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2015届高考数学大一轮复习 课时训练6 函数的奇偶性及周期性、 理 苏教版


课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性及周期性
第Ⅰ组:全员必做题 1. x 为实数, [x]表示不超过 x 的最大整数, 则函数 f(x)=x-[x]的最小正周期是________. 2. (2013· 湖南高考改编)已知 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 且 f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(- 1)=4,则 g(1)等于________. x2+x+1 2 3.(2014· 长春三校调研)已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=________. 3 x +1 4.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是________.(填写序号) ①f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) ②f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) ③f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) ④f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) 1 5.(2014· 南京摸底)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x ,则 f(-4)的 2 值是________. 6. 若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数, 且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 则 f(-6)等于________. 1?x 7.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是______________. 8.(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?bx+2 2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ? ,0≤x≤1, ? ? x+1 9.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(3)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积.

-x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0

2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

第Ⅱ组:重点选做题
?3x 1, ? 1. (2013· 南京二模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ? ?f?x-1?-f?x-2?,


x≤0, x>0,



f(2 016)=________. 2.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知 1?1-x 当 x∈[0,1]时,f(x)=? ?2? ,则: ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; 1?x-3 ④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ?2? . 其中所有正确命题的序号是________.

答 第Ⅰ组:全员必做题



1.解析:如图,当 x∈[0,1)时,画出函数图像,

再左右扩展知 f(x)为周期函数. 答案:1 2.解析:由已知可得,-f(1)+g(1)=2, f(1)+g(1)=4,两式相加解得,g(1)=3. 答案:3 3.解析:根据题意,f(x)= x2+x+1 x x =1+ 2 ,而 h(x)= 2 是奇函数, 2 x +1 x +1 x +1

故 f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2- 2 4 [1+h(a)]=2-f(a)=2- = . 3 3

4 答案: 3
2 ? ?x -2x,x≥0, 4.解析:将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0, ?

画出函数 f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数 f(x)的图像关于原点对称, 故函数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减. 答案:③ 5.解析:因为 f(x)是 R 上的奇函数, 1 所以 f(-4)=-f(4)=-4 =-2. 2 答案:-2 6.解析:∵y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1. f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 1?x x 7.解析:在 f(x)-g(x)=? ?2? 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 所以 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x), 因此得-f(x)-g(x) 2 x-2x 2 x+2x 3 5 =2 .于是解得 f(x)= ,g(x)=- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- , 2 2 4 4
- -

x

故 f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 3? ? 1? 8. 解析: 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f? 且 f(-1)=f(1), ?2?=f?-2?, 1 b+2 1 1 1 ?=f?- ?,从而2 故 f? =- a+1,即 3a+2b=-2. ?2? ? 2? 1 2 +1 2 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= , 2 即 b=-2a. 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10 9.解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ②



所以 f(3)=f(3-4)=-f(1)=-1. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+ x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图像关于原点成中心对称,则-1≤x≤0 时,f(x)=x, 则 f(x)的图像如图所示. 当-4≤x≤4 时,设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S, 1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1?=4. 10.解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x) =-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图像知? ? ?a-2≤1,

所以 1<a≤3, 故实数 a 的取值范围是(1,3]. 第Ⅱ组:重点选做题 1.解析:x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),相加得 f(x+1)=-f(x -2),即 f(x+3)=-f(x),所以 f(x+6)=-f(x+3)=f(x),进而 f(2 016)=f(336×6)=f(0)=3
1


1 = . 3 1 答案: 3 2.解析:由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确; 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, 1?1+x f(x)=f(-x)=? ?2? , 函数 y=f(x)的图像如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0,

1?x-3 f(x)=f(x-4)=? ?2? ,因此②④正确,③不正确. 答案:①②④


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