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新习题课2


习题课

第二章

导数与微分
一、 主要内容

二、 典型例题

一、主要内容
关 dy ? y ? ? dy ? y ?dx ? ?y ? dy ? o( ?x ) 系 dx

?y lim ?x ? 0 ? x


/>数

基本公式

微 分

高阶导数

dy ? y ??x

求 导 法 则

1、导数的定义
定义 设函数y ? f ( x )在点x 0的某个邻域内有定义,

当自变量x在x 0处取得增量?x (点x 0 ? ?x仍在该邻域 内)时, 相应地函数y取得增量?y ? f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ); 如果?y与?x之比当?x ? 0时的极限存在, 则称函数 y ? f ( x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y ? f ( x ) dy 在点x 0处的导数, 记为y ? x ? x 0 , dx df ( x ) x ? x0 或 dx
x ? x0

,即

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y y ? x ? x 0 ? lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

单侧导数
1.左导数:
f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ??( x0 ) ? lim ? lim ; ?x ?0 x? x x ? x0 ?x
0 ? ?

2.右导数:
f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ??( x0 ) ? lim ? lim ; ?x ?0 x? x x ? x0 ?x
0 ? ?

函数 f ( x )在点x 0 处可导? 左导数 f ?? ( x 0 ) 和右 导数 f ?? ( x 0 ) 都存在且相等.

(常数和基本初等函数的导数公式) 2、基本导数公式
( C )? ? 0 (sin x )? ? cos x (tan x )? ? sec2 x (sec x )? ? sec xtgx ( a x )? ? a x ln a 1 (log a x )? ? x ln a 1 (arcsin x )? ? 1? x2 1 ? (arctan x ) ? 1? x2
( x ? )? ? ?x ? ?1 (cos x )? ? ? sin x (cot x )? ? ? csc2 x (csc x )? ? ? csc xctgx (e x )? ? e x (ln x )? ? 1 x

1 1 ? x2 1 (arccot x )? ? ? 1 ? x2 (arccos x )? ? ?

3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则

设 u ? u( x ), v ? v ( x )可导,则 (1)( u ? v )? ? u? ? v ? , (2)(cu)? ? cu? ( c 是常数),
u u ? v ? uv ? ? ? ? (3)( uv ) ? u v ? uv , (4)( )? ? ( v ? 0 ). 2 v v

(2) 反函数的求导法则

如果函数x ? ?( y )的反函数为y ? f ( x ),则有 1 f ?( x ) ? . ??( y )

(3) 复合函数的求导法则
设y ? f ( u), 而u ? ?( x )则复合函数y ? f [?( x )]的导数为 dy dy du ? ? 或 y ?( x ) ? f ?( u) ? ??( x ). dx du dx

(4) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(5) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围:

多个函数相乘和幂指函 数u( x )

v( x)

的情形.

(6) 参变量函数的求导法则

? x ? ? (t ) 若参数方程? 确定y与x间的函数关系, ? y ? ? (t ) dy 2 dy dt ? ?( t ) d y ? ??( t )? ?( t ) ? ? ?( t )? ??( t ) ? ? ; ? . 2 3 dx dx ? ?( t ) dx ? ? (t ) dt

4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f ?( x ? ? x ) ? f ?( x ) 二阶导数 ( f ?( x ))? ? lim , ?x ? 0 ?x
记作
d3y 二阶导数的导数称为三阶导数, f ???( x ), y ???, 3 . dx

d 2 y d 2 f ( x) f ??( x ), y ??, 2 或 . 2 dx dx

一般地, 函数f ( x )的n ? 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) ( n) ( n) f ( x ), y , n 或 . n dx dx

5、微分的定义
定义 设函数y ? f ( x )在某区间内有定义, x 0 及x 0 ? ?x

在这区间内, 如果 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? A ? ? x ? o( ? x ) 成立(其中A是与?x无关的常数), 则称函数y ? f ( x ) 在点x 0 可微, 并且称A ? ?x为函数y ? f ( x )在点x 0 相应 于自变量增量?x的微分, 记作dy dy
x ? x0 x ? x0

或df ( x 0 ), 即

? A ? ?x .

微分dy叫做函数增量?y的线性主部. (微分的实质)

6、导数与微分的关系
定理 函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数f ( x )

在点x 0处可导, 且 A ? f ?( x 0 ).

7、 微分的求法
dy ? f ?( x )dx

求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.

基本初等函数的微分公式
d (C ) ? 0 d (sin x ) ? cos xdx d (tan x ) ? sec2 xdx d ( x ? ) ? ?x ? ? 1 dx d (cos x ) ? ? sin xdx d (cot x ) ? ? csc2 xdx

d (sec x ) ? sec x tan xdx d (csc x ) ? ? csc x cot xdx

d (a x ) ? a x ln adx 1 dx x ln a 1 d (arcsin x ) ? dx 2 1? x 1 d (arctan x ) ? 2 dx 1? x d (log a x ) ?

d (e x ) ? e x dx d (ln x ) ? 1 dx x

1 d (arccos x ) ? ? dx 2 1? x 1 d (arccot x ) ? ? 2 dx 1? x

8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ? v ) ? du ? dv d ( uv ) ? vdu ? udv d (Cu) ? Cdu u vdu ? udv d( ) ? v v2

微分形式的不变性

无论x是自变量还是中间变量,函数y ? f ( x ) 的微分形式总是 dy ? f ?( x )dx

二、典型例题
2 1 1 1 ? x ?1 2 例2 设 y ? arctan 1 ? x ? ln , 2 2 4 1? x ?1 求 y ?. 1 1 u?1 解 设 u ? 1 ? x2 , 则 y ? arctan u ? ln ,

2

4

u?1

1 1 1 1 1 1 ? ? , ? y? ? ) 4 2 4 u ? 2 ? ( 1? u ? 2x ? x 2(1 ? u ) 4 u ? 1 u ? 1

x , ?? u? x ? ( 1? x ) 2 1? x 1 ? ? yx ? ? . 3 2 (2 x ? x ) 1 ? x
2

? x ? 2t ? t dy 例3 设 ? ,求 2 dx ? y ? 5t ? 4t t
dx , 不存在 , dt

t ?0

.

解 分析: 当t ? 0时, t 导数不存在,
?当t ? 0时,

不能用公式求导.

5( ?t ) 2 ? 4?t ?t ?y ?t[5 ? 4 sgn(?t )] lim ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?t ?0 ?t ? 0 2?t ? ?t 2 ? sgn(?t )
dy 故 dx

? 0.
t ?0

? 0.

例 4 设 f ( x) 在 a 点连续, F ( x) ? f ( x)sin( x ? a ) ,求
F '(a) .

解: 由定义,

F ( x) ? F (a) f ( x)sin( x ? a ) F '(a) ? lim ? lim x ?a x ?a x?a x?a
? f (a ).

例 5 :设 f ( x) 二阶可导, f '( x) ? 0 ,其反函数
2 ?1 d ( f ( x)) ?1 . f ( x) 存在,求 2 dx 解:设 x ? f ( y ) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) .于是

1 dy df ?1 ( x) ? 1 ? 1 ? ? ?1 dx f '( y ) f '( f ( x)) dx dx dy d 1 dy d 2 y d 2 f ?1 ( x) d 1 ? [ ] ? ? [ ] dy f '( y ) dx dx 2 dx 2 dx f '( y )

? f ''( y ) 1 ? f ''( f ?1 ( x)) ? ? 2 [ f '( y)] f '( y) [ f '( f ?1 ( x))]3

? x2 ? t 2 ? 1 例 6 函数 y ? y ( x)由方程组 ? 确定,求 y 'x . ? xyt ? 2 解: 对两个参数方程对x求导得

dt ? 2 x ? 2t ?0 ? ? dx ? ? yt ? x dy t ? xy dt ? 0 ? dx dx ?
dt 消去 得 dx

dy y ( x ? t ) ? dx xt 2
2 2

? x2 , x ? 1, ? 例4 设函数 f ( x ) ? ? 问此函数在 x ? 1处 ? ax ? b , x ? 1. ? 可导吗? 什么时候可导?
例5 设函数 ? ( x)在 (-?, x0 ]上是二阶可导函数,试求 a, b, c, 使函数 ? ? ( x), x ? x0 , ? f ( x) ? ? 二阶可导. ? a ( x ? x ) 2 ? b ( x ? x ) ? c, x ? x , 0 0 0 ?

推广 若 函 数 y ? f ( x)在 x ? a的 某 个 邻 域 内 有 定 义 ,
f ( a ? ?( Δx)) - f ( a ) 且 在 x ? a处 可 导 ,则 lim 存在,且 Δx?0 ?( Δx)
? ( Δx )?0

? ( Δx )?0

f ( a ? ?( Δx)) - f ( a ) lim ? f ' ( a ). Δx?0 ?( Δx)

例6 设

f ?( x0 ) 存在,求

f ( x0 ? ? x ? (? x) 2 ) ? f ( x0 ) lim . ? x ?0 ?x ? f ( x0 ? ? x ? (? x) 2 ) ? f ( x0 ) ? x ? (? x) 2 ? 解: 原式= lim ? ? ? 2 ? x ?0 ? x ? (? x) ?x ? ?

? f ?( x0 )

f (sin x ? cos x) . 例7 若 f (1) ? 0 且 f ?(1) 存在, 求 lim x x ?0 (e ? 1) tan x f (sin 2 x ? cos x) 解: 原式 = lim x ?0 x2
且 联想到凑导数的定义式

2

f (1 ? sin 2 x ? cos x ? 1) ? f (1) sin 2 x ? cos x ? 1 ? lim ? 2 x ?0 sin x ? cos x ? 1 x2 1 1 ? f ?(1) ? (1 ? ) ? f ?(1) 2 2

例9 设 f ( x) 在 x ? 2 处连续,且 lim f ( x) ? 3 , x ?2 x ? 2 求 f ?(2) .

f ( x) lim f ( x ) ? lim[( x ? 2) ? ] ?0 解: f (2) ? x?2 x ?2 ( x ? 2)

f ( x) ? f (2) f ?(2) ? lim x ?2 x?2 f ( x) ? lim ?3 x ?2 x ? 2

例12 设y ? x(sin x )cos x , 求 y ?.

y? 解 ? (ln y )? y y' ? y(ln x ? cos x lnsinx)?
2 1 cos x cos x ? x(sin x ) ( ? sin x ? ln sin x ? ) x sin x

例13 设函数y ? f ( x )由方程 x y ?

y

x ( x ? 0, y ? 0)

d y 所确定, 求 2 . dx
1 1 解 两边取对数 ln y ? ln x , 即y ln y ? x ln x , x y ln x ? 1 ? y ? , ? (1 ? ln y ) y? ? ln x ? 1, 1 ? ln y 1 1 (ln y ? 1) ? (ln x ? 1) ? y? x y y?? ? (1 ? ln y ) 2

2

y(ln y ? 1) 2 ? x(ln x ? 1) 2 ? xy(ln y ? 1) 3

4x2 ? 1 例15 设y ? 2 , 求 y (n) . x ?1 4x2 ? 1 4x2 ? 4 ? 3 3 1 1 解 y? 2 ? ? 4? ( ? ) 2 x ?1 x ?1 2 x ?1 x ?1
1 (n) ( ?1) n n! 1 (n) ( ?1) n n! ?( ) ? , ( ) ? , n ?1 n ?1 x ?1 ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1)
?y
(n)

3 1 1 n ? ( ?1) n![ ? ]. n ?1 n ?1 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

作业
f ( x) . 例1 设 f ' (0) 存在,且 lim f ( x ) ? 0 ,求 lim x ?0 x ?0 x
例 2 讨论下列函数在 x ? 0处的连续性与可导性. (1) y ? sin x ; ? 2 1 ? x sin , x ? 0, (2) y ? ? x ? x ? 0. ?0,

1 ? ? ? f (a ? n ) ? 例 3 设函数在 x ? a处可导, f ( a ) ? 0,试求 lim? . ? n ?? ? f (a) ? ? ?

n

f ( x) ? b e f ( x ) ? eb 例4 设 lim ? A,求 lim . x ?a x ?a x?a x?a
例5 证明:

(1)可导的周期函数的导数仍是周期函数; (2)可导的偶函数的导数是奇函数; (3)可导的奇函数的导数是偶函数.


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