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高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程


圆锥曲线的统一极坐标方程
教学目标 掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程,了解统一方程中常数的几何意义. 会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程,能根据圆锥曲线的统一极坐标 方程进行有关计算. 通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程,对学生进行辩证统一的思想教育. 教学重点: 圆锥曲线统一的极坐标方程,会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程. 教学难点:运用圆锥曲线统一的极

坐标方程解决有关计算问题. 教学疑点:双曲线左支所对应的 θ 范围,双曲线的渐近线的极坐标方程. 活动设计: 1.活动:思考、问答、讨论. 2.教具:尺规、挂图. 教学过程: 一、问题引入 大家已经学过,椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义,其中,第二定义把三 种圆锥曲线统一起来了,请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义. 学生 1 答: 列定点 F(焦点)的距离与列定直线 l(准线)的距离比是一个常数 e(离心

e∈(0,1)时椭圆, e∈(1,f∞)时双曲线, e=1 时抛物线. 二、数学构建 建立统一方程 在极坐标系中,同样可以根据圆锥曲线的几何定义,求出曲线的极坐标方程. 过 F 作 FK⊥l 于 K,以 F 为极点,KF 延长线为极轴,建立极坐标系. 设 M(ρ,θ)是曲线上任一点,连 MF,作 MA⊥l 于 A,MB⊥l 于 B(如图 3-24).

|FK|=常数,设为 p. ∵ ∴ |MA|=|BK|=|KF|+|FB|, |MA|=p+ρcosθ.

这就是圆锥曲线统一的极坐标方程. 三、知识理解 对圆锥曲线的统一极坐标方程,请思考讨论并深入了解下述几个要点: (1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点,Ox 轴方向向右,尚若 Ox 方向 向左,其方程如何? (讨论后)学生 2 答: 无需重新求方程,只须两个极坐标系 Ox 与 Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图 3-25).

(2)根据统一的极坐标方程, 由几何条件求出 e、 p 后即可写出曲线的极坐标方程, 这要明确 e、p 的几何意义分别是离心率和焦准距(ep 为

有关几何量 e,p,a,b,c? (讨论后)学生 3 答:

此式为统一极坐标方程的标准式

得到一个二元一次方程组,使问题的计算得以简化.

e∈(0,1)时,表椭圆. e=1 时,表抛物线. e∈(1,+∞)时,表双曲线. 但注意到, e>1 时, 1-ecosθ≤0 关于 θ 有解, 而 ep>0, 这样 ρ<0, 甚至无意义. 前 面学过,通常情况下,ρ≥0,这就似乎出现矛盾,如何解决这一矛盾? (讨论后)学生 4 答: (如图 3-26)上面推导统一方程过程中,当 m 在左支时,|MA|=|BK|=

此时方程与右支的情况不同. 这时,若设 θ=θ′+π,ρ′=-ρ,

上述推导与分析实际上是:若射线 OP 与双曲线有两个交点;当视 θ=∠xOP 时, 则 ρ>0(∵cosθ<0),此时所表点是右支上的点;当视 θ=∠xOP-π 时,则 ρ<0,此时 所表点是左支上的点. 综上知,e>1 时,统一极坐标方程所表双曲线情况是: 若 ρ>0,即 1-ecosθ>0,则表右支; 若 ρ<0,即 1-ecosθ<0,则表左支;

取 θ∈[0,2π),则 θ 范围所对曲线如下:

线左支;

条渐近线. 如图 3-27 所示,只有掌握这一对应关系,才能在有关计算中不会造成混乱和错 误.

四、应用举例

线交椭圆于 M、N 两点,设∠F2F1M=θ(0≤θ<π),求 θ 的值,使|MN|等于短轴长. 解:以 F1 为极点,F1F2 为极轴建立极坐标系

椭圆的极坐标方程为

设 M(ρ1,θ)、N(ρ2,θ+π),则

五、课堂小结 (1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程,常数的几何意义. (2)曲线的极坐标方程求法,根据极坐标方程确定 a、b、c 的注意点及进行有关 计算. (3)双曲线左、右支所对的 ρ 及 θ 的范围. 六、布置作业 1.第二教材. 2.选择题:

线方程是(C) A.ρcosθ=1 B.ρcosθ=2

(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点), 它们的图形如图 3-28 所示,则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D). A.椭圆、双曲线、抛物线 B.抛物线、椭圆、双曲线 C.椭圆、抛物线、双曲线 D.双曲线、抛物线、椭圆

双曲线 ? ?

15 的两渐近线的夹角是 1 ? 5 cos ?



3. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点任作一弦 AB, △OAB 的面积为 S, 证明: 为定值。 证明:以 F 为极点,极轴与 x 轴正向重合建立极坐标系.

S2 | AB |

六、板书设计

习题课: 1.点的极坐标的多值性:

在极坐标系内,怎样定义曲线的方程和方程的曲线?
极坐标平面内的方程 φ (ρ ,θ )=0 和曲线 C 如果满足: 1. 以方程 φ (ρ ,θ )=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上;

2. 曲线 C 上点的坐标中至少有一个满足方程 φ (ρ ,θ )=0; 那么我们称方程 φ (ρ ,θ )=0 是曲线 C 的极坐标方程,同时称曲线 C 为极坐标 方程 φ (ρ ,θ )=0 的曲线。

点 P (3,

?
3

) 是否在曲线 ? ? ?12 cos 2 ? 上?

2.极角应用的灵活性: 若椭圆的中心为 O,点 P、Q、R 在椭圆上,且 OP、OQ、OR 两两夹角均为 120? , 试证明:

1 1 1 为定值。 ? ? 2 2 | OP | | OQ | | OR | 2

3.极径的负值性:
2 圆 ? ? 2 ? cos(? ?

?
3

) ? 3 ? 0 与直线 ? ?

2? 相交所得的弦长。 3

4.轨迹问题的求法 设∠AOB= 2? (0 ? ? ?

?
2

) ,P 为∠AOB 内一点,以 O、P 为相对顶点作平行四

边形 PMON, M、 N 分别为 OA、 OB 上的点, 若平行四边形 PMON 的面积为定值 C 2 , 求点 P 的轨迹方程。

怎样从联系中来学习曲线的极坐标方程?
由于同一曲线的极坐标方程和直角坐标方程可以互化, 这就使我们可以通过直角 坐标方程来学习极坐标方程的曲线, 并为我们提供了一种记忆曲线的极坐标方程的途 径,从而放弃学习曲线的极坐标方程这种做法。 例如:极坐标方程 ρ sinθ =-2 等价于直角坐标方程 y=-2,于是方程 ρ sinθ =-2 表示平行于极轴的直线;极坐标方程 ρ =-2sinθ 等价于直角坐标方

程 x +y =-2y, 于是方程 ρ =-2sinθ 表示圆心为

2

2

, 半径为 1 的圆。 这样,

形如 ρ cosθ =a,ρ sinθ =a,ρ =acosθ ,ρ =2asinθ 这样的极坐标方程所表示 的曲线就不难掌握了。


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