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2015.6.4一元二次不等式的解法(1)


问题一: (1)作出函数y=2x- 7的图象 (2)解方程2x-7=0 (3)解不等式2x- 7>0与2x- 7<0 1、解下列不等式

(1)ax ? b ? 3 ? 2 x

问题二: (1)、画出函数y=x2- x- 6的图象 (2)、解方程x2- x- 6=0 (3)、解不等式x2- x- 6>0与 x2- x- 6<0

一元二次方程x2-x-6=0 的解是 x1=-2,x2=3.

y=x2-x-6 y

问题三:
二次函数、一元二次方 程与一元二次不等式间 在X轴上方 在X轴下方 的关系又如何呢?
的图象

的图象

一元二次不等式

-2

o

3

x

x2-x-6>0 的解集是 {x|x<-2或x>3}.
x2-x-6<0 的解集是 {x|-2<x<3}.

判别式 △=b2-4ac

△>0
y

△=0 y x2 x O x1 x

△<0 y

y=ax2+bx+c x1 O (a>0)的图象

O

x

ax2+bx+c=0 有两相异实根 x1,x2 (x1<x2) (a>0)的根

有两相等实根 b x1=x2= ?

没有实根

ax2+bx+c>0 {x|x<x ,或x>x } {x|x≠ 1 2 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} (a>0)的解集

b ? } 2a

2a

R

Φ

Φ

问题:当a<0时,不等式ax2+bx+c>0(<0)的解集呢?

8,求m的范围,使关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足
(1) 有两个正根 (2)有两个负根 (3)有一个正根,一个负根 (4) 两个根都小于1

(5) 一个根在(-2 .0)内,另一个根在(1 . 3)内

1. 解下列不等式
2

1)2 x ? 3 x ? 2 ? 0 2) ? x ? 3 x ? 2 ? 6 x ? 2 2 2 3)4 x ? 4 x ? 1 ? 0 4) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 2 5) ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2 2 6) x ? 3 ? 4 | x |
2

练习:

?1?? x ? 1?? x ? 2? ? 0 2 ?2?30 ? 7 x ? 2 x ? 0 2 ?3?6 x ? x ? 2 ? 0
2

( 4)3 x ? 5 x ? 4 ? 0

例2、不等式ax ? bx ? 2 ? 0的解集是
2

? 1 1? ? x ? ? x ? ?, 则a ? b ? ______ 3? ? 2 2 例3、已知一元二次不等式 ax ? bx ? 1 ? 0

的解集为 {x | ?2 ? x ? 1},求a, b的值
变式:若不等式 ax2 ? bx ? c ? 0的解 ? 1 ? 2 集是? x ? ? x ? 2?, 求不等式cx ? bx ? a ? 0 ? 3 ? 的解集。

例1、解关于x的不等式: x ? (2m ? 1) x ? m ? m ? 0
2 2

例2、解关于 x的不等式: x ? (1 ? a ) x ? a ? 0
2

3.解不等式63x ? 2mx? m ? 0
2 2

1 4.解不等式 x ? (a ? ) x ? 1 ? 0(a ? 0) a
2

3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 >0

5.解关于x的不等式: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

6.解关于x的不等式: 2 x ? mx? 2 ? 0
2

练习: 解关于x的不等式: x ? 2ax ? 2 ? 0
2

变式:解关于 x的不等式: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

(2)ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0
2

例3,不等式ax ? ax ? 1 ? 0的解集为R,
2

求a的范围。 变式1:不等式ax ? ax ? 1 ? 0的解集为? ,
2

求a的范围。
变式2:不等式(a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0
2

恒成立,求a的范围。

例4、若x ? R,ax ? 4 x ? 4 ? ?2 x ? 1
2 2

恒成立,则a的取值范围是

变式:若函数 f ( x) ? kx ? 6kx ? (k ? 8)
2

的定义域为R,则k的取值范围是

例5、设函数f ( x) ? m x ? m x ? 1
2

( 1 )若对于一切实数 x,f ( x) ? 0恒成立, 求m的取值范围 . 求m的取值范围 .

(2)对于x ? [1,3],f ( x) ? ?m ? 5恒成立,

例6、设不等式m x ? 2 x ? m ? 1 ? 0对于
2

满足 m ? 2的一切m的值都成立,求 x的 取值范围 .

7.若不等式x 2 ? 4 x ? m ? ? y 2 ? 2 y对任意的实数 x, y 都成立, 求m的范围。

2、ax ? 4 x ? a ? ?2 x ? 1恒成立,
2 2

求 a的取值范围。

解一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的一般步骤: ① 将二次不等式化成一般式;
② 将不等式的二次项系数化为正; ③ 求出方程ax2+bx+c=0的两根; ④

小结:

画出y=ax2+bx+c的图象;

⑤根据图象写出不等式的解集.

总结提 练 (1)一元二次不等式的解集与一元二
次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要 注意解题格式,头脑中要想象图像或 划出草图. (2)对于a<0的一元二次不等式可转 化为a>0的情形求解. (3)一元二次不等式的解法是今后学 习其他不等式的基础,要求大家熟练 掌握解法,准确运算结果.


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