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2013高考数学一轮同步训练(文科) 8.3直线的交点坐标与距离公式


第三节

直线的交点坐标与距离公式

强化训练当堂巩固
1.如果点 P 到点 A( 1 ? 0) ,B(1 ,3 )及直线 x ? ? 1 的距离都相等,那么满足条件的点 P

2

1 2

2

有(

) A.0 个 B.1

个 C.2 个 D.无数个 答案:B 2.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( A. 2 答案:C 解析:由 d ? B. ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

)

? a ? 2 ? 3? 1 ? (?1)
2 2

?

? a ?1? ? 1? 解得 a= 2 ? 1 .? 2
)

2.直线 nx-y=n-1 和直线 ny-x=2n 的交点在第二象限,则实数 n 的取值范围是( A.0<n<1 C. 0 ? n ? 1 答案:C 解析:解方程组 ? ∴ n B.n>1 或 n ? 1 D. n ? 1

2

2

2

?nx ? y ? n ? 1? 得 x ? n ? y ? 2n ? 1 . n ?1 n ?1 ? ny ? x ? 2n?

n ?1

? 0 且 2n ? 1 ? 0? 解得 0 ? n ? 1 . n ?1 2
)

3.过点 P(1,2)且与原点 O 距离最大的直线 l 的方程为( A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 答案:A

解析: kOP ? 2 ? 2? 距离最大时,直线 l ? OP? 则 y-2= ? 1 ( x ? 1)? 即 x+2y-5=0.

1

2

4.直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大为 答案: 3 2 解析:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点.

.

b ? 1 ? 2 ? ?1? ? ?a ? 0? ? a?4 设 A′(a,b),则 ? 解得 ? ? b ? 1? ?2 ? 4 ? a ? b ? 1 ? 4 ? 0? ? 2 2
所以线段|A′B|= 3 2 .

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5.求过直线 l1 : y ? ? 1 x ? 10 和 l2 :3x-y=0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方

3

3

程. 解:设所求直线 l 的方程为 3 y ? x ? 10 ? ? (3 x ? y)=0,整理得

(3? ? 1) x ? (3 ? ? ) y ? 10 ? 0 .
由点到直线的距离公式可知 ? d ?

10 ? 1? 解得 ? ? ?3 . (3? ? 1) 2 ? (3 ? ? ) 2

代入所设,得到直线 l 的方程为 x=1 或 4x-3y+5=0.? 课后作业巩固提升 见课后作业 B 题组一 两条直线的交点问题 1.直线 3x+5y-1=0 与 4x+3y-5=0 的交点是( ) A.(-2,1) B.(-3,2) C.(2,-1) D.(3,-2) 答案:C 2.经过直线 2x-y+4=0 与 x-y+5=0 的交点,且垂直于直线 x-2y=0 的直线的方程是( ) A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0 答案:A 题组二 有关直线的对称问题 3.直线 l:Ax+By+C=0 关于点 M(a,b)对称的直线方程为 . 答案:Ax+By-2Aa-2Bb-C=0 解析:在对称直线上任取一点 P(x,y),则点 P 关于点 M 对称的点 P′(x′,y′)必在直线 l 上. 由 ?

? x ? x? ? 2a? 得 P′(2a-x,2b-y), ? y ? y? ? 2b?

∴A(2a-x)+B(2b-y)+C=0,即 Ax+By-2Aa-2Bb-C=0. 4.已知点 A 的坐标为(-4,4),直线 l 的方程为 3x+y-2=0,求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 l 关于点 A 的对称直线 l′的方程. 解:(1)设点 A′的坐标为(x′,y′).因为点 A 与 A′关于直线 l 对称, 所以 AA′ ? l ? 且 AA′的中点在 l 上,而直线 l 的斜率是-3,所以 k AA ? ? 1 .

3

又因为 k AA ? ?

y? ? 4 y? ? 4 1 ? 所以 ? . ??4 x x? ? 4 3

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又直线 l 的方程为 3x+y-2=0,AA′的中点坐标为 ( x? ? 4 ?

2

y? ? 4 )? 2

y? ? 4 ?2?0. 所以 3 ? x? ? 4 ? 2 2
由以上两方程解得 x′=2,y′=6.所以 A′点的坐标为(2,6). (2)关于点 A 对称的两直线 l 与 l′互相平行,于是可设 l′的方程为 3x+y+c=0. 在直线 l 上任取一点 M(0,2),其关于点 A 对称的点为 M′(x′,y′),于是 M′点在 l′ 上,且 MM′的中点为点 A, 由此得 x? ? 0 ? ?4?

2

y? ? 2 ? 4? 即 x′=-8,y′=6. 2

于是有 M′(-8,6).因为 M′点在 l′上,所以 3 ? (?8) ? 6 ? c ? 0,所以 c=18. 故直线 l′的方程为 3x+y+18=0. 题组三 有关距离问题 5.已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值等于( A. 7

)

9 9 3
? 6a ? 3 ? 1 ? a ?1
2

B. ? 1

3 3

C. ? 7 或 ? 1 答案:C

D. 7 或 1

9

解析:由题意知

?

? ?3a ? 4 ? 1 ? a ?1
2

? 解得 a= ? 1 或 a ? ? 7 . 3 9

6.若动点 A( x1 ? y1 )? B ( x2 ? y2 ) 分别在直线 l1 :x+y-7=0 和 l2 :x+y-5=0 上移动,则线段 AB 的 中点 M 到原点的距离的最小值为( A. 2 3 答案:C 解析:由题意知,M 点的轨迹为平行于直线 l1 、 l2 且到 l1 、 l2 距离相等的直线 l,其方程 为 x+y-6=0, ∴M 到原点的距离的最小值为 d ? 6 ? 3 2 . B. 3 3 C. 3 2 ) D. 4 2

2

7.点(1,cos ? ) 到直线 xsin ? ? y cos ? ? 1 ? 0(? ? R)的距离 d 的取值范围是 答案:[0,2] 解析:由题意知 d ?

.

? sin? ? cos 2? ? 1 ?
2 2

? |sin ? ? sin 2 ? |=|(sin ? ? 1 ) 2 ? 1 |, 2 4 sin ? ? cos ?

结合图象可知: 0 ? d ? 2 . 题组四 综合问题

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8.已知直线 l1 ? l2 的方程分别为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0? l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0? 且 l1 与 l2 只 有一个公共点,则( A. A1 B1 ? A2 B2 ? 0 B. A1 B2 ? A2 B1 ? 0 C. )

A1 B1 ? A2 B2 A1 A2 ? B1 B2
)

D.

答案:B 9.点 P(-1,3)到直线 l:y=k(x-2)的距离的最大值等于( A.2 B.3 C. 3 2 D. 2 3

答案:C 解析:直线 l:y=k(x-2)的方程化为 kx-y-2k=0, 所以点 P(-1,3)到该直线的距离为

d?

3 ? k ?1?

2 2 ? 3 k ?2 2k ? 1 ? 3 1 ? 2 k ? 2 k ?1 k ?1 k ?1

2 由于 2 k

k ?1

? 1? 所以 d ? 3 2 ?

即距离的最大值等于 3 2 . 10.已知点 A(3,1),在直线 x-y=0 和 y=0 上分别有点 M 和 N 使△AMN 的周长最短,求点 M、 N 的坐标. 解:A(3,1)关于 y=x 的对称点 A1 (1? 3)? A( 3,1)关于 y=0 的对称点 A2 (3? ?1)? △AMN 的周长最小值为| A1 A2 |,? | A1 A2 | ? 2 5 ? A1 A2 的方程为 2x+y-5=0.

A1 A2 与 x-y=0 的交点为 M,

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由 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? M ( 5 ? 5 )? 3 3 ? x? y ?0

A1 A2 与 y=0 的交点 N,
由 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? N ( 5 ? 0) . 2 y?0 ?

11.已知 n 条直线: l1 : x ? y ? C1 ? 0? C1 ? 2 且

l2 :x-y+ C2 ? 0? l3 : x ? y ? C3 ? 0? … ? ln :

x ? y ? Cn ? 0? 其中 C1 ? C2 ? C3 ? … ? Cn ? 这 n 条平行直线中,每相邻两条之间的距离
顺次为 2,3,4,…,n. (1)求 Cn ; (2)求 x ? y ? Cn ? 0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积?. 解:(1)由已知条件可得 l1 : x ? y ? 2 ? 0? 则原点 O 到 l1 的距离 d1 ? 1? 由平行直线间的距离可得原点 O 到 ln 的距离 d n 为 1+2+… ? n ? ∵ Cn ? 2 d n ? ∴ Cn ?

n(n ? 1) ? 2

2 ? n(n ? 1) . 2

(2)设直线 ln : x ? y ? Cn ? 0 交 x 轴于点 M,交 y 轴于点 N,则△OMN 的面积

n 2 (n ? 1) 2 S? OMN ? 1 |OM| ? |ON| ? 1 (Cn ) 2 ? . 2 2 4
12.已知两直线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 的交点为 P(2,3),求过两点

A(a1 ? b1 )? B(a2 ? b2 ) 的直线方程.
解法一:∵P(2,3)是两条直线的交点,
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∴ ?

? 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0? 两式相减,得 2(a1 ? a2 ) ? 3(b1 ? b2 ) ? 0? 且 a1 ? a2 . ?2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0?



b1 ? b2 ??2. a1 ? a2 3 b1 ? b2 ( x ? a1 ) ? ? 2 ( x ? a1 )? a1 ? a2 3

故所求直线的方程为 y ? b1 ?

即 2 x ? 3 y ? (3b1 ? 2a1 ) ? 0 .又 2a1 ? 3b1 ? ?1? ∴2x+3y+1=0.故过 A(a1 ? b1 )? B (a2 ? b2 ) 两点的直线方程为 2x+3y+1=0. 解法二:∵点 P 是已知两直线的交点, ∴ ?

? 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0? ?2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0?

可见 A(a1 ? b1 )? B (a2 ? b2 ) 都满足方程 2x+3y+1=0, 故过 A、B 两点的直线方程为 2x+3y+1=0.?

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