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【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习 课后作业(二十四)正弦定理、余弦定理的应用举例 文


课后作业(二十四)

正弦定理、余弦定理的应用举例

一、选择题

图 3-8-9 1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图 3-8-9), 要测算 A, 两点的距离, B 测量人员在岸边定出基线 BC, 测得 BC=50 m, ∠ABC=105°, ∠BCA =45°,就可以计算出 A,B 两点的距离为( ) A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m 25 2 D. m 2 2.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘 船的速度是每小时( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里

图 3-8-10 3.(2013·广州模拟)一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方 向直线航行,30 分钟后到达 B 处.在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东 偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( ) A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 2海里 D.20 3海里

图 3-8-11 4.如图 3-8-11 所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有 一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ +30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sin θ 的 值为( ) A. 21 2 B. 7 2 C. 3 2 5 7 D. 14

图 3-8-12 5.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为 15°的看台上,同一列上的第一排和 最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如 图 3-8-12 所示),则旗杆的高度为( ) A.10 m B.30 m C.10 3 m D.10 6 m 二、填空题 6.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯 角为 30°,则乙楼的高是________米. 7.在地上画一个∠BDA=60°,某人从角的顶点 D 出发,沿角的一边 DA 行走 10 米后, 拐弯往另一方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一点,我们将该点记为点 B,则 B 与 D 之间的距离为________米.

图 3-8-13 8.如图 3-8-13,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个 测点 C 与 D, 测得∠BCD=15°, ∠BDC=30°, CD=30, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°, 则塔高 AB=________. 三、解答题

图 3-8-14 9.(2013·佛山调研)如图 3-8-14,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向,从城 A 出发有一条走向为南偏东 40°的公路,在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一 辆汽车正沿公路向 A 城驶去,行驶了 20 km 后到达 D 处,测得 C,D 两处的距离为 21 km, 这时此车距离 A 城多少千米?

图 3-8-15 10.如图 3-8-15,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的 两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°,30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间 距离相等,然后求 B,D 间的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

图 3-8-16 11.(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图 3-8-16 所示,城建部门欲在 该地上建造一个底座为三角形的环境标志, 小李、 小王设计的底座形状分别为△ABC、 △ABD, 经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计 使建设费用最低,请说明理由.

解析及答案 一、选择题 1. 【解析】 在△ABC 中,由正弦定理 AB=50 2. 【答案】 A BC AB = , sin 30° sin 45°

2. 【解析】 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从 而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中, AB=5, 得 于是这艘船的速度是 5 =10(海里/小时). 0.5

【答案】 C 3. 【解析】 由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45°.

在△ABC 中,由正弦定理,得 BC= 【答案】 A

AB ×sin 30°=10 2. sin 45°

4. 【解析】 连接 BC.在△ABC 中,AC=10,AB=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得 BC
2

BC AB 2 2 =AC +AB -2AB·AC·cos 120°=700, ∴BC=10 7, 再由正弦定理, 得 = , sin∠BAC sin θ ∴sin θ = 21 . 7

【答案】 A

5. 【解析】 如图,在△ABC 中,∠ABC=105°, 所以∠ACB=30°. 由正弦定理得 10 6 BC = , sin 30° sin 45° 2 2 3 =30(m). 2

所以 BC=20 6× =20 3(m).

在 Rt△CBD 中,CD=BCsin 60°=20 3× 【答案】 B 二、填空题

6. 【解析】 如图,依题意甲楼高度 AB=20tan 60°=20 3米,又 CM=DB=20 米,∠CAM =60°. 1 20 3 所以 AM=CM· = 米, tan 60° 3 所以乙楼的高 CD=20 3- 【答案】 40 3 3 20 3 40 3 = 米. 3 3

7. 【解析】 如图所示,设 BD=x m, 2 2 2 则 14 =10 +x -2×10×x×cos 60°, 2 ∴x -10x-96=0,∴x=16. 【答案】 16 8. 【解析】 设 AB=h,在△ABC 中 h 3 tan 60°= ,∴BC= h, BC 3 在△BCD 中,∠DBC=180°-15°-30°=135°, 3 h 3 CD BC 30 由正弦定理得 = ,即 = , sin∠DBC sin∠BDC sin 135° sin 30° 解得 h=15 6. 【答案】 15 6 三、解答题 9. 【解】 在△BCD 中,BC=31,BD=20,CD=21, DB +DC -BC 1 由余弦定理 cos∠BDC= =- , 2DB·DC 7 1 4 3 所以 cos∠ADC= ,sin∠ADC= , 7 7 在△ACD 中,由条件知 CD=21,A=60°, 所以 sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)= 由正弦定理 所以 AD= AD CD = , sin∠ACD sin A 5 3 × =15, 3 14 3 1 1 4 3 5 3 × + × = , 2 7 2 7 14
2 2 2

21 2

故这时此车距离 A 城 15 千米. 10. 【解】 在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以 CD=AC, 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin 60° 3 2+ 6 即 AB= = , sin 15° 20 3 2+ 6 因此,BD= ≈0.33 km. 20 故 B,D 间的距离约为 0.33 km. 11. 【解】 (1)在△ABC 中,由余弦定理得

AB =AC +BC -2AC·BCcos C=356-320cos C,① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得 2 2 2 AB =AD +BD -2AD·BDcos D=392-392cos C,② 由①②得:356-320cos C=392-392cos C, 1 整理可得,cos C= , 2 又∠C 为三角形的内角,所以 C=60°, 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. (2)小李的设计符合要求. 1 理由如下:S△ABD= AD·BDsin D, 2 1 S△ABC= AC·BCsin C, 2 因为 AD·BD>AC·BC, 所以 S△ABD>S△ABC, 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 因此小李的设计符合要求.

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