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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训10-3相关关系、回归分析与独立性检验试题


1.(文)(2012·新课标全国,3)在一组样本数据(x1,y1)、(x2,y2)、?、(xn,yn)(n≥2,

x1,x2,?,xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y=
1 x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( 2 A.-1 C. 1 2 ) B.0 D.1

[答案] D 1 [解析] 样本相关系数越接近 1,相关性越强,现在所有的样本点都在直线 y= x+1 2 上,样本的相关系数应为 1. 要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系. (理)(2011·中山四校联考、湖南六校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变 量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103 )

r m

0.82 106

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性( A.甲 [答案] D B.乙 C.丙 D.丁

[解析] r 越接近 1,相关性越强,残差平方和 m 越小,相关性越强,故选 D. 2.(2011·西安模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是 ( ) ①若 K 的观测值满足 K ≥6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; ②从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病有 关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有 95%的把握 认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误 A.① C.③ [答案] C [解析] ①推断在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病,说法错误,排除 A,B,③正 确.排除 D,选 C. B.①③ D.②
2 2

3.某化工厂为预测产品的回收率 y,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关 系,现取 8 对观测值计算,得 ?xi=52,?yi=228,?xi=478,?xiyi=1849,则其回归直
2 8 8 8 8

i=1

i=1

i=1

i=1

线方程为(

) ^ B.y=-11.47+2.62x ^ D.y=11.47-2.62x

^ A.y=11.47+2.62x ^ C.y=2.62+11.47x [答案] A [解析] 由 ?xi=52, ?yi=228 知,
i=1 i=1
8 8

-- ?xiyi-8 x y -

8

x =6.5, y =28.5,b=
i ?x2-8 x 2 i=1
8



^

i=1





1849-8×6.5×28.5 ≈2.62, 2 478-8×6.5

^ - ^- ∴a= y -b x =28.5-2.62×6.5=11.47. 4.(2011·湖南文,5)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到 如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 由 K = ≈7.8. 附表:
2

女 20 30 50 算得,K =
2

总计 60 50 110 110×? 40×30-20×20? 60×50×60×50
2

40 20 60

n? ad-bc? 2 ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? b+d?

P(K2≥k) k
参照附表,得到的正确结论是(

0.050 3.841 )

0.010 6.635

0.001 10.828

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] A [解析] 根据独立性检验的定义,由 K ≈7.8>6.635 可知,有 99%以上把握认为“爱好 该项运动与性别有关”. 5.(2012·石家庄市二模)从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下 表所示: 身高 x(cm) 体重 y(kg) 160 63 165 66 170 70 175 72 180 74
2

^ ^ 根据上表可得回归直线方程y=0.56x+a,据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体 重为( ) B.70.12kg D.71.05kg

A.70.09kg C.70.55kg [答案] B [解析] - -

x=

160+165+170+175+180 =170, 5

y=

63+66+70+72+74 =69. 5

- - ∵回归直线过点( x , y ), ^ ^ ^ ∴将点(170,69)代入y=0.56x+a中得a=-26.2, ^ ∴回归直线方程y=0.56x-26.2, 代入 x=172cm,则其体重为 70.12kg. 6.(2012·广州市检测)某中学高三从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩 的中位数是 83,则 x+y 的值为( )

A.7 [答案] B

B.8

C.9

D.10

78+79+80+? 80+x? +85+92+96 [解析] 由茎叶图得, 甲班学生的平均分是 =85, 7 解得 x=5.因为乙班学生成绩的中位数是 83,故只有 80+y=83,解得 y=3.所以 x+y=8. 故选 B. 7.(2011·辽宁文,14)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出

y(单位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万
元,年饮食支出平均增加________万元. [答案] 0.254 ^ [解析] 由回归直线方程为y=0.254x+0.321 知收入每增加 1 万元,饮食支出平均增 加 0.254 万元. 8.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 20min 从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ^ ^ ③在线性回归方程y=0.2x+12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量y平均 增加 0.2 个单位; ④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大. 其中正确命题的序号是________. [答案] ②③ 9.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下 表: 专业 性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20
2 2

^

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 K = 50×? 13×20-10×7? 23×27×20×30
2 2

≈4.844.

因为 K ≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ________. [答案] 5% [解析] 根据独立性检验临界值表可知“x 与 y 有关系”的可信度,P(K ≥3.841)=
2

0.05,∴有 95%的可能认为 x 与 y 有关系,即判断出错的可能性为 5%. 10. (2012·扬州模拟)为了分析某个高三学生的学习状态, 对其下一阶段的学习提供指 导性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的 成绩: 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的, 若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性, 给出该生在 学习数学、物理上的合理性建议. -12-17+17-8+8+12 - [解析] (1) x =100+ =100; 7 -

y =100+
2

-6-9+8-4+4+1+6 =100; 7

∴s数学=
2

994 250 2 =142,s物理= , 7 7
2

从而 s数学>s物理,∴物理成绩更稳定. (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到 -- ?xiyi-7 x y ^
i=1
7

b=
i ?x2-7 x 2 i=1
7



497 = ≈0.5, 994

^

a= y -b x =100-0.5×100=50,
^ ∴回归直线方程为y=0.5x+50. 当 y=115 时, =130, x 即该生物理成绩达到 115 分时, 他的数学成绩大约为 130 分. 建 议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高. 能力拓展提升 11.(2012·湖北武汉市训练)已知一个样本容量为 10 的样本数据, 它们组成一个公差不 为 0 的等差数列{an},若 a3=8,且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别 是( ) A.13,12 C.12,13 [答案] B B.13,13 D.13,14

- ^-

[解析] 设数列{an}的公差为 d, a1, 3, 7 成等比数列, a3=a1a7, 8 =(8-2d)(8 由 a a 得 则 +4d),解得 d=0(舍去)或 d=2.故 a1=a3-2d=4,an=a1+(n-1)d=2n+2.故此样本数据 的平均数为

2

2

a1+a2+?+a10 10? 4+22?
10 = 2×10

=13,中位数为

a5+a6 12+14
10 = 2

=13.

12.(2011·佛山二模)在 2010 年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某 商品一天的销售量及其价格进行调查, 五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如 下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

通过分析, 发现销售量 y 对商品的价格 x 具有线性相关关系, 则销售量 y 对商品的价格

x 的回归直线方程为________.
^ [答案] y=-3.2x+40 [解析] - - - ^ ?xiyi=392, x =10, y =8, ? (xi- x )2=2.5,代入公式,得b=-3. 2,
i=1 i=1
5 5

^ - ^- ^ 所以,a= y -b x =40,故回归直线方程为y=-3.2x+40. 13.(2011·东北四校联考)某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间的关 系,随机统计了某 4 天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 杯数 18 24 13 34 10 38 -1 64

^ 由表中数据算得线性回归方程y=bx+a 中的 b≈-2, 预测当气温为-5℃时, 热茶销售 -- ?xiyi-n x y
i=1 n

量为________杯.(已知回归系数 b=

- - ,a= y -b x )
n

?x2i-n x 2
i=1



[答案] 70 - 1 - 1 [解析] 根据表格中的数据可求得 x = ×(18+13+10-1)=10, = ×(24+34+38 y 4 4 +64)=40. - - ^ ^ ∴a= y -b x =40-(-2)×10=60,∴y=-2x+60,当 x=-5 时,y=-2×(-5) +60=70. 14. (文)(2011·郑州市质检)某中学对高二甲、 乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读

理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读 理解训练),乙班为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生 在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均 取整数)如下表所示: 60 分 以下 甲班 (人数) 乙班 (人数) 3 61~ 70 分 6 71~ 80 分 11 81~ 90 分 18 91~ 100 分 12

4

8

13

15

10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. (1)试分析估计两个班级的优秀率; (2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并问是否有 75%的把握认为“加强‘语文阅 读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. 优秀人数 甲班 乙班 合计 非优秀人数 合计

n? ad-bc? 2 参考公式及数据:K = , ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? b+d? P(K2≥k0) k0 P(K ≥k0) k0
2

2

0.50 0.455 0.05 3.841

0.40 0.708 0.025 5.024

0.25 1.323 0.010 6.635

0.15 2.072 0.005 7.879

0.10 2.706 0.001 10.828

[解析] (1)由题意知,甲、乙两班均有学生 50 人, 30 甲班优秀人数为 30 人,优秀率为 =60%, 50 25 乙班优秀人数为 25 人,优秀率为 =50%, 50 所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%. (2) 优秀人数 非优秀人数 合计

甲班 乙班 合计
2

30 25 55
2

20 25 45 100 = ≈1.010, 99

50 50 100

100×? 30×25-20×25? 因为 K = 50×50×55×45

所以由参考数据知,没有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应 用题’得分率”有帮助. (理)(2011·福建普通高中质检)某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个 “平行班”,每班 50 人.陈老师采用 A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行 教改实验.为了了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学 生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”.

(1)在乙班样本中的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个,求抽出的两 个均“成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 90%的把握认为:“成绩优秀”与 教学方式有关. 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 乙班(B 方式) 总计

n? ad-bc? 2 附:K = ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? P(K2≥k) k
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706

2

b+d?
0.05 3.841 0.025 5.024 0.01 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

[解析] (1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件 A. 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为(86,93),(86,96),(86,97), (86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),

(97,99),(97,99),(99,99),共 15 个. 而事件 A 包含基本事件: (93,96), (93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99), (97,99), (97,99), (99,99),共 10 个. 10 2 所以所求概率为 P(A)= = . 15 3 (2)由已知数据得 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 根据列联表中数据, 1 19 20 乙班(B 方式) 5 15 20 总计 6 34 40

K2=

40×? 1×15-5×19? 6×34×20×20

2

≈3.137,

由于 3.137>2.706,所以有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关. 15.(2012·河南新乡、许昌、平顶山调研)在某医学实验中,某实验小组为了分析某药 物用药量与血液中某种抗体水平的关系,选取六只实验动物进行血检,得到如下资料: 动物编号 用药量 x(单位) 抗体指标 y(单位) 1 1 3.4 2 3 3.7 3 4 3.8 4 5 4.0 5 6 4.2 6 8 4.3

- - 记 s 为抗体指标标准差,若抗体指标落在( y -s, y +s)内,则称该动物为有效动物, 否则称为无效动物. 研究方案规定先从六只动物中选取两只, 用剩下的四只动物的数据求线 性回归方程,再对被选取的两只动物数据进行检验. (1)求选取的两只动物都是有效动物的概率; (2)若选取的是编号为 1 和 6 的两只动物,且利用剩余四只动物的数据求出 y 关于 x 的 ^ 线性回归方程为y=0.17x+a,试求出 a 的值; (3)若根据回归方程估计出的 1 号和 6 号动物抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗 体指标标准差,则认为得到的线性回归方程是可靠的.试判断(2)中所得线性回归方程是否 可靠. 参考公式:样本数据 x1,x2,?,xn 的标准差:

S=

1

n

[?

x1- x ?



2

+?

x2- x ?



2

- +?+? xn- x ?

2

- ],其中 x 为样本平均数.

- [解析] (1) y =3.9,s≈0.31.故 1、6 号为无效动物,2、3、4、5 号为有效动物.

记从六只动物中选取两只为事件 A. 所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 15 种. 6 2 满足题意的有(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 6 种.故 P(A)= = . 15 5 - - (2)对于 2、3、4、5 号动物, x =4.5, y =3.925, ^ 代入y=0.17x+a 得 a=3.16. ^ ^ ^ (3)由y=0.17x+3.16 得y1=3.33,y6=4.52. 误差 e1=0.07,e6=0.22,均比标准差 s≈0.31 小,故(2)中回归方程可靠.

1.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表

甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5

乙的成绩 环数 频数 7 6 8 4 9 4 10 6

丙的成绩 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4 )

s1、s2、s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A.s3>s1>s2 C.s1>s2>s3 [答案] B [解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩都为 8.5. B.s2>s1>s3 D.s2>s3>s1

s1=
1 [5? 20 = 7-8.5?
2

+5? 8-8.5? 29 ,s3= 20

2

+5? 9-8.5?

2

+5? 10-8.5?

2

]

25 .同理 s2= 20

21 , 20

∴s2>s1>s3. 2.某校举行演讲比赛,9 位评委给选手 A 打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一 个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中 的 x)无法看清,若统计员计算无误,则数字 x 应该是( )

A.5 [答案] D

B.4

C.3

D.2

[解析] 去掉最低分 87,去掉最高分 94(假设 x≤4),则 7×91=80×2+9+8+90×5 +2+3+2+1+x,∴x=2,符合题意,故选 D. 3.(2012·湖南)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关 ^ 系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x -85.71,则下列结论中不正确的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 - - B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg [答案] D [解析] 本题考查线性回归方程. D 项中身高为 170cm 时, 体重“约为”58.79, 而不是“确定”, 回归方程只能作出“估 计”,而非确定“线性”关系. 4. (2012·湖南文, 13)下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________. )

1 - 2 - 2 - 2 - 2 (注:方差 s = [(x1- x ) -(x2- x ) +?+(xn- x ) ],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平

n

均数) [答案] 6.8 [解析] 本题考查茎叶图、方差的概念.

- 8+9+10+13+15 由茎叶图知 x = =11, 5 1 2 2 2 2 2 2 ∴s = [(8-11) +(9-11) +(10-11) +(13-11) +(15-11) ]=6.8 5 5.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查 了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论, 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中, 需要志愿者提 供帮助的老年人的比例?说明理由. 附:

K2=

n? ad-bc? 2 . ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? b+d?

[解析] (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助, 因此该地区老年人中, 70 需要帮助的老年人的比例的估计值为 =14%. 500 500×? 40×270-30×160? 2 (2)K = 200×300×70×430
2

≈9.967.

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (3)由(2)的结论知, 该地区老年人是否需要帮助与性别有关, 并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在调查时, 先确定该地区 老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽 样方法更好.


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