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初中数学辅导2013年全国初中数学竞赛试题及答案


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2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
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一.选择题(5× 7'=35') 1.对正整数 n,记 n!=1× ...× 2× n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( ).

A.0 B.1 C.3 D.5 【分析】 n ? 5 时, n !的个位数均为 0,只考虑前 4 个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式 子的个位数是 3. 本题选 C.

? 2x ? 5 ? 3 ? x ? ?5 ? 2.已知关于 x 的不等式组 ? x ? 3 恰好有5个整数解,则 t 的取值范围是( ? ?t ? x ? 2 ?
A. ? 6 ? t ? ? 11 11 11 11 B. ? 6 ? t ? ? C. ? 6 ? t ? ? D. ? 6 ? t ? ? 2 2 2 2

).

? 2x ? 5 ? 3 ? x ? ?5 ? ? 3 ? 2t ? x ? 20 ,则5个整数解是 x ? 19,18,17,16,15. 【分析】 ? ?x ?3 ?t ? x ? 2 ?

注意到 x ? 15 时,只有4个整数解.所以 3.已知关于 x 的方程 A.1 B.2

14 ? 3 ? 2t ? 15 ? ?6 ? t ? ?

11 2 ,本题选 C
)个.

x x ? 2 a ? 2 x 恰好有一个实根,则实数 a 的值有( ? ? 2 x?2 x x ? 2x
C.3 D.4

x x ? 2 a ? 2x ? ? 2 ? a ? 2 x 2 ? 2 x ? 4 ,下面先考虑增根: 【分析】 x?2 x x ? 2x
2 ⅰ )令 x ? 0 ,则 a ? 4 ,当 a ? 4 时, 2x ? 2x ? 0, x1 ? 1, x2 ? 0 (舍) ;

2 ⅱ )令 x ? 2 ,则 a ? 8 ,当 a ? 8 时, 2x ? 2x ? 4 ? 0, x1 ? ?1, x2 ? 2 (舍) ;

再考虑等根: ⅲ )对 2 x ? 2 x ? 4 ? a ? 0 , ? ? 4 ? 8(4 ? a ) ? 0 ? a ?
2

7 1 7 ,当 a ? , x1, 2 ? . 2 2 2

故 a ? 4,8,

7 1 , x ? 1,?1, 共 3 个.本题选 C. 2 2

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4.如图,已知△ABC 的面积为24,点 D 在线段 AC 上,点 F 在 线段 BC 的延长线上,且 BC=4CF,DCFE 是平行四边形,则图 中阴影部分的面积为( A.3 B.4 ). C.5 D.6

【分析】设 ?ABC 底边 BC 上的高为 h ,则

h?

48 48 12 12 ? ? ? BC 4CF CF DE , 1 1 1 ? DE ? h1 ? ? DE ? h2 ? ? DE ? (h1 ? h2 ) 2 2 2

S ?ADE ? S ?BDE ?
?
本题选 D.

1 1 12 ? DE ? h ? ? DE ? ?6 2 2 DE

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标 号整除的概率是( ).

A.

1 4

B.

2 9

C.

5 18

D.

7 36
本题选 B.

1 1 C4 ? C2 ? 1 ? 1 8 2 【分析】 P ? ? ? C92 36 9

二.填空题(5× 7'=35')
6.设 a ? 3 3 ,b 是 a2的小数部分,则 b ? 2) 的值为 (
3



【分析】考虑到 a ? 3 3 ,则 a 2 ? 3 32 ? 3 9, ? 3 8 ? 3 9 ? 3 27 ? 3, b ? 3 9 ? 2, b ? 2 ? 3 9 2 则 b ? 2)3 ? (3 9 )3 ? 9 (

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次,则其朝上 的面的数的和为3的倍数的概率是 . 【分析】对第一次向上面为 1 时,后面两次所得数字与 1 的和是 3 的倍数有 111,114,123,126, 132,135,141,144,153,156,162,165 共 12 种;对于首次掷得向上的面是 2,3,4,5,6 的, 后面两次与首次的和为 3 的倍数是轮换对称的, 故和为 3 的倍数共有 12 ? 6 , 而总次数是 6 ? 6 ? 6 次, 则其概率为 P ? 12 ? 6 ? 1 .

6? 6?6

3

8.已知正整数 a、b、c 满足 a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则 abc 的最大值为



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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 1 2 1 2 2 2 【分析】先消去 c,再配方估算. 6a ? a ? b ? 16b ? 2 ? 6(a ? ) ? (b ? 8) ? 66 ? 12 24
观察易知上式中 a ? 3 ,故 a ? 1,2,3 ,经试算, a ? 1,2 时, b 均不是整数;当 a ? 3 时, b ? 5,11 ,

, 于是有 (a, b, c) ? (3,5,13), (3,11 61) ,故 abcmax ? 3 ?11? 61 ? 2013.

9. 实数 a、b、c、d 满足:一元二次方程 x2+cx+d=0的两根为 a、b,一元二次方程 x2+ax+b=0的两 根为 c、d,则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为 . 【分析】由根与系数关系知 a ? b ? c ? c ? d ? a ? 0 ? b ? d , ab ? d , cd ? b ,然后可得 (a、b、c、d)=(1,-2,1,-2) 本题在化简过程中,总感觉还有,此处仅给出一组,好像不严谨,期待官方答案. 10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔 共350支, 当天虽然没有全部卖完, 但是他的销售收入恰好是2013元, 则他至少卖出了 圆珠笔. 支

, 【分析】设4元的卖 x 支,7元的卖 y 支,则 4 x ? 7 y ? 2013 x ? y ? 350
4 x ? 7 y ? 2013 ? 4 x ? 2012 ? 8 y ? y ? 1 ? x ? 503 ? 2 y ?


y ?1 4

y ?1 ? k ? y ? 4k ? 1 ,则 x ? 503? 2(4k ? 1) ? k ? 505? 7k ,又 x ? y ? 350 ,即 4 1 505 ? 7k ? 4k ? 1 ? 350 ? k ? 51 ?k?N ? k ? 52 , y ? 4k ? 1 ? 4 ? 52 ? 1 ? 207 ? ? 3

即他至少卖了207支圆珠笔. 三.解答题(4× 20'=80') 11.如图,抛物线 y=ax2+bx-3,顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OB=OC =3OA.直线 y ? ? DBC-∠CBE. 【分析】易知 y ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ?1) ? 4 ,
2 2

1 x ? 1 与 y 轴交于点 D,求∠ 3

A(?1,0), B(3,0),C (0,?3),D(1,?4) , EF⊥C 作
O 于 F,连 CE,易知△OBC、△CEF 都是等腰直 角三角形,则△CBE 是直角三角形.分别在 Rt△ OBD、Rt△BCE 中运用正切定义,即有

tan? ?

OD 1 CE 2 1 ? ,tan ? ? ? ? ,则 OB 3 BC 3 2 3

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? ??
从而可得∠DBC-∠CBE=45? .

12.如图,已知 AB 为圆 O 的直径,C 为圆周上一点,D 为线段 OB 内一点(不是端点),满足 CD⊥ AB,DE⊥CO,E 为垂足,若 CE=10,且 AD 与 DB 的长均为正整数,求线段 AD 的长. 【分析】设圆 O 半径为 r,则由相似或三角函数或射影定理可知,

DE2 ? CE ? OE ? DE2 ? 10(r ?10) ,又 CD2 ? CE 2 ? DE2 ? 102 ? 10(r ?10) ? 10r
由相交弦定理(考虑垂径时)或连 AC、BC 用相似 或三角函数,易知

AD ? BD ? CD 2 ? 10r ①,而 AD ? BD ? 2r ②
令 AD ? x, BD ? y ,①/②即

xy 10r y y ? ? 5 ? ? ? 1,显然有 0 ? y ? x , x ? y 2r x 5
则0 ?

y y ? 1 ,即 0 ? ? 1 ? 1 ? 5 ? y ? 10 , y 为 x 5

正整数,故 y ? 6,7,8,9 ,又 x 也为正整数,经逐一 试算,仅当 y ? 6, x ? 30 这一组是正整数,故 AD ? 30 . 13.设 a、b、c 是素数,记 x ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c ,当 z 2 ? y, x ? a、b、c 能否构成三角形的三边长?证明你的结论. 【分析】 ?

y ? 2 时,

?y ? c ? a ? b ? 1 ? 1 ? 8a z2 ? y ? y ? z ? 2a ??? ? z 2 ? z ? 2a ? 0 ? z ? ? 2 ?z ? a ? b ? c

a、b、c 是素数,则 a ? b ? c ? z 为整数,则 1 ? 8a ? 2k ? 1 , k 为正整数.化简整理后,有

?k ? 1, k ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2 ? a ? 1(非质数) k (k ? 1) ? 2a ? ? ?k ? 2, k ? 1 ? a ? 2 ? 1 ? 3
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z? ? 1 ? 1 ? 8a a ? 3 ???? z ? ?3,2 2

ⅰ) z ? 3, y ? 9, x ? 9 ? 2 ? x ? 25, x ? z ? 2b ? b ? 11 , b ? 17, a ? b ? 3 ? 17 ? 20 ? 17 ? c 不能围成三角形; ⅱ) z ? 2, y ? 4, x ? 16, b ? 9是合数 综上所述,以 a、b、c 不能围成三角形. 14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被7整除,那么称 M 为 m 的“魔术数” (例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数) .求正整数 n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1,a2,.,an,满足对任意一个正整数 m,在 a1,a2,., .. .. an 中都至少有一个为 m 的“魔术数” . 【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又 a1,a2,.,an 互不相等,不妨设 a1 ? a2 ? ... ? an ,余数 ..

,... 必为1、2、3、4、5、6,0,设 ai ? 7ki ? t , i ? 1,2,3, (

n; t ? 0,1,2,3,4,5,6 ) ,至少有一个为 m 的

“魔术数”.因为 ai ?10k ? m (k 是 m 的位数),是7的倍数,当 i ? 6 时,而 ai ?10k 除以7的余数都是 0,1,2,3,4,5,6中的6个;当 i ? 7 时,而 ai ?10k 除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7 个数字循环出现,当 i ? 7 时,依抽屉原理, ai ?10k 与 m 二者余数的和至少有一个是7,此时

ai ?10k ? m 被7整除,即 n=7.

以上非官方解答,错误之处,还请多多指教。

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