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高一数学正余弦定理的应用


正、余弦定理的应用
主讲人:贾国富

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1.正弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2.余弦定理
b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , 2bc c2 ? a2 ? b2 cos B ? , 2ca a 2 ? b2 ? c2 cosC ? 。 2

ab

a =b +c-2bccosA b =c +a-2accosB c =a +b-2abcosC
2 2 2 2 2 2

2

2

2

3.在初中判断三角形的形状的依据的什么?

即三角形分类的标准,按边或按角判断.

问题1: 在?ABC中,已知2b=a+c,证明:
A c b

2sinB=sinA+sinC
引:你能找到三角形各边与对角正弦的关系吗? 导:如何利用正弦定理证明以上关系?

B

a

C

a b c ? ? ? 2R 证明:由 sin A sin B sin C



a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将此式 代入 2b=a+c 得 2?2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC

变式1:在?ABC中,已知b =a ? c,证明:
sinB=sinA ? sinC
A c
b
2

2

证明:由

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2



a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
C

B

a

将此式 代入 b =a ? c 得
2

(2RsinB)=(2RsinA)(2RsinC)

即 sin B=sinA ? sinC

2

变式2: 在?ABC中,已知bcosA=acosB,
判断三角形的形状。
解:由
a b ? sin A sin B



a=2RsinA,b=2RsinB, 将此式 代入bcosA=acosB 得 (2RsinB)cosA=(2RsinA)cosB sinAcosB - cosAsinB=0 , Sin(A – B) =0 由-?<A- B<? 知 A –B=0 ,即 A=B

所以, 此三角形为等腰三角形

动手实践:
1.在?ABC中,已知acosA=bcosB,判断三 角形的形状。 2 2.在?ABC中,已知, a ? t an A ,判断三 2 b t an B 角形的形状。

1.解:由

a b ? sin A sin B



a=2RsinA,b=2RsinB,

又 0<2A、2B<? 2A=2B或2A=? -2B
? A=B或A+B= ?
2

将此式 代入acosA=bcosB 得 (2RsinA)cosA=(2RsinB)cosB sinAcosA = cosBsinB ,

所以, 此三角形为等腰三角 形或直角三角形。

? sin2A = sin2B ,

2.解(略)等腰三角形或直角三角形

问题2: 在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
引导:条件整理变形后有什么特点? A c
2 2 2

b +c - a = - bc与余弦定理有什么联系?

b

解:条件整理变形得
B a C
2 2 2

b +c - a = - bc

cosA= ? 1
动手实践:
2 2

b 2 ?c 2 ?a 2 2bc

??

1 2

2
2

A=120 0

在?ABC中,已知

a ? b ? c ? 2ac

,求角C.

变式3:

在?ABC中,已知

sin 2 B ? sin 2 C ? sin A( 2 sin B ? sin A)
求角C.
开拓创新:1.在?ABC中,证明:

sin A ? sin B ? sin C ? 2 sin B sin cos A
2 2 2

2.求
的值.

sin 20? ? sin 10? ? 3 sin 20? sin 10?
2 2

总结提高:
1.正弦定理的变式
a b c ? 2 R, ? 2 R, ? 2R sin A sin B sin C

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R
2. 应用正弦定理、余弦定理不仅可以解斜三角形, 还可以将条件统一为边的关系或角的关系.

课后巩固作业:
1.在?ABC中,已知sin(A+B)sinB=sin C,判断三角形 2 的形状。

2.在?ABC中,证明下列各式:
(a –b – c )tanA+ (a – b + c )tanB=0
2 2 2 2 2 2

3.在?ABC中,已知

sin B ? sin C ? sin A( 2 sin B ? sin A)
2 2

求角C. 4.求 的值.

sin 2 40? ? sin 2 20? ? 3 sin 20? cos70?

谢 谢 大 家! 再 见!


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