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3.4.2 函数模型及其应用(3)


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3.4.2
教学目标:

函数模型及其应用(3)
宿迁市马陵中学 范金泉

1.学会通过数据拟合建立恰当的函数某型,并利用所得函数模型解释有关 现象或对有关发展趋势进行预测; 2.通过实例了解数据拟合的方法,进一步体会函数模型的广泛应用; 3.进一步培养

学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.

教学重点: 了解数据的拟合,感悟函数的应用. 教学难点: 通过数据拟合建立恰当函数模型.

教学方法: 讲授法,尝试法.

教学过程: 一、情境问题 某工厂第一季度某产品月产量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件.为了估测 以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c(其中 a,b,c 为常数) . 已知 4 月份的产量为 1.36 万件, 问: 用以上哪个函数作为模拟函数好? 为什么? 二、学生活动 完成上述问题, 并阅读课本第 85 页至第 88 页的内容,了解数据拟合的过程 与方法. 三、数学建构 1.数据的拟合:数据拟合就是研究变量之间的关系,并给出近似的数学表 达式的一种方式.

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2.在处理数据拟合(预测或控制)问题时,通常需要以下几个步骤: (1)根据原始数据,在屏幕直角坐标系中绘出散点图; (2)通过观察散点图,画出“最贴近”的曲线,即拟合曲线; (3)根据所学知识,设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数 y=kx+b;对称型选二次函数 y=ax2+bx+c;单调型选指数型函数 y=abx+c 或 k 反比例型函数 y= +b. x+a (4)利用此函数解析式,根据条件对所给的问题进行预测和控制. 四、数学应用 例1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始

温度为 T0,经过一定时间 t 后的温度是 T ,则 T-Ta=(T0-Ta),(0.5)t/h 其中 Ta 表示环境温度,h 称为半衰期. 现有一杯用 880C 热水冲的速溶咖啡, 放在 24℃的房间中, 如果咖啡降到 40℃ 需要 20min,那么降到 35℃时,需要多长时间(结果精确到 0.1). 例2 在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)的定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x),

某公司每月最多生长 100 台报警系统装置,生产 x 台(x?N*)的收入函数为 R(x) =3000x-20x2(单位:元) ,其成本函数为 C(x)=500x+4000(单位:元) ,利 润是收入与成本之差. (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (2)利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否有相同的最大值? 例3 (见情境问题)
打完18洞的杆数

五、巩固练习 1.一流的职业高尔夫选 手约 70 杆即可打完十八洞, 而初学者约 160 杆. 初学者打 高尔夫球, 通常是开始时进步 较快, 但进步到某个程度后就 不易再出现大幅进步. 某球员 从入门学起, 他练习打高尔夫 球的成绩记录如图所示:
160 140 120 100 80 练习总次数 160

0

20

40

60

80

100

120

140

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根据图中各点,请你从下列函数中: (1)y=ax2+bx+c; (2)y=k· ax+b; (3) y=
k ? b ;判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况? x?a

2.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成 本 y(单位:元/100kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间/t 种植成本/y 50 150 110 108 250 150

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本 y 与上 市时间 t 的变化关系; y=at+b,y=at2+bt+c,y=abt,y=alogbt (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植 成本. 简答: (1)由提供的数据描述西红柿的种植成本 y 与上市时间 t 之间的变化关系 不可能是常函数,因此用 y=at+b,y=abt,y=alogbt 中的任一个描述时都应有 a 不等于 0,此时这三个函数均为单调函数,这与表中所给数据不符合,所以,选 取二次函数 y=at2+bt+c 进行描述. (2)略. 六、要点归纳与方法小结 处理数据拟合(预测或控制)问题时的解题步骤. 七、作业 课本 P104 习题 3.4(2)-4.


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