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铜陵县顺安中学八年级数学(下)教案


铜陵县顺安中学八年级数学(下)集体备课教案
课题: 设计人: 设计时间: 教学设计 授课人: 授课时间: 授课备注

第十六章
16.1.1 从分数到分式
一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念.

分式

16.1 分式

2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的

条件;能熟练 地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零 的条件. 三、课堂引入 1. 让学生填写 P4[思考], 学生自己依次填出:10 ,s ,200 ,
7 v. s a 33

2.学生看 P3 的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时,它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用实践,与以 最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为 x 千米/时. 轮船顺流航行 100 千米所用的时间为 60 千米所用时间
100 小时,逆流航行 20 ? v

60 小时,所以 100 = 60 . 20 ? v 20 ? v 20 ? v 100 20 ? v

3. 以上的式子



60 , s a 20 ? v

, v ,有什么共同点?它们
s

与分数有什么相同点和不同点? 五、例题讲解 P5 例 1. 当 x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零, 进一步解 出字母 x 的取值范围.
-1-

[提问]如果题目为:当 x 为何值时,分式无意义.你知道 怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面 地感受到分式及有关概念. (补充)例 2. 当 m 为何值时,分式的值为 0? 2
m m?2

m ?1

m (1) ? 1

m (2) ? 3

m (3)? 1

1 [分析] 分式的值为 0 时,必须同时满足两个条件:○分母 .. 2 不能为零;○分子为零,这样求出的 m 的解集中的公共部分, 就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4,
7 , 9? y , m?4 , x 5 20
3

(2)m=2

(3)m=1

8y ? 3 , 1 x?9 y2

2. 当 x 取何值时,下列分式有意义?
x (1) ? 2

(2) (2)7 x

x?5 3 ? 2x

(3) (3)
x2 ? 1 x2 ? x

2x ? 5 x2 ? 4

3. 当 x 为何值时,分式的值为 0? (1)x ? 7
5x 21 ? 3 x

七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些 是分式? (1)甲每小时做 x 个零件,则他 8 小时做零件 80 个零件需 小时. 千米/时,轮船的逆流速度是 .
2

个,做

(2)轮船在静水中每小时走 a 千米,水流的速度是 b 千米/ 时,轮船的顺流速度是 千米/时. (3)x 与 y 的差于 4 的商是
3x ? 2
x ?1 x2 ? x

2.当 x 取何值时,分式 x ? 1 无意义? 3. 当 x 为何值时,分式 八、答案: 六、1.整式:9x+4,
1 x?9
9? y 20

的值为 0?

, m?4
5
3 2

分式:

7 , x

8y ? 3 , y2

2.(1)x≠-2 3. (1)x=-7
80 x

(2)x≠ (2)x=0
-2-

(3)x≠±2 (3)x=-1

七、1.18x,
x? y ; 4

,a+b,

s , x? y ; a?b 4

整式:8x, a+b,

分式: 80 ,
x

s a?b

2. X = 2
3

3. x=-1

课后反思:

-3-

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16.1.2 分式的基本性质 一、教学目标 1.理解分式的基本性质. 2.会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点 1.重点: 理解分式的基本性质. 2.难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析 1. 的例 2 是使学生观察等式左右的已知的分母 P7 (或分子) , 乘以或除以了什么整式,然后应用分式的基本性质,相应地把 分子(或分母)乘以或除以了这个整式,填到括号里作为答案, 使分式的值不变. 2.P9 的例 3、例 4 地目的是进一步运用分式的基本性质进 行约分、通分.值得注意的是:约分是要找准分子和分母的公因 式,最后的结果要是最简分式;通分是要正确地确定各个分母 的最简公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的 最高次幂的积,作为最简公分母. 教师要讲清方法,还要及时地纠正学生做题时出现的错误, 使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解. 3.P11 习题 16.1 的第 5 题是:不改变分式的值,使下列分 式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题,但 它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号, 改变其中任何两个,分式的值不变. “不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分 式的基本性质的应用之一,所以补充例 5. 四、课堂引入 1.请同学们考虑: 与 4 什么? 2.说出
3 4 3 15 20

相等吗?

9 24



3 8 相等吗?为



15 20

之间变形的过程,24 与

9

3 8

之间变形的

过程,并说出变形依据?
-4-

3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性 质. 五、例题讲解 P7 例 2.填空: [分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或 除以同一个整式,使分式的值不变. P11 例 3.约分: [分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同 除以同一个整式,使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公 因式,约分的结果要是最简分式. P11 例 4.通分: [分析] 通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最 小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母. (补充)例 5.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母 都不含“-”号.
? 6b , ? 5a

2m , ? 7m ?x, ? ? ?n 6n 3y



?

? 3x 。 ? 4y

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号, 其中两个符号同时改变,分式的值不变. 解 :
? 6b = ? 5a ? 6b , 5a 2m 2m ?x x = ? , ? = , ?n n 3y 3y

? 7m 7 m = 6n 6n



?

? 3x 3 x = 。 ? 4y 4y

六、随堂练习 1.填空: (1)

? ? 2x 2 = 2 x?3 x ? 3x ? ? b ?1 = a?c an ? cn

(2)

6a 3 b 2 3a 3 = 8b 3 ? ?

( 3)

(4)

?x ? y ?

x2 ? y2
2

=

x? y

? ?

2.约分:
3a 2 b (1) 6ab2 c
8m 2 n (2) 2m n2

(3)

? 4 x 2 yz 3 16xyz5

-5-

(4)

2( x ? y) 3 y?x

3.通分: (1) (3)
1 2 和 2 2 3 2ab 5a b c

(2) (4)

b a 和 2 3x 2 xy

3c a 和? 2 2ab 8bc 2

1 1 和 y ?1 y ?1

4.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-” 号.
? x3 y (1) ? 3ab2
? ( a ? b) 2 m ? a3 (2) ? ? 17b 2 ? 5a ? 13x 2

( 3)

(4)

七、课后练习 1.判断下列约分是否正确: (1) (3)
a?c a = b?c b m?n =0 m?n
1 2 和 2 2 3ab 7a b x ?1 x ?1 和 2 2 x ?x x ?x

(2)

1 x? y = 2 2 x? y x ?y

2.通分: (1) (2)

3.不改变分式的值,使分子第一项系数为正,分式本身不 带“-”号. (1) 八、答案: 六、1.(1)2x
a 2. 1) ( 2bc
? 2a ? b ?a?b

(2) ?

? x ? 2y 3x ? y

(2) 4b (3) bn+n
4m (2) n ? (3) x 4z 2

(4)x+y (4)

-2(x-y)2 3.通分: (1)
4b 10 a 2 b 3 c
-6-

1 5ac = , 3 2ab 10 a 2 b 3 c

2 = 5a b 2 c
2

(2)

a 3ax = , 2 xy 6x 2 y
3c 12c 3 = 2ab 2 8ab2 c 2

b 2by = 2 3x 6x 2 y ? a = 8bc 2

(3)
ab 8ab 2 c 2



4



1 y ?1

=

y ?1 ( y ? 1)( y ? 1)

1 y ?1 = y ? 1 ( y ? 1)( y ? 1)

4 . (1)
? ( a ? b) 2 m

x3 y 3ab 2

(2) ?

a3 17b 2

( 3)

5a 13x 2

(4)

课后反思:

-7-

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16.2 分式的运算 16.2.1 分式的乘除(一) 一、教学目标:理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算. 二、重点、难点 1.重点:会用分式乘除的法则进行运算. 2.难点:灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、例、习题的意图分析 1.P13 本节的引入还是用问题 1 求容积的高,问题 2 求大 拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍,这两个引 例所得到的容积的高是
v m ? ,大拖拉机的工作效率是小拖拉 ab n

? a b? 机的工作效率的 ? ? ? 倍.引出了分式的乘除法的实际存在的 ?m n?

意义, 进一步引出 P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分 式的乘除法的法则.但分析题意、 列式子时, 不易耽误太多时间. 2.P14 例 1 应用分式的乘除法法则进行计算,注意计算的 结果如能约分,应化简到最简. 3.P14 例 2 是较复杂的分式乘除,分式的分子、分母是多 项式,应先把多项式分解因式,再进行约分. 4.P14 例 3 是应用题,题意也比较容易理解,式子也比较 容易列出来,但要注意根据问题的实际意义可知 a>1,因此 (a-1)2=a2-2a+1<a2-2+1,即(a-1)2<a2-1.这一点要给学生讲清楚, 才能分析清楚“丰收 2 号”单位面积产量高.(或用求差法比较 两代数式的大小) 四、课堂引入 1.出示 P13 本节的引入的问题 1 求容积的高
v m ? ,问题 2 ab n

? a b? 求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 ? ? ? 倍. ?m n?

-8-

[引入]从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除.本节 我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数 的乘除入手,类比出分式的乘除法法则. 1.P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则. 3.[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则,你能说出分 式的乘除法法则? 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 五、例题讲解 P14 例 1. [分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运 算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟 整式运算一样,先判断运算符号,在计算结果. P15 例 2. [分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式,应先把 多项式分解因式,再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项 式,而是多个多项式相乘是不必把它们展开. P15 例. [分析]这道应用题有两问,第一问是:哪一种小麦的单位 面积产量最高?先分别求出“丰收 1 号”“丰收 2 号”小麦试 、 验田的面积,再分别求出“丰收 1 号”“丰收 2 号”小麦试验 、 田的单位面积产量,分别是 500 、 500 ,还要判断出以上两 2
a ?1

?a ? 1?2

个分式的值,哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知 a>1, 因此(a-1)2=a2-2a+1<a2-2+1,即(a-1)2<a2-1,可得出“丰收 2 号” 单位面积产量高. 六、随堂练习 计算
2 2 (1) c ? a b

2

ab

c

2 2 (2) ? n ? 4m3

(3)

2m 5n

y ? 2? ? ?? ? 7x ? x ?

( 4 ) -8xy ? 2 y
5x

(5)

a2 ? 4 a2 ?1 ? 2 a 2 ? 2a ? 1 a ? 4a ? 4

(6) y

2

? 6y ? 9 ? (3 ? y) y?2

七、课后练习 计算 (1)x 2 y ? ? ? 1 ? ? ?
x
3

? ?

y? ?

(2)5b

? 10bc ? ? ?? ? 3ac ? 21a ?
2

12 (3) xy ? ?? 8 x 2 y ? 5a

-9-

2 2 ( 4 ) a ? 42b ? ab

3ab

a ? 2b

(5)

x2 ? x ? (4 ? x) x ?1

(6)

42( x 2 ? y 2 ) ? x2 ? x 35( y ? x) 3

八、答案: 六、 (1)ab
(a ? 1)(a ? 2) (a ? 1)(a ? 2)

(2) ? 2m
5n

(3) ?

y 14

(4)-20x2 (5)

(6) 3 ? y 七、 (1) ? 1 (5)

y?2
x

(2) ?

7b 2c 2

(3) ?

3 10 ax

(4) a ? 2b
3b

x 1? x

(6) 6 x( x ? y) 5( x ? y ) 2

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16.2.1 分式的乘除(二) 一、教学目标:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 三、例、习题的意图分析 1. P17 页例 4 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混 合运算先把除法统一成乘法运算,再把分子、分母中能因式分 解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的结果要是最 简分式或整式. 教材 P17 例 4 只把运算统一乘法,而没有把 25x2-9 分解因 式,就得出了最后的结果,教师在见解是不要跳步太快,以免学 习有困难的学生理解不了,造成新的疑点. 2, P17 页例 4 中没有涉及到符号问题,可运算符号问题、 变号法则是学生学习中重点,也是难点,故补充例题,突破符 号问题. 四、课堂引入 计算 (1) y ? x ? (? y )
x y x

(2)

3x 3x 1 ? (? ) ? (? ) 4y y 2x

五、例题讲解 (P17)例 4.计算 [分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运 算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项 式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的. (补充)例.计算

3ab2 8xy 3x (1) 3 ? (? 2 ) ? 2x y 9a b (?4b)
=

3ab2 8xy ? 4b ? (? 2 ) ? 3 2x y 9a b 3x

(先把除法统一成乘法运算)

- 11 -

= =

3ab2 8xy 4b ? ? 2 x 3 y 9a 2 b 3x
16b 2 9 ax 3

(判断运算的符号) (约分到最简分式)

(2) =

2x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 2 3? x 4 ? 4x ? 4x

2x ? 6 1 ( x ? 3)( x ? 2) ? ? 2 3? x 4 ? 4x ? 4x x ? 3

(先把除法统一成乘

法运算) =
2( x ? 3) 1 ( x ? 3)(x ? 2) ? ? 3? x (2 ? x) 2 x ? 3 2( x ? 3) 1 ( x ? 3)(x ? 2) ? ? ? ( x ? 3) ( x ? 2) 2 x ? 3
2 x?2

(分子、 分母中的多项式分

解因式) =

=?

六、随堂练习 计算 (1) (
2

3b 2 bc 2a ? 2 ? (? ) 16a 2a b

(2)

5c 20c 3 ? (?6ab6 c 2 ) ? 2a 2 b 4 30a 3b10

3



3( x ? y) 2 9 ? ( x ? y) 4 ? 3 y?x ( y ? x)



4



x 2 ? 2 xy ? y 2 x ? y ( xy ? x ) ? ? 2 xy x
七、课后练习 计算 (1) (2)

? 8x 2 y 4 ?

3x x2 y ? (? ) 6z 4y6

a 2 ? 6a ? 9 3 ? a a 2 ? ? 2 ? b 3a ? 9 4 ? b2

(3)

y2 ? 4y ? 4 1 12 ? 6 y ? ? 2y ? 6 y ? 3 9 ? y2

- 12 -

(4)

x 2 ? xy xy ? ( x ? y) ? 2 2 x ? xy y ? xy

八、答案:
3a 2 六.(1) ? 4c
5 (2) ? 4 8c

( x ? y) 4 (3) 3
2? y 12

(4)

-y
36xz 七. (1) 3 y
? 1 x

a2 (2) b?2

(3)

(4)

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16.2.1 分式的乘除(三) 一、教学目标:理解分式乘方的运算法则,熟练地进行分式乘 方的运算. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行分式乘方的运算. 2.难点:熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、例、习题的意图分析 1. P17 例 5 第(1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方 一样应先判 断乘方的结果的符号,在分别把分子、分母乘方.第(2)题是 分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序:先做 乘方,再做乘除.. 2.教材 P17 例 5 中象第(1)题这样的分式的乘方运算只有 一题,对于初学者来说,练习的量显然少了些,故教师应作适 当的补充练习.同样象第(2)题这样的分式的乘除与乘方的混 合运算,也应相应的增加几题为好. 分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点,也是难 点,故补充例题,强调运算顺序,不要盲目地跳步计算,提高 正确率,突破这个难点. 四、课堂引入 计算下列各题:
a a a (1) ( ) 2 = ? =( b b b a a a a (2) ( ) 3 = ? ? =( b b b b





a a a a a (3) ( ) 4 = ? ? ? =( b b b b b



a [提问]由以上计算的结果你能推出 ( ) n(n 为正整数) 的结 b

果吗? 五、例题讲解 (P17)例 5.计算

- 14 -

[分析]第(1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应 先判断乘方的结果的符号,再分别把分子、分母乘方.第(2) 题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序: 先做乘方,再做乘除. 六、随堂练习 1.判断下列各式是否成立,并改正. (1) ( (3) (
b3 2 b5 ) = 2 2a 2a
2y 3 8y3 ) = 3 ? 3x 9x
? 3b 2 ? 9b 2 ) = 2a 4a 2

(2) (

(4) (

3x 2 9x 2 ) = 2 x?b x ? b2

2.计算 (1) ( (4) ( (6) (?

5x 2 2 ) 3y

(2) (

3a 2 b 3 ) ? 2c 3

(3) (

a3 2 ay ) ? (? 2 ) 3 2 3xy 2x

x2 y 3 ? x3 2 ) ?( ) z ? z2

x y2 5) (? ) 2 ? (? ) ? (? xy 4 ) y x

y 2 3x 3x 2 ) ? (? ) 3 ? (? ) 2x 2y 2ay

七、课后练习 计算 (1) ( ? (3)
(

2b 2 3 ) a3

(2) ( ?

a2 2 ) b n ?1

c3 2 c4 2 a ( 2 ) ? ( 3 ) ? ( )4 c a b a b

(4)

a ?b 2 ?a 3 ) ?( ) ? (a 2 ? b 2 ) ab b?a

八、答案: 六、1. (1)不成立, (
? 3b 2 9b 2 ( ) = 2 2a 4a

b3 2 b 6 ) = 2 2a 4a

(2)不成立,

(3)不成立, (
( 3x 2 9x 2 ) = 2 x?b x ? 2bx ? b 2

2y 3 8y3 ) =? ? 3x 27x 3

(4)不成立,

- 15 -

2. (1)
?

25x 4 9 y2

(2)?

27a 6b3 8c9

(3)?

8a 3 x 4 9y2

(4)

y3 z4
1 x2

(5)

(6)

a3 y 2 4x 2 a4 b
2n?2

七、(1) ?

? 8b 6 a9

(2)

(3)

c2 a2

(4)

a?b b

课后反思:

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16.2.2 分式的加减(一) 一、教学目标: (1)熟练地进行同分母的分式加减法的运算. (2)会把异分母的分式通分,转化成同分母的 分式相加减. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2.难点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、例、习题的意图分析 1. P18 问题 3 是一个工程问题,题意比较简单,只是用字 母 n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间,乙工程队完成这 一项工程的时间可表示为 n+3 天,两队共同工作一天完成这项 工程的
1 1 ? .这样引出分式的加减法的实际背景,问题 4 的 n n?3

目的与问题 3 一样,从上面两个问题可知,在讨论实际问题的 数量关系时,需要进行分式的加减法运算. 2. P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则,类比 分数的加减法,分式的加减法的实质与分数的加减法相同,让 学生自己说出分式的加减法法则. 3.P20 例 6 计算应用分式的加减法法则.第(1)题是同分 母的分式减法的运算,第二个分式的分子式个单项式,不涉及 到分子变号的问题,比较简单,所以要补充分子是多项式的例 题,教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号; 第(2)题是异分母的分式加法的运算,最简公分母就是两 个分母的乘积,没有涉及分母要因式分解的题型.例 6 的练习的 题量明显不足,题型也过于简单,教师应适当补充一些题,以 供学生练习,巩固分式的加减法法则. (4)P21 例 7 是一道物理的电路题,学生首先要有并联电 路 总 电 阻 R 与 各 支 路 电 阻 R1, R2, ? , Rn 的 关 系 为
1 1 1 1 ? ? ? ??? ? R R1 R2 Rn

.若知道这个公式,就比较容易地用含有 R1 的

- 17 -

式子表示 R2,列出 1 ? 1 ?
R R1

1 ,下面的计算就是异分母的分式 R1 ? 50

加法的运算了,得到 1 ? 2R1 ? 50 ,再利用倒数的概念得到 R 的
R R1 ( R1 ? 50)

结果.这道题的数学计算并不难,但是物理的知识若不熟悉,就 为数学计算设置了难点.鉴于以上分析,教师在讲这道题时要根 据学生的物理知识掌握的情况,以及学生的具体掌握异分母的 分式加法的运算的情况,可以考虑是否放在例 8 之后讲. 四、课堂堂引入 1.出示 P18 问题 3、问题 4,教师引导学生列出答案. 引语:从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系 时,需要进行分式的加减法运算. 2.下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加 减法运算的法则吗? 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同,你能说出分 式的加减法法则? 4.请同学们说出

1 1 1 的最简公分母是什 , 4 2, 2 3 2 x y 3x y 9 xy 2

么?你能说出最简公分母的确定方法吗? 五、例题讲解 (P20)例 6.计算 [分析] 第(1)题是同分母的分式减法的运算,分母不变, 只把分子相减,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子 是多项式时,第二个多项式要变号的问题,比较简单;第(2) 题是异分母的分式加法的运算,最简公分母就是两个分母的乘 积. (补充)例.计算 (1)

x ? 3y x ? 2 y 2x ? 3y ? 2 ? 2 2 x ?y x ? y2 x2 ? y2

[分析] 第(1)题是同分母的分式加减法的运算,强调分 子为多项式时,应把多项事看作一个整体加上括号参加运算, 结果也要约分化成最简分式. 解:
x ? 3y x ? 2 y 2x ? 3y ? 2 ? 2 2 x ?y x ? y2 x2 ? y2

- 18 -

= = = =

( x ? 3 y ) ? ( x ? 2 y ) ? (2 x ? 3 y ) x2 ? y2 2x ? 2 y x2 ? y2
2( x ? y ) ( x ? y )(x ? y ) 2 x? y
1 1? x 6 ? ? 2 x ? 3 6 ? 2x x ? 9

(2)

[分析] 第(2)题是异分母的分式加减法的运算,先把分 母进行因式分解,再确定最简公分母,进行通分,结果要化为最 简分式. 解:
1 1? x 6 ? ? 2 x ? 3 6 ? 2x x ? 9

= = = =

1 1? x 6 ? ? x ? 3 2( x ? 3) ( x ? 3)(x ? 3) 2( x ? 3) ? (1 ? x)(x ? 3) ? 12 2( x ? 3)(x ? 3)

? ( x 2 ? 6 x ? 9) 2( x ? 3)(x ? 3)
? ( x ? 3) 2 2( x ? 3)(x ? 3)
x?3 2x ? 6

=?

六、随堂练习 计算 (1)
3a ? 2b a ? b b ? a ? 2 ? 2 5a 2 b 5a b 5a b
1 6 ? 2 a?3 a ?9

(2)

m ? 2n n 2m ? ? n?m m?n n?m

( 3 )

( 4 )

3a ? 6b 5a ? 6b 4a ? 5b 7a ? 8b ? ? ? a?b a?b a?b a?b

七、课后练习 计算

- 19 -

(1)

5a ? 6b 3b ? 4a a ? 3b ? ? 3a 2 bc 3ba 2 c 3cba 2

(2)

3b ? a a ? 2b 3a ? 4b ? 2 ? 2 2 a ?b a ? b2 b2 ? a2

(3)

b2 a2 ? ? a ? b ?1 a ?b b?a

(4)

1 1 3x ? ? 2 6x ? 4 y 6x ? 4 y 4 y ? 6x 2

八、答案: 四.(1) 五.(1)
5a ? 2b 5a 2 b

(2)

3m ? 3n n?m

(3)

1 a?3

(4)1

2 a 2b

(2)

a ? 3b (3)1 a2 ? b2

(4)

1 3x ? 2 y

课后反思:

- 20 -

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16.2.2 分式的加减(二) 一、教学目标:明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的 混合运算. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行分式的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式的混合运算. 三、例、习题的意图分析 1. P21 例 8 是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意 运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除, 然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要 是最简分式或整式. 例 8 只有一道题,训练的力度不够,所以应补充一些练习 题,使学生熟练掌握分式的混合运算. 2. P22 页练习 1:写出第 18 页问题 3 和问题 4 的计算结 果.这道题与第一节课相呼应,也解决了本节引言中所列分式的 计算,完整地解决了应用问题. 四、课堂引入 1.说出分数混合运算的顺序. 2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相 同. 五、例题讲解 (P21)例 8.计算 [分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与 数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结 果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. (补充)计算 (1) (
x?2 x ?1 4? x ? 2 )? 2 x x ? 2x x ? 4x ? 4

[分析] 这道题先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,
- 21 -

把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解: ( =[ =[ =
x?2 x ?1 4? x ? 2 )? 2 x x ? 2x x ? 4x ? 4

x?2 x ?1 x ? ]? 2 x( x ? 2) ( x ? 2) ? ( x ? 4) ( x ? 2)(x ? 2) x( x ? 1) x ? ]? 2 2 ? ( x ? 4) x( x ? 2) x( x ? 2)

x2 ? 4 ? x2 ? x x ? 2 ? ( x ? 4) x( x ? 2)
1 x ? 4x ? 4
2
2

=?

x y x4 y x2 (2) ? ? 4 ? 2 x ? y x ? y x ? y4 x ? y2
[分析] 这道题先做乘除,再做减法,把分子的“-”号提 到分式本身的前边.

x y x4 y x2 解: ? ? 4 ? 2 x ? y x ? y x ? y4 x ? y2 x y x4 y x2 ? y2 = ? ? ? x ? y x ? y ( x 2 ? y 2 )(x 2 ? y 2 ) x2
2

2

xy 2 x2 y = ?? ( x ? y)(x ? y) x 2 ? y 2
=
xy( y ? x) ( x ? y )(x ? y ) xy x? y

=?

六、随堂练习 计算
a b 1 1 x2 4 x?2 ? )?( ? ) ? )? (1) ( (2) ( a?b b?a a b x?2 2? x 2x 3 12 2 1 ? 2 )?( ? ) (3) ( a?2 a ?4 a?2 a?2

七、课后练习 1.计算 (1) (1 ?
y x )(1 ? ) x? y x? y

- 22 -

(2) (

a?2 a ?1 a?2 4?a ? 2 )? ? 2 2 a a ? 2a a ? 4a ? 4 a

1 1 1 xy (3) ( ? ? ) ? x y z xy ? yz ? zx

2.计算 (

1 1 4 ? ) ? 2 ,并求出当 a ? -1 的值. a?2 a?2 a ab a?b

八、答案: 六、 (1)2x 七 、 1.(1)
1 a2 2. ? 2 ,a ?4 3

(2)

(3)3 (2)
1 a?2

xy x ? y2
2

( 3 )

1 z

课后反思:

- 23 -

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16.2.3 整数指数幂 一、教学目标: 1.知道负整数指数幂 a ? n =
1 (a≠0,n 是正整数). an

2.掌握整数指数幂的运算性质. 3.会用科学计数法表示小于 1 的数. 二、重点、难点 1.重点:掌握整数指数幂的运算性质. 2.难点:会用科学计数法表示小于 1 的数. 三、例、习题的意图分析 1. P23 思考提出问题,引出本节课的主要内容负整数指数 幂的运算性质.
a 2. P24 观察是为了引出同底数的幂的乘法: m ? a n ? a m? n ,

这条性质适用于 m,n 是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运 算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质,在整数范 围里也都适用. 3. P24 例 9 计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质, 教师不要因为这部分知识已经讲过,就认为学生已经掌握,要 注意学生计算时的问题,及时矫正,以达到学生掌握整数指数 幂的运算的教学目的. 4. P25 例 10 判断下列等式是否正确?是为了类比负数的 引入后使减法转化为加法,而得到负指数幂的引入可以使除法 转化为乘法这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起 来. 5. 最后一段是介绍会用科学计数法表示小于 1 的数. 用 P25 科学计算法表示小于 1 的数,运用了负整数指数幂的知识. 用 科学计数法不仅可以表示小于 1 的正数,也可以表示一个负数. 6.P26 思考提出问题,让学生思考用负整数指数幂来表示 小于 1 的数,从而归纳出:对于一个小于 1 的数,如果小数点 后至第一个非 0 数字前有几个 0,用科学计数法表示这个数时,
- 24 -

10 的指数就是负几. 7.P26 例 11 是一个介绍纳米的应用题,使学生做过这道题 后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示 小于 1 的数. 四、课堂引入 1.回忆正整数指数幂的运算性质: (1)同底数的幂的乘法: a m ? a n ? a m? n (m,n 是正整数); (2)幂的乘方: (a m ) n ? a mn (m,n 是正整数); (3)积的乘方: (ab) n ? a n b n (n 是正整数); (4)同底数的幂的除法: a m ? a n ? a m?n ( a≠0,m,n 是正 整数, m >n);
a an (5)商的乘方: ( ) n ? n (n 是正整数); b b

2.回忆 0 指数幂的规定,即当 a≠0 时, a 0 ? 1 . 3.你还记得 1 纳米=10-9 米,即 1 纳米= 4.计算当 a≠0 时, a 3 ? a 5 =
1 米吗? 10 9

1 a3 a3 = 3 2 = 2 ,再假设正整 5 a a a ?a

数指数幂的运算性质 a m ? a n ? a m?n (a≠0,m,n 是正整数,m> n)中的 m>n 这个条件去掉,那么 a 3 ? a 5 = a 3?5 = a ?2 .于是得到
a ?2 =
1 (a≠0) ,就规定负整数指数幂的运算性质:当 n 是正 a2 1 (a≠0). an

整数时, a ? n = 五、例题讲解

(P24)例 9.计算 [分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算, 与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样,但计算结果有负指数幂时, 要写成分式形式. (P25)例 10. 判断下列等式是否正确? [分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法,而得到负指 数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论,从而使分式的运 算与整式的运算统一起来,然后再判断下列等式是否正确.
- 25 -

(P26)例 11. [分析] 是一个介绍纳米的应用题,是应用科学计数法表示 小于 1 的数. 六、随堂练习 1.填空 (1)-22= (4)20= 2.计算 (1) (x3y-2)2 七、课后练习 1. 用科学计数法表示下列各数: 0.000 04, 2.计算 (1) (3?10-8)?(4?103) 八、答案: 六、1.(1)-4
? 1 8

(2)(-2)2= ( 5)2 -3= (2)x2y-2 ?(x-2y)3

(3)(-2) 0= ( 6)(-2) -3= (3)(3x2y-2) 2 ÷(x-2y)3

-0. 034,

0.000 000 45,

0. 003 009

(2) (2?10-3)2÷(10-3)3
1 8

(2)4

(3)1

(4)1(5)

(6)

2.(1)

x6 y4

(2)

y x4

(3)

9 x 10 y7
(3)4.5?10-7

七、1.(1) 4?10-5 (4)3.009?10-3

(2) 3.4?10-2 (2)4?103

2.(1) 1.2?10-5 课后反思:

- 26 -

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16.3 分式方程(一) 一、教学目标: 1.了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2.掌握分式方程的解法,会解可化为一元一次方程的分式 方程,会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点 1.重点:会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一 个数是不是 原方程的增根. 2.难点:会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一 个数是不是 原方程的增根. 三、例、习题的意图分析 1. P31 思考提出问题,引发学生的思考,从而引出解分式 方程的解法以及产生增根的原因. 2. 的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. P32 3. P33 思考提出问题,为什么有的分式方程去分母后得到 的整式方程的解就是原方程的解,而有的分式方程去分母后得 到的整式方程的解就不是原方程的解,引出分析产生增根的原 因,及 P33 的归纳出检验增根的方法. 4. P34 讨论提出 P33 的归纳出检验增根的方法的理论根据 是什么? 5. 教材 P38 习题第 2 题是含有字母系数的分式方程,对 于学有余力的学生,教师可以点拨一下解题的思路与解数字系 数的方程相似,只是在系数化 1 时,要考虑字母系数不为 0,才 能除以这个系数. 这种方程的解必须验根. 四、课堂引入

- 27 -

1.回忆一元一次方程的解法,并且解方程 2.提出本章引言的问题:

x ? 2 2x ? 3 ? ?1 4 6

一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时, 它沿江以最大 航速顺流航行 100 千米所用时间,与以最大航速逆流航行 60 千 米所用时间相等,江水的流速为多少? 分析:设江水的流速为 v 千米/时,根据“两次航行所用时 间相同”这一等量关系,得到方程
100 60 ? . 20 ? v 20 ? v

像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 五、例题讲解 (P34)例 1.解方程 [分析]找对最简公分母 x(x-3),方程两边同乘 x(x-3),把分 式方程转化 为整式方程,整式方程的解必须验根 这道题还有解法二: 利用比例的性质 “内项积等于外项积” , 这样做也比较简便. (P34)例 2.解方程 [ 分 析 ] 找 对 最 简 公 分 母 (x-1)(x+2), 方 程 两 边 同 乘 (x-1)(x+2)时,学生容易把整数 1 漏乘最简公分母(x-1)(x+2), 整式方程的解必须验根. 六、随堂练习 解方程 (1)
3 2 ? x x?6 2 3 6 ? ? 2 x ?1 x ?1 x ?1

(2)

(3)

x ?1 4 ? 2 ?1 x ?1 x ?1

(4)

2x x ? ?2 2x ? 1 x ? 2

七、课后练习 1.解方程 (1) (3)
2 1 ? ?0 5 ? x 1? x
2

(2)

6 4x ? 7 ? 1? 3x ? 8 8 ? 3x

2 3 4 ? 2 ? 2 ?0 x ? x x ? x x ?1

(4)

1 5 3 ? ?? x ? 1 2x ? 2 4

- 28 -

2.X 为何值时,代数式 八、答案: 六、 (1)x=18 七、1. (1) x=3 x=
3 2

2x ? 9 1 2 ? ? 的值等于 2? x?3 x?3 x 4 5

(2)原方程无解

(3)x=1

(4)x=

(2) x=3 (3)原方程无解 (4)x=1

2.

课后反思:

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16.3 分式方程(二) 一、教学目标: 1.会分析题意找出等量关系. 2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 二、重点、难点 1.重点:利用分式方程组解决实际问题. 2.难点:列分式方程表示实际问题中的等量关系. 三、例、习题的意图分析 本节的 P35 例 3 不同于旧教材的应用题有两点: (1)是一 道工程问题应用题,它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施 工速度快?这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独 干多少天完成有所不同,需要学生根据题意,寻找未知数,然 后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了 要检验外,还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快, 才能完成解题的全过程(2)教材的分析是填空的形式,为学生 分析题意、设未知数搭好了平台,有助于学生找出题目中等量 关系,列出方程. P36 例 4 是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所 不同(1)本题中涉及到的列车平均提速 v 千米/时,提速前行 驶的路程为 s 千米, 完成. 用字母表示已知数(量)在过去的例题里并不多见,题 目的难度也增加了; (2)例题中的分析用填空的形式提示学生 用已知量 v、s 和未知数 x,表示提速前列车行驶 s 千米所用的 时间,提速后列车的平均速度设为未知数 x 千米/时,以及提速 后列车行驶(x+50)千米所用的时间. 这两道例题都设置了带有探究性的分析,应注意鼓励学生 积极探究,当学生在探究过程中遇到困难时,教师应启发诱导, 让学生经过自己的努力,在克服困难后体会如何探究,教师不 要替代他们思考,不要过早给出答案. 教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台,
- 30 -

给了设未知数、解题思路和解题格式,但教学目标要求学生还 是要独立地分析、解决实际问题,所以教师还要给学生一些问 题,让学生发挥他们的才能,找到解题的思路,能够独立地完 成任务.特别是题目中的数量关系清晰,教师就放手让学生做, 以提高学生分析问解决问题的能力. 四、例题讲解 P35 例 3 分析:本题是一道工程问题应用题,基本关系是:工作量= 工作效率?工作时间.这题没有具体的工作量, 工作量虚拟为 1, 工作的时间单位为“月”. 等量关系是:甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 P36 例 4 分 析 : 是 一 道 行 程 问题 的 应 用 题 , 基 本 关系 是 : 速 度 =
路程 .这题用字母表示已知数(量).等量关系是:提速前所 时间

用的时间=提速后所用的时间 五、随堂练习 1. 学校要举行跳绳比赛, 同学们都积极练习.甲同学跳 180 个所用的时间,乙同学可以跳 240 个;又已知甲每分钟比乙少 跳 5 个,求每人每分钟各跳多少个. 2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按 规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期 4 天才能 完成,如果两组合作 3 天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在 规定日期内完成,问规定日期是多少天? 3. 甲、乙两地相距 19 千米,某人从甲地去乙地,先步行 7 千米,然后改骑自行车,共用了 2 小时到达乙地,已知这个人 骑自行车的速度是步行速度的 4 倍,求步行的速度和骑自行车 的速度. 六、课后练习 1.某学校学生进行急行军训练,预计行 60 千米的路程在 1 下午 5 时到达, 后来由于把速度加快 , 结果于下午 4 时到达, 5 求原计划行军的速度。 2.甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做 1 天后,再由两队合作 2 天就完成了全部工程,已知甲队单独完 2 成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的 ,求甲、乙两 3
- 31 -

队单独完成各需多少天? 3.甲容器中有 15%的盐水 30 升,乙容器中有 18%的盐水 20 升,如果向两个容器个加入等量水,使它们的浓度相等,那么 加入的水是多少升? 七、答案: 五、1. 15 个,20 个 千米/时 六、1. 10 千米/时 课后反思: 2. 4 天,6 天 3. 20 升 2. 12 天 3. 5 千米/时,20

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第十七章 反比例函数 17.1.1 反比例函数的意义 一、教学目标 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定 系数法求函数解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体 会函数的模型思想 二、重、难点 1.重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函 数解析式 2.难点:理解反比例函数的概念 三、例题的意图分析 教材第 46 页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置 的,目的是让学生从实际问题出发,探索其中的数量关系和变 化规律,通过观察、讨论、归纳,最后得出反比例函数的概念, 体会函数的模型思想。 教材第 47 页的例 1 是一道用待定系数法求反比例函数解析 式的题,此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解, 掌握求函数解析式的方法;二是让学生进一步体会函数所蕴含 的“变化与对应”的思想,特别是函数与自变量之间的单值对 应关系。 补充例 1、例 2 都是常见的题型,能帮助学生更好地理解反 比例函数的概念。补充例 3 是一道综合题,此题是用待定系数 法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式,有一定难度, 但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入 1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形 式是怎样的? 2.体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速 度的关系是怎样的? 五、例习题分析 例 1.见教材 P47 k 分析:因为 y 是 x 的反比例函数,所以先设 y ? ,再把 x x =2 和 y=6 代入上式求出常数 k,即利用了待定系数法确定函
- 33 -

数解析式。 例 1. (补充)下列等式中,哪些是反比例函数 (1) y ?
x 3 3 2x

(2) y ? ?

2 x

(3)xy=21

(4) y ?

5 x?2

(5) y ? ? (6) y ?

1 ?3 (7)y=x-4 x 分析:根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写 k 成 y ? (k 为常数,k≠0)的形式,这里(1)(7)是整式, 、 x 1 ? 3x (4)的分母不是只单独含 x, (6)改写后是 y ? ,分子不 x 是常数,只有(2)(3)(5)能写成定义的形式 、 、

例 2. (补充)当 m 取什么值时,函数 y ? (m ? 2) x 3?m 是反
2

比例函数?
k 分析: 反比例函数 y ? (k≠0) 的另一种表达式是 y ? kx ?1 x (k≠0) ,后一种写法中 x 的次数是-1,因此 m 的取值必须满 足两个条件,即 m-2≠0 且 3-m2=-1,特别注意不要遗漏 k ≠0 这一条件,也要防止出现 3-m2=1 的错误。 解得 m=-2

例 3. (补充)已知函数 y=y1+y2,y1 与 x 成正比例,y2 与 x 成反比例,且当 x=1 时,y=4;当 x=2 时,y=5 (1) 求 y 与 x 的函数关系式 (2) 当 x=-2 时,求函数 y 的值 分析:此题函数 y 是由 y1 和 y2 两个函数组成的,要用待定 系数法来解答, 先根据题意分别设出 y1、 y2 与 x 的函数关系式, 再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要 注意 y1 与 x 和 y2 与 x 的函数关系中的比例系数不一定相同,故 不能都设为 k,要用不同的字母表示。 略解:设 y1=k1x(k1≠0) y 2 ? ,

k2 k (k2≠0) ,则 y ? k1 x ? 2 , x x

代入数值求得 k1=2, 2 k2=2,则 y ? 2 x ? ,当 x=-2 时,y=-5 x 六、随堂练习 1.苹果每千克 x 元,花 10 元钱可买 y 千克的苹果,则 y 与 x 之间的函数关系式为

- 34 -

2.若函数 y ? (3 ? m) x8?m 是反比例函数,则 m 的取值是
2

3.矩形的面积为 4,一条边的长为 x,另一条边的长为 y, 则 y 与 x 的函数解析式为 4.已知 y 与 x 成反比例,且当 x=-2 时,y=3,则 y 与 x 之间的函数关系式是 , 当 x=-3 时,y= 1 5.函数 y ? ? 中自变量 x 的取值范围是 x?2 七、课后练习 已知函数 y=y1+y2,y1 与 x+1 成正比例,y2 与 x 成反 比例,且当 x=1 时,y=0;当 x=4 时,y=9,求当 x=-1 时 y 的值 答案:y=4 课后反思:

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17.1.2 反比例函数的图象和性质(1) 一、教学目标 1.会用描点法画反比例函数的图象 2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3.体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法 二、重点、难点 1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质 2.难点:正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例 函数的性质 三、例题的意图分析 教材第 48 页的例 2 是让学生经历用描点法画反比例函数图 象的过程,一方面能进一步熟悉作函数图象的方法,提高基本 技能;另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识,了解 函数的变化规律,从而为探究函数的性质作准备。 补充例 1 的目的一是复习巩固反比例函数的定义,二是通 过对反比例函数性质的简单应用,使学生进一步理解反比例函 数的图象特征及性质。 补充例 2 是一道典型题,是关于反比例函数图象与矩形面 k 积的问题, 要让学生理解并掌握反比例函数解析式 y ? (k≠0) x 中 k 的几何意义。 四、课堂引入 提出问题: 1.一次函数 y=kx+b(k、b 是常数,k≠0)的图象是什 么?其性质有哪些?正比例函数 y=kx(k≠0)呢? 2.画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意 什么? 3.反比例函数的图象是什么样呢? 五、例习题分析 例 2.见教材 P48,用描点法画图,注意强调: (1)列表取值时,x≠0,因为 x=0 函数无意义,为了 使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值, 即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求 y 值 (2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一 些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确 (3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序
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连接,切忌画成折线 (4)由于 x≠0,k≠0,所以 y≠0,函数图象永远不会 与 x 轴、y 轴相交,只是无限靠近两坐标轴 例 1. 补充) ( 已知反比例函数 y ? (m ? 1) x m
2

?3

的图象在第二、

四象限,求 m 值,并指出在每个象限内 y 随 x 的变化情况? 分析:此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即

y ? kx ?1 (k≠0)自变量 x 的指数是-1,二是根据反比例函数
的性质:当图象位于第二、四象限时,k<0,则 m-1<0,不 要忽视这个条件 略解:∵ y ? (m ? 1) x m -1,且 m-1≠0 又∵图象在第二、四象限 解得 m ? ? 2 且 m<1
2

?3

是反比例函数 ∴m-1<0 则m ? ? 2

∴m2-3=

例 2. (补充)如图,过反比例函数 1 y ? (x>0)的图象上任意两点 A、B x 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D, 连接 OA、OB,设△AOC 和△BOD 的面 积分别是 S1、S2,比较它们的大小,可 得( ) (A)S1>S2 (C)S1<S2 (B)S1=S2

(D)大小关系不能确定 k 分析:从反比例函数 y ? (k≠0)的图象上任一点 P(x, x y)向 x 轴、y 轴作垂线段,与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积 1 S ? xy ? k ,由此可得 S1=S2 = ,故选 B 2 六、随堂练习 3? k 1.已知反比例函数 y ? ,分别根据下列条件求出字母 x k 的取值范围 (1)函数图象位于第一、三象限 (2)在第二象限内,y 随 x 的增大而增大 ?a 2.函数 y=-ax+a 与 y ? (a≠0)在同一坐标系中的 x 图象可能是( )

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k (k>0)的 x 图象上的一点分别作 x 轴、y 轴的垂线段,与 x 轴、y 轴所围成 的矩形面积是 6,则函数解析式为 七、课后练习 3?m 1.若函数 y ? (2m ? 1) x 与 y ? 的图象交于第一、三象 x 限,则 m 的取值范围是 2 2.反比例函数 y ? ? ,当 x=-2 时,y= ;当 x x <-2 时;y 的取值范围是 ; 当 x>-2 时;y 的取值范围是

3.在平面直角坐标系内,过反比例函数 y ?

3.已知反比例函数 y ? (a ? 2) x 大而增大, 求函数关系式 答案:3. a ? ? 5 , y ?

a 2 ?6

, x ? 0时, 随 x 的增 当 y

? 5 ?2 x

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17.1.2 反比例函数的图象和性质(2) 一、教学目标 1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形 结合及转化的思想方法 二、重点、难点 1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用 它们解决一些综合问题 2.难点:学会从图象上分析、解决问题 三、例题的意图分析 教材第 51 页的例 3 一是让学生理解点在图象上的含义,掌 握如何用待定系数法去求解析式,复习巩固反比例函数的意义; 二是通过函数解析式去分析图象及性质,由“数”到“形” ,体 会数形结合思想,加深学生对反比例函数图象和性质的理解。 教材第 52 页的例 4 是已知函数图象求解析式中的未知系 数,并由双曲线的变化趋势分析函数值 y 随 x 的变化情况,此 过程是由“形”到“数” ,目的是为了提高学生从函数图象中获 取信息的能力,加深对函数图象及性质的理解。 补充例 1 目的是引导学生在解有关函数问题时,要数形结 合,另外,在分析反比例函数的增减性时,一定要注意强调在 哪个象限内。 补充例 2 是一道有关一次函数和反比例函数的综合题,目 的是提高学生的识图能力,并能灵活运用所学知识解决一些较 综合的问题。 四、课堂引入 复习上节课所学的内容 1.什么是反比例函数? 2.反比例函数的图象是什么?有什么性质? 五、例习题分析 例 3.见教材 P51 k 分析: 反比例函数 y ? 的图象位置及 y 随 x 的变化情况取 x 决于常数 k 的符号,因此要先求常数 k,而题中已知图象经过点 A(2,6) ,即表明把 A 点坐标代入解析式成立,所以用待定系 数法能求出 k,这样解析式也就确定了。 例 4.见教材 P52
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例 1. (补充)若点 A(-2,a) 、B(-1,b) 、C(3,c) k 在反比例函数 y ? (k<0)图象上,则 a、b、c 的大小关系怎 x 样? 分析:由 k<0 可知,双曲线位于第二、四象限,且在每一 象限内,y 随 x 的增大而增大,因为 A、B 在第二象限,且-1 >-2,故 b>a>0;又 C 在第四象限,则 c<0,所以 b>a>0>c 说明:由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此 函数 y 随 x 的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象 限内” ,否则,笼统说 k<0 时 y 随 x 的增大而增大,就会误认 为 3 最大,则 c 最大,出现错误。 此题还可以画草图,比较 a、b、c 的大小,利用图象直观 易懂,不易出错,应学会使用。 例 2. (补充)如图, 一次函数 y=kx+b 的图象与反 m 比例函数 y ? 的图象交于 A(-2,1) 、B(1,n)两点 x (1)求反比例函数和一次函数的解析式 (2)根据图象写出一次函数的值大于反 比例函数的值的 x 的取值范围 分析: 因为 A 点在反比例函数的图象上, 2 可先求出反比例函数的解析式 y ? ? ,又 B x 点在反比例函数的图象上,代入即可求出 n 的值,最后再由 A、B 两点坐标求出一次函 数解析式 y=-x-1,第(2)问根据图象可得 x 的取值范围 x <-2 或 0<x<1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时, 就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。 六、随堂练习 kb 1.若直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限,则函数 y ? x 的图象在( ) (A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第三、四象限 (D)第一、二象限 2. 已知点 (-1, 1) y 、 y2) (2, 、 , 3) (π y 在双曲线 y ? ?
k 2 ?1 x

上,则下列关系式正确的是( ) (A)y1>y2>y3 (B)y1>y3>y2 (C)y2>y1>y3 (D)y3>y1>y2 七、课后练习 2k ? 1 1. 已知反比例函数 y ? 的图象在每个象限内函数值 y x 随自变量 x 的增大而减小, k 的值还满足 9 ? 2(2k ? 1) ≥2k-1, 且
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若 k 为整数,求反比例函数的解析式
8 的 x 图像交于 A、 两点, B 且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是-2 , 求(1)一次函数的解析式; (2)△AOB 的面积 答案: 1 3 5 1. y ? 或 y ? 或 y ? x x x

2.已知一次函数 y ? kx ? b 的图像与反比例函数 y ? ?

2. (1)y=-x+2, (2)面积为 6

课后反思:

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17.2 实际问题与反比例函数(1) 一、教学目标 1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2.渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能 力 二、重点、难点 1.重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2.难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析 式 三、例题的意图分析 教材第 57 页的例 1,数量关系比较简单,学生根据基本公 式很容易写出函数关系式,此题实际上是利用了反比例函数的 定义,同时也是要让学生学会分析问题的方法。 教材第 58 页的例 2 是一道利用反比例函数的定义和性质来 解决的实际问题,此题的实际背景较例 1 稍复杂些,目的是为 了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力,掌握用函数观 点去分析和解决问题的思路。 补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识,二是为了 提高学生从图象中读取信息的能力,掌握数形结合的思想方法, 以便更好地解决实际问题 四、课堂引入 寒假到了,小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰,突然 发现前面有一处冰出现了裂痕,小明立即告诉同伴分散趴在冰 面上, 匍匐离开了危险区。 你能解释一下小明这样做的道理吗? 五、例习题分析 例 1.见教材第 57 页 分析: (1)问首先要弄清此题中各数量间的关系,容积为 4 10 ,底面积是 S,深度为 d,满足基本公式:圆柱的体积 =底 面积?高,由题意知 S 是函数,d 是自变量,改写后所得的函数 关系式是反比例函数的形式, (2)问实际上是已知函数 S 的值, 求自变量 d 的取值, (3)问则是与(2)相反 例 2.见教材第 58 页 分析:此题类似应用题中的“工程问题” ,关系式为工作总 量=工作速度?工作时间,由于题目中货物总量是不变的,两 个变量分别是速度 v 和时间 t,因此具有反比关系, (2)问涉及 了反比例函数的增减性,即当自变量 t 取最大值时,函数值 v 取最小值是多少?
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例 1. (补充)某气球内充满了一 定质量的气体, 当温度不变时, 气球内 气体的气压 P (千帕) 是气体体积 V (立 方米) 的反比例函数, 其图像如图所示 (千帕是一种压强单位) (1)写出这个函数的解析式; (2)当气球的体积是 0.8 立方米时, 气球内的气压是多少千帕? (3)当气球内的气压大于 144 千帕时,气球将爆炸,为了安全 起见,气球的体积应不小于多少立方米? 分析:题中已知变量 P 与 V 是反比例函数关系,并且图象 96 经过点 A, 利用待定系数法可以求出 P 与 V 的解析式, P ? 得 , V (3)问中当 P 大于 144 千帕时,气球会爆炸,即当 P 不超过 144 千帕时,是安全范围。根据反比例函数的图象和性质,P 随 V 的增大而减小,可先求出气压 P=144 千帕时所对应的气体体 2 积,再分析出最后结果是不小于 立方米 3 六、随堂练习 1.京沈高速公路全长 658km,汽车沿京沈高速公路从沈阳 驶往北京,则汽车行完全程所需时间 t(h)与行驶的平均速度 v (km/h)之间的函数关系式为 2.完成某项任务可获得 500 元报酬,考虑由 x 人完成这项 任务,试写出人均报酬 y(元)与人数 x(人)之间的函数关系 式 3.一定质量的氧气,它的密度 ? (kg/m3)是它的体积 V (m3)的反比例函数,当 V=10 时, ? =1.43, (1)求 ? 与 V 的函数关系式; (2)求当 V=2 时氧气的密度 ? 答案: ? =
14 .3 ,当 V=2 时, ? =7.15 V

七、课后练习 1.小林家离工作单位的距离为 3600 米,他每天骑自行车 上班时的速度为 v(米/分) ,所需时间为 t(分) (1)则速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系? (2) 若小林到单位用 15 分钟, 那么他骑车的平均速度是多少? (2) 如果小林骑车的速度最快为 300 米/分,那他至少需要几分 钟到达单位? 3600 答案: v ? ,v=240,t=12 t
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2.学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在 知道:按每天用煤 0.6 吨计算,一学期(按 150 天计算)刚好用 完.若每天的耗煤量为 x 吨,那么这批煤能维持 y 天 (1)则 y 与 x 之间有怎样的函数关系? (2)画函数图象 (3)若每天节约 0.1 吨,则这批煤能维持多少天? 课后反思:

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17.2 实际问题与反比例函数(2) 一、教学目标 1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2.渗透数形结合思想,进一步提高学生用函数观点解决问 题的能力,体会和认识反比例函数这一数学模型 二、重点、难点 1.重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2.难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析 式,解决实际问题 三、例题的意图分析 教材第 58 页的例 3 和例 4 都需要用到物理知识,教材在例 题前已给出了相关的基本公式,其中的数量关系具有反比例关 系,通过对这两个问题的分析和解决,不但能复习巩固反比例 函数的有关知识,还能培养学生应用数学的意识 补充例题是一道综合题,有一定难度,需要学生有较强的 识图、分析和归纳等方面的能力,此题既有一次函数的知识, 又有反比例函数的知识,能进一步深化学生对一次函数和反比 例函数知识的理解和掌握,体会数形结合思想的重要作用,同 时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力 四、课堂引入 1.小明家新买了几桶墙面漆,准备重新粉刷墙壁,请问如 何打开这些未开封的墙面漆桶呢?其原理是什么? 2.台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节,你能说出其中 的道理吗? 五、例习题分析 例 3.见教材第 58 页 分析:题中已知阻力与阻力臂不变,即阻力与阻力臂的积 为定值,由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系,写 出函数关系式,得到函数动力 F 是自变量动力臂 l 的反比例函 数,当 l =1.5 时,代入解析式中求 F 的值; (2)问要利用反比例函数 的性质,l 越大 F 越小, 先求出当 F =200 时, 其相应的 l 值的大小, 从 而得出结果。 例 4.见教材第 59 页 分析:根据物理公式 PR=U2,
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当电压 U 一定时,输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数,则
P? 2202 , (2)问中是已知自变量 R 的取值范围,即 110≤R R

≤220,求函数 P 的取值范围,根据反比例函数的性质,电阻越 大则功率越小, 得 220≤P≤440 例 1. (补充)为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消 毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 x(分钟)成为正比例,药物燃烧后, 与 x 成反比 y 例(如图),现测得药物 8 分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的 含药量 6 毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,y 关于 x 的函数关系式为 ,自变量 x 的 取值范为 ; 药物燃烧后,y 关于 x 的函数关系式为 . (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工 方可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后, 员工才能回到办公室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续 时间不低于 10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次 消毒是否有效?为什么? 分析: (1)药物燃烧时,由图象可知函数 y 是 x 的正比例 3 函数,设 y ? k1 x ,将点(8,6)代人解析式,求得 y ? x ,自 4 变量 0<x≤8;药物燃烧后,由图象看出 y 是 x 的反比例函数, 设y?

k2 48 ,用待定系数法求得 y ? x x

(2)燃烧时,药含量逐渐增加,燃烧后,药含量逐渐减少, 因此, 只能在燃烧后的某一时间进入办公室, 先将药含量 y=1.6 48 代入 y ? , 求出 x=30, 根据反比例函数的图象与性质知药含 x 量 y 随时间 x 的增大而减小,求得时间至少要 30 分钟 (3)药物燃烧过程中,药含量逐渐增加,当 y=3 时,代 3 入 y ? x 中,得 x=4,即当药物燃烧 4 分钟时,药含量达到 3 4 毫克;药物燃烧后,药含量由最高 6 毫克逐渐减少,其间还能 48 达到 3 毫克,所以当 y=3 时,代入 y ? ,得 x=16,持续时 x 间为 16-4=12>10,因此消毒有效 六、随堂练习 1.某厂现有 800 吨煤,这些煤能烧的天数 y 与平均每天烧 的吨数 x 之间的函数关系是( )

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300 (x>0) x (C)y=300x(x≥0)

(A) y ?

(B) y ?

300 (x≥0) x (D)y=300x(x>0)

2.已知甲、乙两地相 s(千米) ,汽车从甲地匀速行驶到达 乙地,如果汽车每小时耗油量为 a(升) ,那么从甲地到乙地汽 车的总耗油量 y(升)与汽车的行驶速度 v(千米/时)的函数图 象大致是( )

3.你吃过拉面吗?实际上在做拉 面的过程中就渗透着数学知识, 一定体积的面团做成拉面,面条 的总长度 y m) ( 是面条的粗细 (横 2 截面积) (mm ) S 的反比例函数, 其图象如图所示: (1)写出 y 与 S 的函数关系式; (2)求当面条粗 1.6mm2 时,面条的总长度是多少米? 七.课后练习 一场暴雨过后,一洼地存雨水 20 米 3,如果将雨水全部排完需 t 分钟,排水量为 a 米 3/分,且排水时间为 5~10 分钟 (1)试写出 t 与 a 的函数关系式,并指出 a 的取值范围; (2)请画出函数图象 (3)根据图象回答:当排水量为 3 米 3/分时,排水的时间需要 多长? 课后反思:

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第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理(一) 一、教学目标 1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法 证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3. 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就, 激发学生的 爱国热情,促其勤奋学习。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的内容及证明。 2.难点:勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例 1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性; 通过拼图,发散学生的思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老 的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自 豪感,和爱国情怀。 例 2 使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙, 面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的 “人” 为此向 , 宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。 我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇 宙人是“文明人” ,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以 说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成 就。 让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC, 用刻度尺量 出 AB 的长。 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现 的,他说: “把一根直尺折成直角,两段连 C 结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦 D 隅五。 这句话意思是说一个直角三角形较 ” 短直角边 (勾) 的长是 3, 长的直角边 (股) 的长是 4,那么斜边(弦)的长是 5。 再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ ABC,用刻度尺量 AB 的长。 a b 你是否发现 32+42 与 52 的关系,2+122 5 和 132 的关系,即 32+42=52,52+122=132, A c B
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那么就有勾 2+股 2=弦 2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 五、例习题分析 例 1(补充)已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c。 求证:a2+b2=c2。 分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让 学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S 小正=S 大正 1 4? ab+(b-a)2=c2,化简可证。 2 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法,达 300 余种。这个古老的精彩的证法,出 自我国古代无名数学家之手。 激发学生的民族自豪感, 和爱国情怀。 例 2 已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边 为 a、b、c。 求 证 : a2 + b a b a b2=c2。 c a a 分析: 左右两 a c b c 边的正方形 边长相等, 则 c 两个正方形 b c b b c a 的面积相等。 左 边 S=4 ? a b a b 1 2 ab+c 2 右边 S=(a+b)2 左边和右边面积相等,即 1 4? ab+c2=(a+b)2 2 化简可证。 六、课堂练习 1 . 勾 股 定 理 的 具 体 内 容 是: 。 2.如图,直角△ABC 的主要性质是: A ∠C=90°, (用几何语言表示) ⑴ 两 锐 角 之 间 的 关 D 系: ; ⑵若 D 为斜边中点,则斜边中 线 ; C B ⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜 边: ; ⑷三边之间的关系: 。

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3.△ABC 的三边 a、b、c,若满足 b2= a2+c2,则 若满足 b2>c2+a2,则∠B 是 角; 若满 足 b2<c2+a2,则∠B 是 角。 4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。

=90°;
A a D

c

b E

c

a

B 七、课后练习 C b 1.已知在 Rt△ABC 中,∠B=90°,a、b、c 是 △ABC 的三边,则 ⑴c= 。 (已知 a、b,求 c) ⑵a= 。 (已知 b、c,求 a) ⑶b= 。 (已知 a、c,求 b) 2.如下表,表中所给的每行的三个数 a、b、c,有 a<b<c,试 根据表中已有数的规律,写出当 a=19 时,b,c 的值,并把 b、c 用 含 a 的代数式表示出来。

3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41 ?? 19,b、c

32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 ?? 192+b2=c2

3.在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC= 10 3 cm,一动点 P 从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移动,问当 P 点移动多少秒时,PA 与 腰垂直。 4.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,D 在 CB 的延长线上。 求证:⑴AD2-AB2=BD?CD A ⑵若 D 在 CB 上,结论如何, 试证明你的结论。

D

B

C

课后反思:

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18.1

勾股定理(二)

一、教学目标 1.会用勾股定理进行简单的计算。 2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的简单计算。 2.难点:勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例 1(补充)使学生熟悉定理的使用,刚开始使用定理,让 学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。让学生明确 在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。并学会利 用不同的条件转化为已知两边求第三边。 例 2(补充)让学生注意所给条件的不确定性,知道考虑问 题要全面,体会分类讨论思想。 例 3(补充)勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此 注意要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助 线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用,提高综 合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述;勾股定理的符号语言及变形。 学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例 1(补充)在 Rt△ABC,∠C=90° ⑴已知 a=b=5,求 c。 ⑵已知 a=1,c=2, 求 b。 ⑶已知 c=17,b=8, 求 a。 ⑷已知 a:b=1:2,c=5, 求 a。 ⑸已知 b=15,∠A=30°,求 a,c。 分析:刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形, 理清边之间的关系。⑴已知两直角边,求斜边直接用勾股定理。 ⑵⑶已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的便形 式。⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。通过前三题让学生明 确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。后两题 让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见 比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。

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例 2(补充)已知直角三角形的两边 C 长分别为 5 和 12,求第三边。 分析:已知两边中较大边 12 可能是直角 边,也可能是斜边,因此应分两种情况分 别进形计算。 让学生知道考虑问题要全面, 体会分类讨论思想。 B A D 例 3(补充)已知:如图,等边△ABC 的边长是 6cm。 ⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求 S△ABC。 分析:勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意 要 创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高 CD,可将其置身于 Rt△ADC 或 Rt△BDC 中, 但只有一边已知,根据等腰三角形三线合一性质,可求 1 AD=CD= AB=3cm,则此题可解。 2 六、课堂练习 1.填空题 ⑴在 Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则 c= 。 ⑵在 Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则 c= 。 ⑶在 Rt△ABC, ∠C=90°, c=10, b=3: 则 a= a: 4, , b= 。 ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长 分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm, 则第三边 , 长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为 2cm,则它的高为 , 面积为 。 A 2.已知:如图,在△ABC 中,∠ C=60°,AB= 4 3 ,AC=4,AD 是 BC 边上的高,求 BC 的长。
C D

3.已知等腰三角形腰长是 10,底 边长是 16,求这个等腰三角形的面积。 七、课后练习 1.填空题 在 Rt△ABC,∠C=90°, ⑴如果 a=7,c=25,则 b= 。 ⑵如果∠A=30°, a=4, b= 则 。 ⑶如果∠A=45°, a=3, c= 则 。 ⑷如果 c=10,a-b=2,则 b= 。 ⑸如果 a、b、c 是连续整数,则

B

A

D

B

C

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a+b+c= 。 ⑹如果 b=8,a:c=3:5,则 c= 。 2.已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD⊥DC, AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求 BC 的长。

课后反思:

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18.1

勾股定理(三)

一、教学目标 1.会用勾股定理解决简单的实际问题。 2.树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的应用。 2.难点:实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析 例 1(教材 P74 页探究 1)明确如何将实际问题转化为数学 问题,注意条件的转化;学会如何利用数学知识、思想、方法 解决实际问题。 例 2(教材 P75 页探究 2)使学生进一步 D C 熟练使用勾股定理, 探究直角三角形三边的关 系:保证一边不变,其它两边的变化。 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广 泛的应用。 勾股定理的发现和使用解决了许多 生活中的问题, 今天我们就来运用勾股定理解 A B 决一些问题,你可以吗?试一试。 五、例习题分析 例 1(教材 P74 页探究 1) 分析:⑴在实际问题向数学问题的转化过程中,注意勾股定理 的使用条件,即门框为长方形,四个角都是直角。⑵让学生深 入探讨图中有几个直角三角形?图中标字母的线段哪条最长? ⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度,只记长度,探讨以何种 方式通过?⑷转化为勾股定理的计算, 采用多种方法。⑸注意给学生小结深化 A 数学建模思想,激发数学兴趣。 C 例 2(教材 P75 页探究 2) 分析:⑴在△AOB 中,已知 AB=3, D O B AO=2.5,利用勾股定理计算 OB。 ⑵ 在△COD 中,已知 CD=3,CO=2,利用勾股定理计 算 OD。 则 BD=OD-OB,通过计算可知 BD≠AC。 ⑶进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系, AC 不同的值, 给 计算 BD。 六、课堂练习
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1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着 45 度的坡路走了 500 米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是 米。 2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3 米,则这两 株树之间的垂直距离是 米,水平距离是
C

米。
B

A

30

B

C

A

2 题图

3 题图

4 题图 3.如图,一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定, 两个固定点之间的距离是 。 4.如图,原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路, 后因技术攻关,可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建,已知高速 公路一公里造价为 300 万元,隧 A 道总长为 2 公里, 隧道造价为 500 万元, AC=80 公里,BC=60 公里, 则改建后可省工程费用是多少? 七、课后练习 B C 1. 如图, 欲测量松花江的宽度, 沿江岸取 B、C 两点,在江对岸取一点 A,使 AC 垂直江岸,测 得 BC=50 米, ∠B=60°,则江面的宽度为 。
R

2. 有一个边长为 1 米正方形的洞 口,想用一个圆形盖去盖住这个洞 口 , 则 圆形 盖半径 至 少 为 P 米。 Q 3.一根 32 厘米的绳子被折成如 图所示的形状钉在 P、Q 两点,PQ=16 厘米,且 RP⊥PQ,则 RQ= 厘米。 A 4.如图,钢索斜拉大桥为等腰 三角形,支柱高 24 米,∠B=∠ C=30°,E、F 分别为 BD、CD 中点,试求 B、C 两点之间的距 离,钢索 AB 和 AE 的长度。 (精确到 1 米) 课后反思:

B

E

D

F

C

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18.1

勾股定理(四)

一、教学目标 1.会用勾股定理解决较综合的问题。 2.树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的综合应用。 2.难点:勾股定理的综合应用。 三、例题的意图分析 例 1(补充) “双垂图”是中考重要的考点,熟练掌握“双 垂图”的图形结构和图形性质,通过讨论、计算等使学生能够 灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有:3 个直角三角 形, 三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2, 两对相等锐角, 四对互余角,及 30°或 45°特殊角的特殊性质等。 例2 (补充) 让学生注意所求结论的开放性, 根据已知条件, 作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角 形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚 作辅助线不能破坏已知角。 例 3(补充)让学生掌握不规则图形的面积,可转化为特殊 图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边 形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合 理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用,提高解 题的综合能力。 例 4(教材 P76 页探究 3)让学生利用尺规作图和勾股定理 画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对 应的理论。 四、课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 五、例习题分析 例 1(补充)1.已知:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥ BC 于 D,∠A=60°,CD= 3 , 求线段 AB 的长。 分析:本题是“双垂图”的计算题, “双 垂图”是中考重要的考点,所以要求学生 对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应 用。 目前 “双垂图” 需要掌握的知识点有: 3 个直角三角形,三个勾股定理及推导式
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C

B

D

A

BC2-BD2=AC2-AD2, 两对相等锐角, 四对互余角, 30°或 45° 及 特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图,并正确标图。引导学生分析:欲 求 AB,可由 AB=BD+CD,分别在两个三角形中利用勾股定理 和 特 殊 角 , 求 出 BD=3 和 AD=1 。 或 欲 求 AB , 可 由

AB ? AC2 ? BC2 ,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊
角,求出 AC=2 和 BC=6。 例 2(补充)已知:如图,△ABC C 中,AC=4,∠B=45°,∠A=60°,根 据题设可知什么? 分析: 由于本题中的△ABC 不是直角三 角形,所以根据题设只能直接求得∠ ACB=75°。 在学生充分思考和讨论后, B A D 发现添置 AB 边上的高这条辅助线,就 可以求得 AD,CD,BD,AB,BC 及 S△ABC。让学生充分讨论 还可以作其它辅助线吗?为什么? 小结:可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角 三角形的问题。并指出如何作辅助线? 解略。 例 3(补充)已知:如图,∠ A B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4, CD=2。求:四边形 ABCD 的面积。 D 分析:如何构造直角三角形是解本 题的关键,可以连结 AC,或延长 E B C AB、DC 交于 F,或延长 AD、BC 交于 E,根据本题给定的角应选后 两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要 逐层展示给学生,让学生深入体会。 解:延长 AD、BC 交于 E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE= 48 = 4 3 。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE= 12 = 2 3 。
1 1 ∴S 四边形 ABCD=S△ABE-S△CDE= AB?BE- CD?DE= 6 3 2 2 小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题 通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三 角形面积之差。 例 4(教材 P76 页探究 3) 分析:利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一 步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
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变式训练:在数轴上画出表示 3 ? 1,2 ? 2 的点。 六、课堂练习 1. △ABC 中, AB=AC=25cm, AD=20cm,则 BC= 高 S△ABC= 。 ,

2.△ABC 中,若∠A=2∠B=3∠C,AC= 2 3 cm,则∠A= 度,∠B= BC= 度,∠C= ,S△ABC= 度, 。
A

3. △ABC 中, ∠C=90°, AB=4, BC= 2 3 , CD ⊥ AB 于 D , 则 AC= , B CD= , BD= , AD= ,S△ABC= 。 4.已知:如图,△ABC 中,AB=26,BC=25,AC=17, 求 S△ABC。
C

七、课后练习 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥BC 于 D,∠A=60°, CD= 3 ,AB= 。

2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,S△ABC=30,c=13,且 a<b, 则 a= ,b= 。 3.已知:如图,在△ABC 中,∠ B=30°,∠C=45°,AC= 2 2 , 求(1)AB 的长; (2)S△ABC。 4.在数轴上画出表示- 5, 2 ? 5 的点。
B A

C

课后反思:

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18.2

勾股定理的逆定理(一)

一、教学目标 1. 体会勾股定理的逆定理得出过程, 掌握勾股定理的逆定理。 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点 1.重点:掌握勾股定理的逆定理及证明。 2.难点:勾股定理的逆定理的证明。 三、例题的意图分析 例 1(补充)使学生了解命题,逆命题,逆定理的概念,及 它们之间的关系。 例 2(P82 探究)通过让学生动手操作,画好图形后剪下放 到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,锻炼学生的 动手操作能力,再通过探究理论证明方法,使实践上升到理论, 提高学生的理性思维。 例 3(补充)使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三 角形是否是直角三角形的一般步骤:①先判断那条边最大。② 分别用代数方法计算出 a2+b2 和 c2 的值。③判断 a2+b2 和 c2 是否 相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角 形。 四、课堂引入 创设情境:⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形? ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?和等腰三角 形的判定进行对比,从勾股定理的逆命题进行猜想。 五、例习题分析 例 1(补充)说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成 立吗? ⑴同旁内角互补,两条直线平行。 ⑵如果两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一 半。 分析:⑴每个命题都有逆命题,说逆命题时注意将题设和 结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用。 ⑵理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真 有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假。 解略。
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例 2(P82 探究)证明:如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a +b =c2 ,那么这个三角形是 A A1 直角三角形。 分析:⑴注意命题证明的格 c 式,首先要根据题意画出图 b b 形,然后写已知求证。 a a ⑵如何判断一个三角形 B C C1 B1 是直角三角形,现在只知道若 有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如 何判断一个角是直角。 ⑶利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全 等,使问题得以解决。 ⑷先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理计算斜 边 A1B1=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。 ⑸先让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否 重合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法。充分 利用这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容 易接受。 证明略。 例 3(补充)已知:在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边 分别是 a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1) 求证:∠C=90°。 分析:⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直 角三角形的一般步骤:①先判断那条边最大。②分别用代数方 法计算出 a2+b2 和 c2 的值。 ③判断 a2+b2 和 c2 是否相等, 若相等, 则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形。 ⑵要证∠C=90°,只要证△ABC 是直角三角形,并且 c 边 最大。根据勾股定理的逆定理只要证明 a2+b2=c2 即可。 ⑶由于 a2+b2= (n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,c2=(n2 +1)2= n4+2n2+1,从而 a2+b2=c2,故命题获证。 六、课堂练习 1.判断题。 ⑴在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半, 那么这条边所对的角是直角。 ⑵命题: “在一个三角形中,有一个角是 30°,那么它所对 的边是另一边的一半。 ”的逆命题是真命题。 ⑶勾股定理的逆定理是:如果两条直角边的平方和等于斜 边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
2 2

⑷△ABC 的三边之比是 1:1: 2 ,则△ABC 是直角三角 形。 2.△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,下列命 题中的假命题是( ) A.如果∠C-∠B=∠A,则△ABC 是直角三角形。
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B.如果 c2= b2 —a2 ,则△ABC 是直角三角形,且∠ C=90°。 C.如果(c+a) (c-a)=b2,则△ABC 是直角三角形。 D.如果∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC 是直角三 角形。 3.下列四条线段不能组成直角三角形的是( ) A.a=8,b=15,c=17 B.a=9,b=12,c=15 C.a= 5 ,b= 3 ,c= 2 D.a:b:c=2:3:4 4.已知:在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、 c,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?并指出 那一个角是直角? ⑴a= 3 ,b= 2 2 ,c= 5 ; ⑶a=2, b= 3 , c= 7 ; ⑵a=5,b=7,c=9; ⑷a=5, 2 6 , b= c=1。

七、课后练习, 1.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确。 ⑴如果 a3>0,那么 a2>0; ⑵如果三角形有一个角小于 90°,那么这个三角形是锐角 三角形; ⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等; ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 2.填空题。 ⑴任何一个命题都有 ,但任何一个定理未必都 有 。 ⑵“两直线平行,内错角相等。 ”的逆定理是 。 2 2 2 ⑶在△ABC 中, a =b -c , 若 则△ABC 是 三角形, 是直角; 若 a2<b2-c2,则∠B 是 。 ⑷若在△ABC 中, a=m2-n2, b=2mn, m2+n2, c= 则△ABC 是 三角形。 3.若三角形的三边是 42,52
1 1 1 ⑴1、 3 、2; ⑵ , , ; ⑶32, 3 4 5

⑷9,40,41; ⑸(m+n)2-1,2(m+n) (m+n)2+1;则构成的 , 是直角三角形的有( ) A.2 个 B.3个 C.4个 D.5个 4.已知:在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、 b、c,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?并
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指出那一个角是直角? ⑴a=9,b=41,c=40; c=6; ⑶a=2,b= 2 3 ,c=4; c=13k(k>0) 。

⑵a=15,b=16, ⑷a=5k,b=12k,

课后反思:

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18.2 勾股定理的逆定理(二) 一、教学目标 1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1.重点:灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2.难点:灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例 1(P83 例 2)让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实 际问题的意识。 例 2(补充)培养学生利用方程思想解决问题,进一步养成 利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 N 创设情境:在军事和航海上经常要确 R S 定方向和位置,从而使用一些数学知识和 Q 数学方法。 E 五、例习题分析 P 例 1(P83 例 2) 分析:⑴了解方位角,及方位名词; ⑵依题意画出图形; ⑶依题意可得 PR=12?1.5=18,PQ=16?1.5=24, QR=30; ⑷因为 242+182=302,PQ2+PR2=QR2,根据勾股定理 的逆定理,知∠QPR=90°; ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结:让学生养成“已知三边求角,利用勾股定理的逆定 理”的意识。 例 2(补充)一根 30 米长的细绳折成 3 段,围成一个三角 形,其中一条边的长度比较短边长 7 米,比较长边短 1 米,请 你试判断这个三角形的形状。 分析:⑴若判断三角形的形状,先求三角形的三边长; ⑵设未知数列方程,求出三角形的三边长 5、12、13; ⑶根据勾股定理的逆定理, 52+122=132, 由 知三角形为直 角三角形。 解略。

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六、课堂练习 C 1.小强在操场上向东走 80m 后,又走 了 60m,再走 100m 回到原地。小强在操 场上向东走了 80m 后,又走 60m 的方向 是 。 B A D 2.如图,在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿,早晨测得它的影长为 4 米,中午测得它的影长为 1 N 米,则 A、B、C 三点能否构成直角 C 三角形?为什么? 3.如图,在我国沿海有一艘不明 国籍的轮船进入我国海域,我海军 E 甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海 B A 里的 A、B 两个基地前去拦截,六分 钟后同时到达 C 地将其拦截。 已知甲 巡逻艇每小时航行 120 海里,乙巡逻艇每小时航行 50 海里,航 向为北偏西 40°,问:甲巡逻艇的航向? 七、课后练习 1.一根 24 米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则 A 三边长分别为 ,此三角形 的形状为 。 2.一根 12 米的电线杆 AB,用铁丝 AC、AD 固定,现已知用去铁丝 AC=15 米,AD=13 米,又测得地面上 B、C 两 B C 点之间距离是 9 米,B、D 两点之间距离 D 是 5 米, 则电线杆和地面是否垂直, 为什 么? 3.如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些 蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面 D C 积,以便计算一下产量。小明找了一 卷米尺,测得 AB=4 米,BC=3 米, B CD=13 米,DA=12 米,又已知∠ A B=90°。

课后反思:

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课题: 设计人: 设计时间: 教学设计 授课人: 授课时间: 授课备注

18.2

勾股定理的逆定理(三)

一、教学目标 1.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角 形。 2.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1.重点:利用勾股定理及逆定理解综合题。 2.难点:利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析 例 1(补充)利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形 的形状。 例 2(补充)使学生掌握研究四边形的问题,通常添置辅助 线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离 无法求解。创造 3、4、5 勾股数,利用勾股定理的逆定理证明 DE 就是平行线间距离。 例 3(补充)勾股定理及逆定理的综合应用,注意条件的转 化及变形。 四、课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档,经常综合应用来解决 一些难度较大的题目。 五、例习题分析 例 1(补充)已知:在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边 分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC 的形状。 D 分析:⑴移项,配成三个完全平方; A ⑵三个非负数的和为 0,则都为 0;⑶已知 a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角 形的形状为直角三角形。 C 例 2 补充) ( 已知: 如图, 四边形 ABCD, B E AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。 求:四边形 ABCD 的面积。 分析:⑴作 DE∥AB,连结 BD,则可 C 以证明△ABD≌△EDB(ASA) ; ⑵DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3; ⑶在△DEC 中,3、4、5 勾股数,△DEC 为直角三角形,DE⊥BC;⑷利用梯形面积 B A D
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公式可解,或利用三角形的面积。 例 3(补充)已知:如图,在△ABC 中,CD 是 AB 边上的 高,且 CD2=AD?BD。 求证:△ABC 是直角三角形。 分析:∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2 ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD?BD+BD2 =(AD+BD)2=AB2 六、课堂练习 1.若△ABC 的三边 a、b、c,满足(a-b) 2+b2-c2)=0, (a 则△ABC 是( ) A.等腰三角形; B.直角三角形; C.等腰三角形或直角三角形; D.等腰直角三角形。 2.若△ABC 的三边 a、b、c,满足 a:b:c=1:
D

1: 2 ,试判断△ABC 的形状。
3 3.已知:如图,四边形 ABCD,AB=1,BC= , 4 13 B C CD= ,AD=3,且 AB⊥BC。 4 求:四边形 ABCD 的面积。 4.已知:在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,且 CD2=AD?BD。 求证: △ABC 中是直角三角形。 A
A

七、课后练习, 1.若△ABC 的三边 a、b、c 满足 E 2 a +b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC 的 面积。 C D 2 . 在 △ ABC 中 , AB=13cm , B AC=24cm,中线 BD=5cm。 求证:△ABC 是等腰三角形。 3. 已知: 如图, ∠1=∠2, AD=AE, 为 BC 上一点, BD=DC, D 且 2 2 2 AC =AE +CE 。 求证:AB2=AE2+CE2。4.已知△ABC 的三边为 a、b、c, 且 a+b=4,ab=1,c= 14 ,试判定△ABC 的形状。

课后反思:

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第十九章 平行四边形 19.1.1 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标: 1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角 相等的性质. 2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问 题,并会进行有关的论证. 3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力. 二、 重点、难点 1.重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等 的性质,以及性质的应用. 2.难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 三、例题的意图分析 例 1 是教材 P93 的例 1,它是平行四边形性质的实际应用, 题目比较简单,其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进 行有关的计算,讲课时,可以让学生来解答.例 2 是补充的一 道几何证明题,即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关 的论证,又让学生从较简单的几何论证开始,提高学生的推理 论证能力和逻辑思维能力,学会演绎几何论证的方法.此题应 让学生自己进行推理论证. 四、课堂引入 1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链, 想一想它们是什么几何图形的形象?

平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在 生活中应用的例子吗? 你能总结出平行四边形的定义吗?
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(1)定义: 两组对边分别平行的四边形是 平行四边形. (2)表示:平行四边形用符号“ ”来 表示. 如图,在四边形 ABCD 中,AB∥ DC,AD∥ BC,那么四边 形 ABCD 是平行四边形. 平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”, 读作“平行四边形 ABCD”. ①∵AB//DC ,AD//BC , ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (判 定) ; ②∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB//DC, AD//BC(性 质) . 注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不 相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边 的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边 的对角. (教学时要结合图形,让学生认识清楚) 2. 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四 边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢? 我们一起来探究一下. 让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观 察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外 以,它的边和角之间有什么关系?度量一下,是不是和你猜想 的一致? (1)由定义知道,平行四边形的对边平行.根据平行线的性 质可知,在平行四边形中,相邻的角互为补角. (相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角.注意和第一 章的邻角相区别.教学时结合图形使学 生分辨清楚. ) (2)猜想 平行四边形的对边相等、 对角相等. 下面证明这个结论的正确性. 已知:如图 ABCD, 求证:AB=CD,CB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD. 分析: ABCD 的对角线 AC, 作 它将平行四边形分成△ABC 和△CDA,证明这两个三角形全等即可得到结论. (作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线, 可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题. ) 证明:连接 AC,
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AB∥CD,AD∥BC,

∴ ∠1=∠3,∠2=∠4. 又 AC=CA, ∴ △ABC≌△CDA (ASA) . ∴ AB=CD,CB=AD,∠B=∠D. 又 ∠1+∠4=∠2+∠3, ∴ ∠BAD=∠BCD. 由此得到: 平行四边形性质 1 平行四边形的对边相等. 平行四边形性质 2 平行四边形的对角相等. 五、例习题分析 例 1(教材 P93 例 1) 例 2(补充)如图,在平行四边形 ABCD 中,AE=CF, 求证:AF=CE. 分析:要证 AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形 ABCD 是平行四边形,因此有∠D=∠B ,AD=BC,AB=CD, 又 AE=CF,根据等式性质,可得 BE=DF.由“边角边”可得出 所需要的结论. 证明略. 六、随堂练习 1.填空: (1) 在 ABCD 中, A= 50? , B= ∠ 则∠ 度, C= ∠ 度, D= ∠ 度. (2)如果 ABCD 中,∠A—∠B=240,则∠A= 度,∠B= 度,∠C= 度,∠D= 度. (3)如果 ABCD 的周长为 28cm,且 AB:BC=2∶5,那么 AB= cm, BC= cm, CD= cm, CD= cm. 2.如图 4.3-9,在 ABCD 中,AC 为 对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,E、F 为垂 足,求证:BE=DF.

七、课后练习
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1. (选择)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是 ( ) . (A)对角相等 (B)对角互补 (C)邻角互补 (D)内角 和是 360? 2.在 ABCD 中,如果 EF∥AD,GH∥CD,EF 与 GH 相交与 点 O,那么图中的平行四边形一共有( ) . (A)4 个 (B)5 个 (C)8 个 (D) 9个 3.如图,AD∥BC,AE∥CD,BD 平分 ∠ABC,求证 AB=CE.

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19.1.1 平行四边形的性质(二) 一、 教学目标: 1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分 的性质. 2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和 简单的证明题. 3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力. 二、 重点、难点 1.重点:平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用. 2.难点:综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题, 1 是一道补充题, 例 它是性质 3 的直接运用, 然后对例 1 进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过 平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线,所得的对应线段 相等.例 1 与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉它的性质对解 答复杂问题是很有帮助的. 例 2 是教材 P94 的例 2,这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计 算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股 定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算.在以后的 解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意 使学生掌握其方法. 四、课堂引入 1.复习提问: (1)什么样的四边形是平行四边形?四边形与平行四边形的关系是:

(2)平行四边形的性质: ①具有一般四边形的性质(内角和是 360? ) . ②角:平行四边形的对角相等,邻角互补. 边:平行四边形的对边相等.
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2. 【探究】 : 请学生在纸上画两个全等的 ABCD 和 EFGH,并连接对角线 AC、 BD 和 EG、HF,设它们分别交于点 O.把这两个平行四边形落在一起, 在点 O 处钉一个图钉, ABCD 绕点 O 旋转 180? , 将 观察它还和 EFGH 重合吗?你能从子中看出前面 所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你 还能发现平行四边形的什么性质吗? 结论: (1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中 心; (2)平行四边形的对角线互相平分.

五、例习题分析 例1 (补充) 已知: 如图 4-21, ABCD 的对角线 AC、 相交于点 O, 过点 O 与 AB、 BD EF CD 分别相交于点 E、F. 求证:OE=OF,AE=CF,BE=DF. 证明:在 ABCD 中,AB∥CD, ∴ ∠1=∠2.∠3=∠4. 又 OA=OC(平行四边形的对角线互相平分), ∴ △AOE≌△COF(ASA) . ∴ OE=OF,AE=CF(全等三角形对应边相等) . ∵ ABCD,∴AB=CD(平行四边形对边相等) . ∴ AB—AE=CD—CF. 即 BE=FD. ※【引申】若例 1 中的条件都不变,将 EF 转动到图 b 的位置,那么 例 1 的结论是否成立?若将 EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长 线分别相交(图 c 和图 d) ,例 1 的结论是否成立,说明你的理由.

解略
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例 2(教材 P94 的例 2)已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB=10cm, AD=8cm, AC⊥BC, 求 BC、CD、AC、OA 的长以及 ABCD 的面积. 分析:由平行四边形的对边相等,可得 BC、CD 的长,在 Rt△ABC 中,由勾股定理可得 AC 的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得 OA 的长, 根据平行四边形的面积计算公式: 平行四边形的面积=底?高 (高 为此底上的高) ,可求得 ABCD 的面积. (平行四边形的面积小学学过, 再次强调 “底” 是对应着高说的, 平行四边形中, 任一边都可以作为 “底” , “底”确定后,高也就随之确定了. )3.平行四边形的面积计算 解略(参看教材 P94) . 六、随堂练习 1.在平行四边形中,周长等于 48, ① 已知一边长 12,求各边的长 ② 已知 AB=2BC,求各边的长 ③ 已知对角线 AC、BD 交于点 O,△AOD 与 △AOB 的周长的差是 10,求各边的长 2.如图, ABCD 中,AE⊥ BD,∠ EAD=60° ,AE=2cm,AC+BD=14cm, 则△OBC 的周长是____ ___cm. 3. ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成 5cm , 7cm 的两条 线段,则 ABCD 的周长是__ ___ cm .

七、课后练习 1.判断对错 (1)在 ABCD 中,AC 交 BD 于 O,则 AO=OB=OC=OD. ( ) (2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( ) (3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( ) (4) 平行四边形是轴对称图形. ( ) 2.在 ABCD 中,AC=6、BD=4,则 AB 的范围是__ ______.
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3. 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB、 CD 三条边的长度分别为 BC、 (x+3) , (x-4)和 16,则这个四边形的周长是 . 4.公园有一片绿地,它的形状是平行四边形, 绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB=15cm, AD=12cm,AC⊥BC,求小路 BC,CD,OC 的 长,并算出绿地的面积.

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19.1.2(一) 平行四边形的判定 一、 教学目标: 1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来 判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题. 3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题. 二、重点、难点 3.重点:平行四边形的判定方法及应用. 4.难点:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用. 三、例题的意图分析 本节课安排了3个例题,例1是教材P96的例3,它是平行四边形的 性质与判定的综合运用,此题最好先让学生说出证明的思路,然后老 师总结并指出其最佳方法.例2与例3都是补充的题目,其目的就是让 学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定 方法和性质来解决问题.例3是一道拼图题, 教学时,可以让学生动起来,边拼图边说明道 理, 即可以提高学生的动手能力和学生的思维 能力,又可以提高学生的学习兴趣.如让学生再用四个不等边三角形 拼一个如图的大三角形,让学生指出图中所有的平行四边形,并说明 理由. 四、课堂引入 1.欣赏图片、提出问题. 展示图片,提出问题,在刚才演示的图片中,有哪些是平行四 边形?你是怎样判断的? 2. 【探究】 :小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割 剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗? 让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验 证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨: (1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗? (2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形? (3)你能说出你的做法及其道理吗? (4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能
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用文字语言表述出来吗? (5)你还能找出其他方法吗? 从探究中得到: 平行四边形判定方法 1 两组对边分别相等的四边形是平行四 边形。 平行四边形判定方法 2 对角线互相平分的四边形是平行四边 形。 五、例习题分析 例1 (教材 P96 例 3) 已知: 如图 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,E、F 是 AC 上 的两点,并且 AE=CF. 求证:四边形 BFDE 是平行四边形. 分析:欲证四边形 BFDE 是平行四边形可以根据判定方法 2 来证明. (证明过程参看教材) 问;你还有其它的证明方法吗?比较一下,哪 种证明方法简单. 例 2(补充) 已知:如图,A′B′∥ BA, B′C′∥ CB, C′A′∥ AC. 求证:(1) ∠ ABC=∠ B′,∠ CAB=∠ A′, ∠ BCA=∠ C′; (2) △ABC 的顶点分别是△B′C′A′各边的中点. 证明:(1) ∵ A′B′∥ BA,C′B′∥ BC, ∴ 四边形 ABCB′是平行四边形. ∴ ∠ ABC=∠ B′(平行四边形的对角相等). 同理∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′. (2) 由(1)证得四边形 ABCB′是平行四边形.同理,四边形 ABA′C 是平行四边形. ∴ AB=B′C, AB=A′C(平行四边形的对边相等). ∴ B′C=A′C. 同理 B′A=C′A, A′B=C′B. ∴ △ABC 的顶点 A、B、C 分别是△B′C′A′的 边 B′C′、C′A′、A′B′的中点. 例3(补充)小明用手中六个全等的正三角形做 拼图游戏时, 拼成一个六边形. 你能在图中找出所有 的平行四边形吗?并说说你的理由. 解:有 6 个平行四边形,分别是 ABOF,
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ABCO,

BCDO, CDEO, DEFO, EFAO.

理由是:因为正△ABO≌正△AOF,所以 AB=BO,OF=FA.根 据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形” ,可知四边形 ABCD 是平行四边形.其它五个同理. 六、随堂练习 1. 如图, 在四边形 ABCD 中, AC、 相交于点 O, BD (1) AD=8cm, 若 AB=4cm, 那么当 BC=___ _cm, CD=___ _cm 时,四边形 ABCD 为平行四边形; (2)若 AC=10cm,BD=8cm,那么当 AO=__ _cm,DO=__ _cm 时,四 边形 ABCD 为平行四边形. 2.已知:如图, ABCD 中,点 E、F 分别在 CD、AB 上,DF∥BE,EF 交 BD 于点 O.求 证:EO=OF. 3.灵活运用课本 P89 例题,如图:由火柴棒拼出的一列图形,第 n 个图形 由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察,分析发现:

① 4 个图形中平行四边形的个数为___ 第 ② 8 个图形中平行四边形的个数为___ 第

__. __.

(6 个) (20 个)

七、课后练习 1. (选择)下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( (A)对角线互相垂直 (B)对角线相等 (C)对角线互相垂直且相等 (D)对角线互相平分 2.已知:如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE ∥BC,EF∥BC, 求证:BE=CF

) .

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19.1.2(二) 平行四边形的判定 一、 教学目标: 1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问 题. 3.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维, 提高分析问题的能力. 二、 重点、难点 1.重点:平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据 不同条件能正确地选择判定方法. 2.难点:平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用. 三、例题的意图分析 本节课的两个例题都是补充的题目,目的是让学生能掌握 平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判 定方法和性质来解决问题.学生程度好一些的学校,可以适当 地自己再补充一些题目,使同学们会应用这些方法进行几何的 推理证明,通过学习,培养学生分析问题、寻找最佳解题途径 的能力. 四、课堂引入 1. 平行四边形的性质; 2. 平行四边形的判定方法; 3. 【探究】 取两根等长的木条AB、 CD,将它们平行放置,再用两根木条 BC、AD加固,得到的四边形ABCD是 平行四边形吗? 结论:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 五、例习题分析 例1(补充)已知:如图, ABCD 中,E、F分别是AD、BC的中点,求证: BE=DF.
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分析:证明BE=DF,可以证明两个三角形全等,也可以证 明 四边形BEDF是平行四边形,比较方法,可以看出第二种方法简 单. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD∥CB,AD=CD. ∵ E、F分别是AD、BC的中点, ∴ ∴ ∴ DE∥BF,且DE= AD,BF= BC. DE=BF. 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四
1 2

1 2

边形平行四边形) . ∴ BE=DF. 此题综合运用了平行四边形的性质和判定,先运用平行四 边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件,再应 用平行四边形的性质得出结论;题目虽不复杂,但层次有三, 且利用知识较多,因此应使学生获得清晰的证明思路. 例2(补充)已知:如图, ABCD 中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC 于E,DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF 是平行四边形. 分析:因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需 再证明BE=DF,这需要证明△ABE与△CDF全等,由角角边即 可. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB=CD,且AB∥CD. ∴ ∠BAE=∠DCF. ∵ BE⊥AC于E,DF⊥AC于F, ∴ BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°. ∴ △ABE≌△CDF (AAS) . ∴ BE=DF. ∴ 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四 边形平行四边形) . 六、课堂练习 1. (选择)在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四 边形的是( ) .

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(A)AB∥CD,AD=BC (C) AB=CD, AD=BC

(B)∠A=∠B,∠C=∠D (D) AB=AD,

CB=CD 2.已知:如图,AC∥ ED,点B在AC上,且 AB=ED=BC, 找出图中的平行四边形,并说 明理由. 3.已知:如图,在 ABCD 中,AE、CF 分别是∠ DAB、∠ BCD 的平分线. 求证:四边形 AFCE 是平行四边形. 七、课后练习 1.判断题: (1) 相 邻 的 两 个 角 都 互 补 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ; ( ) (2) 两 组 对 角 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ; ( ) (3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ( ) (4) 一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ; ( ) (5) 对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ; ( ) (6) 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形. ( ) 2. 延长△ABC 的中线 AD 至 E, DE=AD. 使 求证: 四边形 ABEC 是平行四边形. 3.在四边形 ABCD 中,(1)AB∥CD;(2)AD∥BC;(3)AD=BC; (4)AO=OC;(5)DO=BO;(6)AB=CD.选择两个条件,能判 定四边形 ABCD 是平行四边形的共有________对. (共有 9 对)

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19.1.2(三) 平行四边形的判定——三角形的中位线 一、 教学目标: 1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质. 2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算. 3.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力. 4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证 明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法. 二、 重点、难点 1.重点:掌握和运用三角形中位线的性质. 2.难点:三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法) . 三、例题的意图分析 例 1 是教材 P98 的例 4, 这是三角形中位线性质的证明题, 教 材采用的是先证明后引出概念与性质的方法,它一是要练习巩 固平行四边形的性质与判定,二是为了降低难度,因此教师们 在教学中要把握好度. 建议讲完例 1,引出三角形中位线的概念和性质后,马上做 一组练习,以巩固三角形中位线的性质,然后再讲例 2. 例 2 是一道补充题,选自老教材的一个例题,它是三角形 中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题,题型挺好,添 加辅助线的方法也很巧,结论以后也会经常用到,可根据学生 情况适当的选讲例 2.教学中,要把辅助线的添加方法讲清楚, 可以借助与多媒体或教具. 四、课堂引入 1.平行四边形的性质;平行四边形的判定;它们之间有什么联 系? 2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗? (答:平行四边形知识的运用包括三个方面:一是直接运用平 行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数,线段的长 度,证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四 边形,从而判定直线平行等;三是先判定一个四边形是平行四 边形,然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题. ) 3.创设情境
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实验:请同学们思考:将任意一个 三角形分成四个全等的三角形, 你是如 何切割的?(答案如图) 图中有几个平行四边形?你是如 何判断的? 五、例习题分析 例 1(教材 P98 例 4) 如图,点 D、E、分别 为△ABC 边 AB、 的中点, AC 求证: DE∥BC 且 DE= BC. 分析:所证明的结论既有平行关系,又有 数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明 的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行 且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需 要添加适当的辅助线来构造平行四边形. 方法 1:如图(1) ,延长 DE 到 F,使 EF=DE,连接 CF,由△ADE≌△CFE,可 得 AD∥FC, AD=FC, 且 因此有 BD∥FC, BD=FC,所以四边形 BCFD 是平行四边 形 . 所 以 DF ∥ BC , DF=BC , 因 为 DE= DF,所以 DE∥BC 且 DE= BC. (也可以过点 C 作 CF∥AB 交 DE 的延长线于 F 点,证明方法 与上面大体相同) 方法 2:如图(2) ,延长 DE 到 F,使 EF=DE, 连接 CF、 和 AF, AE=EC, CD 又 所以四边形 ADCF 是平行四边形.所以 AD∥FC,且 AD=FC.因为 AD=BD,所 以 BD∥FC,且 BD=FC.所以四边形 ADCF 是平行四边形.所以 DF∥BC,且 DF=BC,因为 DE= DF,所以 DE∥BC 且 DE= BC. 定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【思考】 : (1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中 位线与中线有什么区别? (2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系? (答: (1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与
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1 2

1 2

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1 2

中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连 线;中线是顶点与对边中点的连线. (2)三角形的中位线与 第三边的关系:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边 的一半. ) 三角形中位线的性质:三角形的中位线平行与第三边,且等于 第三边的一半. 〖拓展〗利用这一定理,你能证明出在设情境中分割出来的四 个小三角形全等吗?(让学生口述理由) 例 2(补充)已知:如图(1) ,在 四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证: 四边形 EFGH 是平行四边形. 分析:因为已知点 E、F、G、H 分 别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形 EFGH 的边之间的关系. 由于四边形的对角线可以把四边形分成 两个三角形,所以添加辅助线,连接 AC 或 BD,构造“三角形中位线”的基本图 形后,此题便可得证. 证明:连结 AC(图(2),△DAG ) 中, ∵ ∴ AH=HD,CG=GD, HG∥AC,HG= AC(三角形中位线性质) .

1 2 1 同理 EF∥AC,EF= AC. 2

∴ HG∥EF,且 HG=EF. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 此题可得结论:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形 是平行四边形. 六、课堂练习 1. (填空)如图,A、B 两点被池塘隔开, 在 AB 外选一点 C,连结 AC 和 BC,并分别 找出 AC 和 BC 的中点 M、N,如果测得 MN=20 m, 那么 A、 两点的距离是 B m, 理由是 . 2.已知:三角形的各边分别为 8cm 、10cm 和 12cm ,求连结各边中点所成三角形的周
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长. 3.如图,△ABC 中,D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点, (1) EF=5cm, AB= 若 则 cm; BC=9cm, DE= 若 则 cm; (2) 中线 AF 与 DE 中位线有什么特殊的关系?证明你的猜想. 七、课后练习 1. (填空)一个三角形的周长是 135cm,过三角形各顶点作对 边的平行线,则这三条平行线所组成的三 角形的周长是 cm. 2. (填空)已知:△ABC 中,点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点, 如果△DEF 的 周 长 是 12cm , 那 么 △ ABC 的 周 长 是 cm. 3.已知:如图,E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 的中点.求证:四边形 EFGH 是平行四边形.

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19.2.1

矩形(一)

一、教学目标: 1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与 联系. 2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 3.渗透运动联系、从量变到质变的观点. 二、重点、难点 1.重点:矩形的性质. 2.难点:矩形的性质的灵活应用. 三、例题的意图分析 例 1 是教材 P104 的例 1,它是矩形性质的直接运用,它除 了用以巩固所学的矩形性质外,对计算题的格式也起了一个示 范作用.例 2 与例 3 都是补充的题目,其中通过例 2 的讲解是 想让学生了解: (1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的 计算经常要用到直角三角形的性质,而利用方程的思想,解决 直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法; (2)“直 角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到 两直角边、 斜边及斜边上的高的一个基本关系式. 并能通过例 2、 例 3 的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证 明题的方法. 四、课堂引入 1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门,活动 衣架,篱笆、井架等) ,想一想:这里面应用了平行四边形的什 么性质? 2.思考:拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,观 察不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么?(动画演 示拉动过程如图) 3.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时 停止,让学生观察这是什么图形?(小学学过的长方形)引出 本课题及矩形定义.

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矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长 方形). 矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封 面等都有矩形形象. 【探究】在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套 在相对的两个顶点上(作出对角线) ,拉动一对不相邻的顶点, 改变平行四边形的形状. ① 随着∠α 的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的? ② 当∠α 是直角时,平行四边形变成矩形,此时它的其他内角 是什么样的角?它的两条对角线的长度有什么关系?

操作,思考、交流、归纳后得到矩形的性质. 矩形性质 1 矩形的四个角都是直角. 矩形性质 2 矩形的对角线相等. 如图,在矩形 ABCD 中,AC、BD 相交 于 点 O , 由 性 质 2 有 AO=BO=CO=DO= AC= BD.因此可以得 到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半. 五、例习题分析 例 1 (教材 P104 例 1)已知:如图, 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,∠ AOB=60° ,AB=4cm,求矩形对角线的长. 分析:因为矩形是特殊的平行四边形, 所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这 个特性和已知,可得△OAB 是等边三角形,因此对角线的长度 可求. 解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC 与 BD 相等且互相平分. ∴ OA=OB. 又 ∠AOB=60° , ∴ △OAB 是等边三角形. ∴ 矩形的对角线长 AC=BD = 2OA=2× 4=8(cm) . 例 2(补充)已知:如图 ,矩形 ABCD,AB 长 8 cm ,对角线比 AD 边长 4 cm.求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长. 分析: 因为矩形四个角都是直角, (1)
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因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用 方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常 用的方法. 略解:设 AD=xcm,则对角线长(x+4)cm,在 Rt△ABD 中,由勾股定理: x 2 ? 82 ? ( x ? 4) 2 ,解得 x=6. 则 AD=6cm. (2) “直角三角形斜边上的高”是一个基本图形, 利用面积公式, 可 得 到 两 直角边、斜边及斜边上 的高的一个基本关系式: AE× DB= AD× AB,解得 AE= 4.8cm.

例 3(补充) 已知:如图,矩形 ABCD 中,E 是 BC 上一点, DF⊥AE 于 F,若 AE=BC. 求证:CE=EF. 分析:CE、EF 分别是 BC,AE 等线段上的一部分,若 AF =BE, 则问题解决, 而证明 AF=BE, 只要证明△ABE≌△DFA 即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形. 证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠B=90°,且 AD∥BC. ∴ ∠1=∠2. ∵ DF ⊥ AE , ∴ ∠ AFD=90°. ∴ ∠B=∠AFD.又 AD=AE, ∴ △ABE≌△DFA(AAS) . ∴ AF=BE. ∴ EF=EC. 此题还可以连接 DE,证明△DEF≌△DEC,得到 EF=EC. 六、随堂练习 1. (填空) (1)矩形的定义中有两个条件:一是 ,二 是 . (2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°,则矩形两条 对 角 线 相 交 所 得 的 四 个 角 的 度 数 分 别 为 、 、 、 . (3)已知矩形的一条对角线长为 10cm,两条对角线的一个交 角为 120°,则矩形的边长分别为 cm, cm, cm, cm. 2. (选择) (1)下列说法错误的是( ) . (A)矩形的对角线互相平分 (B)矩形的对角 线相等 (C)有一个角是直角的四边形是矩形 (D)有一个角是 直角的平行四边形叫做矩形
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(2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有 ( ) . (A) 对 (B) 对 (C) 对 (D) 2 4 6 8对 3.已知:如图,O 是矩形 ABCD 对角线 的交点, 平分∠BAD, AE ∠AOD=120°, 求∠AEO 的度数. 七、课后练习 1. (选择) 矩形的两条对角线的夹角为 60°, 对角线长为 15cm, 较短边的长为( ) . (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 2.在直角三角形 ABC 中,∠C=90°, AB=2AC,求∠A、∠B 的度数. 3.已知:矩形 ABCD 中,BC=2AB,E 是 BC 的中点,求证:EA⊥ED. 4.如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC,且 AB=AE,求证:∠CBE 的度数.

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19.2.1

矩形(二)

一、教学目标: 1.理解并掌握矩形的判定方法. 2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明 题和计算题,进一步培养学生的分析能力 二、重点、难点 1.重点:矩形的判定. 2.难点:矩形的判定及性质的综合应用. 三、例题的意图分析 本节课的三个例题都是补充题,例 1 在的一组判断题是为 了让学生加深理解判定矩形的条件,老师们在教学中还可以适 当地再增加一些判断的题目;例 2 是利用矩形知识进行计算; 例 3 是一道矩形的判定题,三个题目从不同的角度出发,来综 合应用矩形定义及判定等知识的. 四、课堂引入 1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形? 2.矩形有哪些性质? 3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处? 4.事例引入:小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物, 于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制 作,你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗?看看谁的方 法可行? 通过讨论得到矩形的判定方法. 矩形判定方法 1:对角钱相等的平行四边形是矩形. 矩形判定方法 2:有三个角是直角的四边形是矩形. (指出:判定一个四边形是矩形,知道三个角是直角,条 件就够了.因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直 角. ) 五、例习题分析 例 1(补充)下列各句判定矩形的说法是否正确?为什么? (1) 有一个角是直角的四边形是矩形; (× ) (2) 有四个角是直角的四边形是矩形; (√) (3) 四个角都相等的四边形是矩形; (√) (4) 对角线相等的四边形是矩形; (× ) (5) 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形; (× ) (6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
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(√) (7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形; (× ) (8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形; (√) (9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩 形. (√) 指出: (l)所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形; (2)所给四边形添加的条件是三个独立条件,但若与判定方 法不同,则需要利用定义和判定方法证明或举反例,才能下结 论. 例 2 (补充)已知 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,△AOB 是等边三角形,AB=4 cm,求这 个平行四边形的面积. 分析: 首先根据△AOB 是等边三角形及 平行四边形对角线互相平分的性质判定出 ABCD 是矩形,再利用勾股定理计算边长, 从而得到面积值. 解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AO= AC,BO= BD.
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∵ AO=BO, ∴ AC=BD. ∴ ABCD 是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形) . 在 Rt△ABC 中, ∵ AB=4cm,AC=2AO=8cm, ∴ BC= 82 ? 4 2 ? 4 3 (cm) .

例 3 (补充) 已知: 如图 (1) , ABCD 的四个内角的平分线分 别相交于点 E,F,G,H.求证: 四边形 EFGH 是矩形. 分析:要证四边形 EFGH 是矩形,由于此题目可分解出基 本图形,如图(2) ,因此,可选用“三个角是直角的四边形是矩 形”来证明. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DAB+∠ABC=180° . 又 AE 平分∠DAB,BG 平分∠ABC , ∴ ∠EAB+∠ABG= ?180° =90°.
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∴ ∠AFB=90° . 同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90° . ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形(有三个角是直角的四边 形是矩形) . 六、随堂练习 1. (选择)下列说法正确的是( ) . (A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角 是直角的四边形一定是矩形 (C)对角线互相平分的四边形是矩形 (D)对角互补的 平行四边形是矩形 2.已知:如图 ,在△ABC 中,∠C=90° CD , 为中线,延长 CD 到点 E,使得 DE=CD.连结 AE,BE,则四边形 ACBE 为矩形. 七、课后练习 1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行: ⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图① ,使 AB=CD, ) EF=GH; ⑵ 摆放成如图② 的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据 的数学道理是: ; ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③ ,调整窗框的边框,当 ) 直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④ ,说明窗框 ) 合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: ;

2.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AB=2AC,求∠A、∠B 的度数.

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19.2.2

菱形(一)

一、教学目的: 1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系. 2.理解并掌握菱形的定义及性质 1、2;会用这些性质进行 有关的论证和计算,会计算菱形的面积. 3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察 能力. 4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向 学生渗透集合思想. 二、重点、难点 1.教学重点:菱形的性质 1、2. 2.教学难点:菱形的性质及菱形知识的综合应用. 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题,例 1 是一道补充题,是为了巩固 菱形的性质;例 2 是教材 P108 中的例 2,这是一道用菱形知识 与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题.此题目,除 用以巩固菱形性质外,还可以引导学生用不同的方法来计算菱 形的面积,以促进学生熟练、灵活地运用知识. 四、课堂引入 1. (复习)什么叫做平行四边形?什么叫矩形?平行四边 形和矩形之间的关系是什么? 2. (引入)我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩 形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示: (可将事先按 如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平 行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.

菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【强调】 菱形(1)是平行四边形; (2)一组邻边相等. 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.
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五、例习题分析 例 1 (补充) 已知:如图,四边形 ABCD 是菱形,F 是 AB 上一点,DF 交 AC 于 E. 求证:∠AFD=∠CBE. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ CB=CD, CA 平分∠BCD. ∴ ∠ BCE= ∠ DCE . 又 CE=CE, ∴ △BCE≌△COB(SAS) . ∴ ∠CBE=∠CDE. ∵ 在菱形 ABCD 中,AB∥CD, ∴∠AFD=∠FDC ∴ ∠ AFD=∠ CBE. 例 2 (教材 P108 例 2)略 六、随堂练习 1.若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数 分别为 . 2.已知菱形的两条对角线分别是 6cm 和 8cm ,求菱形的周长 和面积. 3.已知菱形 ABCD 的周长为 20cm,且相邻 两内角之比是 1∶2,求菱形的对角线的长和 面积. 4.已知:如图,菱形 ABCD 中,E、F 分别 是 CB、CD 上的点,且 BE=DF.求证:∠ AEF=∠AFE. 七、课后练习 1.菱形 ABCD 中,∠D∶∠A=3∶1,菱形的周长为 8cm,求 菱形的高. 2.如图,四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形,其中对角线 BD 长 10cm,求(1)对角线 AC 的长度; (2)菱形 ABCD 的面 积.

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19.2.2

菱形(二)

一、教学目的: 1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定 方法进行有关的论证和计算; 2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观 察能力、动手能力及逻辑思维能力. 二、重点、难点 1.教学重点:菱形的两个判定方法. 2.教学难点:判定方法的证明方法及运用. 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题,其中例 1 是教材 P109 的例 3,例 2 是一道补充的题目, 这两个题目都是菱形判定方法的直接的运 用,主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法,并会用这些判 定方法进行有关的论证和计算.这些题目的推理都比较简单, 学生掌握起来不会有什么困难,可以让学生自己去完成.程度 好一些的班级,可以选讲例 3. 四、课堂引入 1.复习 (1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形; (2)菱形的性质 1 菱形的四条边都相等; 性质 2 菱形的对角线互相平分, 并且每条对角线平分一组 对角; (3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?(判 定:2 个条件) 2. 【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还 有其它的判定方法吗? 3. 【探究】 (教材 P109 的探究)用一长一短两根木条,在它们 的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一 根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候 变成菱形? 通过演示,容易得到: 菱形判定方法 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
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注意此方法包括两个条件: (1)是一个平行四边形; (2) 两条对角线互相垂直. 通过教材 P109 下面菱形的作图,可以得到从一般四边形直 接判定菱形的方法: 菱形判定方法 2 四边都相等的四边形是菱形. 五、例习题分析 例 1 (教材 P109 的例 3)略 例 2(补充)已知:如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分 线与边 AD、BC 分别交于 E、F. 求证:四边形 AFCE 是菱形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形, ∴ AE∥FC. ∴ ∠1=∠2. 又 ∠AOE=∠COF,AO=CO, ∴ △AOE≌△COF. ∴ EO=FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又 EF⊥AC, ∴ AFCE 是菱形(对角线互相垂直的 平行四边形是菱形). ※例 3(选讲) 已知:如图,△ABC 中, ∠ACB=90° BE 平分∠ABC, , CD⊥AB 与 D, EH⊥AB 于 H,CD 交 BE 于 F. 求证:四边形 CEHF 为菱形. 略 证 : 易 证 CF∥ , CE=EH , 在 Rt△BCE 中 , EH ∠ CBE+∠ CEB=90° ,在 Rt△BDF 中,∠ DBF+∠ DFB=90° ,因为 ∠ CBE=∠ DBF, CFE=∠ ∠ DFB, 所以∠ CEB=∠ CFE, 所以 CE=CF. 所以,CF=CE=EH,CF∥EH,所以四边形 CEHF 为菱形. 六、随堂练习 1.填空: (1)对角线互相平分的四边形是 ; (2)对角线互相垂直平分的四边形是________; (3)对角线相等且互相平分的四边形是________; (4)两组对边分别平行,且对角线 的四边形是
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菱形. 2.画一个菱形,使它的两条对角线长 分别为 6cm、8cm. 3.如图,O 是矩形 ABCD 的对角线的 交点,DE∥AC,CE∥BD,DE 和 CE 相交于 E, 求证: 四边形 OCED 是菱形。 七、课后练习 1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是 ( ) . (A)两条对角线相等 (B)两 条对角线互相垂直 (C)两条对角线相等且互相垂直 (D)两 条对角线互相垂直平分 2.已知:如图,M 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的中点, DM⊥AB, EF⊥AB, ME⊥AC,DG⊥AC.求证: 四边形 MEND 是菱形. 3.做一做: 设计一个由菱形组成的花边图案.花边的长为 15 cm,宽为 4 cm,由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成,前一 个菱形对角线的交点,是后一个菱形的一个顶点.画出花边图 形.

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19.2.3 正方形 一、教学目的 1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关 的论证和计算. 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别, 通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进 行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力. 二、重点、难点 1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱 形的联系. 2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定 的灵活运用. 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题,例 1 是教材 P111 的例 4,例 2 与 例 3 都是补充的题目.其中例 1 与例 2 是正方形性质的应用, 在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例 3 是正方 形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻 边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判 断题,进行练习巩固(参看随堂练习 1) ,为了活跃学生的思维, 也可以将判断题改为下列问题让学生思考: ①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么? ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么? ③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果 不是,应该加上什么条件? ④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么? ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗? 四、课堂引入 1.做一做:用一张长方形的纸片(如图所示) 折出一个正方形. 学 生 在 动手做中对正方形产 生感性认 识,并感知正方形与矩形的关系.问题:什
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么样的四边形是正方形? 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行 ...... ....... .. 四边形叫做正方形. ... 指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定 义包括了两层意: (1)有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) (2)有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 2. 【问题】正方形有什么性质? 由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的 矩形,又是有一个角是直角的菱形.

所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 五、例习题分析 例 1(教材 P111 的例 4) 求证:正方形的两条对角线把正 方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知:四边形 ABCD 是正方形,对角线 AC、BD 相交于点 O(如图) . 求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC=BD, AC⊥ BD, AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且 互相垂直平分) . ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 都是等腰直角三角形, 并且 △ABO ≌ BCO≌ CDO≌ DAO. △ △ △ 例 2 (补充) 已知: 如图, 正方形 ABCD 中, 对角线的交点为 O, 是 OB 上的一点, E DG⊥AE 于 G,DG 交 OA 于 F. 求证:OE=OF. 分析:要证明 OE=OF,只需证明△ AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直 平 分 且 相 等 , 可 以 得 到 ∠ AOE= ∠

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DOF=90° ,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠ EAO=∠FDO,根据 ASA 可以得到这两个三角形全等,故结论 可得. 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ AOE=∠ DOF=90° AO=DO , (正方形的对角线垂直平 分且相等) . 又 DG⊥ AE, ∴ ∠ EAO+∠ AEO=∠ EDG+∠ AEO=90° . ∴ ∠EAO=∠FDO. ∴ △AEO ≌△DFO. ∴ OE=OF. 例 3 (补充)已知:如图,四边形 ABCD 是正方形,分别 过点 A、C 两点作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M,DN⊥l1 于 N,直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点. 求证:四边形 PQMN 是正方形. 分析:由已知可以证出四边形 PQMN 是 矩 形 , 再 证 △ ABM ≌ △ DAN , 证 出 AM=DN,用同样的方法证 AN=DP.即可 证出 MN=NP.从而得出结论. 证明:∵ PN⊥ 1,QM⊥ 1, l l ∴ PN∥ QM,∠ PNM=90° . ∵ PQ∥ NM, ∴ 四边形 PQMN 是矩形. ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ ∠ BAD=∠ ADC=90° ,AB=AD=DC(正方形的四条边 都相等,四个角都是直角) . ∴ ∠ 1+∠ 2=90° . 又 ∠ 3+∠ 2=90° , ∴ ∠ 1=∠ 3. ∴ △ABM≌ DAN. △ ∴ AM=DN. 同理 AN=DP. ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN. ∴ 四边形 PQMN 是正方形 (有一组邻边相等的矩形是正 方形) .

六、随堂练习 1.正方形的四条边____

__,四个角___

____,两条对角

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线____

____.

2.下列说法是否正确,并说明理由. ①对角线相等的菱形是正方形; ( ) ②对角线互相垂直的矩形是正方形; ( ) ③对角线垂直且相等的四边形是正方形; ( ④四条边都相等的四边形是正方形; ( ) ⑤四个角相等的四边形是正方形. ( )


F

3.已知:如图,四边形 ABCD 为正方形,E、F 分别 B 为 CD、CB 延长线上的点,且 DE=BF. 求证:∠AFE=∠AEF.
C

A D E

4.如图,E 为正方形 ABCD 内一点,且△EBC 是等边三角形, 求∠EAD 与∠ECD 的度数. 七、课后练习 1.已知:如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点,点 F 是 CB 的延长线上一点,且 DE=BF. 求证:EA⊥AF. 2.已知:如图,△ABC 中,∠ C=90° , CD 平分∠ ACB, DE⊥ 于 E, BC DF⊥ AC 于 F.求证:四边形 CFDE 是正方形.

3.已知:如图,正方形 ABCD 中,E 为 BC 上 一点, AF 平分 ∠ DAE 交 CD 于 F,求证: AE=BE+DF.

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课题: 设计人: 设计时间: 教学设计 授课人: 授课时间: 授课备注

19.3

梯形(一)

一、教学目标: 1.探索并掌握梯形的有关概念和基本性质,探索、了解并掌握 等腰梯形的性质. 2.能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计 算,进一步培养学生的分析问题能力和计算能力. 3.通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形 问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想. 二、重点、难点 1.重点:等腰梯形的性质及其应用. 2.难点:解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形 和三角形及正确运用辅助线) ,及梯形有关知识的应用. 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题,例 1 是教材 P118 中的例 1.它是 等腰梯形性质的直接运用.题目比较简单,在教学中,最好让 学生分析、讲解、解答.同时也要注意引导学生,在证明△EAD 是等腰三角形时,要用到梯形的定义“上下底互相平行(AD∥ BC) ”这一点. 例 2 与例 3 都是补充的题目,例 2 是一道计算题,例 3 是 一道证明题,其用意一是为了巩固其概念,二是辅助线添加方 法的练习,这两个题目的辅助线均是“平移一腰” ,老师们在教 学或练习中也可以再补充一些其它辅助线添加方法的题目,让 学生多了解多见识. (但由于本教材在梯形这一部分知识中,并 没有添加辅助线的要求,因此所选的题目不要太难. )通过题目 的练习与讲解应让学生知道:解决梯形问题的基本思想和方法 就是通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为已经熟悉的平 行四边形和三角形问题来解决.在教学时应让学生注意它们的 作用,掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助. 四、课堂引入 1.创设问题情境——引出梯形概念. 【观察】 (教材 P117 中的观察)右图 中,有你熟悉的图形吗?它们有什么
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共同的特点? 2.画一画:在下列所给图中的每个三角形中画一条线段, 【思考】 (1)怎样画才能得到一个梯形? (2)在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形?

梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的 四边形叫做梯形. (强调:①梯形与平行四边形的区别和联 系;②上、下底的概念是由底的长短来定义 的,而并不是指位置来说的. ) (1)一些基本概念(如图) :底、腰、高. (2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形. (3)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

3.做—做——探索等腰梯形的性质(引入 用轴对称解决问题的思想) . 在一张方格纸上作一个等腰梯形, 连接 两条对角线. 【问题一】 图中有哪些相等的线段?有哪 些相等的角?这个图形是轴对称图形吗?学生画图并通过观察 猜想; 【问题二】 这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系? 结论: ①等腰梯形是轴对称图形, 上下底的中点连线是对称轴. ②等腰梯形同一底上的两个角相等. ③等腰梯形的两条对角线相等. 五、例习题分析 例 1(教材 P118 的例 1)略. (延长两腰 梯形辅助线添加 方法三) 例2 (补充) 如图, 梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠B=70°,∠C=40°,AD=6cm,BC=15cm.
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求 CD 的长. 分析: 设法把已知中所给的条件都 移到一个三角形中,便可以解决问 题.其方法是:平移一腰,过点 A 作 AE∥DC 交 BC 于 E, 因此四边形 AECD 是 平 行 四 边 形 , 由 已 知 又 可 以 得 到 △ ABE 是 等 腰 三 角 形 (EA=EB) ,因此 CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm. 解(略) . 例 3 (补充) 已知: 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠D=90° ∠CAB=∠ABC, BE , ⊥AC 于 E.求证:BE=CD. 分析:要证 BE=CD,需添加适当的辅助线,构造全等三角 形,其方法是:平移一腰,过点 D 作 DF∥ 交 BC 于 F,因此 AB 四 边 形 ABFD 是平 行四边 形, 则 DF=AB ,由 已知可 导出 ∠ DFC=∠ BAE,因此 Rt△ABE≌ Rt△FDC (AAS ) ,故可得出 BE=CD. 证明(略) 另证:如图,根据题意可构造等腰梯 形 ABFD,证明△ABE≌△FDC 即可. 六、随堂练习 1.填空 (1)在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,∠B=50°,∠ C=80°,AD=a,BC=b,,则 DC= . (2)直角梯形的高为 6cm,有一个角是 30°,则这个梯形 的两腰分别是 和 . (3)等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,A C 平分∠DAB,∠ DAB=60 ° , 若 梯 形 周 长 为 8cm , 则 AD= . 2.已知:如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB∥CD,AB>CD,AD=BC,BD 平分 ∠ ABC , ∠ A=60°, 梯 形 周 长 是 20cm , 求 梯 形 的 各 边 的 长. (AD=DC=BC=4,AB=8) 3.求证:等腰梯形两腰上的高相等. 七、课后练习 1.填空:已知直角梯形的两腰之比是 1∶2,那么该梯形的最大 角为 ,最小角为 .
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2.已知等腰梯形的锐角等于 60°它的两底分别为 15cm 和 49cm,求它的腰长和面积. 3.已知:如图,梯形 ABCD 中,CD//AB,
?A ? 40 ? , ?B ? 70 ? .

求证:AD=AB—DC.

4.已知,如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 AB 的中点,DE⊥CE,求证:AD+BC=DC. (延 长 DE 交 CB 延长线于点 F,由全等可得结论)

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19.3

梯形(二)

一、教学目标: 1.通过探究教学,使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是 等腰梯形”这个判定方法,及其此判定方法的证明. 2. 能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计 算,体会转化的思想,数学建模的思想,会用分析法寻求证明 题思路,从而进一步培养学生的分析能力和计算能力. 3.通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三 角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想. 二、重点、难点 1.重点:掌握等腰梯形的判定方法并能运用. 2.难点:等腰梯形判定方法的运用. 三、例题的意图分析 本节课安排的例题与练习较多,可供老师们选用. .. 例 1 是教材 P119 的例 2,这是一道计算题,讲解时要让学 生注意,已知中并没有给出等腰梯形的条件,它需要先判定梯 形 ABCD 为等腰梯形,然后再用其性质得出结论. 例 2、 3、 4 都是补充的题目. 例 例 其中例 2 是一道文字题, 这道题在进行证明时,可采用“平移对角线”或“作高”两种 不同的方法,通过讲解例 2,可以再次给学生介绍解决梯形问题 时辅助线的添加方法. 例 3 是一道证明等腰梯形的题,它需要先证明其四边形是 梯形,即先证出 EG∥AB,此时还要由 AE,BG 延长交于 O, 说明 EG≠AB,才能得出四边形 ABGE 是梯形.然后再利用同底 上的两角相等得出这个梯形是等腰梯形.选讲此题的目的是为 了让学生了解和掌握证明一个四边形是等腰梯形的步骤与方 法. 例 4 是一道作图题,新教材 P119 的练习 4 就是一道画梯形 图的题,此例 4 与练习 4 相同.通过此题的讲解与练习,就是 要加强学生对梯形概念的理解, 并了解梯形作图的一般方法. 让 学生知道梯形的画图题,也常常是通过分析,找出需要添加的 辅助线,先画出三角形或四边形,再根据它们之间的联系画出
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所要求的梯形. 四、课堂引入 1.复习提问: (1)什么样的四边形叫梯形,什么样的梯形 是直角梯形、等腰梯形? (2)等腰梯形有哪些性质?它的性质定理是怎样证明的? (3)在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么?常用 的辅助线有哪几种? 我们已经掌握了等腰梯形的性质,那么又如何来判定一个 梯形是否是等腰梯形呢?今天我们就共同来研究这个问题. 2. 【提出问题】 :前面所学的特殊四边 形的判定基本上是性质的逆命题.等腰梯 形同一底上两个角相等的逆命题是什么? 命题:同一底上的两个角相等的梯形是等 腰梯形 问:这个命题是否成立?能否加以证明,引导学生写出已知、 求证. 启发:能否转化为特殊四边形或三角形,鼓励学生大胆猜想, 和求证. 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD ∥BC,∠B=∠C. 求证:AB=CD. 分析:我们学过“如果一个三角形中 有两个角相等,那么它们所对的边相等. ”因此,我们只要能将 等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角,命 题就容易证明了. 证明方法 1: 过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 F, 得到△DEC. ∵AB∥DE, ∴∠B=∠1, ∵∠B=∠C, ∴∠1=∠C. ∴DE=DC. 又∵AD∥BC, ∴DE=AB=DC. 证明时,可以仿照性质证明时的分析,来启发学生添加辅助 线 DE. 证明方法二:用常见的梯形辅助线方法: 过点 A 作 AE⊥BC, 过 D 作 DF⊥BC, 垂足分 别为 E、F(见图一) . 证明方法三: 延长 BA、CD 相 交 于 点 E ( 见 图 二) . 图 一 图二 通过证明:验证了命题的正确

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第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 20.1.1 平均数(第一课时) 一、教学目标: 1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法 3、通过本节课的学习,还应使学生理解平均数在数据统计中的 意义和作用:描述一组数据集中趋势的特征数字,是反映一组 数据平均水平的特征数。 二、重点、难点和难点突破的方法: 1、重点:会求加权平均数 2、难点:对“权”的理解 三、例习题意图分析 1、教材 P136 的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。 (1) 、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重 要的目的是想引出权的概念和加权平均数的计算公式。 (2) 、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方 式,也是已学者易犯的错误。在这里安排讨论很得当,起揭示 思维误区,警示学生、加深认识的作用。 (3) 、客观上,教材 P136 的问题是一个实际问题,它照应 了本节的前言——将在实际问题情境中,进一步探讨它们的统 计意义,体会它们在解决实际问题中的作用,揭示了统计知识 在解决实际问题中的重要作用。 (4) 、P137 的云朵其实是复习平均数定义,小方块则强调 了权意义。 2、教材 P137 例 1 的作用如下: (1) 、解决例 1 要用到加权平均数公式,所以说它最直接、 最重要的目的是及时复习巩固公式,并且举例说明了公式用法 和解题书写格式,给学生以示范和模仿。 (2) 、这里的权没有直接给出数量,而是以比的形式出现, 为加深学生对权的意义的理解。 (3) 两个问题中的权数各不相同, 、 直接导致结果有所不同, 这既体现了权数在求加权平均数的作用,又反映了应用统计知 识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。 3、教材 P138 例 2 的作用如下: (1) 、这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩 固,让学生熟悉公式的使用和书写步骤。 (2) 、例 2 与例 1 的区别主要在于权的形式又有变化,以百 分数的形式出现,升华了学生对权的意义的理解。 (3) 、它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。 四、课堂引入: 1、若不选择教材中的引入问题,也可以替换成更贴近学生学习 生活中的实例,下举一例可供借鉴参考。
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某校初二年级共有 4 个班,在一次数学考试中参考人数和成绩 如下: 班级 1班 2班 3班 4班 参 考 人 40 42 45 32 数 平 均 成 80 81 82 79 绩 求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩?下述计算方法 是否合理?为什么? 1 x = (79+80+81+82)=80.5 4 五、例习题分析: 例 1 和例 2 均为计算数据加权平均数型问题,因为是初学 尤其之前与平均数计算公式已经作过比较,所以这里应该让学 生搞明白问题中是否有权数,即是选择普通的平均数计算还是 加权平均数计算,其次若用加权平均数计算,权数又分别是多 少?例 2 的题意理解很重要,一定要让学生体会好这里的几个 百分数在总成绩中的作用,它们的作用与权的意义相符,实际 上这几个百分数分别表示几项成绩的权。 六、随堂练习: 1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占 100%、 测验占 30%、期中占 35%、期末考试占 35%,小关和小兵的成 绩如下表: 学生 作业 测验 期中考 期末考 试 试 小关 80 75 71 88 小兵 76 80 68 90 2、为了鉴定某种灯泡的质量,对其中 100 只灯泡的使用寿命进 行测量,结果如下表: (单位:小时) 寿命 450 550 600 650 700 只数 20 10 30 15 25 求这些灯泡的平均使用寿命? 答案:1.

x 小关

=79.05

x 小兵

=80 2.

x

=597.5 小时

七、课后练习: 1、在一个样本中,2 出现了 x 1 次,3 出现了 x 2 次,4 出现了 x 3 次,5 出现了 x 4 次,则这个样本的平均数为 .

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2、某人打靶,有 a 次打中 x 环,b 次打中 y 环,则这个人平均 每次中靶 环。 3、一家公司打算招聘一名部门经理,现对甲、乙两名应聘者从 笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分,笔试占总成绩 20%、面试占 30%、实习成绩占 50%,各项成绩如表所示: 应聘者 笔试 面试 实习 甲 85 83 90 乙 80 85 92 试判断谁会被公司录取,为什么? 4、在一次英语口试中,已知 50 分 1 人、60 分 2 人、70 分 5 人、 90 分 5 人、100 分 1 人,其余为 84 分。已知该班平均成绩为 80 分,问该班有多少人? 答 案 : 1. 3. x甲 =86.9 乙被录取

2 x1 ? 3x2 ? 4 x3 ? 5x4 x 1 ? x 2 ? x3 ? x 4

2.

ax ? by a?b

x2 =96.5
4. 39 人

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20.1 数据的代表 20.1.1 平均数(第二课时) 一、教学目标: 1、加深对加权平均数的理解 2、会根据频数分布表求加权平均数,从而解决一些实际问题 3、会用计算器求加权平均数的值 二、重点、难点和难点的突破方法: 1、重点:根据频数分布表求加权平均数 2、难点:根据频数分布表求加权平均数 三、例习题的意图分析 1、教材 P140 探究栏目的意图。 (1)主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计 、 算方法。 (2) 、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替 一组数据中的平均值时,频数恰好反映这组数据的轻重程度, 即权。 这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于 频数分布表的一些内容,比如组、组中值及频数在表中的具体 意义。 2、教材 P140 的思考的意图。 (1)使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可 、 以解决生活中的许多实际问题 (2) 帮助学生理解表中所表达出来的信息, 、 培养学生分析数 据的能力。 3、P141 利用计算器计算平均值 这部分篇幅较小, 与传统教材那种详细介绍计算器使用方法 产生明显对比。一则由于学校中学生使用计算器不同,其操作 过程有差别亦不同,再者,各种计算器的使用说明书都有详尽 介绍,同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计算器。所 以本节课的重点内容不是利用计算器求加权平均数,但是掌握 其使用方法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较大、较 多的计算也变得容易些了。 四、 课堂引入 采用教材原有的引入问题,设计的几个问题如下: (1) 、请同学读 P140 探究问题,依据统计表可以读出哪些信息 (2) 、这里的组中值指什么,它是怎样确定的? (3) 、第二组数据的频数 5 指什么呢?
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(4) 、如果每组数据在本组中分布较为均匀,比组数据的平均 值和组中值有什么关系。 五、随堂练习 1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况,对学生作课 外作业所用时间进行调查,下表是该校初二某班 50 名学生某一 天做数学课外作业所用时间的情况统计表 (1) 、第二组数据的组中值是多少? (2) 、求该班学生平均每天做数学作业所用时间 2、某班 40 名学生身高情况如下图, 请计算该班学生平均身高

所用时间 t(分钟) 0<t≤10 0<≤ 20<t≤20 30<t≤40 40<t≤50 50<t≤60

人数 4 6 14 13 9 4

答案 1.(1).15. (2)28. 2. 165 七、课后练习: 1、 某公司有 15 名员工, 他们 所在的部门及相应每人所创 的年利润如下表 该公司每人所创年利润的平 均数是多少万元?

部门 A B C D E F G 人数 1 1 2 4 2 2 5 每 人 创 20 5 2.5 2 1.5 1.5 1.2 得利润 2、下表是截至到 2002 年费尔兹奖得主获奖时的年龄,根据表 格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄?

年龄 28≤X<30 30≤X<32

频数 4 3
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32≤X<34 8 34≤X<36 7 36≤X<38 9 38≤X<40 11 40≤X<42 2 3、为调查居民生活环境质量,环保局对所辖的 50 个居民区进 行了噪音(单位:分贝)水平的调查,结果如下图,求每个小 区噪音的平均分贝数。
频数 20 15 12 10 5 4 10 6 18

40

50 60 70 80

90

噪音/分贝

答案:1.约 2.95 万元

2.约 29 岁 3.60.54 分贝

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20.1 数据的代表 20.1.2 中位数和众数(第一课时) 一、教学目标 1、认识中位数和众数,并会求出一组数据中的众数和中位数。 2、理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表,可以 反映一定的数据信息,帮助人们在实际问题中分析并做出决策。 3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。 二、重点、难点和难点的突破方法: 1、重点:认识中位数、众数这两种数据代表 2、难点:利用中位数、众数分析数据信息做出决策。 三、例习题的意图分析 1、教材 P143 的例 4 的意图 (1) 、这个问题的研究对象是一个样本,主要是反映了统计 学中常用到一种解决问题的方法:对于数据较多的研究对象, 我们可以考察总体中的一个样本,然后由样本的研究结论去估 计总体的情况。 (2) 、这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时, 中位数的求法和解题步骤。 (因为在前面有介绍中位数求法,这 里不再重述) (3) 、问题 2 显然反映学习中位数的意义:它可以估计一个 数据占总体的相对位置,说明中位数是统计学中的一个重要的 数据代表。 (4) 、这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密 联系的,所以应鼓励学生学好这部分知识。 2、教材 P145 例 5 的意图 (1) 、通过例 5 应使学生明白通常对待销售问题我们要研究 的是众数,它代表该型号的产品销售最好,以便给商家合理的 建议。 (2) 、例 5 也交待了众数的求法和解题步骤(由于求法在前 面已介绍,这里不再重述) (3) 、例 5 也反映了众数是数据代表的一种。 四、课堂引入 严格的讲教材本节课没有引入的问题,而是在复习和延伸 中位数的定义过程中拉开序幕的,本人很同意这种处理方式, 教师可以一句话引入新课:前面已经和同学们研究过了平均数 的这个数据代表。它在分析数据过程中担当了重要的角色,今 天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众
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数,看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用。 五、例习题的分析 教材 P144 例 4, 从所给的数据可以看到并没有按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列。因此,首先应将数据重新排列, 通过观察会发现共有 12 个数据,偶数个可以取中间的两个数据 146、148,求其平均值,便可得这组数据的中位数。 教材 P145 例 5,由表中第二行可以查到 23.5 号鞋的频数最 大,因此这组数据的众数可以得到,所提的建议应围绕利于商 家获得较大利润提出。 六、随堂练习 1 某公司销售部有营销人员 15 人,销售部为了制定某种商品的 销售金额,统计了这 15 个人的销售量如下(单位:件) 1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、 120、120、210、150 求这 15 个销售员该月销量的中位数和众数。 假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为 320 件,你 认为合理吗?如果不合理,请你制定一个合理的销售定额并说 明理由。 2、某商店 3、4 月份出售某一品牌各种规格的空调,销售台数 规格 如表所示: 台数 1 匹 1.2 1.5 2匹 月份 匹 匹 3月 12 20 8台 4台 台 台 4月 16 30 14 8台 台 台 台 根据表格回答问题: 商店出售的各种规格空调中,众数是多少? 假如你是经理,现要进货,6 月份在有限的资金下进货单位将如 何决定? 答案:1. (1)210 件、210 件 (2)不合理。因为 15 人中有 13 人的销售额达不到 320 件(320 虽是原始数据的平均数,却 不能反映营销人员的一般水平) ,销售额定为 210 件合适,因为 它既是中位数又是众数,是大部分人能达到的额定。 2. (1)1.2 匹 (2)通过观察可知 1.2 匹的销售最大,所 以要多进 1.2 匹,由于资金有限就要少进 2 匹空调。 七、课后练习 1. 数据 8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8 的中位 数是 ,众数是 2. 一组数据 23、27、20、18、X、12,它的中位数是 21,则 X 的值是 . 3. 数据 92、96、98、100、X 的众数是 96,则其中位数和平均 数分别是( ) A.97、96 B.96、96.4 C.96、97 D.98、97
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4. 如果在一组数据中,23、25、28、22 出现的次数依次为 2、 5、3、4 次,并且没有其他的数据,则这组数据的众数和中 位数分别是( ) A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、 25 5. 随机抽取我市一年(按 365 天计)中的 30 天平均气温状况 如下表: 温 度 -8 -1 7 15 21 24 30 (℃) 天数 3 5 5 7 6 2 2 请你根据上述数据回答问题: (1).该组数据的中位数是什么? (2).若当气温在 18℃~25℃为市民“满意温度” ,则我市一年 中达到市民“满意温度”的大约有多少天? 答案:1. 9;2. 22; 3.B;4.C; 5.(1)15. (2)约 97 天

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20.1.2 中位数和众数(第二课时) 一、教学目标: 1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。 2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数 据时的差异。 3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。 二、重点、难点和突破难点的方法 1、重点:了解平均数、中位数、众数之间的差异。 2、难点:灵活运用这三个数据代表解决问题。 较多的一种量。另外要注意: 平均数计算要用到所有的数据,它能够充分利用所有的数 据信息,但它受极端值的影响较大. 众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往 关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势, 中位数的计算很少也不受极端值的影响. 平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一 个数据的变动都会相应引起平均数的变动. 中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位 数没有影响,中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的 数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描 述其趋势. 三、例习题的意图分析: 教材 P146 例 6 的意图 (1) 、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉 及到这四个环节的一个例题,从分析和解答过程来看它交待了 该如何完整的进行这几个过程,为该怎样综合运用已学的统计 知识解决实际问题作了一个标准范例。教师在授课过程中也应 注意,对已学知识的巩固复习。 (2) 、从分析和解答过程来看,此例题的一个主要意图是区 分平均数、众数和中位数这三个数据代表的异同。 (3) 、由例题中(2)问和(3)问的不同,导致结果的不同, 其目的是告诉学生应该根据题目具体要求来灵活运用三个数据 代表解决问题。 (4) 、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有 重要的意义,也体现了统计知识与生活实践是紧密联系的。 四、课堂引入: 本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定义
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开始,为完成重点、突破难点作好铺垫,没有必要牵强的加入 一个生活实例作为引入问题。 五、例习题的分析: 例题 6 中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数 的定义。可以引导学生从问题中词语特点分析它们分别指哪个 数据代表,教师也可以顺便加一个发散性问题,一般地哪些词 语是指平均数、中位数和众数呢? 例题 6 中的第二问学生一般不易想到,教师要将“较高目标” 衡量标准引向三个数据代表身上,这样学生就不难回答了。 第三问要抓住一半左右应与哪个数据代表的意义相符这个问 题。即要很好的回答第三问,学生头脑必须很清楚平均数、中 位数、众数的特点。 六、随堂练习: 1、在一次环保知识竞赛中,某班 50 名学生成绩如下表所示: 得分 50 60 70 80 90 100 110 120 人数 2 3 6 14 15 5 4 1 分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数. 2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏,两群游客的年龄 如下: (单位:岁) 甲群:13、13、14、15、15、15、16、17、17。 乙群:3、4、4、5、5、6、6、54、57。 (1) 、甲群游客的平均年龄是 岁,中位数是 岁,众数 是 岁,其中能较好反映甲群游客年龄特征的是 。 (2) 乙群游客的平均年龄是 、 岁, 中位数是 岁, 众数是 岁。其中能较好反映乙群游客年龄特征的 是 。 答案:1. 众数 90 中位数 85 平均数 84.6 2.(1)15、15、15、众数(2).15、5.5、6、中位数 七、课后练习: 1、某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下: 职 董 事 副 董 董事 总 经 经理 管 理 职员 员 长 事长 理 员 人 1 1 2 1 5 3 20 数 工 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 资 (1) 、求该公司职员月工资的平均数、中位数、众数? (2) 、假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元,董事长 的工资从 5500 元提升到 30000 元,那么新的平均数、中位数、 众数又是什么?(精确到元) (3) 、你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司 职工的工资水平?

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2、某公司有 15 名员工,它们所在的部门及相应每人所创的年 利润如下表示: 部门 A B C D E F G 人数 1 1 2 4 2 2 3 每 人 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 1.2 所 创 的 年 利润 根据表中的信息填空: (1) 该公司每人所创年利润的平均数是 万元。 (2) 该公司每人所创年利润的中位数是 万元。 (3) 你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司 每人所创年利润的一般水平?答 答案:1.(1).2090 、500、1500 (2).3288、1500、1500 (3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司 中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平 均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的 工资水平。 2.(1)3.2 万元 (2)2.1 万元 (3)中位数

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20.2 20.3 数据的波动 20.2.1 极差 一、教学目标: 1、理解极差的定义,知道极差是用来反映数据波动范围的一个 量 2、会求一组数据的极差 二、重点、难点和难点的突破方法 1、重点:会求一组数据的极差 2、难点:本节课内容较容易接受,不存在难点。 三、例习题的意图分析 教材 P151 引例的意图 (1) 、主要目的是用来引入极差概念的 (2) 、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动 范围的量 (3) 、交待了求一组数据极差的方法。 四、课堂引入: 引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温 情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义,可以画出温度 折线图,这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。 五、例习题分析 本节课在教材中没有相应的例题,教材 P152 习题分析 问题 1 可由极差计算公式直接得出,由于差值较大,结合本题 背景可以说明该村贫富差距较大。问题 2 涉及前一个学期统计 知识首先应回忆复习已学知识。问题 3 答案并不唯一,合理即 可。 六、随堂练习: 1、一组数据:473、865、368、774、539、474 的极差是 , 一组数据 1736、1350、-2114、-1736 的极差是 . 2、一组数据 3、-1、0、2、X 的极差是 5,且 X 为自然数,则 X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是 ( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据 X 1 、X 2 ?X n 的极差是 8,则另一组数据 2X 1 +1、

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2X 2 +1?,2X n +1 的极差是( A. 8 B.16 C.9 答案:1. 497、3850 D.17 2. 4



3. D

4.B

七、课后练习: 1、 已知样本 9.9、 10.3、 10.3、 9.9、 10.1, 则样本极差是 ( ) A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定 在一次数学考试中,第一小组 14 名学生的成绩与全组平均分的 差是 2、3、-5、10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5,那 么这个小组的平均成绩是( ) A. 87 B. 83 C. 85 D 无法确定 3、已知一组数据 2.1、1.9、1.8、X、2.2 的平均数为 2,则极差 是 。 4、若 10 个数的平均数是 3,极差是 4,则将这 10 个数都扩大 10 倍,则这组数据的平均数是 ,极差是 。 5、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀,打算实施 “以优帮困”计划,为此统计了上次测试各成员的成绩(单位: 分) 90、95、87、92、63、54、82、76、55、100、45、80 计算这组数据的极差,这个极差说明什么问题? 将数据适当分组,做出频率分布表和频数分布直方图。 答案:1.A ; 2.D ; 3. 0.4 ; 4.30、40. 5(1) 极差 55 分,从极差可以看出这个小组成员成绩优劣差距较大。 (2)略

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20.2.2 方差(第一课时) 一. 教学目标: 1. 了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 二. 重点、难点和难点的突破方法: 1. 重点:方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。 2. 难点:理解方差公式 三. 例习题的意图分析: 1. 教材 P125 的讨论问题的意图: (1).创设问题情境,引起学生的学习兴趣和好奇心。 (2).为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。 (3) .介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线 法。 (4).客观上反映了在解决某些实际问题时,求平均数或求极差等 方法的局限性,使学生体会到学习方差的意义和目的。 2. 教材 P154 例 1 的设计意图: (1) 1 放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律 .例 之后,不言而喻其主要目的是及时复习,巩固对方差公式的掌握。 (2).例 1 的解题步骤也为学生做了一个示范,学生以后可以模仿 例 1 的格式解决其他类似的实际问题。 四.课堂引入: 除采用教材中的引例外,可以选择一些更时代气息、更有现 实意义的引例。例如,通过学生观看 2004 年奥运会刘翔勇夺 110 米栏冠军的录像,进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队 员这样的实际问题上,这样引入自然而又真实,学生也更感兴趣 一些。 五. 例题的分析: 教材 P154 例 1 在分析过程中应抓住以下几点: 1. 题目中“整齐”的含义是什么?说明在这个问题中要研究一组 数据的什么?学生通过思考可以回答出整齐即波动小,所以要 研究两组数据波动大小,这一环节是明确题意。 2. 在求方差之前先要求哪个统计量,为什么?学生也可以得出先 求平均数,因为公式中需要平均值,这个问题可以使学生明确 利用方差计算步骤。 3. 方差怎样去体现波动大小? 这一问题的提出主要复习巩固方差,反映数据波动大小的规律。
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六. 随堂练习: 1. 从甲、乙两种农作物中各抽取 1 株苗,分别测得它的苗高如下: (单位:cm) 甲:9、10、11、12、7、13、10、8、12、8; 乙:8、13、12、11、10、12、7、7、9、11; 问: (1)哪种农作物的苗长的比较高? (2)哪种农作物的苗长得比较整齐? 2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练,近期的 5 次测试成绩如 下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么? 测 试 次 1 2 3 4 5 数 段巍 13 14 13 12 13 金志强 10 13 16 14 12 参考答案:1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同; (2)甲 整齐 2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。 七. 课后练习: 1.已知一组数据为 2、0、-1、3、-4,则这组数据的方差为 。 2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶 10 次,命中的环数如下: 甲:7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙:9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
2 经过计算,两人射击环数的平均数相同,但 S 甲 2 S 乙 ,所以确

定 去参加比赛。 3. 甲、乙两台机床生产同种零件,10 天出的次品分别是( ) 甲:0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙:2、3、1、2、0、2、1、1、2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差,根据你的计算判断哪台机 床的性能较好? 4. 小爽和小兵在 10 次百米跑步练习中成绩如表所示: (单位: 秒) 小 10.8 10.9 11.0 10.7 11.1 11.1 10.8 11.0 10.7 10.9 爽 小 10.9 10.9 10.8 10.8 11.0 10.9 10.8 11.1 10.9 10.8 兵 如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛,你会选谁呢?
2 2 答案:1. 6 2. >、乙;3. x 甲 =1.5、S 甲 =0.975、 x 乙 =1. 5、S 乙 =

0.425,乙机床性能好 4. x
小爽

2 =10.9、S 小爽 =0.02; x

小兵

2 =10.9、S 小兵 =0.008

选择小兵参加比赛。

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2015-07-214-02p;| 共123页30次下9024i> |  0下载券2/a> 贡献者:gzszwjhshzlas62div>

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