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数列不等式证明中的三种常用方法


0  思 路 方 法   列不 等式证明中的三种常用 方   ■ 杨益 旺  数 列不等式 的证明是高中数学教学 的重点和难  点, 也是历年高考考查 的热点 , 并且多 以试卷压轴题  的形式 出现 。证 明此类不等式有许 多带有技巧性 的  方法 , 本文仅从一例分析 , 介绍几种常见 的数列不等  式 的证 明方 法 。   题 目: 设数列 { %} 的前几项 和为J S   , 满足2 S   = n  一   2  + 1 , 且n   , a 2 + 5 , 0 , 3 成等差数列 。 (I) 求口   的值 ; ( Ⅱ)   求数列 {   的通项公式 ; ( Ⅲ) 证明: 对一切 正数n , 有  1   — — 1   — — <——  3   a n   2   方法二 : 适当放缩后裂项求和  证明: n = 2 时, 3 2 - 2 a > 2 x 2 x ( 2 - 1 ) 成立  当n ≥3 时,   3   — 2   =( 1 + 2)   一 2 n =1 + Cn 1   2 + C n 2 - 2   +…+C n  ? 2   一   1 > C n   ? 2 2 = 2 n ( n 一1 )   故:   ≤一 1×   2   ( n ≥2 )   +—— +… + —— <—— o   1   1   3   2   j   一 Z“   L 1 7 , -l   J n   0l 啦  分析 : 易求得( 1 ) n 1 = 1 ; ( 2 ) a n = 3 n 一 2 n   从 不 同 角度 思 考   9 +   1   I   q 2 _ 9 2 + …+   L, <   ①  t )   , ) 一   _ 的证 法  即 :  虿 < ÷ × (  +   ‘ +   ) < 吉   也 即 : 荟   ≥ < 1 + ≥ = 三 2 ① 式 成 立   方法三 : 用数学归纳法证明  数学归纳法是解决 与 自然数有关的命 题的一种  常用方法 , 对于一些题 目可作尝试 。   ( Ⅲ) 证明  方 法一 : 适 当放缩后变成等比数列  分析: (I) 、 ( Ⅱ) 略; ( m) 显然 {   } 的前几项 和  an   求不 出 , 但通项  :   可通过适 当放缩化 为等 比  数列 , 具体过程见下 面的解析 。   解: ( 1 1 1 ) ? . ? 3 . _ 3 . - 1 = 2 ? 3 . 1 >2 / ? 2 . 1 = 2 n  . 3 " - 2   ≥3 . 1   1 ≤  于是  + 1+ . . .   ≤1 +  + . . . +   :   . . . ①当 n = 1 时, 左 边 =  = l , 右 边 = 妄, 命 题 成 立。   0l   , ② 假 设 当   ≥ l ’  N ) 时 成 立   口 荟  ‘   三成立。   2   3   0 1 啦  %  3   3 " -   1 一 (   )   : 三[ 1 一 (   ) n ] < 三  2   3   2   1 一  为了证 明当n = k + l 时命题 也成立 ,我们首 先证  明不等式 :   <   .   3件   一 2件   3   (   ≥1 , i ∈N)   当然 , q 的选取并不唯一 , 也可令q =   1, 此时6 。 =   3   3

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