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高考数学一轮复习 题组层级快练66(含解析)


题组层级快练(六十六)
1.抛物线 y=4x 的焦点到准线的距离是( A. C. 1 8 1 16
2

) B. 1 4

D.1

答案 A 1 1 1 2 解析 由 x = y,知 p= ,所以焦点到准线的距离为 p= . 4 8 8 2.过点 P(-2,3)的抛物线的标准方程是( 9 4 2 2 A.y =- x 或 x = y 2 3 9 4 2 2 B.y = x 或 x = y 2 3 9 4 2 2 C.y = x 或 x =- y 2 3 9 4 2 2 D.y =- x 或 x =- y 2 3 答案 A 9 4 9 2 2 2 解析 设抛物线的标准方程为 y =kx 或 x =my,代入点 P(-2,3),解得 k=- ,m= ,∴y =- x 2 3 2 4 2 或 x = y,选 A. 3 7 2 3.已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A( , 2 4),则|PA|+|PM|的最小值是( A. C. 7 2 9 2 ) B.4 D.5 )

答案 C 1 7 2 解析 设抛物线 y =2x 的焦点为 F,则 F( ,0).又点 A( ,4)在抛物线的外侧,抛物线的准线方程 2 2 1 1 为 x=- ,则|PM|=d- . 2 2 9 又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|≥ . 2 4.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|= 4 3,则 C 的实轴长为( )
2

A. 2 C.4 答案 C

B.2 2 D.8

解析 设双曲线的方程为 2- 2=1,抛物线的准线为 x=-4,且|AB|=4 3,故可得 A(-4,2 3),

x2 y2 a a

B(-4,-2 3),将点 A 的坐标代入双曲线方程得 a2=4,故 a=2.故实轴长为 4.
5.(2015?甘肃天水期末)以坐标轴为对称轴,原点为顶点,且过圆 x +y -2x+6y+9=0 圆心的抛 物线方程是(
2 2 2

)
2

A.y=3x 或 y=-3x
2

B.y=3x

2

C.y =-9x 或 y=3x 答案 D

2

D.y=-3x 或 y =9x

2

2

解析 易知圆 x +y -2x+6y+9=0 的圆心坐标为(1,-3),当抛物线的焦点在 x 轴上时,设抛物线 方程为 y =mx,将(1,-3)代入得 m=9,所以抛物线方程为 y =9x;当抛物线的焦点在 y 轴上时,设抛物 1 2 2 线的方程为 x =ny,将(1,-3)代入得 n=- ,所以抛物线方程为 y=-3x .综上知,所求抛物线方程为 3
2 2

2

2

y=-3x2 或 y2=9x.
6.(2015?山东烟台期末)已知直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,交抛物线于 A,B 两点,且点 A,B 到 y 轴的距离分别为 m,n,则 m+n+2 的最小值为( A.4 2 C.4 答案 C 解析 抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1,由于直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,交 抛物线于 A,B 两点,且点 A,B 到 y 轴的距离分别为 m,n,所以由抛物线的定义得 m+n+2=|AB|,其最 小值即为通径长 2p=4.故选 C. 7.(2015?吉林长春调研测试)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动 点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A. C. 3 5 5 11 5 ) B.2 D.3
2 2 2 2

)

B.6 2 D.6

答案 B 解析 由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y =4x 的准线,设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点 P 到 l2 的距 离等于|PF|,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距 |4-0+6| 离,所以最小值是 =2,故选 B. 5 8. (2015?湖北武汉调研)已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 C: y =4 2x 的焦点, P 为 C 上一点, 若|PF|
2 2

=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 答案 C

) B.2 2 D.4

解析 设点 P(x0,y0),则点 P 到准线 x=- 2的距离为 x0+ 2.由抛物线定义,得 x0+ 2=4 2,x0 1 =3 2,则|y0|=2 6.故△POF 的面积为 ? 2?2 6=2 3. 2 9.点 A 是抛物线 C1:y =2px(p>0)与双曲线 C2: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于( A. 2 C. 5 答案 C 解析 B. 3 D. 6 )
2

x2 y2 a b

x2 y2 求 抛物 线 C1 : y = 2px(p>0) 与双 曲 线 C2 : 2 - 2 = 1(a>0 , b>0) 的 一条 渐 近 线 的交 点 为 a b
2

2 ?y =2px,

? ? b ?y=ax, ?

? ? b , 解得? 2pa ? ?y= b ,
x=
2pa
2

2

2pa p 2 2 所以 2 = ,c =5a ,e= 5,故选 C. b 2

2

10.(2013?新课标全国Ⅱ理)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x 答案 C 解析 方法一:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ =5,则 x0=5- . 2 2 又点 F 的坐标为( ,0),所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x0)(x- )+(y-y0)y=0. 2 2 将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即 -4y0+8=0,所以 y0=4. 2 由 y0=2px0,得 16=2p(5- ),解之得 p=2 或 p=8. 2 所以 C 的方程为 y =4x 或 y =16x.故选 C. → p → p 方法二:由已知得抛物线的焦点 F( ,0),设点 A(0,2),抛物线上点 M(x0,y0),则AF=( ,-2),AM 2 2 =( ,y0-2). 2p
2 2 2 2 2 2 2

2

) B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x
2 2 2 2

p

p

p

p

y2 0

p

y2 0

→ → 8 2 由已知得,AF?AM=0,即 y0-8y0+16=0,因而 y0=4,M( ,4).

p

8 p 由抛物线定义可知:|MF|= + =5. p 2 又 p>0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. 11.(2015?河南许昌一模)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=2,则抛物线的方程为________. 答案 y =-8x 解析 设抛物线方程为 y =-2px(p>0),因为准线方程为 x=2,∴p=4.故抛物线方程为 y =-8x. 1 2 2 2 12. (2015?黑龙江大庆一模)已知圆 x +y +mx- =0 与抛物线 y =4x 的准线相切, 则 m=________. 4 答案 3 4
2 2 2 2 2 2

1 m m +1 2 解析 圆 x +y +mx- =0 圆心为(- ,0),半径 r= ,抛物线 y =4x 的准线为 x=-1.由| 4 2 2 - +1|= 2

m

m2+1
2

3 ,得 m= . 4

13.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽 ________米.

答案 2 6 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,

设抛物线的方程为 x =-2py(p>0), 由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x =-2y. 当 y=-3 时,x=± 6, 所以水面宽为 2 6 米.
2

2

x2 y2 14.(2015?衡水调研)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,其准线经过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左 a b
2

顶点,点 M 为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2p,则双曲线的离心率为________. 答案 10 2

解析 设点 M 在第一象限,∵|MF|=2p,

3 ∴M 的坐标为( p, 3p). 2 又∵准线经过双曲线的左顶点,∴a= . 2

p

x2 y2 3 2 2 ∴双曲线方程为 2- 2=1.将点 M 代入可得 b = p . p b 8
4 3 2 p 8 c a +b b 5 2 ∴e = 2= 2 =1+ 2=1+ 2 = . a a a p 2 4
2 2 2 2

∴e=

10 . 2
2

15.(2015?北京顺义一模)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,垂足为 A.如果△APF 是边长为 4 的正三角形,那么此抛物线的焦点坐标为________,点 P 的横坐标

xP=________.
答案 (1,0),3 解析 如图所示.

设 P( ,y0),则|PA|= + =4.① 2p 2p 2 又在 Rt△AMF 中,∠AFM=∠FAP=60°, |AM| |y0| 故 tan∠AFM= = = 3.② |MF| p 联立①②式,得 p=2,|y0|=2 3.

y2 0

y2 0

p

y2 0 故焦点坐标为(1,0),点 P 的横坐标为 x= =3. 2p
16.抛物线 y =2px(p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条直角边所在直线方程为 y= 2x,斜边长为 5 13,求此抛物线方程. 答案 y =4x 解析 设抛物线 y =2px(p>0)的内接直角三角形为 AOB,直角边 OA 所在直线方程为 y=2x,另一直角 1 边所在直线方程为 y=- x. 2 解方程组?
?y=2x, ? ?y =2px, ?
2 2 2 2

? ? 可得点 A 的坐标为? ,p?; ?2 ?
p

1 ? ?y=- x, 2 解方程组? 2 ? ?y =2px,
2 2 2

可得点 B 的坐标为(8p,-4p).

∵|OA| +|OB| =|AB| ,且|AB|=5 13,
2? ?p 2 2 ∴? +p ?+(64p +16p )=325. ?4 ? 2

∴p=2,∴所求的抛物线方程为 y =4x. 17.(2015?河北唐山模拟)已知抛物线 E:y =2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作圆 C:(x- 4 2 2 2 2) +y =1 的两条切线,切点为 A,B,|AB|= . 3 (1)求抛物线 E 的方程; (2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线,切点分别为 P,Q,若 P,Q,O(O 为原点)三点共线,求点
2

2

N 的坐标.
答案 (1)y =4x
2

3 3 (2)( , 6)或( ,- 6) 2 2

解析 (1)由已知得 M(- ,0),C(2,0). 2 2 2 设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|AR|= . 3 1 2 2 于是|CR|= |AC| -|AR| = . 3 |AC| |AC| |AC| 所以|CM|= = = =3. sin∠AMC sin∠CAR |CR| |AC| 即 2+ =3,p=2. 2 故抛物线 E 的方程为 y =4x.
2

p

p

(2)设 N(s,t).

P,Q 是以 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点.
圆 D 方程为(x-
2 2

s+2

) +(y- ) = 2 2

2

t

2

?s-2? +t , 4

2

2

即 x +y -(s+2)x-ty+2s=0.① 又圆 C 方程为 x +y -4x+3=0,②
2 2

②-①,得(s-2)x+ty+3-2s=0.③

P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程.
3 因为直线 PQ 经过点 O,所以 3-2s=0,s= . 2 3 3 故点 N 坐标为( , 6)或( ,- 6). 2 2

过点 M(2,-2p)作抛物线 x =2py(p>0)的两条切线,切点分别为 A,B,若线段 AB 中点的纵坐标为 6, 求抛物线方程. 答案 x =2y 或 x =4y 1 2 2 解析 x =2py 变形为 y= x , 2p
2 2

2

∴y′= .设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴y′|x=x1= . ∴切线 AM 方程为 y-y1= (x-x1). 即 y= x- .同理 BM 方程为 y= x- . p 2p p 2p 又(2,-2p)在两条直线上, 2x1 x1 2x2 x2 ∴-2p= - ,-2p= - . p 2p p 2p
2 2

x p

x1 p

x1 p

x1

x2 1

x2

x2 2

x 2x ∴x1,x2 是方程 - -2p=0 的两根. 2p p
即 x -4x-4p =0.∴x1+x2=4,x1x2=-4p . 1 2 2 ∴y1+y2= (x1+x2) 2p = 1 1 2 2 [(x1+x2) -2x1x2]= (16+8p ). 2p 2p
2 2 2

2

又∵线段 AB 中点纵坐标为 6, 1 2 ∴y1+y2=12,即 (16+8p )=12. 2p 解得 p=1 或 p=2. ∴抛物线方程为 x =2y 或 x =4y.
2 2


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