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规范作业B解答30单元测试电学


大学物理规范作业B(30)

单元测试六(电学)

1

一、填空题
1. 如图所示,二无限大均匀带电平面,平行放置,面密度分别 为

?

A板单位面积所受的电场力大小为______________。

? 和 2?,则二平面间的电场强度大小E =___________; 2? 0 2 ?

? ? 解: E A ? , EB ? 2? 0 ?0 ? ? ? ? ? ? ? i? i ? i 方向向右 两极板间 E ? ?0 2? 0 2? 0
A板单位面积所受的电场力

?0

? F ? EB ? ? ? ?0

2

2

2. 如图所示, 将一均匀带电为+Q的细塑料棒弯成半径为R的

d ?? R 圆弧,圆弧的缺口长度为d(

由圆心指向缺口 小E=______________ ;电场的方向为 _________________。 2 3

Qd

),则圆心O处场强的大

8? ? 0 R 解:根据互补原理,在缺口处补上电荷q ,使O点 的场强为0 Q Qd

q ? ?d ?

EQ ? Eq ? 0
EQ ? ? Eq ? ? q 4?? 0 R

2?R ? d

?d ?

2?R

? d ?? R 可以将q看作点电荷,得到:
2

??

Qd 8? ? 0 R
2 3

3

3. 一点电荷 q 位于一立方体中心,立方体边长为 a 。则通过立方体 q 一个面的电通量φ=__________;如果将这个电荷移到立方体的一 6? 0 q 个顶点O上,这时通过立方体BDFE面的电通量φ=__________ 。 24? 0 解: 如图所示作边长为a的立方体,电荷位 于立方体的中心。
由高斯定理,通过立方体的总的电通量为:

将8个一样的立方体叠成一个大的立方体,0点为中心,得到一 个侧面的电通量如上,一个侧面是由四个小侧面组合的,得到

q ?? 则通过每一个面的电通量为: 6? 0

? ? q ? E ? dS ?
s

?0

q 1 q ?? ? ? ? 6? 0 4 24? 0

4

4. 选无限远处为电势零点,已知半径为R的导体球带电后的电势

R ?0 为? ,则球外离球心距离为r处的电势为U=____________ ;电场 0 r R ?0 2 强度的大小E=__________ 。
r 解:假设导体球带电量为q,得到 ? 0 ?

q

R ? ?0 球外离球心距离为r处的电势为 U ? 4?? 0 r r
R ? ?0 2 电场强度 E ? 2 4?? 0 r r
5

q ? 4?? 0 R ? ?0

4?? 0 R
q

q

5. 边长为a的正方形的三个顶点上固定的三个点电荷如图所示。
2 (2 ? );今将一电 以无穷远为零电势点,则C点电势UC =___________ 4?? 0 a 2 Q

量为+q的点电荷从C点移到无穷远,则电场力对该电荷做功

qQ 2 A=___________ (2 ? 。 ) 4?? 0 a 2
解:C点的电势可以看作三个点电荷在该点电 势的叠加

U ? 2?

?Q 4?? 0 a

?

?Q 4?? 0

2 ? (2 ? ) 2 2a 4?? 0 a

Q

qQ 2 A ? q(U C ? U ? ) ? qUC ? (2 ? ) 4?? 0 a 2
6

6.半径为 R 的导体球,带有电荷q ,球外有一内外半径分别为 2 R 和 3R 的同心导体球壳,球壳上带有电荷 2q ,以无穷远处为电势 3q 零点,则内球的电势 ______________ ;外壳的电势 U 2 ? U1 ? q 8?? 0 R 2q _____________ 。 4??0 R +q 解一:采用电场强度积分得到电势
-q q

静电感应和静电平衡,得到电荷分布在导体球表面 上外球内表面带上-q,外球外表面带电量为(2q+q)。 根据高斯定理 q 电势 E1 ? R ? r ? 2R 2 ? ? ? 2R 4?? 0 r U1 ? Edl ? E1dr ? q ? 2q R R E2 ? 3R ? r 2 4?? 0 r

?

?

?

?

3R

E2 dr

1 1 3q 3q U1 ? ( ? )? ? 4?? 0 R 2 R 4?? 0 ? 3R 8?? 0 R

q

7

同理可以得到: U ? ? E dr ? 2 ? 2
3R

q 4?? 0 R

解二:利用电势叠加可得:

1 ?q 1 3q 3q U1 ? ? ? ? ? ? 4?? 0 R 4?? 0 2 R 4?? 0 ? 3R 8?? 0 R q

q ? q ? 3q q U2 ? ? 4?? 0 ? 3R 4?? 0 R

8

7.一空气平行板电容器,接上电源后,两极板上的电荷面密度

分别为 ? ? 0 。在保持电源接通情况下,将相对介电常数为ε r 的各向同性均匀电介质充满其中,忽略边缘效应,介质中的场强 ?0 大小应为 。而断开电源再充满该种介质,则介质中 ?
0

的场强大小又为

?0 ? 0? r



分析: 电源接通情况下电容器两端电压不变:

?0 V不变 , E 不变, E ' ? E0 ? ?0
电源断开情况下电容器极板上带电量不变:

q不变, D 不变 D ? D0 ? ? 0

D ? ? 0? r E'

?0 ? E' ? ? 0? r
9

8.平行板电容器两极板间距为 d ,将它充电至电势差为 U 0 ,然
U0 介质板,则介质中的场强E=___________;两极板间的电势差 d? r U0 1

后断开电源,插入厚为d/2的相对介电常数为 ? r 的各向同性均匀

(1 ? ) 。 ?U=_____________ 2

?r

解:断开电源,电容器上的电量不变,面电荷密度 保持不变,得到介质中的场强为

?

?r

? ? U0 E? 又? E0 ? ? ? 0? r ?0 d E0 U 0 E? ? ? r d? r
d d U0 1 ?U ? E0 ? ? E ? (1 ? ) 2 2 2 ?r
10

9.半径为R的均匀带电金属球体,总电量为+Q,将之放置于介电 常数为ε的均匀电介质中,则介质中距球心O为r处P点(r>R)电

Q 位移矢量大小D=______________ ;该处电场能量密度we= 2 4 ? r Q2 ______________ 。 32? 2?r 4
解: 如图建立高斯面,根据介质中的高斯定理

? ? ? D ? dS ? ? q 0

ε

Q D? 4?r 2 1 2 1 D 2 Q2 电场能量密度 ? e ? ?E ? ? ( ) ? 2 2 ? 32? 2?r 4

11

二、计算题
1. A、B为真空中两块平行无限大带电平面,已知两平面间的 电场强度大小为 E0 ,两平面外侧电场强度大小都是 解:设A、B平面的面电荷密度为 ? A 和 ? B 根据图中各区域场强的大小和方向可判断出 A、B平面所带电荷属性相反,且?A<0, ?B>0, |?A|< |?B|
E0 ,方向 3

如图所示,则A、B两平面上的电荷面密度分别为多少?

?B ?A ? ? E0 2? 0 2? 0

? B ? A E0 ? ? 2? 0 2? 0 3

2 ? A ? ? E0 ? ? 0 3 4 ? B ? E0 ? ? 0 3

12

2. 圆柱形电容器的内半径为R1 ,外半径为 R2 ,内外两极板间
的电势差为 U 0 ,两极板间有一电子恰好绕电容器的轴线作匀 速率圆周运动,求该电子的动能。 分析:电子做圆周运动时,库仑力提供向心力 要求该点的场强,必须求出电容器的电量,

? 电场和电压 E ? ( R1 ? r ? R2 ) 2?? 0 r ? R2 ? ? R2 U 0 ? ? E ? dl ? ln R1 2?? 0 R1
向心力

线电荷密度λ可以根据电压来求。

mv 2 F? ? eE r

电子动能

eU 0 1 E K ? reE ? R1 2 2 ln R2

2?? 0U 0 ?? R2 ln R1
13

3.三块平行金属板A、B、C面积均为200cm2,A、B间相距4mm, A、C间相距2mm,B和C两板都接地,如图所示。如果使A板带正 电3.0?10-7C,不计边缘效应,求B、C板上的感应电荷和A板的电 势。 分析:B、C板接地电势为0,得到A点对于B、 C的电势差是相等的,根据静电感应,B、C 上的感应电荷总和大小应等于A电荷 C
2 mm 4 mm

A

B

U AC ? EAc ? d Ac ? U AB ? EAB ? d AB
2 1 ? c ? ? ? A , ? B ? ? ? A ?qc ? ?2.0 ?10?7 C, qB ? ?1.0 ?10?7 C 3 3 ?7 ? 2 ? 10 ?3 qc 2 . 0 ? 10 3V U A ? U Ac ? ? d AC ? ? 2 . 26 ? 10 S? 0 200 ?10 ? 4 ? 8.85 ?10 ?12 14

?c ?B ? d AC ? ? d AB ?0 ?0

又? ?? A ? ? B ? ? C

4. 一球形电容器带电量为Q,内外半径分别为R1和R2,两极板间 充满相对介电常数为 ? r 的均匀电介质。求:(1)两极板间的电 势差;(2)球形电容器内储存的电场能量。 解:如图建立高斯面,根据高斯定理得 到

? ? ?q ? E ? ds ?
E? Q

r
P

o

R1

? 0? r
2

R2

4?? 0? r r

R1 ? r ? R2
R2

? ? E en

两极板间的电势差 U ?

1 1 ( ? ) ?R1 4?? r ? 0 R1 R2 1 Q2 1 1 电场能量 W ? 2 QU ? 8?? ? ( R ? R ) 0 r 1 2
15

? ? E ? dl ?

Q

也可先求能量密度,再积分得到电场能量

1 2 1 we ? ?E ? ? 0? r E 2 2 2
如图切割体积积分元,得到

r
P

o R1
R2

W ? ? we dv ? ?
R2 R1

R2

R1
2

1 2 2 ? 0? r E 4?r dr 2
Q 4?? 0? r r
2

? ? 2?? 0? r r (

) dr

2

??

R2

Q2 8?? 0? r r
2

R1

dr

1 1 ? ( ? ) 8?? 0? r R1 R2

Q2

16

5. 平行板电容器,极板面积为 S ,相距为 d ,忽略边缘效应,中置 一厚度为d1 ( d1 ? d )介电常数为

? 的均匀介质板,如图示,如二

极板带电量分别为 ? Q 和 ? Q ,求:(1)二极板间空气和介质中

的电场强度大小;(2)二极板间的电势差;(3)介质中储存的电
场能量 W
e

解:如图建立高斯面,根据电介质中的高斯定理

? ? ? D ? ds ? ? q

? Q E0 ? ? 空气中 ? 0 S? 0 ? Q Er ? ? 电介质中 ? 0? r S? 0? r

Q D ? ?? S

17

二极板间的电势差

U ? U 0 ? U r ? E0 (d ? d1 ) ? Er d1
Q Q ? (d ? d1 ) ? d1 ? 0S ? 0? r S
介质中储存的电场能量

电介质中E ?

Q S? 0? r

1 We ? ? ? e dV体 ? ? eV体 ? ? 0? r E 2 Sd1 2
? Q2 2? 0? r S d1
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