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苏教版高中数学必修五教案(全册)-第二章 数列第九课时 等比数列的前n项和(一)


第九课时 等比数列的前 n 项和(一) 教学目 标: 会用等比数列求和公式进行求和,灵活应用公式与性质解决一些相关问题;培养学生的 综合能力,提高学生的数学修养. 教学重点: 1.等比数列的前 n 项和公式. 2.等比数列的前 n 项和公式的推导. 教学难点: 灵活应用公式解决有关问题. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质. an (1)

定义式: =q(n≥2,q≠0) an-1 (2)通项公式:an=a1qn 1(a1,q≠0) (3)性质:①a,G,b 成等比数列 ? G2=ab ②在等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq Ⅱ.讲授新课 前面我们一起探讨了等差数列的求和问题 , 等比数列的 前 n 项和如何求?下面我们先来看 引言. 引言中提到的问题是这样的:求数列 1,2,4,…,263 的各项和.可看出,这一数列为一 以 a1 =1,q=2 的等比数列.这一问题相当于求此数列的前 64 项的和. 1.前 n 项和公式 一般地,设有等比数列 a1,a2,a3,…,an,…,它的前 n 项和是 Sn=a1+a2+…+an. 刚才问题即为求:S64=a1+a2+…+a64=1+2+4+…+263 ① 我们发现,若在① 式两边同乘以 2,则得 2S64=2+4+…+263+264 ② 64 由②-①可得:S64=2 -1 同理,可知,若 Sn=a1+ a2+a3+…+an - - - 又∵在等比数列中,an=a1qn 1,∴a1+a1q+a1q2+…+a1qn 2+a1qn 1, - qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn 1+a1qn 不妨将上两式相减可得(1-q)Sn=a1 -a1qn (1)当 q=1,Sn=na1 - xkb1.com a1(1-qn) (2)当 q≠1 时,Sn= 1-q a1-anq 或 Sn= 1-q 若已知 a1,q,n,则选用公式①;当已知 a1,q,an 时,则选用公式②. 2.例题讲解 [例 1]求等比数列 1,2,4,…从第 5 项到第 10 项的和. ① ② 分析:等比数列的第 5 项到第 10 项可组成一新等比数列. 解法一:由 1,2,4,…可知:a1=1,q=2 - ∴an=2n 1,∴a5=24=16,a10=29 =512. w w w .x k b 1.c o m 16(1-26) 从第 5 项到第 10 项共有 6 项,它们的和为: =1008. 1-2 答案:从第 5 项到第 10 项的和为 1008. 解法二:从第 5 项到第 10 项的和为:a5+a6+a7+a8+a9+a10=S10-S4 a1(1-qn) 由 a1=1,q=2 得 Sn= =2n-1,∴S10=210-1=1023 1-q S4=24-1=15,S10-S4=1008. 答:从第 5 项到第 10 项的和为 1008. [例 2]一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各 传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人? 分析:得知信息的人数可组成一以 1 为首项,公比为 2 的等比数列. 解:根据题意可知,获知此信息的人数依次为 1,2,4,8,…是一以 a1=1,q=2 的等 比数列. 1-224 一天内获知此信息的总人数为即为 此数列的前 24 项之和 S24= =224-1 1-2 答:一天时间可传遍 224-1 人. 评述:应先将所遇问题数学化,然后用有关知识加以解决. Ⅲ.课

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