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高中数学 第七章7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(共80张PPT)


数学

R A(文)

§7.3

二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题
第七章 不等式

基础知识·自主学习
要点梳理
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C =0

某一侧所有点组成的 平面区域 . 我们把直线画成虚线以表示区域 不包括 边界直线. 当我们在坐标系中画不等式 Ax +By+C≥0 所表示的平面区域时, 此区域 应 包括 边界直线,则把边界直线画成
难点正本 疑点清源

1.确定二元一次不等式 表示平面区域的方法 与技巧 确定二元一次不等式 表示的平面区域时, 经常采用“直线定 界,特殊点定域”的 方法.

实线 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

(2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所 有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+ 1.确定二元一次不等式 By+C 所得到实数的符号都 相同 , 所以 表示平面区域的方法 只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0, 与技巧 y0), Ax0+By0+C 的 符号 即可判断 Ax 由 +By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 哪一 确定二元一次不等式 侧的平面区域. 表示的平面区域时, 2.线性规划相关概念

名称 约束 条件 线性约 束条件
基础知识

意义 由变量x,y组成的一次 不等式 由x,y的 一次 不等式 (或方程)组成的不等式组
题型分类 思想方法

经常采用“直线定 界,特殊点定域”的 方法.

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理 目标 函数 欲求_______或_______的函数 最大值 最小值 关于x,y的_______解析式 一次 满足_______________的解 线性约束条件
难点正本 疑点清源

1.确定二元一次不等式 表示平面区域的方法 与技巧 确定二元一次不等式 表示的平面区域时, 经常采用“直线定 界,特殊点定域”的 方法.

线性目 标函数
可行解

可行域
最优解

所有_________组成的集合 可行解 使目标函数取得________或 最大值 ________的可行解 最小值

在线性约束条件下求线性目标 线性规 函数的_________或_________ 最大值 最小值 划问题 问题
基础知识 题型分类 思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
3. 应用 利用线性规划求最值,一般用图解 法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目 标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移 动目标函数变形后的直线,从而确 定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数 即可求出最大值或最小值.
基础知识 题型分类

难点正本 疑点清源
2. 求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0) 的最值,将函数 z=ax+by 转化为直 a z 线的斜截式:y=- x+ ,通过求直 b b z 线的截距 的最值间接求出 z 的最 b z 值.要注意:当 b>0 时,截距 取最 b z 大值时, 也取最大值; z 截距 取最小 b 值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截 z z 距 取最大值时, 取最小值; z 截距 取 b b 最小值时,z 取最大值.

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4

答案
-5<m<10

解析

x+y-1>0

?50x+40y≤2 000 ? ?x∈N* ?y∈N* ?

[-3,3]

5
基础知识 题型分类

C
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
思维启迪 解析 答案 探究提高

?x≥0, ? 【例 1】 若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ? 所表示的平面区域被直线 y=kx 4 + 分为面积相等的两部分,则 k 3 的值是 7 A. 3 ( B. 3 7 C. 4 3 D. 3 4 )

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
思维启迪 解析 答案 探究提高
? 4? 画出平面区域,显然点?0,3?在已知 ? ?

?x≥0, ? 【例 1】 若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

所表示的平面区域被直线 y=kx 4 + 分为面积相等的两部分,则 k 3 结合图形寻找直线平分平面区域面 的值是 7 A. 3 ( B. 3 7 C. 4 3 D. 3 4 )

? 4? 的平面区域内, 直线系过定点?0,3?, ? ?

积的条件即可.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
解析 答案 探究提高

思维启迪 ?x≥0, ? 【例 1】 若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 不等式组表示的平面区域如图所示. ?
? 4? 4 所表示的平面区域被直线 y=kx 由于直线 y=kx+ 过定点?0,3?.因此只有直线过 3 ? ? 4 + 分为面积相等的两部分,则 k 4 3 AB 中点时,直线 y=kx+ 能平分平面区域. 3 的值是 ( ) ?1 5? 7 3 4 ? ? 因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 3 A. B. C. D. 中点 D?2,2?. 3 7 3 4

?1 5? 4 5 k 4 ? , ?时, = + , 当 y=kx+ 过点 2 2 3 2 2 3 ? ?

7 所以 k= . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
思维启迪 解析 答案 探究提高

?x≥0, ? 【例 1】 若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ? 所表示的平面区域被直线 y=kx 4 + 分为面积相等的两部分,则 k 3 的值是 7 A. 3 3 7 4 3 (A ) 3 D. 4

B.

C.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
思维启迪 解析 答案 探究提高

?x≥0, ? 【例 1】 若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ? 所表示的平面区域被直线 y=kx 4 + 分为面积相等的两部分,则 k 3 的值是 7 A. 3 3 7 4 3 (A ) 3 D. 4

不等式组表示的平面区域是各个 不等式所表示的平面区域点集的 交集, 画出图形后,面积关系可结 合平面知识探求.

B.

C.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
?0≤x≤2, ? 变式训练 1 已知关于 x, 的不等式组?x+y-2≥0, y ?kx-y+2≥0 ? 面区域的面积为 4,则 k 的值为 A.1 B.-3 C.1 或-3 D.0 所表示的平 ( A )

解析 其中平面区域 kx-y+2≥0 是含有坐标原 点的半平面.直线 kx-y+2=0 又过定点(0,2), 这样就可以根据平面区域的面积为 4,确定一个 封闭的区域,作出平面区域即可求解.
平面区域如图所示,根据平面区域面积为 4, 得 A(2,4),代入直线方程,得 k=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求线性目标函数的最值
已知 x,y 满足条件 , 4x-3y 的最 求
思维启迪 解析 探究提高

?7x-5y-23≤0 ? ?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ? 大值和最小值.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求线性目标函数的最值
已知 x,y 满足条件 , 4x-3y 的最 求
思维启迪 解析 探究提高

?7x-5y-23≤0 ? ?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ? 大值和最小值.

目标函数 z=4x-3y 是直线形 式,可通过平行移动,求最值.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求线性目标函数的最值
已知 x,y 满足条件
思维启迪 解析 探究提高

?7x-5y-23≤0 ?7x-5y-23≤0 ? ? ?x+7y-11≤0 , 4x-3y 表示的区域如图所示. 求 解 不等式组?x+7y-11≤0 的最 ?4x+y+10≥0 ?4x+y+10≥0 ? ?

可观察出 4x-3y 在 A 点取到最大值,在 B 点取 大值和最小值. 到最小值. ?7x-5y-23=0 ?x=-1 ? ? 解方程组? ,得? , ?4x+y+10=0 ?y=-6 ? ? 则 A(-1,-6).
?x+7y-11=0 ? 解方程组? ?4x+y+10=0 ? ?x=-3 ? ,得? ?y=2 ?

.

动画展示
练出高分

则 B(-3,2),因此 4x-3y 的最大值和最小值分别为 14,-18.
基础知识 题型分类 思想方法

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

求线性目标函数的最值
已知 x,y 满足条件 , 4x-3y 的最 求
思维启迪 解析 探究提高

?7x-5y-23≤0 ? ?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ? 大值和最小值.

(1)线性目标函数的最大(小)值 一般在可行域的顶点处取得, 也 可能在边界处取得. (2)求线性目标函数的最优解, 要注意分析线性目标函数所表 示的几何意义, 明确和直线的纵 截距的关系.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2011· 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ?0≤x≤ 2, ? 式组?y≤2, ? ?x≤ 2y

→ → ( 2,1),则 z=OM· 的最大值为 OA A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

(

)

?0≤x≤ 2, ? 解析 由线性约束条件?y≤2, ?x≤ 2y ?

画出可行域如图阴影部分所示,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2011· 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ?0≤x≤ 2, ? 式组?y≤2, ? ?x≤ 2y

→ → ( 2,1),则 z=OM· 的最大值为 OA A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

( B )

→ → 目标函数 z=OM· = 2x+y, OA 将其化为 y=- 2x+z, 结合图形 可知,目标函数的图象过点( 2,2)时,z 最大,将点( 2,2)的坐 标代入 z= 2x+y 得 z 的最大值为 4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 线性规划的简单应用
某公司计划在甲、乙两个
思维启迪 解析

【例 3】

探究提高

电视台做总时间不超过 300 分钟 的广告,广告总费用不超过 9 万 元.甲、乙电视台的广告收费标 准分别为 500 元/分钟和 200 元/分 钟.假定甲、乙两个电视台为该 公司所做的每分钟广告,能给公 司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元. 问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间,才能 使公司的收益最大,最大收益是 多少万元?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 线性规划的简单应用
某公司计划在甲、乙两个
思维启迪 解析

【例 3】

探究提高

电视台做总时间不超过 300 分钟
要先用 的广告,广告总费用不超过 9 万 根据线性规划解决实际问题,

元.甲、乙电视台的广告收费标 字母表示变量, 找出各量的关系列出 准分别为 500 元/分钟和 200 元/分 约束条件,设出目标函数,转化为线 钟.假定甲、乙两个电视台为该 公司所做的每分钟广告,能给公 性规划问题. 司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元. 问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间,才能 使公司的收益最大,最大收益是 多少万元?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 线性规划的简单应用
某公司计划在甲、乙两个
思维启迪 解析

【例 3】

探究提高

电视台做总时间不超过 300 分钟 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分 的广告,广告总费用不超过 9 万
?x+y≤300, 元.甲、乙电视台的广告收费标 ? 钟,总收益为 z元/分钟和 200 元/分 准分别为 500 元,由题意得?500x+200y≤90 000, ?x≥0,y≥0. ? 钟.假定甲、乙两个电视台为该 目标函数为 z=3 000x+2 000y. 公司所做的每分钟广告,能给公 ?x+y≤300, ? 司带来的收益分别为 0.3 万元和 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900, 0.2 万元. 问该公司如何分配在甲、 ?x≥0,y≥0. ? 乙两个电视台的广告时间,才能 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图: 使公司的收益最大,最大收益是 作直线 l:3 000x+2 000y=0, 多少万元?
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题型分类·深度剖析
题型三 线性规划的简单应用
某公司计划在甲、乙两个
思维启迪 解析

【例 3】

探究提高

电视台做总时间不超过 300 分钟

即 3x+2y=0. 的广告,广告总费用不超过 9 万
元.甲、乙电视台的广告收费标 M 点时, 平移直线 l, 从图中可知, 当直线 l 过 目标函数取得最大值. 准分别为 500 元/分钟和 200 元/分 ?x+y=300, ? 钟.假定甲、乙两个电视台为该 联立? 解得 x=100,y=200. ?5x+2y=900. ? 公司所做的每分钟广告,能给公 司带来的收益分别为 0.3 万元和 ∴点 M 的坐标为(100,200), 0.2 万元. 问该公司如何分配在甲、 ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 乙两个电视台的广告时间,才能 即该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告, 使公司的收益最大,最大收益是 公司的收益最大,最大收益是 70 万元. 多少万元?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 线性规划的简单应用
某公司计划在甲、乙两个
思维启迪 解析

【例 3】

探究提高

电视台做总时间不超过 300 分钟 的广告,广告总费用不超过 9 万 解线性规划应用问题的一般步骤 元.甲、乙电视台的广告收费标 是:(1)分析题意,设出未知量; 准分别为 500 元/分钟和 200 元/分 (2)列出线性约束条件和目标函数; 钟.假定甲、乙两个电视台为该 公司所做的每分钟广告,能给公 (3)作出可行域并利用数形结合求 司带来的收益分别为 0.3 万元和 解;(4)作答. 0.2 万元. 问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间,才能 使公司的收益最大,最大收益是 多少万元?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (1)(2012· 江西) 某农户计划种植黄瓜和韭菜, 种植面积不 超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、 成本和售价如下表

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜 韭菜

4吨 6吨

1.2万元 0.9万元

0.55万元 0.3万元
( )

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大, 那 么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 解析 设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,则由题意可知
?x+y≤50, ? ?1.2x+0.9y≤54, ?x,y∈N , + ?
基础知识

求目标函数 z=x+0.9y 的最大值,
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (1)(2012· 江西) 某农户计划种植黄瓜和韭菜, 种植面积不 超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、 成本和售价如下表

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜 韭菜

4吨 6吨

1.2万元 0.9万元

0.55万元 0.3万元
( B ) D.0,50

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大, 那 么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30

根据题意画可行域如图阴影所示. 当目标函数线 l 向右平移,移至点 A(30,20)处 时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植 30 亩,韭菜种植 20 亩时,种植总利润最大.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
?2x-y+2≥0, ? 变式训练 3 (2)如果点 P 在平面区域?x+y-2≤0, ?2y-1≥0 ? 线 x2+(y+2)2=1 上,那么|PQ|的最小值为 3 4 A. B. -1 C.2 2-1 2 5
解析 如图,当 P 3 |PQ|有最小值为 . 2
? 1? 取点?0,2?,Q ? ?

上, Q 在曲 点 ( A )

D. 2-1

取点(0,-1)时,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
, ?x-4y+3≤0 ? 典例:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?

y (1)设 z=x,求 z 的最小值;(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
, ?x-4y+3≤0 ? 典例:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?

y (1)设 z=x,求 z 的最小值;(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

y-0 (x,y)是可行域内的点.(1)z= 可以理解为点(x,y)与点(0,0)连线的斜 x-0 率.(2)x2+y2 可以理解为点(x,y)与点(0,0)连线距离的平方.(3)x2+y2+6x -4y+13=(x+3)2+(y-2)2 可以理解为点(x, y)与(-3,2)的距离的平方. 结 合图形确定最值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
, ?x-4y+3≤0 ? 典例:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?

y (1)设 z=x,求 z 的最小值;(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

?x-4y+3≤0 ? 解 由约束条件?3x+5y-25≤0 ,作出(x,y)的可行域如图所示. ?x≥1 ? ?x=1 ? ? 22? ? 由 ,解得 A?1, 5 ?. ?3x+5y-25=0 ? ? ?
?x=1 ? 由? ?x-4y+3=0 ?

,解得 C(1,1).
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
, ?x-4y+3≤0 ? 典例:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?

y (1)设 z=x,求 z 的最小值;(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 规 范 解 答 审 题 视 角
?x-4y+3=0 ? 由? ?3x+5y-25=0 ?

温 馨 提 醒
4分

,解得 B(5,2).

y y-0 (1)∵z=x= . x-0

∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.
2 观察图形可知 zmin=kOB=5.
基础知识 题型分类 思想方法
6分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
, ?x-4y+3≤0 ? 典例:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?

y (1)设 z=x,求 z 的最小值;(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

(2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方. 结合图形 可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin =|OC|= 2,dmax =|OB|= 29.∴2≤z≤29.

动画展示

9分

(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到 点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中, dmin=1-(-3)=4,dmax= ?-3-5?2+?2-2?2=8.∴16≤z≤64.
基础知识 题型分类 思想方法
12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
, ?x-4y+3≤0 ? 典例:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ?x≥1 ?

y (1)设 z=x,求 z 的最小值;(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 规 范 解 答 审 题 视 角

温 馨 提 醒

(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法, 给目标函数赋于一定 的几何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏数形结合的应 用意识,不知道从其几何意义入手解题.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线).
2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最

方 法 与 技 巧

值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y a z z =-bx+b, 通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值.最优解在顶点或边界取得.

3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关 系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列 出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成 线性规划问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二

失 误 与 防 范

元一次不等式标准化.

z 2.在通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值时, z 要注意: b>0 时, 当 截距b取最大值时, 也取最大值; z z z 截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最 b b z 大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. b

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.设 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的 平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.设 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的 平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( A )

解 析
?x+y>1-x-y, ? 由已知得?x+?1-x-y?>y, ?y+?1-x-y?>x, ?

1 ? ?x+y> , 2 ? ? 1 即?y<2, ? ? 1 ?x<2. ?
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

?x≥0, ? ?y≥0, 2. (2011· 湖北)直线 2x+y-10=0 与不等式组? ?x-y≥-2, ?4x+3y≤20 ? 的平面区域的公共点有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 ( D.无数个

表示

)

解 析

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

?x≥0, ? ?y≥0, 2. (2011· 湖北)直线 2x+y-10=0 与不等式组? ?x-y≥-2, ?4x+3y≤20 ? 的平面区域的公共点有 A.0 个 B.1 个 C.2 个

表示

( B ) D.无数个

解 析
在坐标平面内画出直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面 区域,易知直线与此区域的公共点有 1 个.

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5 6 7 8 9

?x+2y≥2, ? 3.(2012· 山东)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ?4x-y≥-1, ? 数 z=3x-y 的取值范围是 ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ? ? ?-1,6? A.?-2,6? B.?-2,-1? C.? D.?-6,2? ? ? ? ? ? ? ?

则目标函 ( )

解 析

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5 6 7 8 9

?x+2y≥2, ? 3.(2012· 山东)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ?4x-y≥-1, ? 数 z=3x-y 的取值范围是 ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ? ? ?-1,6? A.?-2,6? B.?-2,-1? C.? D.?-6,2? ? ? ? ? ? ? ?

则目标函 ( )

解 析
作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所 示,作直线 3x-y=0,并向左上、右下平移.

由图可得,当直线过点 A 时,z=3x-y 取最大 值;当直线过点 B 时,z=3x-y 取最小值.
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5 6 7 8 9

?x+2y≥2, ? 3.(2012· 山东)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ?4x-y≥-1, ? 数 z=3x-y 的取值范围是 ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ? ? ?-1,6? A.?-2,6? B.?-2,-1? C.? D.?-6,2? ? ? ? ? ? ? ? ?x+2y-2=0, ? 解 析 由? 解得 A(2,0); ?2x+y-4=0 ? ?4x-y+1=0, ?1 ? ? 由? 解得 B?2,3?. ?2x+y-4=0 ? ? ? 1 3 ∴zmax=3×2-0=6,zmin=3×2-3=-2. ? 3 ? ∴z=3x-y 的取值范围是?-2,6?. ? ?
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则目标函 ( A )

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4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品,甲车间加工 一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获 利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗 费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 )

解 析

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4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品,甲车间加工 一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获 利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗 费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 )

解 析

设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,

?x+y≤70 ? 则?10x+6y≤480 ?x,y∈N ?

目标函数 z=280x+200y,
题型分类 思想方法 练出高分

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5 6 7 8 9

4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品,甲车间加工 一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获 利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗 费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

B

)

解 析
结合图象可得:当 x=15,y=55 时,z 最大.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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4

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5 6 7 8 9

5.(2011· 陕西)如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部 和边界上运动, 那么 2x-y 的最小值为________.

解 析

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1 2 3

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4

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5 6 7 8 9

5.(2011· 陕西)如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部

1 和边界上运动, 那么 2x-y 的最小值为________.
解 析
令 b=2x-y,则 y=2x-b,如图所示, 作斜率为 2 的平行线 y=2x-b,

当经过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,为-b,此时 b=2x-y 取得最小值,为 b=2×1-1=1.

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5 6 7 8
则z

9

6.(2011· 课标全国)若变量 x,y

?3≤2x+y≤9, ? 满足约束条件? ?6≤x-y≤9, ?

=x+2y 的最小值为________.

解 析

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8
则z

9

6.(2011· 课标全国)若变量 x,y

?3≤2x+y≤9, ? 满足约束条件? ?6≤x-y≤9, ?

-6 =x+2y 的最小值为________. 解 析
作出不等式表示的可行域如图(阴影部分).

易知直线 z=x+2y 过点 B 时,z 有最小值.
?x-y=9, ? 由? ?2x+y=3 ? ?x=4, ? 得? ?y=-5. ?

所以 zmin=4+2×(-5)=-6.

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7.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 原料 2 吨; B 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 原料 3 吨. B 销 售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元, 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得的最大利润是________万元.

解 析

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7.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 原料 2 吨; B 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 原料 3 吨. B 销 售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元, 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过

27 18 吨,那么该企业可获得的最大利润是________万元.
设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨, ?x≥0, ? ?y≥0, 则获得的利润为 z=5x+3y. 由题意得? ?3x+y≤13, ?2x+3y≤18, ? 可行域如图阴影所示.

解 析

由图可知当 x、y 在 A 点取值时,z 取得最大值,此 时 x=3,y=4,z=5×3+3×4=27(万元).
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8.(10 分)画出 2x-3<y≤3 表示的区域,并求出所有正整数解.

解 析

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5 6 7 8 9

8.(10 分)画出 2x-3<y≤3 表示的区域,并求出所有正整数解.

解 析

?y>2x-3, ? 先将所给不等式转化为? ?y≤3. ?

而求正整数解则意味着 x,y 还有限制条件,

?y>2x-3 ? 即求?y≤3 ?x,y>0 ?

的整数解.

?y>2x-3 ? 所给不等式等价于? ?y≤3. ?

依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).
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4

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5 6 7 8 9

8.(10 分)画出 2x-3<y≤3 表示的区域,并求出所有正整数解.
?y>2x-3, ? 对于 2x-3<y≤3 的正整数解, 再画出?y≤3, ?x,y>0 ? 平面区域.如图(2)所示:

解 析

表示的

动画展示
可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考

虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预 测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的 最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

解 析

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A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考

虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预 测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的 最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

解 析
解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目, ?x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, 由题意知? 目标函数 z=x+0.5y. ?x≥0, ?y≥0, ?
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专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考

虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预 测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的 最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

解 析
上述不等式组表示的平面区域如图所示, 阴影部分(含边界)即为可行域. 将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为 -2、随 z 变化的一组平行线,当直线 y=-2x +2z 经过可行域内的点 M 时,直线 y=-2x+ 2z 在 y 轴上的截距 2z 最大,z 也最大.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考

虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预 测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的 最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

解 析
这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
?x+y=10, ? 解方程组? ?0.3x+0.1y=1.8, ?

得 x=4,y=6,

此时 z=4+0.5×6=7(万元).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 9.(12 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考

虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预 测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的 最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

解 析
∵7>0,∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值,
所以投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目, 才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈 利最大.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1. (2012· 福建 )若函数 y= 2x 图象上存在点 (x, y)满足约束条件 ?x+y-3≤0, ? ?x-2y-3≤0, ?x≥m, ? 1 A.- 2 则实数 m 的最大值为 3 C. 2 ( )

B.1

D.2

解 析

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1. (2012· 福建 )若函数 y= 2x 图象上存在点 (x, y)满足约束条件 ?x+y-3≤0, ? ?x-2y-3≤0, ?x≥m, ? 1 A.- 2 则实数 m 的最大值为 3 C. 2 ( )

B.1

D.2

解 析
在同一直角坐标系中作出函数 y=2x 的图象
?x+y-3≤0, ? 及? ?x-2y-3≤0 ?

所表示的平面区域,

如图阴影部分所示.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1. (2012· 福建 )若函数 y= 2x 图象上存在点 (x, y)满足约束条件 ?x+y-3≤0, ? ?x-2y-3≤0, ?x≥m, ? 1 A.- 2 则实数 m 的最大值为 3 C. 2 ( B )

B.1

D.2

解 析
由图可知,当 m≤1 时,
函数 y=2x 的图象上存在点(x,y)满足约束条件, 故 m 的最大值为 1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.(2012· 课标全国)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值 范围是 A.(1- 3,2) B.(0,2) C.( 3-1,2) ( ) D.(0,1+ 3)

解 析

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.(2012· 课标全国)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值 范围是 A.(1- 3,2) B.(0,2) C.( 3-1,2) ( A ) D.(0,1+ 3)

解 析
如图,根据题意得 C(1+ 3,2).
作直线-x+y=0,并向左上或右下平 移,过点 B(1,3)和 C(1+ 3,2)时,z= -x+y 取范围的边界值,即-(1+ 3) +2<z<-1+3, ∴z=-x+y 的取值范围是(1- 3,2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?x≥1, ? 3.设不等式组?x-2y+3≥0, ?y≥x ?

所表示的平面区域是 Ω1,平面区

域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x-4y-9=0 对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B,|AB|的最小值等于 28 12 A. B.4 C. 5 5 ( D.2 )

解 析

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练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?x≥1, ? 3.设不等式组?x-2y+3≥0, ?y≥x ?

所表示的平面区域是 Ω1,平面区

域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x-4y-9=0 对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B,|AB|的最小值等于 ( ) 28 12 A. B.4 C. D.2 5 5 ?x≥1 解 析 ? 不等式组?x-2y+3≥0 ,所表示的平面区域 ?y≥x ?
?x=1 ? 如图所示,解方程组? ?y=x ? ?x=1 ? ,得? ?y=1 ?

.
练出高分

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?x≥1, ? 3.设不等式组?x-2y+3≥0, ?y≥x ?

所表示的平面区域是 Ω1,平面区

域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x-4y-9=0 对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B,|AB|的最小值等于 28 12 A. B.4 C. 5 5 ( B ) D.2

解 析
|3-4-9| 点 A(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离为 d= =2, 5 则|AB|的最小值为 4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?y≤x, ? 4.已知 z=2x-y,式中变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?x≤2, ? 的最大值为________.

则 z

解 析

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?y≤x, ? 4.已知 z=2x-y,式中变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?x≤2, ?

则 z

5 的最大值为________. 解 析
在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面 区域及直线 2x-y=0,平移该直线,当平移 到经过该平面区域内的点(2,-1)时,相应直 线在 x 轴上的截距最大,此时 z=2x-y 取得 最大值,最大值是 z=2×2-(-1)=5.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?x+2y-3≤0, ? 5. 已知变量 x, 满足条件?x+3y-3≥0, y ?y-1≤0, ?

若目标函数 z=ax+y(其

中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值, a 的取值范围是__________. 则

解 析

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?x+2y-3≤0, ? 5. 已知变量 x, 满足条件?x+3y-3≥0, y ?y-1≤0, ?

若目标函数 z=ax+y(其

?1 ? ? ,+∞? ?2 ? 中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值, a 的取值范围是__________. 则

解 析
画出 x、y 满足条件的可行域如图所示,要使目标函数 z =ax+y 仅在点(3,0)处取得最大值,则直线 y=-ax+z 的 1 1 斜率应小于直线 x+2y-3=0 的斜率, 即-a<- , ∴a> . 2 2

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2011· 湖北改编)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b. 若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则 z 的取值范围为__________.

解 析

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2011· 湖北改编)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b.

[-3,3] 若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则 z 的取值范围为__________. 解 析
∵a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b, ∴a· b=2(x+z)+3(y-z)=0,
即 2x+3y-z=0.又|x|+|y|≤1 表示的区 域为图中阴影部分,

∴当 2x+3y-z=0 过点 B(0,-1)时,zmin=-3,当 2x+3y -z=0 过点 A(0,1)时,zmin=3.
∴z∈[-3,3].
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练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的 午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位 的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的 营养中至少含 64 个单位的碳水化合物, 个单位的蛋白质和 54 42 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为 该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析



设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x

个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意得: ?x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, z=2.5x+4y,且 x,y 满足? ?6x+6y≥42, ?x≥0,y≥0, ?6x+10y≥54, ? ? ?3x+2y≥16, 即? 画出可行域如图所示. x+y≥7, ? ?3x+5y≥27. ? 让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移, 2.5x+4y 在(4,3)处取得最小值,由此可知 z=22. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就 可满足要求.
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