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高中数学必修2人教A教案4.1.1圆的标准方程


4.1.1 圆的标准方程
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程. (2)会用待定系数法求圆的标准方程. 2.过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准 方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力. 3.情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的

学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣. (二)教学重点、难点 重点:圆的标准方程 难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. (三)教学过程 教学环节 教学内容 在直角坐标系中, 确定直线的 基本要素是什么?圆作为平面几 何中的基本图形, 确定它的要素又 是什么呢?什么叫圆?在平面直 角坐标系中, 任何一条直线都可用 一个二元一次方程来表示, 那么圆 是否也可用一个方程来表示呢? 如果能, 这个方程具有什么特征? 确定圆的基本条件为圆心和 半径, 设圆的圆心坐标为 A(a, b), 半径为 r (其中 a、b、r 都是常数, r>0)设 M (x,y)为这个圆上任意 一点,那么点 M 满足的条件是(引 导学生自己列出)P = {M|MA| = r}, 由两点间的距离公式让学生写 出点的坐标适合的条件
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r

师生互动

设计意图

复习引入

由学生回答,然后引入课题

设置情境 引入课题

概念形成

引导学生自己证明(x – a)2 + (y – b)2 = r2 为圆的方程, 得出结论. 方程②就是圆心为 A (a, 通 过 b)半径为 r 的圆的方程,我们 学生自己 把它叫做圆的标准方程. 证明培养 学生的探 究能力.



化简可得: – a)2 + (y – b)2 = r2② (x

1

6 – – 4 – – 2 – – –5 – –2 – – –4 – – –

A M 5

例 1 写出圆心为 A (2,–3) 半径长等于 5 的圆的方程, 并判断 点 M1(5, –7),M 2 (? 5, ?1) 是否在 这个圆上. 分析探求:可以从计算点到 圆心的距离入手. 探究: M(x0,0)与圆(x – a)2 点 y 2 2 + (y – b) = r 的关系的判断方法: (1)(x0 – a)2 + (y0 – b)2>r2, 点在圆外. (2)(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2, 点在圆上. (3)(x0 – a)2 + (y0 – b)2 <r2, 点在圆内.

引导学生分析探究 从计算点到圆心的距离入手. 例 1 解:圆心是 A(2, –3),半径长等于 5 的圆的标 准方程是(x + 3)2 + ( y + 3)2 =25. 把 M1 (5, –7), 2 ( ? 5 , M –1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25,左右两边相等, 点 M1 的坐标适合圆的方程, 所以点 M2 在这个圆上;把 M2 ( ? 5 ,–1)的坐标代入方 程(x – 2)2 + (y +3)2 =25,左右 两边不 相等,点 M2 的坐标不 适合圆的方程,所以 M2 不在 通 过 这个圆上 实例引导 学生掌握 求圆的标 准方程的 两种方法.

应用举例

例 2 △ABC 的三个顶点的坐 标是 A(5, B(7, 1), –3), C(2, 8). – 求它的外接圆的方程. 例 2 解: 设所求圆的方程是 (x– a)2 + (y – b)2 = r2. ① 因为 A (5,1),B (7,–3),C (2,– 8) 都在圆上,所以它们的坐 标都满足方程①. 于是
?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ? 2 2 2 ?(2 ? a) ? (?8 ? b) ? r

师生共同分析: 从圆的标 2 准方程(x – a) + (y – b)2 = r2 可知,要确定圆的标准方程, 可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数,(学生自己运算解 决)

2

解此方程组,得

?a ? 2 ? ?b ? ?3 ? 2 ?r ? 25

所以,△ABC 的外接圆的方

程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25. 例 3 已知圆心为 C 的圆 C. 经过点 A(1,1)和 B(2,–2),且圆 心在 l : x – y + 1 = 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 比较例(2)、例(3)可得出△ ABC 外接圆的标准方程的两种求 法: ①根据题设条件,列出关于 a、 b、r 的方程组,解方程组得到 a、 b、r 得值,写出圆的根据确定圆 的要素, 以及题设条件, 分别求出 圆心坐标和半径大小, 然后再写出 圆的标准方程. 练习:课本 P127 第 1、3、4 题 师生共同分析: 如图确定 一个图只需确定圆心位置与 半径大小.圆心为 C 的圆经过 点 A(1,1)和 B(2,–2),由于 圆心 C 与 A、 两点的距离相 B 等, 所以圆心 C 在线段 AB 的 垂直平分线 m 上,又圆心 C 在直线 l 上, 因此圆心 C 是直 线 l 与直线 m 的交点, 半径长 等于|CA|或|CB|.(教师板书解 题过程)

A m C B

例 3 解: 因为 A (1, 1), B (2,– 2),所以线段 AB 的中 3 1 点 D 的坐标为( , ? ),直 2 2 线 AB 的斜率 ?2 ? 1 kAB = = –3, 2 ?1 因为线段 AB 的垂直平分 线 l′的方程是 1 1 3 y + ? (x ? ) , 2 3 2 即 x –3y –3 = 0. 圆心 C 的坐标是方程组
?x ? 3y ? 3 ? 0 的解. ? ?x ? y ?1 ? 0

3

解此方程组,得
? x ? ?3 ? ? y ? ?2

所以圆心 C 的坐标是 (–3,–2) . 圆心为 C 的圆的半径长 r =|AC|= (1 ? 3)2 ? (1 ? 2)2 = 5. 所以,圆心为 C 的圆的 标准方程是 (x + 3)2 + (y +2)2 =25. 1.圆的标准方程. 2.点与圆的位置关系的判断 方法. 3.根据已知条件求圆的标准 方程的方法. 布置作业:见习案 4.1 第一课 时

归纳总结

教师启发,学生自己比 较、归纳.

形成知识 体系

课外作业

学生独立完成

巩固深化

备选例题
例 1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径 (1)x2 + (y + 3)2 = 2; (2)(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0) 【解析】(1)圆心为(0,–3),半径为 2 ; (2)圆心为(–2,1),半径为|a|. 例 2 圆心在直线 x – 2y – 3 = 0 上,且过 A(2,–3),B(–2,–5),求圆的方程. 解法 1:设所求的圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = r2
?(2 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? 由条件知 ?(?2 ? a) 2 ? (?5 ? b) 2 ? r 2 ?a ? 2b ? 3 ? 0 ?
?a ? ?1 ? 解方程组得 ?b ? ?2 ? 2 ?r ? 10

即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10 1 解法 2: k AB ? ,AB 的中点是(0,–4), 2 所以 AB 的中垂线方程为 2x + y + 4 = 0 由?
? x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x ? ?1 得? ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?2

因为圆心为(–1, –2 )又 r ? (2 ? 1)2 ? (?3 ? 2)2 ? 10 . 所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10. 例 3 已知三点 A(3,2),B(5,–3),C(–1,3),以 P(2,–1)为圆心作一个圆,使 A、B、 C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.

4

【解析】要使 A、B、C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是 |PA|、|PB|、|PC|中的中间值.
| PA |? 10,| PB |? 13,| PC |? 25 .

因为|PA|<|PB|<|PC| 所以圆的半径 r ?| PB |? 13 . 故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.

5


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