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2高一下


第四章 数列复习
学业水平复习

一.数列的有关概念

①数列是按一定次序排列的一列数。 ②数列也可以看作是一个定义域为自然数集N或N的有限子

集{1,2,…n}的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列
函数值,通项公式就是这一函数的解析式。

③两种基本数列——等差数列、等

比数列,是高考中的必考
内容,要熟练掌握这两种数列的定义、通项公式、前 n 项和公 式

以及其性质。

二.等差数列和等比数列
等差数列 1.通项公式
an ? a1 ? (n ? 1 )d an ? kn ? b n 的系数k就是公差

等比数列





2.前 n 项和

特 征

( a1 ? a n )n Sn ? 2 n( n ? 1)d S n ? na1 ? 2 Sn ? an2 ? bn

an ? a1q n?1 an ? kan 底数a就是公比 a1 (1 ? q n ) Sn ? ,(q ? 1) 1? q a1 ? anq Sn ? , (q ? 1) 1? q Sn ? ka n ? k
a 的n 次幂的系数与常 数项互为相反 数。

是关于n 的不含常 数项的二次函数

下页

3.性质

等差数列
a ? am d? n n?m
a n ? a m ? ( n ? m )d

等比数列
q n?m ? an am

an ? am q n? m
an am ? ak a p
a p、aq、ar 成等比

m?n? k? p
p、q、r成等差

an ? am ? ak ? a p

a p、aq、ar 成等差
S n、S 2 n ? S n、S 3 n ? S 2 n ?也成等差

S n、S 2 n ? S n、S 3 n ? S 2 n ?也成等比
则?kan ? a n 、 n ? bn ? 、 k ?a 也是等比数列

?ka ?a 则?an ? k ?、 n ?、 n ? bn ?
也是等差数列

?b ?b 若?an ?、 n ?是等差数列, 若?a n ?、 n ?是等比数列,

? ?

例 : 等差数列{an }中,a1 ? 13,S 3 ? S11,求S n

解法一:由S 3 ? S11,得a4 ? a5 ? ? ? a11 ? 0, ? a4 ? a11 ? 0,由a1 ? 13,解得d ? ?2 ? S n ? ? n 2 ? 14n

解法二: ∵{an }是等差数列, 设S n ? An 2 ? Bn ? ? A ? B ? 13 由a1 ? S1 ? 13,S 3 ? S11,代入得? ?9 A ? 3 B ? 121A ? 11B 解得A ? ?1,B ? 14, S n ? ? n 2 ? 14n ?

已知a1 ? 1,an?1

? 1? ? an ? ? ? ,求an ? 2?
n

n

?1? ? a n?1 ? a n ? ? ? ? 2? ?1? ? a 2 ? a1 ? ? ? ? 2? ?1? a3 ? a2 ? ? ? ? 2? ?? a n ? a n ?1
2 1

?1? ?? ? ? 2?

n ?1

?1? ?1? ?1? 相加得a n ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2?

1

2

n ?1

三.如何求数列的通项

1.归纳法: 对于数列中所给出的一些项,逐项分析项与项数n的关 系,由此归纳出一般的公式。 在使用这种方法时要经常用到一些基本数列的通项公式,

例如:自然数列、奇偶数列、自然数平方数列、倒数数列、
幂数列、符号数列等。

2.利用前n项和与通项的关系求通项公式
? S1 ( n ? 1) an ? ? ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )

方法一:直接利用an ? S n ? S n?1求出an
方法二:利用an ? S n ? S n?1消去an,得出S n与S n?1的 递推关系式,求出S n,再求an

2 2 Sn 例2:已知an ? ( n ? 2),a1 ? 1,求an 2 Sn ? 1 2 2 Sn 解: an ? ∵ ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 ) 2 Sn ? 1

2 2 ? 2 Sn ? 2 Sn ? 2 Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

1 1 整理得: ? ?2 Sn Sn?1 1 1 ? ? 1 ? ( n ? 1)2; S n ? ? Sn 2n ? 1

? S1 ? 1 (n ? 1) ? an ? ? 2 ? S n ? S n?1 ? ? ( 2n ? 1)( 2n ? 3), ( n ? 2) ?

例1:已知{an }满足S n ? 2n ? an ( n ? N ),求an

解:S n ? 2n ? an,S1 ? 2 ? a1
S n?1 ? 2( n ? 1) ? an?1,a1 ? 1
相减得:an?1 ? 2 ? an?1 ? an 1 a n?1 ? a n ? 1 2 1 ( a n ?1 ? 2) ? ( a n ? 2) 2 1 ? {a n ? 2}是以 为公比的等比数列 2 1 ? a n ? 2 ? n ?1 2

3.利用递推关系,构造新数列。
①an ? an?1 ? f ( n)型
②an ? an?1· f ( n)型

(叠加) (叠乘)

③an ? pan?1 ? q( p ? 1,q ? 0)型

可设an ? t ? p(an?1 ? t ) 求出t,可得{an ? t }为一等比数列 其公比为p,首项为a1 ? t

例:在?an ? 中,a1 ? 1,an ? 3an?1 ? 4( n ? 2,n ? N ),求an

设:a n ? t ? (a n?1 ? t) 3 得:a n ? 3a n?1 ? 2t 令 2t ? 4,解得t ? 2
? (an ? 2) ? 3(an?1 ? 2) ? {an ? 2}是以3为公比,以a1 ? 2为首项的等比数列

得:an ? 2 ? 3 ? 3 n?1 ? an ? 3n ? 2

四.数列的和

数列求和,一是把一个未知的数列变成若干个已知的数 列,利用公式求和;二是把数列整理化简,使某些项相约、

相消,成为关于n的一个代数式。归纳起来,常用的方法有
如下几种。

1.裂项求和
3.错位相减

2.分组求和
4.倒序相加

1.裂项求和
把通项公式分成若干个已知数列的和,分别用公 式求这些数列的和,从而求出原数列的和。

22 42 ( 2n ) 2 例 : 求S n ? ? ? ?? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)

1 1? 1 1 ? an ? 1 ? ? 1? ? ? ? ( 2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2 n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2n( n ? 1) ? n ? ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

2.分组求和
与裂项求和相反,有时需要把数列的若干项分成一组,
求出每个组中的数列之和,作为新数列的项,再求和。
例:求S n ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? n 解:S n ? 1 ? 1 ? 2)(1 ? 2 ? 3) ? ? 1 ? 2 ? ? ? n) ( ? ? (

n( n ? 1) 1 2 考虑到:? 2 ? ? ? n ? 1 ? ( n ? n) 2 2 1 ? S n ? [ 2 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)] (1 ( 2 n( n ? 1)( 2n ? 4) ? Sn ? 12

3.错位相减求和
若一个数列的通项等于一个等差数列与一个等比数 列的积,可考虑用此法求和
1 2 3 n 例:求 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的和 2 2 2 2 1 2 3 n 解:S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 1 1 2 n?1 n S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 相减得: ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 (1 2 2 2 2 2 2 1? 1? ?1 ? n ? 1 1 n 2? 2 ?? n ? S n ? 2 ? n ?1 ? n Sn ? n?1 1 2 2 2 2 1? 2

4.倒序相加求和

仿推导等差数列和 的方法,把某些数列首 尾 对称的项对应相加,有 时也可得到不错的效果。

已知a1 ? 1,an?1 ? 2n an,求an
a n ?1 ? 2n an a a a2 ? 21 , 3 ? 2 2 ,? n ? 2 n?1 a1 a2 a n ?1

? ?

相乘得

an ? 21 ? 22 ? ?2n?1 a1
? 21? 2??? n?1 ?
n ( n ?1 ) 2 2


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