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高中数学一轮复习课件:平面向量基本定理rtf


考 纲 要 求

1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标 表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减 法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的 条件. 1.向量的坐标运算及用坐标表示平面向 量共线的条件是高考考查的热点,常

? (2)范围 0°≤θ≤180° ? 向量夹角θ的范围是 ,a与

b 同向时,夹角θ= ;a与b反向时,夹角θ 0° 180° = . ? (3)向量垂直 90° ? a⊥b 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直, 记作 .

→ → 在△ABC 中,设AB=a,BC=b,则向量 a 与 b 的 夹角为∠ABC,是否正确?

? 提示:不正确.求两向量的夹角时,两向 量起点应相同,向量a与b的夹角为π- ∠ABC.

? 2.平面向量基本定理及坐标表示 ? (1)平面向量基本定理 不共线 ? 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 有且只有 向量,那么对于这一平面内的任意向 量a, 一对实数λ1,λ2,使a =λ1e1+λ2e2. ? 其中,不共线的向量e1,e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底.

? (2)平面向量的正交分解 互相垂直 的向量,叫 ? 把一个向量分解为两个 做把向量正交分解. ? (3)平面向量的坐标表示 ? ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底, 对于平面内的一个向量a,有且只有一对 (x,y) 实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 (x,y) x 叫做向量a的坐标,记作a= ,其 y 中 叫做a在x轴上的坐标, 叫做a在y轴 上的坐标.

? ②设 =xi+yj,则向量的坐标(x,y)就 是终点A的坐标,即若 =(x,y),则A点 (x,y) 坐标为 ,反之亦成立.(O是 坐标原点)

? 3.平面向量的坐标运算 ? (1)加法、减法、数乘运算 向 量 a b a+b
(x1+x2, y1+y2)

a-b
(x1-x2, y1-y2)

λa
(λx1, λy1)

坐 (x1, (x2, y 2) 标 y 1)

? (2)向量坐标的求法 (x ? 已知A(x1,y1),B(x2,y2)则2-x1,y2-y1) = ,即一个向量的坐标等于 ? 该向量终点的坐标减去始点的坐标 . ? (3)平面向量共线的坐标表示 ? 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0, x1y2-x2y1=0 则a与b共线?a=λb? .

? 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充
要条件能不能写成 ? 提示:不能.因为x2,y2有可能为0,故 应表示成x1y2-x2y1=0.

1.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1, → → -2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为 ( 7 A.(2,2) C.(3,2) 1 B.(2,-2) D.(1,3) )

→ → 解析:设 D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3), → → 又BC=2AD,
?4=2x, ? ∴? ?3=2?y-2?, ?

?x=2, ? ∴? 7 故选 A. ?y=2. ?

答案:A

? 2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c= (-1,-2).若表示向量4a、4b-2c、 2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四 边形,则向量d为 ( ) ? A.(2,6) B.(-2,6) ? C.(2,-6) D.(-2,-6)

? ? ? ? ? ? ?

解析:由题知4a=(4,-12), 4b-2c=(-6,20). 2(a-c)=(4,-2), 由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0, 则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0, 即(2,6)+d=0,故d=(-2,-6),选D. 答案:D

→ 3. 若点 O(0,0), A(1,2), B(-1,3), → =2OA, 且OA′ → → OB′=3OB,则点 A′的坐标为________,点 B′的 → 坐标为________,向量A′B′的坐标为________.

解析:∵O(0,0),A(1,2),B(-1,3), → → ∴OA=(1,2),OB=(-1,3), → → OA ′=2×(1,2)=(2,4),OB ′=3×(-1,3)=(- 3,9). → ∴A′(2,4),B′(-3,9),A′B′ =(-3-2,9-4) =(-5,5).
答案:(2,4) (-3,9) (-5,5)

4.已知点 A(1,-2),若点 A、B 的中点坐标为 → (3,1)且AB与向量 a=(1,λ)共线,则 λ=________.

解析:由 A、B 的中点坐标为(3,1)可知 B(5,4), → 所以AB=(4,6), → ∥a,∴4λ-1×6=0,∴λ=3. 又∴AB 2

5.在△ABC 中,E、F 分别为 AC,AB 的中点, → → BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b,试用 a,b → 表示AG.

→ → → → → 解:AG=AB+BG=AB+λBE → + λ (BA+BC)=(1- λ )AB+ λ (AC-AB)=(1 → → → → → =AB 2 2 2 → +λ AC=(1-λ)a+λ b -λ)AB 2 → 2 → =AC+CG=AC+mCF=AC+m(CA-CB) → → → → 又AG → → → 2 → +mAB=ma+(1-m)b → =(1-m)AC 2 2

m ? ?1-λ= 2 ∴? ?1-m= λ 2 ?

2 ,解得 λ=m=3,

→ =1a+1b. ∴AG 3 3

【例 1】

→ 在△OAB 中,OC=

1→ → 1→ 4OA,OD=2OB,

→ → AD 与 BC 交于点 M,设OA=a,OB=b,以 a、b 为 → 基底表示OM.

→ 思路分析:显然 a,b 不共线,故可设OM=ma +nb,由 A、M、D 三点共线及 B、M、C 三点共线 利用向量共线条件求解.

→ 解:设OM=ma+nb(m,n∈R), → → → 则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, → =OD-OA=1b-a AD → → 2 m-1 n 因为 A、M、D 三点共线,所以 = ,即 m+2n -1 1 2 → =OM-OC=(m-1)a+nb, =1,又CM → → 4

→ =OB-OC=-1a+b, CB → → 4 1 m-4 n 因为 C、M、B 三点共线,所以 1 =1,即 4m+ -4 n=1 1 ? ?m+2n=1 ?m=7 ? 由? ,解得? ?4m+n=1 ? ?n=3 ? 7

→ =1a+3b. ,所以OM 7 7

变式迁移 1

如右图,在△ABC 中,

点 O 是 BC 的中点. 过点 O 的直线分别交 直线 AB、 于不同的两点 M、 若AB= AC N, → → → → m AM , AC = n AN , 则 m + n 的 值 为 ________.

→ 解析:AO=

1 → → 2(AB+AC)

m → n→ = 2 AM+2AN, m n ∵M、O、N 三点共线,∴ + =1,∴m+n= 2 2 2.

答案:2

? 【例2】 (2009·广东卷)若平面向量a, b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2, -1),则a=________. ? 思路分析:可以先设向量a的坐标为(m, n),则由条件可以得到关于m,n的方程 组,解方程组可得m,n的值.

解:设向量 a 的坐标为(m,n),则 a+b=(m+2,
??m+2?2+?n-1?2=1, ? n - 1) , 由 题 设 , 得 ? ?n-1=0, ? ?m=-1, ? ? ?n=1 ? ?m=-3, ? 或? ?n=1. ?

解得

∴a=(-1,1)或(-3,1). 故填

(-1,1)或(-3,1).

? 本题主要是考查向量加法的坐标运算及向 量模的运算,信息量小,运算量少,考查 了方程的思想.

? 变式迁移 2 已知向量a=(1,2),b=(x,1), u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,求实数 x的值. ? 解:因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b, v=2a-b, ? 所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4), ? v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), ? 又因为u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0, ? 即10x=5,解得x= .

? 【例3】 如右图所示, 已知点A(4,0),B(4,4), C(2,6),求AC和OB交点 P的坐标.

→ → → → 解法一:设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则AP=OP → -OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), → AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6). → → 由AP,AC共线的充要条件知 3 (4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得 t=4. → ∴OP=(4t,4t)=(3,3). ∴P 点坐标为(3,3).

→ → 解法二:设 P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4). → → ∵OP,OB共线,∴4x-4y=0.① → → → 又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP、 → CA共线. ∴-6(x-2)+2(6-y)=0.② 解①②组成的方程组,得 x=3,y=3, ∴点 P 的坐标为(3,3).

? 求交点坐标问题就是共线向量的应用.

变式迁移 3

(2009· 浙江卷)已知向量 a=(1,2),b

=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c = 7 7 A.( , ) 9 3 7 7 C.( , ) 3 9 ( 7 7 B.(- ,- ) 3 9 7 7 D.(- ,- ) 9 3 )

解析: 设向量 c 的坐标为(m, 则 c+a=(m+1, n), n+2),由题设(c+a)∥b,c⊥(a+b),可得 7 ? ?-3?m+1?=2?n+2?, ?m=-9, ? ? 解得? ?3m-n=0, ? ?n=-7, 3 ? 7 7 所以 c=(-9,-3).故选 D.
答案:D

【例 4】 已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,其 准线与 x 轴交于点 A,过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与 → → → 抛物线 C 交于 P,Q 两点.求满足FR=FP+FQ的点 R 的轨迹方程.

1 解:易知 A(-4,0),故直线 l 的方程为 y=k(x+ ?y2=x ? 1 1 1 2 ? ).由 1 ,得 y -ky+4=0,由 Δ>0,得- 4 ?y=k?x+4? ? 1 1<k<0 或 0<k<1.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2=k, 1 1 1 1 1 2 y1y2= ,x1x2=(y1y2) = ,x1+x2= (y1+y2)- = 2- 4 16 k 2 k 1 1 2.易知 F(4,0).



→ → → R(x , y) , 由 FR = FP + FQ , 得

1 3 ? 1 1 1 ? ?x=k2-4 ?x- =x1- +x2- 4 4 ,即? ? 4 ?y=y1+y2 ?y=1 ? ? k
2

,消去 k,得

3 x=y -4(y<-1 或 y>1),此即点 R 的轨迹方程.

? 向量的工具性在解析几何中可以得到充分 地体现,因此,近年的高考中常有解析几 何与平面向量交汇的题目.向量的坐标运 算在解析几何中的应用主要体现在:用向 量给出的条件可以转化为向量的坐标的关 系,而向量的坐标与曲线上点的坐标往往 具有内在的联系,将这种内在的联系挖掘 出来,也就找到了解题的思路.解析几何 中的平行,求轨迹方程,求最值等问题都 可以很容易地与平面向量结合起来,而向 量的坐标运算也可以使这些问题的求解过

变式迁移 4

→ → 已知OP=(cosθ,sinθ),OQ=(1

→ +sinθ,1+cosθ),其中 0≤θ≤π,求|PQ|的取值范 → 围及|PQ|取得最大值时 θ 的值.

→ → → 解:∵PQ=OQ-OP =(1+sinθ-cosθ,1+cosθ -sinθ), → ∴|PQ|2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2 =4-4sinθcosθ=4-2sin2θ. ∵0≤θ≤π, ∴-1≤sin2θ≤1, → |∈[ 2, 6]. ∴|PQ 3π → 当 sin2θ=-1,即 θ= 时,|PQ|取得最大值. 4

? 1.在平面向量基本定理的学习中,要注 意定理的应用条件,e1、e2是一组不共线 向量,当基底确定后,这种表示是唯一 的.而对于基底的选取却不唯一,只要是 同一平面内的两个不共线向量,都可以作 为一组基底.平面向量基本定理是平面向 量的重要内容,它是向量运算数量化、代 数化的依据,为后面的学习奠定了基础.

? 在解决具体问题时,合理地选择基底会给 解题带来方便.在解有关三角形的问题时, 可以不去特意选择两个基本向量,而可以 用三边所在的三个向量,最后可以根据需 要任意留下两个即可,这样思考问题要简 单得多. ? 2.向量的坐标表示,实际上是向量的代 数表示,引入向量的坐标表示可使向量运 算完全代数化,将数与形紧密地结合起来, 这样可以将许多几何问题转化为同学们熟 知的数量运算.这也给我们解决几何问题 提供了一种新的方法——向量坐标法,即

? 3.向量的坐标(x,y)可以理解为是一种 省略,省略了单位正交基底.在有些证明 题中需要还原回去,即(x,y)=xi+yj.


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