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2016届河北省保定市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版


2016 届河北省保定市高三下学期第一次模拟考试 数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
x 1.设集合 A ? x | ?1 ? x ??1 ? x ? ? 0 ,集合 y | y ? 2 , x ? 0 ,则 A ? B

? (

?

?

?

?



A.

? ?1,1?
B. ?8

B.

??1,1?

C.

? 0,1?

D. ? ?1, ?? ? )

2.等比数列 ?an ? 中, a3a5 ? 64 ,则 a4 ? ( A. 8 C. 8或 ? 8 D. 16

3. 设 z 为复数 z ? A. 2
2016

1 ? i 的共轭复数,则 z ? z 2
2016

?

?

2016

?(



B. ?2

C.

2 2016 i

D. ?i

4.设一个球形西瓜,切下一刀后所得切面圆的半径为 4,球心到切面圆心的距离为 3,则该西瓜的体积为 ( ) A. 100? B.

256? 3

C.

100? 3

D.

500? 3


5.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 7, b ? 1 ,则输出 S 的值为( A. 16 B. 19
6

C. 34

D. 50 )

a 1? ? 2 6.若二项式 ? ax ? ? 的展开式中的常数项为 ?540 , 则 ? ? 3x ? 1?dx ?( 0 x ? ?

A. 24

B. 3

C. 6

D. 2

7.已知点 P 是函数 y ? sin ? 2 x ? ? ? 图象与 x 轴的一个交点,A,B 为 P 点右侧距 离点 P 最近的一个最高点和最低点,则 PA ? PB ? (

??? ? ??? ?



A.

?2
4

?1

B.

3? 2 3? 2 ? 1 C. ?1 16 4

D.

?2
8

?1

8.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 C : y ? 4x 的焦点,P 为 C 上一点,若 ?OFP ? 120 ,则 S? POF ? (
2
?



A.

3

B. 2 3

C.

3或

3 3

D.

3 3
1第



9.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2cos x ,则 f ? 0 ? , f ? ? ? , f ? ? 的大小关系是 A. f ? 0 ? ? f ? ? ? ? f ?

? 1? ? 3?

? 2? ?5?

? 1? ? 3?

?2? ? ?5?

B. f ? ? ? ? f ? 0 ? ? f ? D. f ? 0 ? ? f ?

? 1? ? 3?

?2? ? ?5?

C. f ?

?2? ? 1? ? ? f ? ? ? ? f ? 0? ?5? ? 3?

?2? ? 1? ? ? f ?? ? ?5? ? 3?
1 ,且 2

10.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? , 若数列 ?an ? 满足 a1 ?

an ?1 ?

1 ,则 f ? a11 ? ? ( 1 ? an



A. 2 B. ?2 C. 6 D. ?6 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 5 . 5 12.在平面内, 点 A,B,C 分别在直线 l1 , l2 , l3 上, 且 l1 / /l2 / /l3( l2 , 在 l1 与 l3 之间) ,

??? ? 2 ??? ? ??? ? l1 与 l2 之间距离为 a , l2 与 l3 之间距离为 b ,且 AB ? AB ? AC ,则 ? ABC 的
面积最小值为( A. ) B.

a?b 2

ab

C.

2 ab

D.

a 2 ? b2 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题至第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题至 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某校高一、高二、高三,三个年级的学生人数分别为 2000 人、1500 人和 1000 人,现采用按年级分层 抽 样 的 方 法 了 解 学 生 的 视 力 状 况 , 已 知 高 一 年 级 抽 查 了 60 人 , 则 这 次 调 查 三 个 年 级 共 抽 查 了 人.



2第

? x ? y ? 3 ? 0, ? ? 14.若直线 y ? k ? x ? 1? 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? 3 x ? y ? 3 ? 0, , 则直线 y ? k ? x ? 1? 的倾斜角的 ? ? ? y ? 3,
取值范围为 . 15.有 5 盆互不相同的菊花,其中 2 盆为白色,2 盆为黄色,1 盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花在 中间,白菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,则共有 种不同的摆放发方法(用数字作答). 16.在平面直角坐标系中,已知三个点列 ? An ? ,?Bn ? ,?Cn ? ,其中 An ? n, an ? , Bn ? n, bn ? , Cn ? n ?1,0? ,满足 向量 An An?1 与向量 BnCn 共线,且 bn?1 ? bn ? 6, a1 ? b1 ? 0 ,则 an ?

???????

????? ?

.(用 n 表示)

三、解答题(本大题分必考题和选考题两部分,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算过程) 17.(本小题满分 12 分) 已知 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? b ? 3c , 2sin C ? 3sin A sin B.
2

(1)求 ?C ; (2)若 SnABC ? 3 ,求 c .

18.(本小题满分 12 分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课供学生任意选修(也可不选) ,假设学生是否选修哪门课彼此互不影 响.已知某学生只选修甲一门课的概率为 0.08 ,选修甲和乙两门课的概率为 0.12 ,至少选修一门的概率是 0.88 . (1)求该学生选修甲、乙、丙的概率分别是多少? (2)用 ? 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积,求 ? 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 A ? B C D 的棱长均为 2 3 ,将平面 A C D 沿 CD 旋转至平面

PCD ,且使得 AP//平面 BCD. (1)求二面角 A ? CD ? P 的余弦值. (2)求直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 T :


x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点 A ? 0 , 1 ? ,离心率 e ? ,圆 C : x2 ? y 2 ? 4 ,从圆 C 2 a b 3
3第

上任意一点 P 向椭圆 T 引两条切线 PM , PN . (1)求椭圆 T 的方程; (2)求证: PM ? PN .

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? 2 x ? a 2 ln x, ? a ? 0 ? . 2

(1)若函数 y ? f ? x ? 在 x ? ? ,1? 上有最大值,求 a 取值范围; (2)若 a ?
n

?1 ? ?2 ?

6 , n ? N ? ,且 n ? 2 .

求证:①

? f ? x ? ? 0;
i ?1 i
2

② a ln

1 n ? n ? 1?? 2n ? 1? ? . n! 6
2 2 2

(提示: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2

n ? n? 1?? 2 n ? ? 1 ) 6

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4——1;几何证明选讲 如图,已知圆内接四边形 ABDC 满足 AC=BD,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点. (1)求证: ?ACE ? ?BCD; (2)若 BE ? 9, CD ? 1 ,求 BC 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程



4第

? x ? ? 3t , ? x ? 2 cos ? , ? 平面直角坐标系 x o y 中, 直线 l 的参数方程为 ? , 圆 C 的参数方程为 ? 2 3 ( t 为参数) ?t ? y ? 2sin ? , ?y ? 3 ?
( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (2)设直线 l 和圆 C 相交于 A, B 两点,求弦 AB 与其所对劣弧所围成的图形面积.

24. (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 f ? x ? ? 2x ? 1 ? 1 ? x . (1)解不等式 f ? x ? ? 3x ? 4;
2 (2)对任意的 x ,不等式 f ? x ? ? m ? 3m ? 3 ? x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

理科数学答案 一、选择题:A 卷:CCADD 二、填空题:13、135 三、解答题: 17、 (Ⅰ)解:? 2 sin C ? 3 sin A sin B
2

ABAAC 14、 ?

BB; 15. 16
? 16、 3n ? 9n ? 6 (n ? N )
2

?? ? ? , ? ?6 3?

3 ? sin 2 C ? sin A sin B 2 3 ---------------------------------------3 分 ? c 2 ? ab 2

? a ? b ? 3c

? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 3c 2
a2 ? b2 ? c2 2ab

根据余弦定理得: cos C ?

2c 2 ? 2ab ab 1 ? ? ? cosC ? 2ab 2ab 2

? ?C ?

?
3

----------------------7 分



5第

(Ⅱ)

? S ?ABC ? 3 ,? S ?ABC ?

? ?C ?
又c ?
2

?
3

1 ab sin C , 2

,? ab ? 4 ,-----------------------------------------------------10 分

3 ab , 2

?c?

6

----------------------------------------12 分

18、解:(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z

? x(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.08 ? 由题意知 ? xy(1 ? z ) ? 0.12 ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.88 ? ? x ? 0 .4 ? 解之得 ? y ? 0.6 ? z ? 0 .5 ?

---------------------4 分

---------------------6 分

2 -------------------------------------------------------------7 分 (2)依题意知 ? ? 0,

? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.24 --------------------9 分
所以 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? 0.76 【或:仅仅选甲的概率为 0.08,仅仅选乙概率为 0.18,仅仅选丙的概率为 0.12,合计为 0.38,同样 仅仅不选甲、 仅仅不选乙、 仅仅不选丙的概率和也为 0.38, 故 P(? ? 2) ? 0.38 ? 0.38 ? 0.76 -----------9 分】 则 ? 的分布列为

?
P

0

2

0.24

0.76
---------------------12 分

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52 19、解: (Ⅰ)取 CD 中点 E,连接 AE,PE

? 三棱锥 A-BCD 各棱长均为 2 3

? AE ? CD , PE ? CD , BE ? AE ? PE ? 3 ? ?AEP 为二面角 A-CD-P 的平面角. ---------------------2
又∵ cos ?AEB ?

分 A P

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ? 2 BE ? AE 3

, AP // 平面BCD

? AP ∥ BE ? ?PAE ? ?AEB -----------------------------------------4 分
页 6第

B

O C

D E

∴ cos ?PAE ? cos ?AEB ?

1 3
2

∴ cos ?AEP ? cos(? ? 2?PAE ) ? ? cos 2?PAE ? 1 ? 2 cos ?PAE ? 所以二面角 A-CD-P 的余弦值为

7 9

7 --------------------------------------------------6 分 9

(Ⅱ) 过 A 作 AO ? 平面BCD ,连接 OP,由 AP // 平面BCD 得 AP∥BE, 因为 BO=BE-EO=3-3 cos ?AEB ? 2

AP ? AE 2 ? PE 2 ? 2 AE ? PE cos ?AEP ? 2
所以 AP=BO

?四边形 ABOP 为平行四边形,?AB∥OP ? ?OPE 为直线 AB 与平面 PCD 所成的角---------------------------------------------9
? OP=AB= 2 3 ,PE=3,OE=1



?


cos ?OPE ?

OP 2 ? PE 2 ? OE 2 5 3 ? 2OP ? PE 9

----------------------------------------------10

? sin ?OPE ?

6 9 6 . ------------- -------------------------12 分 9

?直线 AB 与平面 PCD 所成的角的正弦值为
空间向量法

解: (Ⅰ)如图过 A 作平面 BCD 的垂线,垂足为 O,过 O 作 CD 的平行线 MN 以 O 为原点,以直线 MN 为 x 轴,直线 OB 为 y 轴,直线 OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系.

?







A-BCD









2 3





A 0,0,2 2 , C 3,1,0 , D ? 3,1, 0 , P 0, 2, 2 2 ---------------3 分
设平面 ACD 的法向量 m ? ?x1 , y1 , z1 ?

?

? ?

? ?

? ?

?

AC ?

? 3,1,?2 2 ?, AD ? ?? ? ?

3,1,?2 2

?
z A P

? AC ? m ? 0 ?? ? ? ? AD ? m ? 0

? 3x1 ? y1 ? 2 2 z1 ? 0 ?? ? ? ?? 3x1 ? y1 ? 2 2 z1 ? 0

令 z1 ? 2 ,则 m ? 0,4, 2


--------- -------------------------5 分
7第

B

O

D

设平面 PCD 的法向量 n ? ?x2 , y 2 , z 2 ?

PC ? 3,?1,?2 2 , PD ? ? 3,?1,?2 2 ??? ? ? ? 3x 2 ? y 2 ? 2 2 z 2 ? 0 ? ? PC ? n ? 0 ? ????? ? ?? ? ? ? ? PD ? n ? 0 ?? 3 x 2 ? y 2 ? 2 2 z 2 ? 0
令 z 2 ? 2 ,则 n ? 0,?4, 2

?

?

?

?

?

?

------------------ --------------7 分

cos m, n ?

m?n m?n

??

7 9

由图可知二面角 A-CD-P 为锐二面角 所以 二面角 A-CD-P 的余弦值为

(Ⅱ) B?0,?2,0? , AB ? 0,?2,?2 2

?

7 . ----------------------------------------8 分 9

?

又因为平面 PCD 的法向量 n ? 0,?4, 2 令直线 AB 与平面 PCD 所成的角为 ?

?

?

? sin ? ? cos AB ? n ?

?

6 9 6 . 9
-------------------------

直 线 AB 与 平 面 PCD 所 成 的 角 的 正 弦 值 为

-------------------------12 分 20、解: (Ⅰ) 由题意可知: b ? 1 ,

c 6 ? a 3
--------------------------4

椭圆方程为: 分

x2 ? y2 ?1 3

(Ⅱ)法 1:(1) 当 P 点横坐标为 ? 分 (2) 当 P 点横坐标不为 ?

3 时,PM 斜率不存在,PN 斜率为 0, PM ? PN ----------5

2 2 3 时,设 P ( x0 , y0 ) , 则 x0 ? y0 ? 4 ,设 kPM ? k

? y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) ? PM 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
页 8第

2 2 消去 y 得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3k 2 x0 ? 6kx0 y0 ? 3 y0 ?3 ? 0

------6 分

依题意: ? ? 0
2 2 即 ? ? 36k 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 4 1 ? 3k 2 3k 2 x0 ? 6kx0 y0 ? 3 y0 ?3 ? 0 2 2 化简得: (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? 1 ? y0 ?0
2 2 2 1 ? y0 1 ? (4 ? x0 ) x0 ?3 ? ? ? ? ?1 2 2 2 3 ? x0 3 ? x0 3 ? x0

?

??

?

-------------------8 分

又 kPM , kPN 为方程的两根

? kPM ? kPN

? PM ? PN
法 2:(1) 当 P 点横坐标为 ?

-------------------------12 分

3 时,PM 斜率不存在,PN 斜率为 0, PM ? PN ----------5 分 3 时 , 设 P (2 cos? ,2 sin ? ) ,
切 线 方 程 为

(2) 当 P 点 横 坐 标 不 为 ?

y ? 2 sin ? ? k ( x ? 2 cos? )

? y ? 2 sin ? ? k ( x ? 2 cos? ) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3
联立得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12k (sin? ? k cos? ) x ? 12(sin? ? k cos? ) 2 ? 3 ? 0 令? ? 0 即 ? ? 144k 2 (sin? ? k cos? ) 2 ? 4 1 ? 3k 2 12(sin? ? k cos? ) 2 ? 3 ? 0 分 化简得: (3 ? 4cos2 ? )k 2 ? 4sin 2? ? k ? 1 ? 4sin 2 ? ? 0 ------6 分

?

??

?

-------------------8

k PM ? k PN

1 ? 4sin 2 ? (4 ? 4sin 2 ? ) ? 3 ? ? ? ?1 3 ? 4 cos 2 ? 3 ? 4 cos 2 ?
-------------------------12 分

? PM ? PN
21、解: (1) f ' ( x) ? x ? 2 ? 设 g ( x) ? x ? 2 x ? a
2 2

a 2 x 2 ? 2x ? a 2 ? x x

① a ? 1 时, ? ? 4 ? 4a ? 0 , f '( x) ? 0 , y ? f ( x) 在定义域内单调递增,? y ? f ( x) 在 x ? ?
2

?1 ? ,1? 内 ?2 ?

无最大值

----------------------------2 分

② 0 ? a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ? 1 ? a 2 , x 2 ? 1 ? 1 ? a 2
页 9第

0 ? x ? x1 , f ' ( x) ? 0 ,

x1 ? x ? x2 ,

f ' ( x) ? 0

-----------------------4 分

x1 为极大值点,当 1 ? 1 ? a 2 ?
解之得:

1 时,函数 y ? f ( x) 有最大值. 2

3 ? a ?1 2
-----------------------------5 分

?

3 ? a ? 1 时函数 y ? f ( x) 有最大值. 2
*

a2 x2 ? 2x ? a2 ? ?0 (Ⅱ)证明:①因为 n ? N 且n ? 2. a ? 6,? f '( x) ? x ? 2 ? x x
2 3 ? f (1) ? ? ? 0 , a ? 6,? f (2) ? ?2 ? a2 ln 2 ? 0 2 7 f (1) ? f (2) ? a 2 ln 2 ? ? 0 所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (n) ? 0(n ? 2) 2

------7 分

? f ( x) ? 1 x 2 ? 2 x ? a 2 ln x 在 ?0,??? 单调递增.

? ? f ( xi ) ? 0;
i ?1

n

-----------------------------9 分

② f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? ? f (n)

1 2 (1 ? 22 ? 32 ? ? ? ? ? n 2 ) ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) ? a 2 (ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ? ? ln n) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? a 2 ln n ! = 12 n(n ? 1)(2n ? 11) ? a 2 ln n ! ? 0 = 12 ? n(n ? 1)(2n ? 11) ? ?a 2 ln n ! ? a 2 ln 1 12 n! n(n ? 1)(2n ? 11) 1 ? ? a 2 ln (n ? 2) -------------------------12 12 n!
= 分 22、证明(Ⅰ)? AC ? BD,? ?ABC ? ?BCD 又? EC 为圆的切线,? ?ACE ? ?ABC ,? ?ACE ? ?BCD (Ⅱ)? EC 为圆的切线,? ?CDB ? ?BCE , 由(Ⅰ)可得 ?ABC ? ?BCD -------------------------7 分 ------------------------10 分 (1) -----------------------1 分 -----------------------2 分 --------------------------5 分

? ?BEC ∽ ?CBD ?

CD BC ? , BC ? 3 BC BE

23 解: (Ⅰ)求直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0
页 10 第

将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入(1)得 ? cos? ? 3? sin ? ? 2 ? 0 化简得直线 l 的方程为 ? cos(? ? 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2

?
3

) ?1

---------------------3 分 ----------------------5 分

?? ? 2 2? ? (Ⅱ) ? 解之得:A(2,0) , B(2, ) ?? ? 3 ?? cos?? ? 3 ? ? 1 ? ? ?
? ?AOB ? S ?AOB ? 2? 1 1 2? 4? 2 ?4? ,? S 扇形AOB ? ? ? ? r ? ? 3 2 2 3 3

----------------------6 分

----------------------8 分

1 OA ? OB ? sin ? ? 3 2 4? ? S ? S扇形AOB ? S ?AOB ? ? 3 ----------------------10 分 3 1 24.解: (Ⅰ) (1)当 x ? 时,原不等式可化为 1 ? 2 x ? 1 ? x ? 3x ? 4 2 1 解之得: x ? ? 3 1 1 ?? ? x ? ---------------------1 分 3 2 1 (2)当 ? x ? 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? 1 ? x ? 3x ? 4 2
解之得: x ? ?2

?

1 ? x ?1 2

---------------------2 分

(3)当 x ? 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3x ? 4 不等式恒成立

? x ?1
综上:不等式的解集为 ? x x ? ? ?

---------------------3 分

? ?

1? 3?

---------------------5 分 ---------------------6 分

(Ⅱ)解:当 x ? 0 时, 2 ? 0 恒成立, m ? R 当 x ? 0 时,原不等式可化为

2x ? 1 ? 1 ? x x ?1

? m 2 ? 3m ? 3

?

2x ? 1 ? 1 ? x x

?

2x ? 1 ? 1 ? x x

---------------------8 分

? m 2 ? 3m ? 3 ? 1
解之得: 1 ? m ? 2
页 11 第

---------------------10 分



12 第


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