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高三数学专题复习导数专题


导数专题

1、考点梳理: 重点考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间、极值、最值,以及利用导数解决生 活中的优化问题,还有恒成立问题、比较大小问题、方程根的个数问题,有时在导数与解析 几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。 2、求导公式:

函数
y?c

导数

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

3、导数运算法则 导数运算法则 1. 2. 3.
4、复合函数的导数 复 合 函 数 y ? f g ? x ? 的 导 数 和 函 数 y ? f ?u ? , u ? g ? x ? 的 导 数 间 的 关 系 为

?

?

? ? y? x ? yu ux ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。
5、思考探究 A.f′(x)>0 是 f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件吗? B.导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗?它是可导函数在该点取得极值的什么条 件?

导数中的不含参数问题 1、设函数 f ,求 f x ? ?? c e 2 . 7 1 8 2 8 . . . 是 自 然 对 数 的 底 数 , c ? R ? ? 2 x 间、最大值。

x ? e

?

? x ? 的单调区

ex 4 2、设 f(x)= ,其中 a 为正实数,当 a= 时,求 f(x)的极值点。 3 1+ax2

3 、 已 知 函 数 f ( x) ? ln x ? a x?

1? a ? 1(a? R, ) 当 a ? ?1 时 , 求 曲 线 y ? f ( x ) 在 点 x

( 2, f ( 2 )) 处的切线方程。

4、已知函数 f(x)=x +2aln x,若函数 f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为 1,求实数

2

a 的值;

含参数问题

一、求单调区间 1、已知函数 f(x)=(x-k)ex, (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值

2、设函数 f(x)=ex-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值.

3、)已知函数 f(x)=x2+2aln x. (1)若函数 f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为 1,求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间;

a 4、已知函数 f(x)=x+ +ln x(a∈R),求函数 f(x)的单调区间; x

1 1 5、已知函数 f(x)=aln x- x2+ (a∈R 且 a≠0),求 f(x)的单调区间; 2 2

二、恒成立问题 1、设 f(x)= ex ,其中 a 为正实数,若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 1+ax2

2、已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R),要使 f(x)在(0,2)上单调递增,试求 a 的取值 范围。

a 3、已知函数 f(x)=x+ +ln x(a∈R).若函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增,求 a 的取值 x 范围.

4、已知函数 f(x)=x3-ax2-x+a,其中 a 为实数,若 f(x)在(-∞,-2]和[3,+∞)上 都是递增的,求 a 的取值范围.

2 5、已知函数 f(x)=x2+2aln x,若函数 g(x)= +f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值 x 范围.

6、设函数 f(x)=ex-ax-2,若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0, 求 k 的最大值.

1 1 7、已知函数 f(x)=aln x- x2+ (a∈R 且 a≠0),是否存在实数 a,使得对任意的 x∈[1, 2 2 +∞),都有 f(x)≤0?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

走进高考

(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1(a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4.当a ? 时,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆 柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假 3

设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) 千元,设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

(22)(本小题满分 13 分)

ln x ? k (k 为常数, e=2.71828…是自然对数的底数) , 曲线 y ? f ( x) 在 ex 点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值.
已知函数 f ( x ) ? (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间. (Ⅲ)设 g(x)=(x +x)f '(x),其中 f '(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意
2

x>0, g ( x)< 1 ? e ?2 .

21、 (本小题满分 13 分) 设函数 f . x ? ?? c e 2 . 7 1 8 2 8 . . . 是 自 然 对 数 的 底 数 , c ? R ? ? 2 x (Ⅰ)求 f

x ? e

?

? x ? 的单调区间、最大值;

(Ⅱ)讨论关于 x 的方程 lnx ? f ?x?根的个数。


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