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2013江苏高考数学模拟试题3-复兰高考名师在线精编解析版


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苏锡常镇四市 2012 届高三教学调研测试(二)
2012.5

数学 I(正题)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在相应位置上。 1.设集合 A ? ?? 1,1? , B ? ?0,2? ,则 A ? B ? . .

2.若复数 z 满足 z ? 2 ? i(1 ? i) ( i 为虚数单位),则 z ?

3.已知双曲线

x2 y2 3 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,则 m 的值为 m 3 2

.

4. 已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8 , 9 , 10 , 10 , 8 ,则该组数据的方差

s2 ?

.

5.如图,边长为 2 的正方形内有一个半径为 1 的半圆.向正方形内任投一点(假设该点落在正 方形内的每一点都是等可能的),则该点落在半圆内的概率为 .

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6.已知 4 张卡片(大小,形状都相同)上分别写有 1 , 2 , 3 , 4 ,从中任取 2 张,则这 2 张 卡片中最小号码是 2 的概率为 . 7.等比数列 ?an ?中,若 a3 ? 3 , a6 ? 24 ,则 a8 的值为 8.已知钝角 ? 满足 cos ? ? ? 9.已知函数 f ( x) ? ? . .

3 ? ? ,则 tan( ? ) 的值为 5 2 4

? f ( x ? 1), x ? 2, 则 f (log3 2) 的值为 ?x x ? 2, ? 3 ,

.

10.已知点 P 在 ?ABC 所在平面内,若 2PA ? 3PB ? 4PC ? 3 AB ,则 ?PAB 与 ?PBC 的面 积的比值为 .

11.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; (2)若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为 .

12.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 P 在曲线 xy ? 1( x ? 0) 上, 点 P 在 x 轴上的射影为 M . 若点 P 在直线 x ? y ? 0 的下方, 当

OP 2 取得最小值时, 点 P 的坐标为 OM ? MP

.

13. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F .设线段 AB a 2 b2
2

的中点为 M ,若 2MA ? MF ? BF ? 0 ,则该椭圆离心率的取值范围为
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.

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14. 设实数 n ? 6 , 若不等式 2 xm ? (2 ? x)n ? 8 ? 0 对任意 x ? ?? 4,2? 都成立, 则 最小值为 .

m4 ? n4 的 m3n

二.解答题:本大题共六小题,共计 90 分。 15. 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 AB ? 13 , AC ? 10 , AD ? 5 , CD ? 65 ,

AB ? AC ? 50.
(1)求 cos ?BAC 的值; (2)求 sin ?CAD 的值; (3)求 ?BAD 的面积.

16. 如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 平面 EFGH 分别与 BC ,CA , AS ,SB 交于点 E ,F , G , H ,且 SA ? 平面 EFGH , SA ? AB , EF ? FG . 求证:(1) AB // 平面 EFGH ; (2) GH // EF ; (3) GH ? 平面 SAC .

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17. 如图,已知矩形油画的长为 a ,宽为 b .在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线 区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为 x ,上下两边金 箔的宽为 y ,壁画的总面积为 S . (1)用 x , y , a , b 表示 S ; (2)若 S 为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积 的最大值及对应的 x , y 的值.

18.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 64 , 圆 O1 与圆 O 相交, 圆心为 O1 (9,0) , 且圆 O1 上的点与圆 O 上的点之间的最大距离为 21 . (1)求圆 O1 的标准方程; (2)过定点 P (a, b) 作动直线 l 与圆 O ,圆 O1 都相交,且直线 l 被圆 O ,圆 O1 截得的弦长分 别为 d , d1 .若 d 与 d1 的比值总等于同一常数 ? ,求点 P 的坐标及 ? 的值.

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19.已知 a 为正实数,函数 f ( x ) ?

a?x x ? e ( e 为自然对数的底数). a?x

(1)若 f (0) ? f (1) ,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 1 ; (3)求函数 f ( x) 的单调区间.

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20.已知数列 ?an ?的前三项分别为 a1 ? 5 , a2 ? 6 , a3 ? 8 ,且数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足

Sn?m ?

1 ( S 2 n ? S 2 m ) ? (n ? m) 2 ,其中 m , n 为任意正整数. 2

(1)求数列 ?an ?的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)求满足 S n ?
2

3 an ? 33 ? k 2 的所有正整数 k , n . 2

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苏锡常镇四市 2012 届高三教学调研测试(二) 数学Ⅱ(附加题)
21.选做题

A .选修 4 ?1 :几何证明选讲 如图,自⊙ O 外一点 P 作⊙ O 的切线 PC 和割线 PBA ,点 C 为切点,割线 PBA 交⊙ O 于
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A , B 两点,点 O 在 AB 上.作 CD ? AB ,垂足为点 D.
求证:

PC BD ? . PA DC

B .选修 4 ? 2 :矩阵与变换
设 a , b ? R ,若矩阵 A ? ?

? a 0? ' ? 把直线 l : y ? 2 x ? 4 变换为直线 l : y ? x ?12 ,求 a , ? 1 b ? ?

b 的值.

C .选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程
x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到直线 l : 3x ? 4 y ? 18 ? 0 的距离的最小值. 求椭圆 C : 16 9

D .选修 4 ? 5 不等式选讲
已知非负实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3 z ?
2 2 2

13 ,求 x ? y ? z 的最大值. 4

22.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 4 , AD ? 2 , AA 1 ? 2 , F 是棱 BC 的中 点,点 E 在棱 C1 D1 上,且 D1E ? ?EC1 ( ? 为实数).

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1 时,求直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小; 3 (2)求证:直线 EF 不可能与直线 EA 垂直.
(1)当 ? ?

23.记 f n ( x, y) ? ( x ? y)n ? ( x n ? y n ) ,其中 x , y 为正实数, n ? N ? .给定正实数 a , b 满 足a ?

b .用数学归纳法证明:对于任意正整数 n , f n (a, b) ? f n (2,2). b ?1

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