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2014年1月崇明区一模数学卷


2014 年崇明区高考数学一模卷
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答案必须写在答题纸上,做在试卷上一律不得分 .答题纸与试卷在 试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位.

一、填空题(每题 4 分,共 56 分) 1.(2014 年 1 月崇明)已知虚数 z 满足等式 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 z=

1 ? 2i

.

【解析】 ( 探 究 性 理 解 水 平 / 复 数 的 四 则 运 算 、 共 轭 复 数 . ) 设 z ? a ? bi , 则 z ? a ? b i ,由题意可得,

?a ? 1 ?a ? 1 ?? ,则可得 z ? 1 ? 2i . 2(a ? bi) ? (a ? bi)=1+6i ,即 a ? 3bi=1+6i ,从而 ? ?3b ? 6 ?b ? 2
2. (2014 年 1 月崇明)若关于 x,y 的线性方程组的增广矩阵为 ? 等于

?m 0 6? ? x ? ? ?3 ? ? ,该方程组的解为 ? ? ? ? ? ,则 mn 的值 ? 0 3 n? ? y? ? 4 ?

?24

.

【解析】 (探究性理解水平/利用矩阵解二元线性方程组.)由题意得方程组为 ?

? x ? ? ?3 ? ? mx ? 6 ,因为 ? ? ? ? ? ,代入方 ? y? ?4 ? ?3 y ? n

程组可得 ?

? m ? ?2 ??3m ? 6 ,? ? ,从而 mn ? ?2 ?12 ? ?24 . ? n ? 12 ?3 ? 4 ? n

3. (2014 年 1 月崇明)直线 x=2y+1 的一个法向量可以是

( 1, ? 2)

.

【解析】 (探究性理解水平/直线的法向量.)因为直线为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以直线的法向量可以为 (1, ?2) .

≥0 4. (2014 年 1 月 崇 明 ) 已 知 全 集 U=R , A ? x x ? 2 x ? 0 , B ? x log 2 x ? 1
2

?

?

?

?

, 则 A ? (? U B) =

1? ? ?x | 0 ? x ? ? 2? ?

.

【 解 析 】( 探 究 性 理 解 水 平 / 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 、 集 合 的 运 算 . ) 对 于 集 合 A :

x2 ? 2 x ? 0
log 2 x ? 1≥0

? x( x ? 2) ? 0 ? 0 ? x ? 2
? log 2 x≥ ? 1







A ? {x | 0 ? x ? 2}











B




?

log 2 x≥log 2 2?1

? x≥

1 2



1? ? ?U B ? ? x | x ? ? 2? ?





1? ? A ? ? ?U B ? ? ? x | 0 ? x ? ? . 2? ?
5. (2014 年 1 月崇明)某单位有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人. 为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工 人数为 18 .

【解析】 ( 探 究 性 理 解 水 平 / 随 机 抽 样 中 的 分 层 抽 样 . ) 设 老 年 职 工 有 x 人 , 则 中 年 职 工 有 2x 人 , 由 题 意 ,解得 x ? 90 ,即老年职工有 90 人,从而样本中老年职工的人数为 90 ? x ? 2x ? 160? 430 6. (2014 年 1 月崇明)函数 y ? 2
?x

32 =18. 160
.

? 1( x ? 0) 的反函数是
?x

y ? ? log 2 ( x ? 1) (1<x<2)

【解析】(探究性理解水平/反函数) ? x ? 0, y ? 2 故反函数为: y ? ? log 2 ( x ? 1) (1<x<2).

? 1,?1 ? y ? 2 ,则 y ? 1 ? 2? x ,即 x ? ? log 2 ( y ? 1) (1<y<2)

7. (2014 年 1 月崇明) ?ABC 中,若 AD ? 2 DB, CD ? 【 解 析 】 ( 解 释 性 理 解

????

??? ? ??? ?

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? = 3
水 平 / 平 面

2 3


. 量 的 分 解 )

??? ? ??? ? ???? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ? CD ? CA ? AD ? CA ? AB ? CA ? (CB ? CA) ? CA ? CB ,? ? ? . 3 3 3 3 3
8. (2014 年 1 月崇明)若 tan( ? ? ) ?

π 4

1 ,则 sin ? cos? ? 2

3 10

.

【解析】(探究性理解水平/三角函数两角差正切公式及同角三角函数的基本关系.)

π 1 ? tan ? 1 1 1 tan( ? ? ) ? ? ,? tan ? ? ,即 cos? ? 3sin ? ,则 sin 2 ? ? cos2 ? ? ( cos ? )2 ? cos 2 ? ? 1 , 3 4 1 ? tan ? 2 3 9 sin ? ? cos 2 ? ? ,故 sin ? cos ? ? ? cos 2 ? 10 cos ? 1 9 3 ? tan ? ? cos 2 ? ? ? ? . 3 10 10 2m ? 1 ? mx 9. (2014 年 1 月 崇 明 ) 已 知 函 数 f ( x) ? log a (a ? 0, a ? 1) 是 奇 函 数 , 则 函 数 y=f(x) 的 定 义 域 为 x ?1
(?1,1)
.

【 解 析 】 ( 探 究 性 理 解 水 平 / 对 数 函 数 的 定 义 域 和 函 数 的 奇 偶 性 .) ? f ( x) 为 奇 函 数 , ? f ( 0 )? 0, 即

log 2 ? 1) ? , 0? 2m ?1 ? 1,得 m ? 1 ,? f ( x) ? log a a (m

1? x 1? x (a ? 0, a ? 1) ,则 ? 0 ,??1 ? x ? 1. x ?1 x ?1

10. (2014 年 1 月崇明理)将 A、B、C、D 四本不同的书分给甲、乙、丙三个人,每个人至少分到一本书,则不同分法 的种数为 36 .

【解析】(探究性理解水平/排列数与组合数.)因为四本不同的书分给三个人,每个人至少分到一本,则必有一个分 到两本,从四本中随机选两本有 C 4 ? 6 种,把这两本看成一个总体和剩下两本随机分给三个人,有 P3 ? 6 种,故不
2 3

同的分法种数为 6 ? 6 ? 36 种. (2014 年 1 月崇明文)在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从 中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为 6 的概率等于

1 5
2

.

【解析】(探究性理解水平/随机事件的概率.)从 5 个小球中随机取出两个小球,有 C5 ? 10 种取法,小球标注的数字 之和为 6 的有(1,5) 、 (2,4)2 种情况,所以 P ?

2 1 ? . 10 5

11. (2014 年 1 月崇明理) (1 ? 3) ? a ? b 3 (其中 a、b 为有理数) ,则 a+b=
6

328

.

【解析】(探究性理解水平/二项式展开式的系数.)由二项式定理得
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 (1 ? 3)6 ? C0 6 ? C6 3 ? C6 ( 3) ? C6 ( 3) ? C 6 ( 3) ? C 6 ( 3) ? C 6 ( 3) 2 2 4 4 6 6 ? a ? C0 6 ? C6 ( 3) ? C6 ( 3) ? C6 ( 3) ? 208
3 2 5 4 b ? C1 6 ? C6 ( 3) ? C6 ( 3) ? 120

,

,



a ? b ? 208 ? 120 ? 328 .
(2014 年 1 月崇明文)在二项式 ( x ?

1 8 ) 的展开式中,含 x 5 的项的系数是 x

28

(用数字作答).
1 ? r 2 3 8? r 2

【解析】(探究性理解水平/二项式展开式系数.)由二项式展开式第 r+1 项为 Tr ?1 ? C x 令8 ?

r 8? r 8

(?1) x
r

? (?1) C x
r r 8



3 r 2 ? C8 ? 28 . r ? 5 ,得 r ? 2 ,? (?1) r C8 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别是 F1 , F2 ,设 P 是双曲线右支上一点, a 2 b2

12. (2014 年 1 月崇明)已知双曲线

???? ???? ? ???? 4 F1 F2 在 F1 P 上 的 投 影 的 大 小 恰 好 为 F1 P , 且 它 们 的 夹 角 为 arccos , 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 5

y ? ?2 6 x

.

【解析】(探究性理解水平、解释性理解水平/双曲线的渐近线方程、投影的基本性质.)由 F1 F2 在 F1 P 上的投影的大 小恰好为 F1 P 知: PF1⊥PF2 ,又 cos ?PF1 F2 ?

???? ?

????

????

PF1 4 ? ,令 PF1 ? 4 x ,则 F1F2 ? 5x, PF2 ? 3x ,由双曲线定义 F1 F2 5
b c2 ? a2 b ? ?2 6, 双曲线渐近线方程为 y ? ? x , a a a

? ? F1 F2 ? 5 x ? 2c , 知 PF1 ? PF2 ? x ? 2a , 即 c ? 5a ,
即 y ? ?2 6 x .

13. (2014 年 1 月崇明)**在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似地,我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ ? ”.定义如下:对于任意两个复数 z1 = a1 + b1i , z 2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ? R ,i 为虚数单位) ,“ z1 ? z2 ”当且仅当“ a1 ? a2 ” 或“ a1 ? a2且b1 ? b2 ”.下面命题①1 ? i ? 0;②若 z1 ? z2 , z2 ? z3 ,则 z1 ? z3 ;③若 z1 ? z2 ,则对于任意 z ? C ,

z1 ? z ? z2 ? z ;④对于复数 z ? 0 ,若 z1 ? z2 ,则 z ? z1 ? z ? z2 .其中真命题是
的序号)

①②③

.(写出所有真命题

【 解析 】 ( 解释性理解水平 / 复数的新定义 .) 对于①, 1 ? 1 ? 0 ? i ? i ? 0 ? 1? i ? 0 ? 0? 0? ,所以①正确;设 i

z3 ? a3 ? b3i ,因为 z2 ? z3 ,所以必有 a2 ≥ a3 ,又 z1 ? z2 ,必有 a1 ≥ a2 ,所以 a1 ≥ a3 ,则当 a1 ? a3 时, z1 ? z3 ;
当 a1 ? a3 时,有 b1 ? b2 ? b3 ,推得 z1 ? z3 ,所以②正确;令 z ? a ? bi ,因为 z1 ? z2 ,故 a1 ≥ a2 ,a1 ?a ≥a 2 ?a ,

当 a1 ? a2 时, b1 ? b2 ,故 a1 ? a ? a2 ? a , b1 ? b ? b2 ? b ,推得 z1 ? z ? z2 ? z ;当 a1 ? a2 时, a1 ? a ? a2 ? a , 推得 z1 ? z ? z2 ? z ;所以③正确;对于④取 z ? 0 ? i ? 0 , z1 ? a1 ? b1i, z2 ? a2 ? b2i ,不妨令 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,则

z1 ? z2 ,此时 z ? z1 ? ?b1 ? a1i , z ? z2 ? ?b2 ? a2i ,不满足 z ? z1 ? z ? z2 ,故④不正确.
14. (2014 年 1 月崇明 )** 已知 t ? ?1 , 当 x ?[?t , t ? 2] 时,函数 y ?

x 4

x x

的最小值为 ?4 ,则 t 的取值范围是

[0, 2 ? 2

2) .

【解析】(探究性理解水平/函数的基本性质,二阶行列式的计算.)

y?

x 4

x

? ? x 2 ? 4 x, x ? 0 ,函数图像如图所示.令 y ? ?4 ,解得 x ? 2 ? 2 2 或 ? x ( x ? 4) ,? y ? ? 2 x ? x ? 4 x, x≥0

??t ≥ 2 ? 2 2 ?t ≤ 2 2 ? 2 ? ? 即 0 ≤ t ≤ 2 2 ? 2 ,即 [0, 2 2 ? 2] . x ? 2 .? x ?[?t , t ? 2] ? ? t ? 2≥2 得 ? t≥0 ? ? t ? ?1 ? ? t ? ?1

二、选择题(每题 5 分,共 20 分) a ?1 15. (2014 年 1 月崇明)设 a ?R 则“ 2 ? 0 ”是“ a ? 1 ”成立的 a ? a +1
A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件

(C)

【解析】 (解释性理解水平/充分必要条件的判定.) 因为

a ?1 1 3 ? 0 ,又 a 2 ? a ? 1 ? (a ? )2 ? ? 0 ,所以 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ,而 a ? a ?1 2 4
2

a ? 1 ,所以 ?1 ? a ? 1 ,因为由 ?1 ? a ? 1 ? a ? 1 ,但是 a ? 1 推不出 ?1 ? a ? 1 ,则
要不充分条件,故选 C.

a ?1 ? 0 是 a ? 1 的必 a ? a ?1
2

16. (2014 年 1 月崇明)已知数列 ?an ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 S n ,若 a2 ? a3 ? 2, a3 ? a4 ? 1 ,则 lim S n 的值
n ??

为 A.

(D)

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.

16 3

【 解 析 】( 探 究 性 理 解 水 平 / 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 和 数 列 的 极 限 . ) 因 为

1 ? q? ? ? a1q (1 ? q ) ? 2 ? a2 ? a3 ? 2 a1 ( 1 ? qn ? 2 ? ? S ? , 则 ? ? 2 ? n 1? q ? a3 ? a4 ? 1 ? a1q (1 ? q ) ? 1 ?a ? 8 1 ? 3 ?

8 1 [1 ? ( ) n ] ) 3 2 ? 16 ? 16 ( 1 ) n , 所 以 ? 1 3 3 2 1? 2

l i S m n ?
n ??

1 6 ?1 6 1 6n ? 1 l i ? m ?( , )故选 D. ? ? n ?? 3 2? 3 ?3

17. (2014 年 1 月崇明)对于函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? A. f ( x) 在 ( , ) 内是递增的 C. f ( x) 的最小正周期为 2π

π π ) ? sin 2 ( x ? ) ? 1 ,下列选项中正确的是 12 12

(B)

π π 4 2

B. f ( x) 的图像关于原点对称 D. f ( x) 的最大值为 1

【解析】 ( 探究 性 理 解 水平 / 两 角 和 差 正 弦 、 余 弦公 式 、 二 倍 角 公 式 、 正弦 函 数 的 图 像 与 性 质 . )因 为

f ( x) ? cos 2 ( x ?

1? π π ? π π ) ? sin 2 ( x ? ) ? 1 = ?cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? = 2? 6 6 ? 12 12

1 1 π 1 2π π π (2sin 2 x sin ) = sin 2 x ,其最小正周期 T ? ? π ,最大值为 ,因为 f ( x) 在 2kπ- ≤2x≤2kπ+ 内递增, 2 2 6 2 2 2 2
即 f ( x) 在 ? kπ-

? ?

π π? , kπ+ ? 内递增,综上选 B. 4 4?

18. (2014 年 1 月崇明)**已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值等 于 A. ?4 ? 2 B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 D. ?3 ? 2 2 (D)

??? ? ??? ?

【解析】 (探究性理解水平/直线与圆的位置关系、平面向量运算的坐标表示、基本不等式.)以圆心为原点,OP 所在直线为 x 轴建立如图所示坐标系.设 A(cos ? ,sin ? ) ,则易知

??? ? ??? ? 1 1 1 , 0) ,? PA ? (cos ? ? ,sin ? ) PB ? (cos ? ? , ? sin ? ) cos ? cos ? cos ? ??? ? ??? ? 1 2 1 1 ≥ ? 3 ? 2 2 (当 PA ? PB ? (cos ? ? ) ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 ? ? (1 ? cos 2 ? ) ? ?3 ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? cos ? cos 2 ? 1 2 且仅当 2 cos ? ? 时取等号),故选 D. cos 2 ? B (cos ? , ? sin ? ), P(

三、解答题(本大题共 74 分,解答下列各题需要必要的步骤)
19. (2014 年 1 月崇明)(本题 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) (1)解方程: log3 ( x ? 3) ? 1 ? log3 ( x ? )
2

5 3

(2)(理)已知命题 ? : 2 ? x ,命题 ? : x ? m ? 1 ,且命题 ? 是 ? 的必要条件,求实数 m 的取值范围. (文)已知集合 A= (?1,3) ,集合 B ? x x2 ? 3x ≤ 0 ,集合 C ? x a ? 1 ≤ x ≤ a ? 1, a ? R ,并且 C ? A ? B ,求 a 的取值范围. 【解】 (探究性理解水平,解释性水平/解对数方程、解绝对值不等式、充分必要条件) (1) 由原方程化简得 log 3 ( x 2 ? 3) ? log 3 3 ? log 3 ( x ? ) 即:log 3 ( x ? 3) ? log 3 (3x ? 5)
2

?

?

?

?

5 3

所以,?

?3 x ? 5 ? 0
2 ? x ? 3 ? 3x ? 5



解得 x ? 2 . (2) (理) ? : m ? 1 ? x ? m ? 1 ,由于命题 ? 是 ? 的必要条件, 所以 m ? 1 ≥2 ,所以 m≥3 . (文) B ? ? 0,3? ,所以 A ? B ? ? 0,3 ? ,由于 C ? A ? B , 所以 ?

?a ? 1 ? 3 ,所以 a ? ?1, 2 ? . ?a ? 1≥0

20. (2014 年 1 月崇明)(本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,S 是该三角形的面积.

B B 1 ? B B ? ? ? cos , ? ), b ? (1,sin ? cos ), a / /b ,求角 B 的度数; 2 2 2 2 2 2π (2)若 a=8, B ? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3
(1)若 a ? (sin 【解】 (探究性理解水平/向量共线的坐标运算、二倍角公式、余弦定理) (1)角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,由 a∥b 得

?

? ?

B B 1 ? cos ? π 1 2 2 ? 2 ,所以 cos B ? ,从而 ?B ? . B B 3 2 1 sin ? cos 2 2 2π 1 (2)由 a ? 8, B ? , S ? 8 3 得, S ? ac sin B ? 8 3 ,所以 c ? 4 . 3 2 sin
2 2 2 又 b ? a ? c ? 2ac cos B ,解得 b ? 4 7 .

21. (2014 年 1 月崇明)**(本题 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分)

已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (1)求圆的标准方程; (2)设点 A 为圆上一动点,AN⊥x 轴于 N,若动点 Q 满足 OQ ? mOA ? (1 ? m)ON ,(其中 m 为非零常数) ,试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ; (3)在(2)的结论下,当 m ? 面积的最大值. 【解】 (探究性理解水平/圆的标准方程、动点的轨迹方程、点到直线的距离公式、直线方程、基本不等式.) (1)设圆的半径为 r ,圆心到直线 l1 距离为 d , 则d ?

????

??? ?

????

3 时,得到动点 Q 轨迹曲线 C,与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B、D 两点,求 ?OBD 2

?2 2 1 ?1
2 2

? 2 ,所以,圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .

(2)设动点 Q( x, y ) , A( x0 , y0 ) , AN⊥x 轴于 N , N ( x0 , 0) ,由题意,

? x0 ? x ? x ? x0 ? ( x, y) ? m( x0 , y0 ) ? (1 ? m)( x0 , 0) ,所以 ? ,即 ? 1 . y ? y ? y ? my0 0 ? m ?
将 A( x,

x2 y2 1 ? 1. y) 代入 x 2 +y 2 ? 4 ,得动点 Q 的轨迹方程 C2 : ? 4 4m 2 m
3 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? ? x ? b ,设直线 l 与椭圆 ? ? 1 交点 时,曲线 C 的方程为 2 4 3 4 3

(3) m ?

? y ? ?x ? b 2 2 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,联立方程 ? 2 得 7 x ? 8bx ? 4b ? 12 ? 0. 2 ?3 x ? 4 y =12
因为 ? =48(7 ? b ) ? 0,解得 b ? 7 ,且 x1 ? x2 ?
2

2

b 4b 2 ? 12 8b , x1 x2 ? ,又因为点 O 到直线 l 的距离 d ? , 7 7 2

BD ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =

4 6 7 ? b2 . 7

? S△OBD ?

1 b 4 6 2 3 2 7 ? ? 7 ? b2 ? b (7 ? b 2 )≤ 3 .(当且仅当 b2 =7 ? b2 即 b 2 ? ? 7 时取到最大值) , 2 2 7 7 2

?△OBD 面积的最大值为 3 .

22. (2014 年 1 月崇明)***(本题 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? (1)证明数列 ?

1 n ?1 , an ?1 ? an . 2 2n

? an ? ? 是等比数列; ?n?

(2)求通项 an 与前 n 项和 S n ; (3)设 bn ? n(2 ? Sn ), n ? N ,若集合 M ? n bn≥? , n ? N* 恰有 4 个元素,求实数 ? 的取值范围.
*

?

?

【解】 (探究性理解水平/等比数列的概念、数列的通项公式及前 n 项和) (1)因为 a1 ? 又

a 1 n ?1 , an ?1 ? an ,当 n ? N* 时, n ≠0 . 2 n 2n

a a a1 1 1 1 1 ?a ? ? , n?1 : n ? (n ? N* ) 为常数,所以 ? n ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 1 2 n ?1 n 2 2 2 ?n?
n ?1

a 1 ?1? 1 1 ?a ? (2)由 ? n ? 是以 为首项, 为公比的等比数列得, n = ? ? ? n 2 ?2? 2 2 ?n? ?1? ?1? 所以 an ? n ? ? ? .由错项相减得 S n ? 2 ? ? ? ?2? ?2?
*



n

n ?1

?1? ? n? ? . ?2?
n ?1

n

?1? (3)因为 bn ? n(2 ? S n ), (n ? N ) ,所以 bn ? n(2 ? S n ) ? n ? ? ?2?
由于 bn +1 ? bn ? 3 ? n

?1? ?n ? ? , ?2?
2

n

?

2

1? ?? ? ? ?2?

n ?1

,所以, b2 ? b1 , b2 ? b3 ? b4 ? ...... .
*

因为集合 M ? n | bn≥?,n ? N

?

? 恰有 4 个元素,且 b

1

? b4 ?

3 15 35 35 3 , b2 ? 2 , b3 ? , b5 ? ,所以 ? ?≤ . 8 32 2 32 2

23. (2014 年 1 月崇明)****(本题 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? b, g ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) ,对任意的 x ? R 恒有 f ( x) ≤ g ( x) 成立.
2

(文 1)记 h( x) ?

g ( x) ,如果 h(x)为奇函数,求 b,c 满足的条件; f ( x) g ( x) ,若 h(x)在 [2, ??) 上为增函数,求 c 的取值范围; f ( x)
2

(1)当 b=0 时,记 h( x) ?

(2)证明:当 x …0 时, g ( x) ≤ ( x ? c) 成立; (3) (理 3)若对满足条件的任意实数 b,c,不等式 g (c) ? g (b) ≤ M (c ? b ) 恒成立,求 M 的最小值.
2 2

【解】 (探究性理解水平/函数的奇偶性,单调性,不等式证明)

( 文 1) 因 为 任 意 的 x ? R 恒 有 f ( x≤ ) g ( x成 ) 立 , 所 以 对 任 意 的 x ? R , 2 x ? b≤x2 ? bx ? c , 即

b2 g ( x) 的定义域 x ? ( b ? 2 )x ? c ? ≥ b 恒成立,所以 0 (b ? 2) ? 4(c ? b)≤0 ,从而 c≥ ? 1 ,即: c≥1 .设 h( x) ? 4 f ( x)
2 2

为 D ,因为 h( x ) 是奇函数,所以对于任意 x ? D , h(? x) ? ?h( x) 成立,解得 b ? 0 ,所以 b ? 0 , c≥1 . (1)因为任意的 x ? R 恒有 f ( x)≤g ( x) 成立, 所以对任意的 x ? R , 2 x ? b≤x ? bx ? c ,即 x ? (b ? 2) x ? c ? b≥0 恒成立.
2
2

所以 ? b ? 2 ? ? 4(c ? b)≤0 ,从而 c≥
2

b2 ? 1 ,即 c≥1 . 4

当 b ? 0 时, 记 h( x ) ?

g ( x) x 2 ? c 1 c ? ? x ? (c≥1) ,因为 h( x) 在 ? 2, ?? ? 上为增函数, 所以任取 x1 , x2 ? ? 2, +? ? , f ( x) 2x 2 2x

x1 ? x2 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 c c ( x2 ? x1 )(1 ? ) ? 0 恒成立.即任取 x1 , x2 ? ? 2, +? ? , x1 ? x2 , (1 ? ) ? 0 成立, x1 x2 2 x1 x2

也就是 c ? x1 x2 成立.所以 c≤4 ,即 c 的取值范围是 ?1, 4 ? . (2)由(1)得, c≥1 且 c≥
2

b2 b2 ? 1 ? b ,因此 2c ? b ? c ? (c ? b) ? 0 . ? 1 ,所以 c≥2 4 4
2

故当 x≥0 时,有 ( x ? c) ? g ( x) ? (2c ? b) x ? c(c ? 1)≥0 .即当 x≥0 时, g ( x)≤( x +c) . (3) (理 3)由(2)知, c≥ b ,当 c ? b 时,有 M ≥

g (c) ? g (b) c 2 ? bc ? b 2 ? b 2 c +2b ? ? , c2 ? b2 c2 ? b2 b?c

设t ?

3? b 1 1 ? ,则 ?1 ? t ? 1,所以 M ≥2 ? ,由于 y ? 2 ? (?1 ? t ? 1) 的值域为 ? ??, ? ;当 c ? b 时, M 的 2? c 1? t 1? t ? ?3 ?2 ? ?

+? ? ; 取值范围是 ? ,
2 2 2 2 当 c ? b ,由(1)知, b ? ?2, c ? 2 ,此时 g (c) ? g (b) ? ?8 或 0, c ? b ? 0 ,从而 g (c) ? g (b)≤ (c ? b ) 恒

3 2

成立,综上所述, M 的最小值为

3 . 2


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