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2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 5.1 数列的概念与简单表示法)


课时提能演练(三十)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 8 15 24 1.已知数列-1, ,- , ,…,则这个数列的第 6 项是( 5 7 9 48 (A) 13 48 (B)- 13 35 (C) 11 (D)- 35 11 ) ) 100 分)

2.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项( (A)

103 1 (B)108 8 1 (C)103 8 (D)108

3.(预测题)在数列{an}中,a1=1, anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*), a3 则 的值是( a5 15 (A) 16 ) 15 (B) 8 3 (C) 4 3 (D) 8

4.把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为用这些数 目的点可以排成一个正三角形(如图).

则第 7 个三角形数是( (A)27 (B)28

) (C)29 (D)30 an- 3 (n∈N*). 3an+1

5.(2012·三亚模拟)已知数列{an}满足 a1=0, an+1= 则 a20 =( )

(A)- 3

(B)0

(C) 3

(D)

3 2

6.(易错题)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n, 第 k 项满足 5<ak<8, 则k等 于( (A)9 ) (B)8 (C)7 (D)6

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式 为 .

a1(3n-1) 8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (n∈N*)且 a4=54,则 a1 2 = .

nπ 9.(2012·福州模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=sin ,则 2 S2 011= .

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=1, S2=2,且 Sn+1-3Sn+2Sn
-1

=0(n∈N*且 n≥2),求该数列的通项公式.

11.(2012·邯郸模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn} 2 满足 bn= ,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. a n+ 1 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 【探究创新】

(16 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6. (1)设 bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式. (2)在(1)的条件下,求 n 为何值时,an 最小.

答案解析
22-1 32-1 42-1 52-1 1. 【解析】 选 A.数列的各项可化为- , , - , , …, 3 5 7 9 其中分母可记作 2n+1,分子可记作(n+1)2-1,故其通项为 an=(- (n+1)2-1 1) , 2n+1
n

∴a6=

48 . 13

2.【解析】选 D.根据题意结合二次函数的性质可得: an=-2n2+29n+3=-2(n2- =-2(n- 29 2 29×29 ) +3+ . 4 8 29 n)+3 2

∴n=7 时,an=108 为最大值. 3.【解析】选 C.当 n=2 时,a2·a1=a1+(-1)2,∴a2=2; 1 当 n=3 时,a3a2=a2+(-1)3,∴a3= ; 2 当 n=4 时,a4a3=a3+(-1)4,

∴a4=3; 当 n=5 时,a5a4=a4+(-1)5, 2 a3 3 ∴a5= ,∴ = . 3 a5 4 4.【解题指南】观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前 一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可. 【解析】选 B.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是 1+2 +3+4+5+6+7=28. 5.【解析】选 A.a1=0,a2=- 3,a3= 3,a4=0,a5=- 3… 故数列{an}是周期为 3 的周期数列. ∴a20=a2=- 3.
? (n=1) ?S1 6.【解析】选 B.an=? ? ?Sn-Sn-1(n≥2) ? (n=1) ?-8 即 an=? ?-10+2n (n≥2) ?



.

∵n=1 也适合 an=2n-10,∴an=2n-10. ∵5<ak<8,∴5<2k-10<8, 15 ∴ <k<9,又∵k∈N*,∴k=8. 2 7.【解析】当 n=1 时,a1=S1=21-3=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
?-1 (n=1) ? ∴an=? n-1 ?2 (n≥2) ? ? ?-1 答案:an=? n-1 ? ?2

.

(n=1) (n≥2)

8.【解题指南】本题解题的关键是根据数列的前 n 项和的表达式表示 出 a4,可以有两种表示方法,一是 S4=S3+a4,二是先求数列的通项, 然后表示 a4,从而求得首项. 【解析】方法一:由 S4=S3+a4, a1(34-1) a1(33-1) 得 = +54, 2 2 a1(80-26) 即 =54,解得 a1=2. 2 方法二:由 Sn-Sn-1=an(n≥2)可得 a1(3n-1) a1(3n-1-1) a1(3n-3n-1) an= - = 2 2 2 =a1·3n-1, ∴a4=a1·33,∴a1= 答案:2 9.【解析】依题意知,数列{an}是以 4 为周期的周期数列,且 a1=1, a2=0,a3=-1,a4=0, ∴a1+a2+a3+a4=0. 又 2 011=4×502+3 ∴S2 011=0×502+a1+a2+a3=0. 答案:0 1 1 【变式备选】已知数列{an}中,a1= ,an+1=1- (n≥2),则 a16 2 an = . 54 =2. 27

1 1 1 1 【解析】由题可知 a2=1- =-1,a3=1- =2,a4=1- = ,∴ a1 a2 a3 2 1 此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16= . 2 1 答案: 2 10.【解析】由 S1=1 得 a1=1,又由 S2=2 可知 a2=1. ∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且 n≥2), ∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(n∈N*且 n≥2), 即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(n∈N*且 n≥2), ∴an+1=2an(n∈N*且 n≥2) ,故数列{an}从第 2 项起是以 2 为公比的 等比数列.∴数列{an}的通项公式为
? ?1 an=? n-2 ? ?2

(n=1) (n>1,n∈N*)

.

11.【解析】(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), 1 ? ?n(n≥2) ∴b =? 2 ? ?3(n=1)
n

.

(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 1 1 1 = + +…+ , n+1 n+2 2n+1 ∴cn+1-cn= 1 1 1 + - <0, 2n+2 2n+3 n+1

即 cn+1<cn,∴{cn}是递减数列. 【方法技巧】证明数列的单调性的方法

在证明数列的单调性方面, 有很多的方法和技巧可供选择, 常用的有: (1)作差法,主要是作差之后的变形,与零比较大小是关键;(2)作商 法,主要是作商后能够约掉因式进行变形,再与 1 比较;(3)利用函 数的单调性证明,由于数列是一种特殊的函数,所以可以借助函数的 性质证明. 【探究创新】 【解题指南】(1)可采用累加法求解数列的通项公式; (2)观察所得递推数列的式子特点分情况讨论. 【解析】(1)由 an+2-2an+1+an=2n-6,得 (an+2-an+1)-(an+1-an)=2n-6, ∴bn+1-bn=2n-6. 当 n≥2 时,bn-bn-1=2(n-1)-6. bn-1-bn-2=2(n-2)-6, …… b3-b2=2×2-6, b2-b1=2×1-6, 累加得 bn-b1=2[1+2+…+(n-1)]-6(n-1) =n(n-1)-6n+6=n2-7n+6. 又 b1=a2-a1=-14. ∴bn=n2-7n-8(n≥2), n=1 时,b1 也适合此式, 故 bn=n2-7n-8.

(2)由 bn=(n-8)(n+1),得 an+1-an=(n-8)(n+1). ∴当 n<8 时,an+1<an. 当 n=8 时,a9=a8, 当 n>8 时,an+1>an, 故当 n=8 或 n=9 时 an 的值最小.


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