ? 1 时, 函数 f ( n) 图像的对称轴为直线 x ? ? 递减,只需 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,解得 a ? 综上可得, a 的取值范围是 (?? , 1] . 解法二:不等式化为 a ?

3(a ? 2) ? 0 , f (n) 关于 n 2(a ? 1)
????????(8 分)

15 ,故 a ? 1 . 4

3n ? 8 n 2 ? 6n ? 8 * 对任意 n ? N 恒成立,即 a ? 1 ? 2 ,?(5 分) 2 n ? 3n n ? 3n

3n ? 8 3n ? 8 3n ? 8 , 任取 n1 、n2 ? N* , 且 n1 ? n2 , 则 f (n1 ) ? f (n2 ) ? 2 1 ? 22 2 n ? 3n n1 ? 3n1 n2 ? 3n2 (n ? n )[3n n ? 8(n1 ? n2 ) ? 24] 故 f ( n) 关于 n 递减. ???????? (6 分) ? 2 1 2 1 2 ?0, 2 (n1 ? 3n1 )(n2 ? 3n2 ) 3n ? 8 ? 1 对任意 n ? N* 恒成立,所以 a ? 1 . 又 f (n) ? 0 且 lim f ( n ) ? 0 ,所以 1 ? 2 n?? n ? 3n 因此,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . ?????????(8 分)
设 f ( n) ? 9、(1) 由已知有 an ? 3n , bn ? an lg an ? n ? 3n lg 3

Sn ? [3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ?1 ? n ? 3n ]lg 3 , 3Sn ? [32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ? n ? 3n ?1 ]lg 3 ,
所以 ? 2Sn ? (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ? 3n ? n ? 3n ?1 ) lg 3 ,

Sn ?

3 (2n ? 1) n ?1 lg 3 ? ? 3 lg 3 . ?????????????????????7 分 4 4

(2) bn ? bn?1 即 nan lg a ? (n ? 1)a n?1 lg a .由 a ? 0 且 a ? 1 ,得 n lg a ? (n ? 1)a lg a , 所以 ?

?lg a ? 0 ?lg a ? 0 或? ?(n ? 1)a ? n ? 0 ?(n ? 1)a ? n ? 0

?0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? ? 即? n 或? n 对任意 n?N*成立, a ? a ? ? n ?1 ? n ?1 ? ?
且1 ?

n 1 1 ? ,所以 0 ? a ? 或 a ? 1 ?????????????????14 分 n ?1 2 2

n(an ? a1 ) 2(a2 ? a1 ) ,令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 ; ( 2 分) 2 2 (a ? a1 ) (或者令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ?0) 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2
10、 (1)因为 S n ?

an?1 ? S n?1 ? S n ?

a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,????(5 分) ? an n ?1 a3 3 ?1 2 2

又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 ,所以 a n?1 ? n 当 n ? 1,2 时也成立,所以 a n ? n ? 1 , ( n ? N *) ( 6 分) (2) lim

Sn n
2

n???

=

1 ?????????( 9 分) 2

(3) 文理相同: 假设存在正整数 p 、q , 使得 b1 ,b p 、b q 成等比数列, 则 lg b1 ,lg b p 、lg bq

2p 1 q ? ? , (**)?????????( 11 分) 3 p 3 3q 1 2p 1 p 1 由于右边大于 ,则 p ? ,即 p ? . 3 3 6 3 3
成等差数列,故

p ?1 p 1? 2p ? p? ? p? 考查数列 ? p ? 的单调性,因为 p ?1 ? p ? p ?1 ? 0 ,所以数列 ? p ? 为单调递减数 3 3 3 ?3 ? ?3 ?
列.?????????( 14 分) p 2 1 q 1 p 1 当 p ? 2 时, p ? ? ,代入(**)式得 q ? ,解得 q ? 3 ;当 p ? 3 时, p ? (舍) . 9 6 9 3 3 9 3 综上得:满足条件的正整数组 ( p , q ) 为 (2,3) .?????????( 16 分) (说明:从不定方程

2p 1 q ? ? 以具体值代入求解也参照上面步骤给分) 3 p 3 3q

11、解: (1)因为 an ?1 ?

bn a 1 ? 2 , bn ?1 ? n ? 2 , bn ?1 ? an ?1 ? ? (bn ? an ) , 2 2 2 1 即数列 { bn ? an } 是首项为 2,公比为 ? 的等比数列, 2 1 n ?1 所以 bn ? an ? 2 ? ( ? ) .??????????????????????3 分 2 1 1 an ?1 ? bn ?1 ? ( an ? bn ) ? 4 , an ?1 ? bn ?1 ? 8 ? ( an ? bn ? 8) , a1 ? b1 ? 8 ? 0 , 2 2 * 所以,当 n ? N 时, an ? bn ? 8 ? 0 ,即 an ? bn ? 8 .??????????6 分

? an ? bn ? 8 1 n ?1 2 1 n ? (2)由 ? 1 n ?1 得 bn ? 4 ? ( ? ) , Sn ? 4n ? [1 ? ( ? ) ] , 2 3 2 bn ? an ? 2 ? ( ? ) ? ? 2 2p 1 2p 1 p ( S n ? 4n ) ? [1 ? ( ? ) n ] , 1 ? [1 ? ( ? ) n ] ? 3 , 3 2 3 2 1 n 1 2p 3 因为 1 ? ( ? ) ? 0 ,所以 .?????????8 分 ? ? 1 n 1 n 2 3 1 ? (? ) 1 ? (? ) 2 2 1 1 当 n 为奇数时, 随 n 的增大而增大, ? 1 n 1 n 1 ? (? ) 1 ? ( ) 2 2 2p 3 1 2p 3 ? 2 , ? p ? 3 ;?????????10 且 ,1 ? ? ? 1 n 1 3 2 3 1 ? ( )n 1? ( ) 2 2
分 当 n 为偶数时,

1 1 1 ? ( ? )n 2

?

1 随 n 的增大而减小, 1 n 1? ( ) 2

4 2p 9 1 2p 3 ? 3,2 ? p ? . , ? ? ? 1 2 3 1 ? ( 1 )n 3 3 1 ? ( )n 2 2 综上, 2 ? p ? 3 .?????????????????????????13 分
且 12、 【解】 (1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ??????????1 分 由 S n ? an ? 4 得 n ? 2 时, S n?1 ? an?1 ? 4 ??2 分 两式相减得, 2an ? an?1 ,

an 1 ? ,??3 分 a n ?1 2
1 * 的等比数列,所以 an ? 2 2?n ( n ? N )?? 2

数列 {an } 是以 2 为首项,公比为 5分 (2)由于数列 {d n } 是常数列

d n = cn ? logC an ? 2n ? 3 ? (2 ? n) logC 2 ??????6 分
?

2n ? 3 ? 2 logC 2 ? n logC 2

? (2 ? logC 2)n ? 3 ? 2 logC 2





数??????7 分 只有 2 ? logC 2 ? 0 ,??????8 分;解得 C ? 此时 d n ? 7 ??10 分 (3) b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2

2 ,??????9 分

n?2 ?1? ??① ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?

n

n ? 1 , b1 a1 ?

1 3 1 ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? ????11 分 2 2 2

当 n ? 2 时, b1an?1 ? b2 an?2 ? b3 an?3 ? ? ? bn?1a1 ? ? ?

?1? ? 2?

n ?1

?

n ?1 ??②??12 分 2
n

1 n ?1 ?1? ②式两边同时乘以 得, b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn?1a2 ? ? ? ? ??③13 分 2 4 ? 2?
①式减去③得, bn a1 ?

?n?3 n 3 ,所以 bn ? ? ? ??14 分 4 8 8 1 且 bn ?1 ? bn ? ? ??15 分 8 1 1 所以数列 {bn } 是以 ? 为首项,公差为 ? 的等差数列。??16 分 2 8

13、解(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由题设可得

1 3 ? ?3 ? 2d ? ? q ? q ? ? ? ?2 ? 2 ?q ? ?1 2 ?? 或? ? 3 3 3 2 ?d ? 0 ? ? 3d ? q ?d ? ? ? ? 8 ?2 2 ?
因为数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,所以 q ? ? ?????????????????4 分

1 3 1 n ?1 ,即 bn ? ( ? ) 2 2 2

1 ? x ? ?3 ? (? ) n ? 3 1 1 ? 2 Qn (bn , sn )即为Q ( ?(- )n ?1,1-(- )n),令 ? 得 n 1 2 2 2 n (2) ? y ? 1-(- ) ? ? 2
x ? 3y ? 3 ? 0 ,
即点 Q1、Q2、Q3、 、Qn、 ,在同一条直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 上。 ?????????????????8 分

3 1 (1 ? (? ) n ) a1 (1 ? q n ) 2 2 ? 1 ? (? 1 ) n ,?????????????9 分 (3) Sn ? ? 1 1? q 2 1 ? (? ) 2
令 t ? Sn ?

1 , Sn ? 0 , t 随着 S n 的增大而增大?????????????10 分 Sn

? 3? ? 5? 1 当 n 为奇数时, Sn ? 1 ? ( )n 在奇数集上单调递减, Sn ? ?1, ? , t ? ? 0, ? 2 2 ? ? ? 6?
????????????????12 分

1 ?3 ? ? 7 ? 当 n 为偶数时, Sn ? 1 ? ( )n 在偶数集上单调递增, S n ? ? ,1? , t ? ? ? ,0 ? 4 2 ? ? ? 12 ?
????????????????14 分

?tmin ? ?

5 7 , tmax ? , 6 12

A ? Sn ?

1 ? 7 5? ? B ,? ? ? , ? ? ? A, B ? Sn ? 12 6 ?

即 B ? A 的最小值是

17 ?????????????????16 分 12

14、解:(1)∵ ?an ? 为常数列,∴ an ? 1 (n ? N? ) . ∴ f (4) ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 15 ?????4 分
1 2 3 4

(2)∵ ?an ? 为公比为 2 的等比数列,∴ an ? 2 ∴ f (n) ? Cn ? 2Cn ? 4Cn ?
1 2 3 n , ? 2n?1Cn

n ?1

(n ? N? ) .?????6 分

1 2 3 ∴ 1 ? 2 f (n) ? 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? 23 Cn ?

n n n , (1 ? 2) ? 3 ?????8 分 ? 2n Cn

故 f ( n) ?

3n ? 1 . 2

?????10 分
*

(3)假设存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2n 对一切 n ? N 都成立,设公差
1 2 为 d ,则 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? n n?1 且 f (n) ? anCn ? an?1Cn ? k ? ak Cn ? n?1 n ?????12 分 ? an?1Cn ? anCn

k ? ak Cn ?

2 1 , ? a2Cn ? a1Cn k ? Cn ?
n ?1 ? Cn )

1 2 相加得 2 f (n) ? 2an ? (a1 ? an?1 )(Cn ? Cn ?

n?1 ? Cn ),

∴ f (n) ? an ?

a1 ? an ?1 1 2 (Cn ? Cn ? 2

k ? Cn ?

? an ?

a1 ? an ?1 n (2 ? 2) ? 1 ? (n ?1)d ? ?2 ? (n ? 2)d ? (2n?1 ?1) . 2

∴ f (n) ?1 ? (d ? 2) ? ?2 ? (n ? 2)d ? 2n?1 ? (n ? 1)2n 恒成立, 即 (d ? 2) ? (d ? 2)(n ? 2)2n ?1 ? 0 n ? N ? 恒成立,∴ d ? 2 .?????15 分 故 ?an ? 能为等差数列,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2n 对一切 n ? N ? 都成立,它的通项公式 为 an ? 2n ? 1 ....................... 16 分

(也可先特殊猜想,后一般论证及其它方法相应给分)

15、解:(1)当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 n, n ? 1,L , 2,1 ;……………………..2’ 当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 1, 2,L , n ? 1, n ……………………..4’ (2)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) ?
n

3 5

3 ? 2n ,……………………..5’ 5

当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn?1 ? bn , 又因 b1 ?

3 3 3 3 4 , b3 ? 3 ? ( ) , b4 ? 4 ? ( ) , b4 ? b1 ? b3 , 5 5 5

即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ? L ? bn , 故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4,L , n ,……………………..8’ 所以对于数列 {cn } 有 2 ?

t 5 ? , 2 2

解得: 4 ? t ? 5 ……………………..10’ (3) 由于 {d 2 n ?1} 的序数列单调递减,因此 {d 2 n ?1} 是递增数列,故 d 2n?1 ? d 2n?1 ? 0 ,于是

(d 2n?1 ? d 2n ) ? (d 2n ? d 2n?1 ) ? 0 ,
而( )

1 2

2n

1 ? ( ) 2 n ?1 ,所以 | d 2n?1 ? d 2n |?| d 2n ? d 2n?1 | ,从而 d 2n ? d 2n?1 ? 0 , 2

1 ( ?1) 2 n d 2 n ? d 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?1 ? 2 n ?1 2 2

(1) ……………………..12’

因为 {d 2 n } 的序数列单调递增,所以 {d 2 n } 是递减数列,同理可得 d 2n?1 ? d 2n ? 0 ,故

1 (?1) 2 n ?1 d 2 n ?1 ? d 2 n ? ?( )2 n ? 2 22 n

(2) ……………………..14’

( ?1) n ?1 由(1)(2)得: d n ?1 ? d n ? ……………………..15’ 2n
于是

d n ? d1 ? (d 2 ? d1 ) ? (d 3 ? d 2 ) ? ? ? (d n ? d n?1 ) ……………………..16’ 1 1 ? ( ? ) n ?1 1 1 ( ?1) n 1 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 ? ? ……………………..17’ 1 2 2 2 2 1? 2 n 4 1 ( ?1) ? ? ? n ?1 3 3 2
4 1 ( ?1) n * ? ? ( n ? N )……………………..18’ 3 3 2 n ?1
??1 分
2

即数列 {d n } 的通项公式为 d n ? 16、 (1) n ? 1 时,

3 T1 ? S12 ? a1 ? a12 ? a1 ? 1? a1 ? 0舍去?

2 3 3 3 n ? 2 时, T2 ? S 2 ? a1 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? ? 1 ? a2 ? ?1 ? a2 ? 2

? a2 ? 2或a2 ? ?1? a2 ? 0舍去?
2 3 3 3 n ? 3 时, T3 ? S3 ? a1 +a2 +a3 ? ? a1 +a2 +a3 ? 3 a2 ? 2 时, 1+8+a3 ? ?1+2+a3 ? 2 2

????2 分



? a3 ? 3或a3 ? ?2 ? a3 ? 0舍去?


a2 ? ?1

时,

3 1-1+a3 ? ?1-1+a3 ? ? a3 ? 1? a3 ? 0舍去? 2

????3 分

所以符合要求的数列有:

1,2,3 ; 1,2,-2 ; 1,-1,1
? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? n?
2

????4 分 ,

13 ? 23 ? 33 ? a ? n n (2) ,即证
用数学归纳法证:
3 2 1. n ? 1 时, 1 ? 1 成立

????6 分

13 ? 23 ? 33 ? 2.假设 n ? k ,

? k 3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? k?

2

成立 ????7 分

13 ? 23 ? 33 ? 则 n ? k ? 1 时,
? 1? k ? k ? ? 1? k ? ? k ?1 3 ? ? ?? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

? k 3 ? ? k ? 1? ? ?1? 2 ? 3 ?
3

? k ? ? ? k ? 1?
2

3

?

?

2

?

?

?

?? ?
? ? ?

2

?

? 1? k ? k ? 2 k 2 ? 4k ? 4 ? ? ? 2 ? ?

?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ? 2 ? ?

?

??

?? ?
? ? ?

2

?? ?1? 2 ? 3 ?
?

? k ? ? k ?1?? ?
?

2

等式也成立 综合 12,对于 n ? N ,都有
*

????9 分

13 ? 23 ? 33 ?

? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? n?

2

?

an ? n ? n ? N * ?

是满足已知条件的一个数列。
3 an ①

????10 分

(3)

3 3 Sn 2 ? a1 ? a2 ?

2 3 3 Sn ? ?1 ? a1 ? a2

3 ? a n?

3 ? n ② 1

a

② -① 得

2 3 2an?1 ? Sn ? an ?1 ? an?1

2 2 an?1 ? 0 , 2Sn ? an?1 ? an ?1 ? 2Sn ? an?1 ? an?1 ③

????11 分

n ? 2 时 2S
③ -④ 得

n?1

2 ? an ? an ④

2 2 2 2 2an ? an ?1 ? an?1 ? an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? an

????12 分

?? an?1 ? an ?? an?1 ? an ?1? ? 0
? an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1 ? n ? 2 ?
构造:
? n ? ?? n ?2014 ? ?1 ?

????14 分

an
ⅰ)

? n ? 2014, n ? N ? ? ? ? n ? 2015, n ? N ?
* *

????15 分

? n ? ? an ? ? ?n ? 4029 ? ? n ? 4028 ? ? ⅱ)

? 2015 ? n ? 4028, n ? N ? ? n ? 4029, n ? N ?
* *

? n ? 2014, n ? N ?
*

????16 分

? n ? ? an ? ? ??2014 ? ? n?2 ? ? ⅲ)

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2016, n ? N ?
*

? n ? 2015?

????17 分

? n ? ? ? -2014 ? an ? ? ? 2014 ? ??2014 ? ? n?4 ? ? ⅳ)

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2018, n ? N ?
*

? n ? 2015? ? n ? 2016? ? n ? 2017 ?

????18 分

2 17、 (理) 【解】 : (1)设 f ( x) ? 0 , x ? (2 ? n) x ? 2n ? 0 得 x1 ? ?2, x2 ? n 。

所以 an ? n ????????????????????????????4 分 (2) bn ? 3n ? (?1)n ?1 ? ? ? 2n ,若存在 ? ? 0 ,满足 bn ?1 ? bn 恒成立 即: 3n?1 ? (?1) n ? ? ? 2 n?1 ? 3n ? (?1) n?1 ? ? ? 2 n ,????????????6 分

3 ( ) n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 恒成立 ????????????????????8 分 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? 1 ???????????????10 分 当 n 为奇数时, ( ) 2 3 n ?1 3 ? ?? ? ? ? ? ?????????????12 分 当 n 为偶数时, ( ) 2 2 3 所以 ? ? ? ? 1 ??????13 分, 2 故: ? ? ?1 ?????????14 分 18、 【解】(1) an?1 ? an ? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 , ??????2 分

b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8 ??????4 分
(2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ?

n3 , ??????5 分 2n ? 7
; ??????7 分 ??????9 分

由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b4 ? b5 ? b6 ? 由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4

? k ? 4 . ??????10 分
(3)由 an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n) , ??????11 分 故 bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) ,

?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2), , bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)
??????13 分 当 n ? 2k (k ? N * ) 时,以上各式相加得

bn ? b1 ? (2 ? 2 ?
2

?2

n?2

? 2 ) ? [1 ? 2 ?

n ?1

2 ? 2n?1 (?2) n ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? ? 1 ? (?2) 2
??????15 分

2 ? 2n n ? ? 3 2

2 ? 2n n 2n n 5 ? bn ? ? ? 1 ?? ? ? 3 2 3 2 3

当 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 时,

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6
??????17 分

? 2 n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? ? bn ? ? , (k ? N * ) ??????18 分 n ( n ? 2k ) ?2 n 5 ? ? , ? ?3 2 3
n

19、解: (1)1,4,7. (2)由
*

…(6 分)

,得

∴ 当 1≤m≤2,m∈N 时,b1=b2=1…(1 分) * 当 3≤m≤8,m∈N 时,b3=b4=…=b8=2…(1 分) * 当 9≤m≤26,m∈N 时,b9=b10=…=b26=3…(1 分) * 当 27≤m≤80,m∈N 时,b27=b28=…=b80=4…(1 分) * 当 81≤m≤100,m∈N 时,b81=b82=…=b100=5…(1 分) ∴ b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384…(1 分) (3)∵ a1=S1=1+c=1∴ c=0…(1 分) 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2 ∴ 由 an=3n﹣2≤m 得: 因为使得 an≤m 成立的 n 的最大值为 bm, 所以 (1 分) … …(2 分)

当 m=3t﹣2 (t∈N ) 时: (1 分) 当 m=3t﹣1 (t∈N ) 时: (1 分) 当 m=3t(t∈N )时:
* *

*





…(1 分)

所以

(其中 t∈N )…(1 分)

*


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