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函数大题 高中数学


高中函数大题专练
2、对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 G 函数。 ① 对任意的 x ? [0, 1] ,总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。 已知函数 g ( x) ?

x2 与 h( x) ? a ? 2x ?1 是定义在 [0, 1] 上的函数。 (1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 a 的值;

? 1 ? 1 ? , x ? 0; 4.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ?0, x ? 0. ? (1)求 f ( x) 在 (??, 0) 上的解析式.
(2)请你作出函数 f ( x) 的大致图像. (3)当 0 ? a ? b 时,若 f (a) ? f (b) ,求 ab 的取值范围. (4)若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,求 b, c 满足的条件.

5.已知函数 f ( x) ? a ?

b ( x ? 0) 。 | x|

(1)若函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (2)当 b ? 2 时,若不等式 f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)对于函数 g ( x) 若存在区间 [m, n](m ? n) ,使 x ?[m, n] 时,函数 g ( x) 的值域也是

[m, n] ,则称 g ( x) 是 [m, n] 上的闭函数。若函数 f ( x) 是某区间上的闭函数,试探
求 a , b 应满足的条件。

7.对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称点 ( x0 , x0 ) 为函数的不动点。 (1)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? b(a ? 0) 有不动点(1,1)和(-3,-3)求 a 与 b 的值;
2

(2)若对于任意实数 b ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,求 a 的
2

取值范围; (3)若定义在实数集 R 上的奇函数 g ( x) 存在(有限的) n 个不动点,求证: n 必为奇数。

8.设函数 f ( x) ? x ?

1 , ( x ? 0) 的图象为 C1 、 C1 关于点 A(2,1)的对称的图象为 C 2 , x

C 2 对应的函数为 g ( x) .
(1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若直线 y ? b 与 C 2 只有一个交点,求 b 的值并求出交点的坐标.

9.设定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足下面三个条件: ①对于任意正实数 a 、 b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1; ② f (2) ? 0 ; ③当 x ? 1 时,总有 f ( x) ? 1 . (1)求 f (1)及f ( ) 的值; (2)求证: f ( x)在(0,??) 上是减函数.

1 2

10. 已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ? [?2,0) 时, f ( x ) ? tx ? 常数) 。 (1)求函数 f ( x) 的解析式;

1 3 x (t 为 2

(2)当 t ? [2,6] 时,求 f ( x) 在 ?? 2,0? 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间(不必证明) ; (3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。 11.记函数 f ?x ? ?

2?

x?7 的定义域为 A ,g ?x ? ? lg??2 x ? b??ax ? 1???b ? 0, a ? R? 的定 x?2

义域为 B , (1)求 A : (2)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围

14、设函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数),F(x)= ?

2

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。 (2)在(1)的条件下,当 x ? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。

? f ( x) ( x ? 0) ?? f ( x) ( x ? 0)

函数大题专练答案
1、已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R 。

Z ? B (其中 Z 为整数集) 。试探究集合 B 能否为有 限集?若能,求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B ;若不能,请说明理由。 4 解: (1)当 k ? 0 时, A ? (??, 4) ;当 k ? 0 且 k ? 2 时, A ? (??, 4) ( k ? , ??) ; k 当 k ? 2 时, A ? (??, 4) (4, ??) ; (不单独分析 k ? 2 时的情况不扣分) 4 当 k ? 0 时, A ? ( k ? , 4) 。 k (2) 由(1)知:当 k ? 0 时,集合 B 中的元素的个数无限; 当 k ? 0 时,集合 B 中的元素的个数有限,此时集合 B 为有限集。 4 因为 k ? ? ?4 ,当且仅当 k ? ?2 时取等号, k 所以当 k ? ?2 时,集合 B 的元素个数最少。 此时 A ? ? ?4,4? ,故集合 B ? ??3, ?2, ?1,0,1,2,3? 。 2、对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 G 函数。 ① 对任意的 x ? [0, 1] ,总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。
已知函数 g ( x) ? x2 与 h( x) ? a ? 2x ?1 是定义在 [0, 1] 上的函数。 (1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 a 的值; 解: (1) 当 x ??0,1? 时,总有 g( x ) ? x ? 0 ,满足①,
2

⑴试求不等式的解集 A ; ⑵对于不等式的解集 A ,若满足 A

(3)在(2)的条件下 ,讨论方程 g (2 ?1) ? h( x) ? m (m ? R) 解的个数情况。
x

当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,

g(x1 ? x2 ) ? x12 ? x22 ? 2x1x 2 ? x12 ? x 22 ? g(x1 ) ? g(x 2 ) ,满足② (2)若 a ? 1 时, h(0) ? a ? 1 ? 0 不满足①,所以不是 G 函数; 若 a ? 1 时, h( x ) 在 x ? [0,1] 上是增函数,则 h( x ) ? 0 ,满足① x ?x x x 由 h( x1 ? x 2 ) ? h( x1 ) ? h( x 2 ) ,得 a ? 2 1 2 ?1 ? a ? 2 1 ?1 ? a ? 2 2 ?1 ,
即 a[1 ? (2 1 ?1)(2 2 ?1)] ? 1 ,
x x

因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 所以 0 ? 2 1 ? 1 ? 1
x x2 0? 2 ? 1 ? 1 x1 与 x 2 不同时等于 1

?0 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1

?a ?

1 1 ? ( 2 ? 1)( 2x1 ? 1)
x1

当 x1 ? x 2 ? 0 时, ( 综合上述: a ? {1}

1 )min ? 1 1 ? ( 2 ? 1)( 2x1 ? 1)
x1

?a ? 1,

(3)根据(2)知:

a=1,方程为 4 ? 2 ? m ,
x x

由?

?0 ? 2 x ? 1 ? 1 ?0 ? x ? 1



x ? [0,1]
2

令 2x ? t ?[1, 2] ,则 m ? t ? t ? ( t ? ) ?
2

由图形可知:当 m ?[0, 2] 时,有一解; 当 m ? (??, 0) ? (2, ??) 时,方程无解。 3.已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 2

1 4

1 . 2 | x| (1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; 1 . 2x

(2)若 2t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [2, 3] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

[解] (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ?
1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , 2x

解得 2 x ? 1 ? 2 . ? 2 x ? 0 ,? x ? log2 1 ? 2 .

?

?

(2)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ?

即 m? 2 2 t ? 1 ? ? ?? 2 4t ? 1 ? . ? 2 2 t ? 1 ? 0 , ? m ? ?? 2 2 t ? 1 ? . 故 m 的取值范围是 [ ? 17, ? ? ) .

? ?

1 ? ? t 1 ? ? ? m? 2 ? t ? ? 0 , 2t 2 ? 2 ? ?

t ? [2, 3], ? ? ? 1 ? 22 t ? ? [ ? 65, ? 17 ] ,

? 1 ? 1 ? , x ? 0; 4.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ?0, x ? 0. ? (1)求 f ( x) 在 (??, 0) 上的解析式.
(2)请你作出函数 f ( x) 的大致图像. (3)当 0 ? a ? b 时,若 f (a) ? f (b) ,求 ab 的取值范围. (4)若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,求 b, c 满足的条件.
2

[解](1)当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? f (? x) ? 1 ? (2) f ( x) 的大致图像如下:.

1 1 ? 1? . ?x x

4

3

2

1

-4

-2

2

4

6

-1

(3)因为 0 ? a ? b ,所以 f (a) ? f (b)

1 1 1 1 ? 1? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 , a b a b ? a? ? b? ? a ? b ? 2ab ? 2 ab 解得 ab 的取值范围是 (1, ??) .
(4)由(2) ,对于方程 f ( x) ? a ,当 a ? 0 时,方程有 3 个根;当 0 ? a ? 1 时,方程 有 4 个根,当 a ? 1 时,方程有 2 个根;当 a ? 0 时,方程无解.…15 分
2 所以,要使关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,关于 f ( x) 的方程

2

2

f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有一个在区间 (0,1) 的正实数根和一个等于零的根。
所以 c ? 0, f ( x) ? ?b ? (0,1) ,即 ?1 ? b ? 0, c ? 0 . 5.已知函数 f ( x) ? a ?

b ( x ? 0) 。 | x|

(1)若函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (2)当 b ? 2 时,若不等式 f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)对于函数 g ( x) 若存在区间 [m, n](m ? n) ,使 x ?[m, n] 时,函数 g ( x) 的值域也是

[m, n] ,则称 g ( x) 是 [m, n] 上的闭函数。若函数 f ( x) 是某区间上的闭函数,试探
求 a , b 应满足的条件。 解: (1) 当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? a ?

b x

设 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 , 由 f ( x ) 是 (0, ??) 上 的 增 函 数 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

b( x1 ? x2 ) ?0 x1 x2

由 x1 ? x2 , x1 , x2 ? (0, ??) 知 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,所以 b ? 0 ,即 b ? (0, ??)

(2)当 b ? 2 时, f ( x) ? a ? 因为 x ?

2 2 ? x 在 x ? (1, ??) 上恒成立,即 a ? x ? x | x|

2 2 ? 2 2 ,当 x ? 即 x ? 2 时取等号, x x 2 2 ? (1, ??) ,所以 x ? 在 x ? (1, ??) 上的最小值为 2 2 。则 a ? 2 2 x

(3) 因为 f ( x) ? a ?

b 的定义域是 (??,0) (0, ??) ,设 f ( x ) 是区间 [m, n] 上的闭函 | x|

数,则 mn ? 0 且 b ? 0 (4) ①若 0 ? m ? n 当 b ? 0 时, f ( x) ? a ? 所以方程 a ?
2

? f (m) ? m b 是 (0, ??) 上的增函数,则 ? , | x| ? f (n) ? n

b ? x 在 (0, ??) 上有两不等实根, x

即 x ? ax ? b ? 0 在 (0, ??) 上有两不等实根,所以

?a 2 ? 4b ? 0 ? 2 ? x1 ? x2 ? a ? 0 ,即 a ? 0, b ? 0 且 a ? 4b ? 0 ?x ? x ? b ? 0 ? 1 2
当 b ? 0 时 , f ( x) ? a ?

? f ( m) ? n b ?b ?a? 在 (0, ??) 上 递 减 , 则 ? ,即 | x| x ? f ( n) ? m

b ? a? ?n ? ?a ? 0 ? m ?? ,所以 a ? 0, b ? 0 ? b mn ? ? b ? ?a ? ? m ? n ?
②若 m ? n ? 0 当 b ? 0 时 , f ( x) ? a ?

? f ( m) ? n b b ? a ? 是 (??, 0) 上 的 减 函 数 , 所 以 ? ,即 | x| x ? f ( n) ? m

b ? a? ?n ? ?a ? 0 ? m ?? ,所以 a ? 0, b ? 0 ? ?a ? b ? m ?mn ? b ? n ?
6、设 f ( x) ?

ax2 ? bx ,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b ,使函数

f ( x) 的定义域和值域相同。

解: (1)若 a ? 0 ,则对于每个正数 b , f ( x) ? bx 的定义域和值域都是 [0,??) 故 a ? 0 满足条件 (2) 若a ? 0, 则对于正数 b , f ( x) ?

b? ? ax2 ? bx 的定义域为 D ? ? ? ?,? ? ? ?0,??? , a? ?

但 f ( x) 的值域 A ? ?0,??? ,故 D ? A ,即 a ? 0 不合条件; (3)若 a ? 0 ,则对正数 b ,定义域 D ? [0,? ]

b a

( f ( x))max ?

b 2 ?a



f ( x) 的值域为 [0,

b 2 ?a

], ?

?a ? 0 b b ?? ? a ? ?4 ? a 2 ?a ?2 ? a ? ? a

综上所述: a 的值为 0 或 ? 4 7. 对于函数 f ( x) , 若存在 x0 ? R , 使 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称点 ( x0 , x0 ) 为函数的不动点。 (1)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 有不动点(1,1)和(-3,-3)求 a 与 b 的值; (2)若对于任意实数 b ,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,求 a 的 取值范围; (3)若定义在实数集 R 上的奇函数 g ( x) 存在(有限的) n 个不动点,求证: n 必为奇数。 解: (1)由不动点的定义: f ( x) ? x ? 0 ,∴ ax ? (b ? 1) x ? b ? 0
2

代入 x ? 1 知 a ? 1 ,又由 x ? ?3 及 a ? 1 知 b ? 3 。 ∴ a ? 1,b ? 3 。 (2)对任意实数 b , f ( x) ? ax ? bx ? b(a ? 0) 总有两个相异的不动点,即是对任意的实
2

数 b ,方程 f ( x) ? x ? 0 总有两个相异的实数根。 ∴ ax ? (b ? 1) x ? b ? 0 中 ? ? (b ? 1) ? 4ab ? 0 ,
2 2 2 2 即 b ? (4a ? 2)b ? 1 ? 0 恒成立。故 ?1 ? (4a ? 2) ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? a ? 1 。

故 当 0 ? a ? 1 时 , 对 任 意 的 实 数 b , 方 程 f ( x) 总 有 两 个 相 异 的 不 动 点。 ………...................1’ (3) g ( x) 是 R 上的奇函数,则 g (0) ? 0 ,∴(0,0)是函数 g ( x) 的不动点。 若 g ( x) 有异于(0,0)的不动点 ( x0 , x0 ) ,则 g ( x0 ) ? x0 。 又 g (? x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? x0 ,∴ (? x0 ,? x0 ) 是函数 g ( x) 的不动点。

∴ g ( x) 的有限个不动点除原点外,都是成对出现的, 所以有 2 k 个( k ? N ) ,加上原点,共有 n ? 2k ? 1 个。即 n 必为奇数 8.设函数 f ( x) ? x ?

1 , ( x ? 0) 的图象为 C1 、C1 关于点 A(2,1)的对称的图象为 C 2 , x

C 2 对应的函数为 g ( x) .
(1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若直线 y ? b 与 C 2 只有一个交点,求 b 的值并求出交点的坐标. 解. (1)设 p (u , v) 是 y ? x ?

1 1 上任意一点,? v ? u ? ① x u

设 P 关于 A(2,1)对称的点为 Q( x, y),? ? 代入①得 2 ? y ? 4 ? x ?

?u ? x ? 4 ?u ? 4 ? x ?? ?v ? y ? 2 ?v ? 2 ? y

1 1 ? y ? x?2? 4? x x?4

? g ( x) ? x ? 2 ?

1 ( x ? (?? ,4) ? (4,?? )); x?4

?y ? b ? 2 (2)联立 ? 1 ? x ? (b ? 6)x ? 4b ? 9 ? 0, y ? x ? 2 ? ? x?4 ?

? ? ? (b ? 6) 2 ? 4 ? (4b ? 9) ? b 2 ? 4b ? 0 ? b ? 0 或 b ? 4,
(1)当 b ? 0 时得交点(3,0) ; (2)当 b ? 4 时得交点(5,4). 9.设定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足下面三个条件: ①对于任意正实数 a 、 b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1; ② f (2) ? 0 ; ③当 x ? 1 时,总有 f ( x) ? 1 . (1)求 f (1)及f ( ) 的值; (2)求证: f ( x)在(0,??) 上是减函数. 解(1)取 a=b=1,则 f (1) ? 2 f (1) ? 1. 故f (1) ? 1 又 f (1) ? f (2 ? 1 ) ? f (2) ? f ( 1 ) ? 1 . 且 f (2) ? 0 .
2 2

1 2

得: f ( 1 ) ? f (1) ? f (2) ? 1 ? 1 ? 1 ? 2
2

(2)设 0 ? x1 ? x2 , 则: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1] ? f ( x1 ) x1 x1

? f(

x2 ) ?1 x1

依 0 ? x1 ? x2 , 可得

x2 ?1 x1
x2 ) ?1 x1

再依据当 x ? 1 时,总有 f ( x) ? 1 成立,可得 f (

即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 成立,故 f ( x)在(0,??) 上是减函数。 10. 已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ? [?2,0) 时, f ( x ) ? tx ? 常数) 。 (1)求函数 f ( x) 的解析式;

1 3 x (t 为 2

(2)当 t ? [2,6] 时,求 f ( x) 在 ?? 2,0? 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间(不必证明) ; (3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

1 1 (? x) 3 ? ?tx ? x 3 , ∵函 2 2 1 3 数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,即 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,∴ ? f ? x ? ? ?tx ? x ,即 2 1 3 1 3 f ( x) ? tx ? x ,又可知 f ?0? ? 0 ,∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? tx ? x , 2 2
解: (1) x ? ?0,2?时, ? x ? ?? 2,0? , 则 f (? x) ? t (? x) ?

x ? ?? 2,2? ;
(2) f ?x ? ? x? t ?

? ?

1 1 2? x ? ,∵ t ? [2,6] , x ? ?? 2,0? ,∴ t ? x 2 ? 0 , 2 2 ?
3



? f ?x ??2

1 1 ? ? 2 2 x ? t ? x2 ? t ? x2 ? ? 1 2? ? 8t 3 1 2 2? 2 2 2 ? ? x ?t ? x ? ? ? ,∴ x ? t ? x , 3 27 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

即 x2 ?

6t 2 6 2t 6t ? ?? 2,0?) 时, f min ? ? t t 。 , x ? ? (? 3 3 3 9
? ? 6t ? ?。 3 ?

猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间为 ?0, (3) t ? 9 时,任取 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ,∵

? 1 2 2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?x1 ? x2 ??t ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? ? 0 , ? 2 ?
∴ f ?x ? 在 ?? 2,2?上单调递增, 即 f ?x ? ? ? f ?? 2?, f ?2?? , 即 f ?x ? ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ,t ? 9 , ∴ 4 ? 2t ? ?14,2t ? 4 ? 14 , ∴ 14 ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ,∴当 t ? 9 时,函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线

?

?

y ? 14 上。
11.记函数 f ?x ? ?

2?

x?7 的定义域为 A ,g ?x ? ? lg??2 x ? b??ax ? 1???b ? 0, a ? R? 的定 x?2

义域为 B , (1)求 A : (2)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围

x?7 ? ? x ?3 ? ? 0? ? ? x ? 0? ? ?? ?,?2? ? ?3,??? , x?2 ? ? x?2 ? b 1 (2) ?2 x ? b??ax ? 1? ? 0 ,由 A ? B ,得 a ? 0 ,则 x ? orx ? ? ,即 2 a b ? 1 0? ?3 ? ? 1 b ? ?a ? ? ? ? ? 2 。 B ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? , ? ?? 2 1 a? ?2 ? ? ?? 2 ? ? ? 0 ? ?0 ? b ? 6 ? a ? ax ?1 ?a ? 0, a ? 1? 。 12、设 f ?x ? ? 1? ax (1)求 f ?x ? 的反函数 f ?1 ?x ? : (2)讨论 f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上的单调性,并加以证明: ( 3 )令 g ?x? ? 1 ? loga x ,当 ?m, n? ? ?1,????m ? n? 时, f ?1 ?x ? 在 ?m, n ? 上的值域是 ?g ?n?, g ?m??,求 a 的取值范围。 x ?1 ?1 ?x ? 1或x ? ?1? 解: (1) f ? x ? ? log a x ?1 x ? 1 x2 ? 1 2?x1 ? x2 ? (2)设 1 ? x1 ? x2 ,∵ 1 ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ?x1 ? 1??x2 ? 1?
解: (1) A ? ? x 2 ?

? ?

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? , ∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上 是 减 函 数 : a ? 1 时 , f ?1 ?x1 ? ? f ?1 ?x2 ?,∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上是增函数。 ?1 (3)当 0 ? a ? 1 时,∵ f ?x ? 在 ?1. ? ?? 上是减函数, ?1 ? x ?1 x ?1 ? f ?m ? ? g ?m ? ? 1 ? log a x 得 ? ax ,即 ax2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 , ∴ ? ?1 ,由 log a x ?1 x ?1 ? ? f ?n ? ? g ?n ?
∴ 0 ? a ?1 时, f
?1

? ?? ? 0 ? 可知方程的两个根均大于 1 ,即 ? f ?1? ? 0 ? 0 ? a ? 3 ? 2 2 ,当 a ? 1 时,∵ f ?1 ?x ? 在 ?1 ? a ? ?1 ? 2a ? f ?1 ?m ? ? g ?n ? ?m ? 1 ? am n? an ? a ? ?1 (舍去) 。 综 ?1. ? ?? 上是增函数,∴ ? ?? ? ?1 n ? 1 ? am n ? am ? ? ? ? ? f n ? g m ? ? 上,得 0 ? a ? 3 ? 2 2 。
13.集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x) 组成的: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 [0, ??) ; (2) 函数 f ( x) 的值域是 [?2, 4) ; (3) 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题: 1 (Ⅰ)判断函数 f1 ( x) ? x ? 2( x ? 0) ,及 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 是否属于集合 A?并简 2 要说明理由. (Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f ( x) ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) , 是否对于任意的 x ? 0 总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论. 解: ( 1 )函数 f1 ( x) ?

x ? 2 不属于集合 A. 因为 f1 ( x) 的值域是 [? 2, ?? ), 所以函数

f1 ( x) ? x ? 2 不属于集合 A.(或 当x ? 49 ? 0时, f1 (49) ? 5 ? 4 ,不满足条件.) 1 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 在集合 A 中, 因为: ① 函数 f 2 ( x) 的定义域是 [0, ??) ; ② 函 2 数 f 2 ( x) 的值域是 [?2, 4) ;③ 函数 f 2 ( x) 在 [0, ??) 上是增函数. 1 x 1 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 6 ? ( ) (? ) ? 0 , 2 4 ?不等式f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意的 x ? 0 总成立

14、设函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数),F(x)= ?

2

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。 (2)在(1)的条件下,当 x ? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 (3) (理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。 解: (1)? f(-1)=0 ∴ b
2

? f ( x) ( x ? 0) ?? f ( x) ( x ? 0)

? a ? 1 由 f(x) ? 0 恒成立
?( x ? 1) ?? ( x ? 1)
2

知△=b -4a=(a+1) -4a=(a-1) ? 0
2 2 2

∴a=1 从而 f(x)=x +2x+1 ∴F(x)= ?
2

( x ? 0) ( x ? 0)
2



(2)由(1)可知 f(x)=x +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1,由于 g(x)在 ?? 2,2?上是

2?k 2?k ? ?2 或? 2 ,得 k ? -2 或 k ? 6 , 2 2 (3)? f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),而 a>0∴ f ( x) 在 ?0,??? 上为增函数
单调函数,知对 于 F(x) , 当 x>0 时 -x<0 , F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) , 当 x<0 时 -x>0 , F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),

∴F(x)是奇函数且 F(x)在 ?0,? ?? 上为增函数, ? m>0,n<0,由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。 15.函数 f(x)=

x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。 解 (1)由 f(2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 一定是方程 所以

x =x 的解, ax ? b

1 =1 无解或有解为 0,若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾,若有解为 0,则 ax ? b 1 b=1,所以 a= 。 2 2x (2)f(x)= ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, x?2 2m 取 x=0 , 则 f(0)+f(m–0)=4 , 即 =4 , m= –4( 必 要 性 ) , 又 m= –4 时 , m?2 2x 2(?4 ? x) ? f(x)+f(–4–x)= =……=4 成立(充分性) ,所以存在常数 m= –4,使得对定 x?2 ?4? x?2
义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立,

x?2 2 ) ,设 x+2=t,t≠0, 则 x?2 t?4 2 2 8 16 16 4 4 4 4 |AP|2=(t+1)2+( ) =t +2t+2– + 2 =(t2+ 2 )+2(t– )+2=(t– )2+2(t– )+10=( t– +1)2+9 t t t t t t t t
(3)|AP|2=(x+3)2+( ,

4 ? 1 ? 17 ? 5 ? 17 +1=0 时即 t= ,也就是 x= 时,|AP| min = 3 。 t 2 2 2 1 ? mx 16、已知函数 f ( x ) ? ? log 2 是奇函数。 x 1? x
所以当 t– (1)求 m 的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明。 解(1)? f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? f ( x) ? 0 ;

2 1 ? mx 2 1 ? mx ? log 2 ) ? ( ? log 2 ) ? 0 ,解得: m ? 1 ,其中 m ? ?1 (舍) ; x 1? x x 1? x 2 1? x ( x ? ?? 1,0? ? ?0,1?) 确是奇函数。 经验证当 m ? 1 时, f ( x) ? ? log 2 x 1? x
即 (? (2)先研究 f ( x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?( 由

1 ? x1 2 1 ? x2 2 ? log2 ? ? log2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 2 2 2 2 ? ) ? [log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

2 2 2 2 ? ? 0, log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x) 在(0,1)内单调递减; 由于 f ( x) 是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数 f ( x) 在(-1,0)内单调递减。


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