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高考理科复习课件(10.9离散型随机变量的均值与方差)


第九节 离散型随机变量的均值与方差

1.离散型随机变量的均值与方差 (1)离散型随机变量X的分布列 X P a1 p1 a2 p2 ? ? ai pi ? ? an pn

(2)离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望)
计 算 公 式 作 用 反映了离散型随机变量X取值的 “中心位置” _________

____ 刻画了随机变量X与其均 平均偏离程度 值EX的_____________ a1p1+a2p2+?+aipi+?+anpn EX= _______________________

方差
DX ? E ? X ? EX ? ?
2
i ______________________ i ?1

? ? a i ? EX ?

n

2

p

2.二项分布、超几何分布的均值 (1)当随机变量X服从参数为n,p的二项分布时,其均值EX=np. (2)当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,它的均值
EX ? n M . N

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).

(1)期望值就是算术平均数,与概率无关.(

)

(2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不 确定.( )

(3)随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度, 方差越小,则偏离变量平均程度越小.( )

(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因 此它们是一回事.( )

【解析】(1)错误.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义

下的平均值,反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)正确.由于随机变量的取值是确定值,而每一个随机变量的

概率也是确定的,因此随机变量的均值是定值,即为常数;而
样本数据随着抽样的次数不同而不同,因此其平均值也不相同.

(3)正确.随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均
程度,方差越小,则偏离变量平均程度越小;方差越大,则偏 离变量平均程度越大.

(4)错误.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况, 均值反映了平均水平,而方差则反映它们与平均值的偏离情况. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×

1.设投掷1颗骰子的点数为X,则(

)

(A)EX=3.5,DX=3.52
(B)EX=3.5,DX= 35
12

(C)EX=3.5,DX=3.5
(D)EX=3.5,DX=
35 16

【解析】选B.显然X=1,2,3,4,5,6, P(X=i,i=1,2,3,4,5,6)= 1 ,
6

所以,EX= 1 (1+2+3+4+5+6)=3.5,
6

DX= 1 [(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+
6

(6-3.5)2] = 35 .
12

2.某街头小摊,在不下雨的日子一天可赚到100元,在下雨 的日子每天要损失10元,若该地区每年下雨的日子约为130天, 则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( (A)60.82元 (C)58.82元 (B)68.02元 (D)60.28元
365 365

)

【解析】选A. EX=100 ? 235+?-10 ? ? 130 ? 60.82.

3.设X~B(10, 1 ),则EX的值为(
2

)

(A)10 (C) 10

(B) 1
2

(D)5
2

【解析】选D.由已知条件得:EX ? 10 ? 1 ? 5.

4.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取 到次品的个数,则EX等于(
3 (A) 5

) (D)1
15

(B) 8
15

(C) 14

【解析】选A.离散型随机变量X服从N=10,M=3,n=2的超 几何分布, EX= nM = 2 ? 3= 3 . ?
N 10 5

5.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为学校运动会的

志愿者,若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数,则
数学期望EX=________(结果用最简分数表示).

【解析】首先X∈{0,1,2}.
2 C5 10 C1 C1 10 , ∵P(X=0)= 2 ? ,P(X=1)= 2 2 5 ? C 7 21 C7 21 2 P(X=2)= C 2 ? 1 , 2 C7 21 10 10 1 12 4 ? EX=0 ? + ? +2 ? = = . 1 21 21 21 21 7 4 答案: 7

考向 1

离散型随机变量的均值与方差

【典例1】(1)已知离散型随机变量X的分布列为:
X P 100 0.4 90 0.2 80 0.4

则EX=

,DX=

.

(2)已知离散型随机变量X的分布列为:

则EX=

,E(2X-3)=

.

(3)(2013·海口模拟)高二年级某班学生在数学校本课程选课

过程中,已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只
选了一个科目,第一小组选《数学运算》的有1人,选《数学解题

思想与方法》的有5人,第二小组选《数学运算》的有2人,选《数
学解题思想与方法》的有4人,现从第一、第二两小组各任选2人

分析选课情况.
①求选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率;

②设X为选出的4个人中选《数学运算》的人数,求X的分布列和
数学期望.

【思路点拨】(1)利用期望、方差的公式直接计算即可.(2)先

由概率分布列的性质求出m值,再利用期望值公式即可得出结
论.(3)①4人分别来自两个不同的小组,因此,从第一、二小组

分别选两人是相互独立的事件,从而即可求解;②确定随机变量
X的取值是关键的一步,然后再计算各个概率值即得分布列,最

后计算数学期望.

【规范解答】(1)由已知及期望、方差的公式得: EX=0.4×100+0.2×90+0.4×80=90, DX=0.4×(100-90)2+0.2×(90-90)2+0.4×(80-90)2=80. 答案:90 80

1 (2)由概率分布列的性质可知: ? 1 ? 1 ? m ? 1 ? 1, 4 3 5 20

解得:m= 1 ,因此EX = 1 ? ? ?2 ? ? 1 ? ? ?1? ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2
6
4 3 5 6 20 17 ?- , 30

E(2X-3)= 2EX ? 3=2 ? (-17 ) ? 3=- 62 .
30 15

答案: 17 -

30

62 - 15

(3)①设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》” 为事件A,“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》” 为事件B.由于事件A,B相互独立,
2 C5 2 C2 2 且 P ? A ? ? 2 ? , P ? B? ? 4 ? . 2 C6 3 C6 5

所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为
2 2 4 P ? AB ? ? P(A)?P ? B ? ? ? ? . 3 5 15

②由题意知X可能的取值为0,1,2,3.得P(X=0)= 4 ,
15
2 C5 C1 ?C1 C1 C 2 22 4 P ? X ? 1? ? 2 ? 2 2 4 ? 5 ? 2 ? , 2 C6 C6 C6 C6 45

C1 1 1 P ? X ? 3? ? 5 ? 2 ? , 2 C6 C6 45

P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)= 2 , X的分布列为
9

∴X的数学期望 EX ? 0 ? 4 ? 1? 22 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 1.
15 45 9 45

【互动探究】在题(1)中,若条件不变,则E(2X+4)=________, D(2X+4)=________. 【解析】由(1)知EX=90,DX=80, 因此,E(2X+4)=2EX+4=2×90+4=184, D(2X+4)=4DX=4×80=320. 答案:184 320

【拓展提升】求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)①理解X的意义,写出X可能的全部值.

②求X取每个值的概率.
③写出X的分布列.

④由均值的定义求EX.
⑤由方差的定义求DX.

(2)若X是离散型随机变量,则aX+b(a,b是常数,且a≠0)也是
离散型随机变量,且E(aX+b)=aEX+b.

【变式备选】在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有
“对”和“错”两种结果,其中某歌唱家判断正确的概率为 p,判断错误的概率为q,若判断正确则加1分,判断错误则减
1 2 时,记X=|S3|,求X的分布列、数学期望及方差.(2)当 p ? 1 , 3 2 q ? 时,求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率. 3

1分,现记“该歌唱家答完n题后总得分为Sn”.(1)当p=q=

【解析】(1)∵X=|S3|的取值为1,3,p=q= ,
故 P ? X ? 1? ? 2C1 ( 1 )?( 1 ) 2 ? 3 , 3
2 2 1 3 1 3 1 P ? X ? 3? ? ( ) ? ( ) ? . 2 2 4 4

1 2

所以X的分布列为:

∴ EX ? 1? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ,
4 4

2 3 2 3 3 2 1 3 DX ? (1 ? ) ? ? (3 ? ) ? ? . 2 4 2 4 4

(2)当S8=2时,即答完8题后,回答正确的题数为5题,回答错 误的题数是3题,又已知Si≥0(i=1,2,3,4),若第一题和第二 题回答正确,则其余6题可任意答对3题,∴ P1 ? ( 1 )2 C3 ( 1 )3 ( 2 )3; 6
3 3 3

若第一题和第三题回答正确,第二题回答错误,则后5题可任 意答对3题,∴ P2 ? ( 1 ) 2 ? 2 C3 ( 1 )3 ( 2 ) 2 . 5
3 3 3 此时的概率为 P ? P1 ? P2 ? 80 ? 80 . 37 2 187 3

考向 2

与二项分布有关的期望与方差

【典例2】(1)某同学参加科普知识竞赛,需回答4个问题,每 一道题能否正确回答是相互独立的,且回答正确的概率是 3 ,
4

若回答错误的题数为X,则EX=_______,DX=_______.

(2)(2012·天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有
甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人

通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数
为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

①求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率; ②求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人 数的概率; ③用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数, 记ξ =|X-Y|,求随机变量ξ 的分布列与数学期望Eξ .

【思路点拨】(1)依题意先判断随机变量服从二项分布,再直
接用公式解答.(2)先确定随机变量,再判断其是否服从二项

分布,①依据公式直接得出结论;②先分析该事件的构成,
然后解答得出结论;③先确定随机变量的取值,再分别求出 概率,最后求出分布列及期望. 【规范解答】(1)由题意知,随机变量X服从二项分布, 所以 EX ? 4 ? 3 ? 3, DX ? 4 ? 3 ? (1 ? 3 ) ? 3 .
4 4 4 4

答案: 3

3 4

(2)依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
3

1 , 3

去参加乙游戏的概率为 2 . 设“这4个人中恰有i人去参加甲 游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4), 则 P(Ai )=Ci4 ( 1 )i ( 2 ) 4-i .
3 3

①这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
1 2 2 2 8 P ? A 2 ?=C ( ) ( ) ? . 3 3 27
2 4

②设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的 人数”为事件B,则B=A3∪A4, 由于A3与A4互斥,
4 故 P ? B?=P ? A3 ?+P ? A 4 ?=C3 ( 1 )3 ? 2+C4 ( 1 ) 4 ? 1 . 4

3

3

3

9

所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的 人数的概率为 .
1 9

③ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故 P(ξ=0)=P(A2)=
8 , 27

40 , 81 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=17 . 81

P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=

所以ξ的分布列是

随机变量ξ的数学期望 E?=0 ? 8 +2 ? 40+4 ? 17 =148 .
27 81 81 81

【拓展提升】与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量X的期望与方差时,可首先分析X是否服从二项 分布,如果X~B(n,p),则用公式EX=np,DX=np(1-p)求解, 可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系 的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用 E(aX+b)=aEX+b以及EX=np求出E(aX+b),同样还可求出D(aX+b).

【提醒】E(aX+b)=aEX+b,但注意D(aX+b)≠aDX+b,

D(aX+b)≠aDX.

【变式训练】今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为 “碳排放计算器”的软件,人们可以由此计算出自己每天的碳 排放量.例如,家居用电的碳排放量(千克)=耗电度数 ×0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数×0.785等.某 班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合 低碳观念的调查.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”, 否则称为“非低碳族”.这二族人数占各自小区总人数的比例 P数据如下:

(1)如果甲、乙来自A小区,丙、丁来自B小区,求这4人中恰有

2人是“低碳族”的概率.
(2)A小区经过大力宣传,每周“非低碳族”中有20%的人加入 到“低碳族”的行列.如果2周后随机地从A小区中任选25人, 记X表示25人中“低碳族”人数,求EX.

【解析】(1)记这4人中恰有2人是“低碳族”为事件A,
1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 P ? A ?= ? ? ? +4 ? ? ? ? + ? ? ? = . 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100

(2)设A小区有a人,2周后1人是“非低碳族”的概率
1 1 a ? ? (1 ? ) 2 5 =8, P= 2 a 25

2周后1人是“低碳族”的概率 P=- 8 =17 , 1
25 25

17 依题意X~B( 25, ),所以EX= 25 ? 17 =17. 25
25

考向 3

均值与方差的实际应用

【典例3】(1)两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别 为a,b,则产生故障的电脑台数的均值为( (A)ab (C)1-ab (B)a+b (D)1-a-b )

(2)(2013·鹰潭模拟)一个盒子中装有大小相同的10个小球, 其中2个红球,4个黑球,4个白球.规定:一次摸出3个球, 如果这3个球是同色的,就奖励10元,否则罚款2元.

①若某人摸一次球,求他获奖励的概率; ②若有10人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回,记随机 变量X为获奖励的人数,求P(X>1)及这10人所得钱数的期望. (结果用分数表示,参考数据:(14 )10 ? 1 )
15 2

【思路点拨】(1)产生故障的电脑台数的均值为其期望值,可 由期望公式解决. (2)①本题为等可能事件的概率,属于古典概型;②显然随机 变量服从二项分布,运用二项分布的知识解决即可.

【规范解答】(1)选B.因为产生故障的电脑台数的均值为其期 望值,由期望值公式可得:所求均值为a+b.
2C3 1 (2)①由已知得,摸一次球获奖励的概率为 P= 3 4 ? . C10 15 1 ②由题意,X~B(10, ), 15 1 则P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1)= 1-(14 )10-C10 ? 1 ? (14 )9 ? 1 . 15 15 15 7

设Y为一人在一局中的输赢, 则 EY= 1 ?10-14 ? 2=- 6 ,
15 15 5

∴E(10Y)=10EY=10×(-

6 )=-12. 5

【拓展提升】均值与方差的实际应用 (1)DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏 离程度越大,说明X的取值越分散;反之,DX越小,X的取值越 集中在EX附近,统计中常用 DX 来描述X的分散程度. (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反 映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了 随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据, 一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.

【变式训练】某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内 事件E发生,该公司要赔偿a元,设一年内事件E发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于a的10%,公司应要求投保人交 的保险金为________元. 【解析】设要求投保人交x元,公司的收益额ξ作为随机变量, 则P(X=x)= 1-p,P(X=x-a)=p, 故EX=x(1-p)+(x-a)p=x-ap, ∴x-ap=0.1a,∴x=(0.1+p)a. 答案:(0.1+p)a

【满分指导】概率分布列及其期望值、方差综合题的求解

【典例】(12分)(2012·辽宁高
考改编)电视传媒公司为了解某

地区电视观众对某类体育节目的
收视情况,随机抽取了100名观 众进行调查.下面是根据调查结 果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认 为“体育迷”与性别有关?

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电
视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次.记

被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果
是相互独立的,求X的分布列、期望EX和方差DX.
n ? ad ? bc ?

2

附:?2 ?

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

.

【思路点拨】

【规范解答】(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中, “体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:
非体育迷 体育迷

总计 45 55



男 女 总计

30 45

15 10

75 25 100 ?????????????????2分

将2×2列联表中的数据代入公式计算,得
100 ? (30 ? 10 ? 15 ? 45) 2 100 ? ? ? ? 3.030.…………4分 45 ? 55 ? 75 ? 25 33
2

因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别 有关.② ????????????????????6分 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频 率视为概率,即从观众中抽取1名“体育迷”的概率为 1 .
4

????????????????????????8分 由题意X~B(3,
1 ),③ 4

从而X的分布列为

???????10分 EX= np=3 ? 1 = 3 ,
4 4 4 4 16

?????????????11分

DX=np ?1-p ?=3 ? 1 ? 3 = 9 . ????????????12分

【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)

1.(2013·淮北模拟)设X为随机变量,X~B(n, 1 ),若随机变
3

量X的数学期望EX=2,则P(X=2)等于(

)

?A?

13 16

? B?

4 243

?C?

13 243

?D?

【解析】选D.∵X~B(n, 1 ),∴EX=
3 2 ∴P(X=2)=C6 ( 1 ) 2 ( 2 ) 4= 80 . 3 3 243

n =2,∴n=6, 3

80 243

2.(2013·咸阳模拟)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在 第18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘 客在这三层的每一层下电梯的概率均为 1 ,用X表示5位乘客在
3

20层下电梯的人数,则随机变量X的期望EX=(

)

?A?

4 3

? B?

7 3

?C?

5 3

?D?

2 3

【解析】选C.依题意,该问题可看作是5次独立重复试验, X~B(5, 1 ),∴EX ? 5 ? 1 ? 5 .
3
3 3

3.(2013·九江模拟)一支足球队每场比赛获胜(得3分)的概率 为a,与对手踢平(得1分)的概率为b,负于对手(得0分)的概率 为c(a,b,c∈(0,1)),已知该足球队进行一场比赛得分的期望 是1,则 1 ? 1 的最小值为(
a 3b

)

?A?

16 3

? B?

14 3

?C?

17 3

?D?

10 3

【解析】选A.显然a+b+c=1.
得分的期望是3a+b=1.
1 1 1 1 1 b a 10 16 ? ? ( ? )(3a ? b) ? 3 ? ? ? ? ? 2 ? . a 3b a 3b 3 a b 3 3 当且仅当 a ? b ? 1 时,“=”成立. 4



4.(2013·抚州模拟)某射手射击所得环数X的分布列如下:

已知X的期望EX=8.9,则y的值为_____________.
? 【解析】依题意有: ? x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 1, ?7x ? 0.1? 8 ? 0.3 ? 9 ? 10y ? 8.9, ? 解方程组得: x ? 0.2, ? ? y ? 0.4.

答案:0.4

1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧. 其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中, 若随机变量X=|a-b|的取值,则X的数学期望EX=( )

?A?

8 9

? B?

3 5

?C?

2 5

?D?

1 3 6? 7 1 = , 126 3

【解析】选A.对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有 条,X的可能取值有0,1,2. P ? X=0 ?= 2C1 C1 C1= 3 3 7 126
P ? X= ?= 1 8? 7 4 4?7 2 8 = ,P ? X=2 ?= = ,EX= . 126 9 126 9 9

2.已知离散型随机变量X,Y,满足X+Y=8,且X~B(10,0.6),
则EY,DY分别是( (A)6,2.4 (C)2,5.6 ) (B)2,2.4 (D)6,5.6

【解析】选B.由均值、方差的性质,X+Y=8, 得Y=8-X,EY=8-EX=8-10×0.6=2, DY=D(8-X)=(-1)2DX=10×0.6×(1-0.6)=2.4.


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