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长沙市雅礼中学招生考试试卷


长沙市雅礼中学理科实验班招生试题 数 学

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1、下列四个图形中,每个小正方形都标上了颜色.若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样,那么不可能是 这一个正方体的展开图的是( )

A、

B、

C、

D、
<

br />2、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%,则第三季 度的产值比第一季度的产值增长了( ) A、2x% B、1+2x% C、 (1+x%)x% D、 (2+x%)x% 3、 甲从一个鱼摊上买了三条鱼, 平均每条 a 元, 又从另一个鱼摊上买了两条鱼, 平均每条 b 元, 后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( ) A、a>b B、a<b C、a=b D、与 a 和 b 的大小无关 4、若 D 是△ ABC 的边 AB 上的一点,∠ ADC=∠ BCA,AC=6,DB=5,△ ABC 的面积是 S,则△ BCD 的面积是( A、 B、 C、 D、



5、 (2007?玉溪)如图,AE⊥ AB 且 AE=AB,BC⊥ CD 且 BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图 形的面积 S 是( ) A、50 B、62C、65 D、68

6、如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一 个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数字为 a,右图轮子上方的箭头指的数字为 b,数对(a,b)所有可能的个 数为 n,其中 a+b 恰为偶数的不同个数为 m,则 等于( )

A、

B、

C、

D、

7、如图,甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A、C 同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙 点依逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的 4 倍,则它们第 2000 次相遇在边( ) A、AB 上 B、BC 上 C、CD 上 D、DA 上

8、已知实数 a 满足 A、2005 B、2006 C、2007 D、2008 二、填空题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分)

,那么 a﹣2006 的值是(

2



9、小明同学买了一包弹球,其中 是绿色的, 是黄色的,余下的 是蓝色的.如果有 12 个蓝色的弹球,那么,他 总共买了 _________ 个弹球. 10、 已知点 A (1, 1) 在平面直角坐标系中, 在 x 轴上确定点 P 使△ AOP 为等腰三角形. 则符合条件的点 P 共有 _________ 个. 11 、不论 m 取任何实数,抛物线 y=x +2mx+m +m ﹣ 1 的顶点都在一条直线上,则这条直线的函数解析式是 _________ . 12、将红、白、黄三种小球,装入红、白、黄三个盒子中,每个盒子中装有相同颜色的小球.已知: (1)黄盒中的小球比黄球多; (2)红盒中的小球与白球不一样多; (3)白球比白盒中的球少. 则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是 _________ . 13、在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AC、BD 相交于点 O,若 AC=5,BD=12,中位线长为 ,△ AOB 的面积为 S1,△ COD
2 2

的面积为 S2,则

=

_________ .

14、已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b,如果总有另一矩形 B,使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k, 则 k 的最小值为 _________ . 2 2 4 3 2 2 3 4 15、已知 x、y 均为实数,且满足 xy+x+y=17,x y+xy =66,则 x +x y+x y +xy +y = _________ . 16、 (2007?天水)如图,已知在⊙ O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶点分别在⊙ O 及半径 OM、OP 上,并且 ∠ POM=45°,则 AB 的长为 _________ .

三、解答题(共 2 小题,满分 20 分) 17、甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校 75km 的军营 B 军训,甲班学生步行速度为 4km/h,乙班学生步行速 度为 5km/h,学校有一辆汽车,该车空车速度为 40km/h,载人时的速度为 20km/h,且这辆汽车一次恰好只能载一 个班的学生,现在要求两个班的学生同时到达军营,问他们至少需要多少时间才能到达? 18、如图,已知矩形 ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P 在 CD 上移动,AP 与 DM 交于点 E,PN 交 CM 于点 F, 设四边形 MEPF 的面积为 S,求 S 的最大值.

答案与评分标准 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1、下列四个图形中,每个小正方形都标上了颜色.若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样,那么不可能是 这一个正方体的展开图的是( )

A、

B、

C、

D、

考点:几何体的展开图。 分析:利用正方体及其表面展开图的特点解题. 解答:解:选项 C 中红色面和绿色面都是相邻的,故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样,故选 C. 点评:注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题. 2、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%,则第三季 度的产值比第一季度的产值增长了( ) A、2x% B、1+2x% C、 (1+x%)x% D、 (2+x%)x% 考点:一元二次方程的应用。 专题:增长率问题。 分析:设第一季度产值为 1,第二季度比第一季度增长了 x%,则第二季度的产值为 1×(1+x%) ,那么第三季度的产 值是由第二季度产值增长了 x%来确定,则其产值为 1×(1+x%)×(1+x%) ,化简即可. 解答:解:第三季度的产值比第一季度的增长了(1+x%)×(1+x%)﹣1=(2+x%)x%. 故选 D. 点评:本题考查一元二次方程的应用,关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系. 3、 甲从一个鱼摊上买了三条鱼, 平均每条 a 元, 又从另一个鱼摊上买了两条鱼, 平均每条 b 元, 后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( ) A、a>b B、a<b C、a=b D、与 a 和 b 的大小无关 考点:一元一次不等式的应用。 分析:本题考查一元一次不等式组的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题列出不等式关系式即 可求解. 解答:解:利润=总售价﹣总成本= ×5﹣(3a+2b)=0.5b﹣0.5a,赔钱了说明利润<0

∴ 0.5b﹣0.5a<0,∴ a>b 故选 A 点评:解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的不等关系式. 4、若 D 是△ ABC 的边 AB 上的一点,∠ ADC=∠ BCA,AC=6,DB=5,△ ABC 的面积是 S,则△ BCD 的面积是( A、 B、 C、 D、



考点:相似三角形的判定与性质。 分析:先根据相似三角形的判定定理求出△ ACD∽ △ ABC,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答. 解答:解:∵ ∠ ADC=∠ BCA,∠ A 是公共角, ∴ ∠ ABC=∠ ACD, ∴ △ ACD∽ △ ABC, ∴ AC:AD=AB:AC,

∵ AB=AD+BD=AD+5, ∴ AD(AD+5)=36,解得 AD=4 或﹣9,负值舍去, ∴ AD=4,△ ABC 的面积是 S,△ ACD 的面积就是 S,△ BCD= S. 故选 C. 点评:本题的关键是求得△ ACD∽ △ ABC,根据相似比和已知的条件求得 AD 的值,然后利用面积比等于相似比的平方 求值. 5、 (2007?玉溪)如图,AE⊥ AB 且 AE=AB,BC⊥ CD 且 BC=CD,请按照图中所标注的数据, 计算图中实线所围成的图形的面积 S 是( ) A、50 B、62 C、65 D、68 考点:全等三角形的判定与性质。 分析:由 AE⊥ AB,EF⊥ FH,BG⊥ AG,可以得到∠ EAF=∠ ABG,而 AE=AB,∠ EFA=∠ AGB,由此可以证明△ EFA≌ △ ABG,所以 AF=BG,AG=EF; 同理证得△ BGC≌ △ DHC,GC=DH,CH=BG. 故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面 积. 解答:解:∵ AE⊥ AB 且 AE=AB,EF⊥ FH,BG⊥ FH? ∠EAB=∠ EFA=∠ BGA=90°, ∠ EAF+∠ BAG=90°,∠ ABG+∠ BAG=90°? ∠EAF=∠ ABG, ∴ AE=AB,∠ EFA=∠ AGB,∠ EAF=∠ ABG? △ EFA≌ △ ABG ∴ AF=BG,AG=EF. 同理证得△ BGC≌ △ DHC 得 GC=DH,CH=BG. 故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 故 S= (6+4)×16﹣3×4﹣6×3=50. 故选 A. 点评:本题考查的是全等三角形的判定的相关知识.作辅助线是本题的关键. 6、如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一 个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数字为 a,右图轮子上方的箭头指的数字为 b,数对(a,b)所有可能的个 数为 n,其中 a+b 恰为偶数的不同个数为 m,则 等于( )

A、

B、

C、

D、

考点:列表法与树状图法。 分析:先用树状图展示所有可能的结果,共有 12 种等可能结果数,然后找出和为偶数的个数,这样可得到 的值. 解答:解:列树状图: ∴ 数对(a,b)所有可能的个数为 n=12, 其中 a+b 恰为偶数的不同个数为 m=5, ∴ = ,

故选 C.点评:本题考查了利用树状图展示所有等可能的结果的方法.

7、如图,甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A、C 同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙 点依逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的 4 倍,则它们第 2000 次相遇在边( ) A、AB 上 B、BC 上 考点:正方形的性质。 专题:动点型;规律型。 C、CD 上 D、DA 上

分析:因为乙的速度是甲的速度的 4 倍,所以第 1 次相遇,甲走了正方形周长的 × =

;从第 2 次相遇起,每次

甲走了正方形周长的 ,从第 2 次相遇起,5 次一个循环,从而不难求得它们第 2000 次相遇位置.

解答:解:根据题意分析可得:乙的速度是甲的速度的 4 倍,故第 1 次相遇,甲走了正方形周长的 × =

;从第 2

次相遇起,每次甲走了正方形周长的 ,从第 2 次相遇起,5 次一个循环. 因此可得:从第 2 次相遇起,每次相遇的位置依次是:DC,点 C,CB,BA,AD;依次循环. 故它们第 2000 次相遇位置与第五次相同,在边 AB 上. 故选 A. 点评:本题是一道找规律的题目,对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的. 8、已知实数 a 满足 ,那么 a﹣2006 的值是(
2



A、2005 B、2006 C、2007 D、2008 考点:非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:绝对值。 专题:计算题。 分析:根据负数没有平方根,得到 a﹣2007 大于等于 0,然后根据 a 的范围化简绝对值,移项后两边平方即可求出 所求式子的值. 解答:解:由题意可知:a﹣2007≥0, 解得:a≥2007, 则|2006﹣a|+ =a,化为:a﹣2006+ =a,



=2006,两边平方得:a﹣2007=2006 ,解得:a﹣2006 =2007.

2

2

故选 C 点评:本题考查平方根的定义,化简绝对值的方法,是一道基础题.学生做题时注意负数没有平方根. 二、填空题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 9、小明同学买了一包弹球,其中 是绿色的, 是黄色的,余下的 是蓝色的.如果有 12 个蓝色的弹球,那么,他 总共买了 96 个弹球. 考点:一元一次方程的应用。 专题:应用题。 分析:设买了 x 个弹球,根据题意列出有关 x 的一元一次方程解之即可.

解答:解:设总共买了 x 个弹球,根据题意得: (x﹣ x﹣ x)=12 解得:x=96 故答案为:96 点评:本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是从题目中找到能概括题目含义的相等关系,并正确的设出未 知数列出方程. 10、已知点 A(1,1)在平面直角坐标系中,在 x 轴上确定点 P 使△ AOP 为等腰三角形.则符合条件的点 P 共有 4 个. 考点:等腰三角形的判定;坐标与图形性质。 专题:推理填空题;分类讨论。 分析:本题应该分情况讨论.以 OA 为腰或底分别讨论.当 A 是顶角顶点时,P 是以 A 为圆心,以 OA 为半径的圆 与 x 轴的交点,共有 1 个,若 OA 是底边时,P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点,有 1 个,共有 4 个 解答:解: (1)若 AO 作为腰时,有两种情况,当 A 是顶角顶点时,P 是以 A 为圆心,以 OA 为半径的圆与 x 轴的交 点,共有 1 个,若 OA 是底边时,P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点,有 1 个 当 O 是顶角顶点时,P 是以 O 为圆心,以 OA 为半径的圆与 x 轴的交点,有 1 个; (2)若 OA 是底边时,P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点,有 1 个. 以上 4 个交点没有重合的.故符合条件的点有 4 个. 故答案为:4. 点评:本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定.对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边 是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 2 2 11、不论 m 取任何实数,抛物线 y=x +2mx+m +m﹣1 的顶点都在一条直线上,则这条直线的函数解析式是 y=﹣x ﹣1 . 考点:待定系数法求一次函数解析式;二次函数的性质。 专题:计算题。 分析:将抛物线的方程变形为:y=(x+m) +m﹣1,由此可得出定顶点的坐标,消去 m 后即可得出函数解析式. 2 解答:解:将二次函数变形为 y=(x+m) +m﹣1, ∴ 抛物线的顶点坐标为 .
2

消去 m,得 x+y=﹣1. 故答案为:y=﹣x﹣1. 点评:本题考查待定系数法求函数解析式,突破口在于根据抛物线方程得出顶点坐标. 12、将红、白、黄三种小球,装入红、白、黄三个盒子中,每个盒子中装有相同颜色的小球.已知: (1)黄盒中的小球比黄球多; (2)红盒中的小球与白球不一样多; (3)白球比白盒中的球少. 则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是 黄,红,白 . 考点:容斥原理。 专题:证明题。 分析:由(2)可以判断出,红盒不装白球,由(3)判断出,白盒不装白球,从而推得黄盒装白球;假设白盒装黄 球,由(3)知白球比黄球少,而(1)中,白球比黄球多,矛盾,从而得出白盒装红球,红盒装黄球. 解答:解:由条件(2)知红盒不装白球,由条件(3)知白盒不装白球,故黄盒装白球. 假设白盒装黄球,由条件(3)知白球比黄球少,这与条件(1)矛盾,故白盒装红球,红盒装黄球. 故答案为:黄、红、白. 点评:本题考查了容斥原理,根据(2) (3)推出其中一个结论,又利用反证法进行证明. 13、在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AC、BD 相交于点 O,若 AC=5,BD=12,中位线长为 ,△ AOB 的面积为 S1,△ COD

的面积为 S2,则

=



考点:梯形;勾股定理的逆定理;梯形中位线定理。 专题:计算题。 分析:作 BE∥ AC,从而得到平行四边形 ACEB,根据平行四边形的性质及中位线定理可求得 DE 的长,根据勾股定理 的逆定理可得到△ DBE 为直角三角形,根据面积公式可求得梯形的高,因为△ AOB 和△ COD 的面积之和等于梯形的面 积从而不难求解. 解答:解:作 BE∥ AC, ∵ AD∥ CE,∴ CE=AB, ∵ 梯形中位线为 6.5, ∴ AB+CD=13,

∴ DE=CE+CD=AB+CD=13, ∵ BE=AC=5,BD=12,由勾股定理的逆定理, 得△ BDE 为直角三角形,即∠ EBD=∠ COD=90°, 设 S△EBD=S 2 2 则 S2:S=DO :DB 2 2 S1:S=OB :BD ∴ = ∵ S=12×5× =30 ∴ = .

故本题答案为:



点评:此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用.难度一般,熟练掌握一些基本图形的性质是解答此类题 目的关键. 14、已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b,如果总有另一矩形 B,使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k, 则 k 的最小值为 .

考点:矩形的性质。 专题:计算题。 分析:先根据矩形的性质,列出一元二次方程,再利用根的判别式求根即可. 解答:解:设矩形 B 的边长分别为 x 和 y 根据题意: xy=kab, x+y=k(a+b) , 将 y=k(a+b)﹣x 代入 xy=kab 中, 2 x ﹣k(a+b)x+kab=0, 利用一元二次方程求根公式:

x={k(a+b)±S
2 2



△ =k (a+b) ﹣4kab≥0 条件下,x 才有解,

由上面这个不等式推出: k≥4ab/(a+b) 所以 k 的最小值为
2



点评:本题的关键是利用面积周长比列出方程组成一个一元二次方程,用根的判别式求根的情况. 2 2 4 3 2 2 3 4 15、已知 x、y 均为实数,且满足 xy+x+y=17,x y+xy =66,则 x +x y+x y +xy +y = 12499 . 考点:因式分解的应用。 专题:计算题。 2 2 2 2 4 4 分析:本题须先根据题意求出 x +y 和 x y 的值,再求出 x +y 的值,最后代入原式即可求出结果. 2 2 解答:解:x y+xy =xy(x+y)=66 设 xy=m,x+y=n 则 m+n=17 mn=66 ∴ m=6,n=11 或 m=11,n=6(舍去) x +y 2 =11 ﹣2×6 =109 x y =36 4 4 x +y 2 =109 ﹣36×2 =11809 x +x y+x y +xy +y =11809+6×109+36 =12499
4 3 2 2 3 4 2 2 2 2

故答案为:12499 点评:本题主要考查了因式分解的应用,在解题时要注意因式分解的灵活应用. 16、 (2007?天水)如图,已知在⊙ O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶点分别在⊙ O 及半径 OM、OP 上,并且 ∠ POM=45°,则 AB 的长为 .

考点:正多边形和圆。 分析:根据△ CDO 为等腰直角三角形,可知 CO=CD,在直角三角形 OAB 中依据勾股定理即可解决. 解答:解:易知△ CDO 为等腰直角三角形, 那么 CO=CD. 连接 OA,可得到直角三角形 OAB, ∴ AB=BC=CO, 2 2 2 那么 AB +OB =5 , 2 2 2 ∴ AB +(2AB) =5 , ∴ AB 的长为 .

点评:解决本题的关键是构造直角三角形,注意先得到 OB=2AB. 三、解答题(共 2 小题,满分 20 分) 17、甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校 75km 的军营 B 军训,甲班学生步行速度为 4km/h,乙班学生步行速 度为 5km/h,学校有一辆汽车,该车空车速度为 40km/h,载人时的速度为 20km/h,且这辆汽车一次恰好只能载一 个班的学生,现在要求两个班的学生同时到达军营,问他们至少需要多少时间才能到达? 考点:二元一次方程组的应用。

专题:应用题。 分析: 根据题意可让甲班学生从学校 A 乘汽车 akm 出发至某处下车步行, 汽车空车返回至某处, 乙班同学此处上车, 此处距离学校 bkm,根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间,甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+ 乙班坐车时间列出两个方程,求方程组的解即可.然后根据时间= 即可得他们至少需要多少时间才能到达.

解答:解:设甲班学生从学校 A 乘汽车出发至 E 处下车步行,乘车 akm,空车返回至 C 处,乙班同学于 C 处上车, 此时已步行了 bkm.





解得 a=60,b=20.

则至少需要

(h)=6.75(小时) .

答:他们至少需要 6.75 小时才能到达. 点评:本题考查了二元一次方程组的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量 关系,列出方程组,再求解.本题根据题意可画出草图,可以较快地列出所需等量关系. 18、如图,已知矩形 ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P 在 CD 上移动,AP 与 DM 交于点 E,PN 交 CM 于点 F,设四边形 MEPF 的面积为 S,求 S 的最大值. 考点:面积及等积变换。 专题:探究型。 分析: 连接 PM, 设 DP=x, 则 PC=4﹣x, 根据平行线分线段成比例定理可得 = ,

进而可得到

=

,利用三角形的面积公式可得到△ MEP 及△ MPF 的表达式,根据 S=

+

即可得出结论.

解答:解:连接 PM,设 DP=x,则 PC=4﹣x, ∵ AM∥ OP, ∴ = , ∴ = ,即 = , ∵ = 且 S△APM= AM?AD=1,

∴ S△MPE=



同理可得,S△MPF=



∴ S=

+

=2﹣



=2﹣

=2+

≤2﹣ = ,

当 x=2 时,上式等号成立, ∴ S 的最大值为: . 故答案为: .

点评:本题考查的是面积及等积变换,能根据题意作出辅助线,把四边形的面积 转化为两个三角形的面积是解答此题的关键.


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