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高一数学同步辅导教材(第7讲)


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一,本讲进度 2.9 函数的应用举例 2.10 实习作业 小结与复习(课本第 90 页至第 107 页) 二,本讲主要内容 1,函数的应用; 2,第二章的复习与测试 三,学习指导 函数反映了两个变量之间的某种依赖关系,在实际生活和生产中有着广泛的应用.我们研究 的各种 应用问题,通常是指有实际背景或具有实际意义的一些问题.由于实际问题具有

背景 复杂,因素众多, 思维深广度大,解答途径多样等特性,在用数学知识解决时,需要有一个"数 学化"的过程,即从非数 学语言中去捕捉解题信息,将实际问题转化为数学问题,然后再用数 学知识和方法去解决.本讲主要是 用数学中的函数知识来解一些应用问题. 现实世界中普 遍存在的所谓"最优化"问题,诸如成本最低,利润最高,产出最大,效益最好等应 用问题,常 常可以归结为函数的最值问题.通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用相关 的数学知识去解决. 课本提供的三个例题,分别是关于平面几何,增长率(复利)和物理方面 的.通过这些问题的解决, 可以使我们增强应用意识,提高分析问题和解决问题的能力. 四, 典型例题分析 例 1,某商店购进一批单价为 40 元的商品,若按每件 50 元销售,一个月能 卖出 a 个,为获得更大 利润,商品准备提高价格,若每件涨价 1 元,销售量就减少 10 个, 问为了获取最大利润,售价应当定为 多少?试就 a=500 和 a=50 两种情形分别解答. 解题 思路分析 此类问题的基本关系是:每件利润=原售价+提价-进价,实售件所=原售件数-滞销 量. 设提价 x 元/件,则能售出(a-10x)件,月利润总量 y=(10+x)(a-10x)元. 当 a=500 时, 使 y 最大的 x 取值为 20,当 a=50 时,使 y 最大的 x 取值为2。

5. 例 2, 某种商品, 生产 x 吨需费用 1000+5x+ 1 2 x x, 而卖出 x 吨的价格是每吨 p 元, 其中 p=a+ ,(a,b 10 b 是常数). 如果生产的产品全部卖掉, 当生产量是 150 吨时利润最大, 这时每吨价格为 40 元, a,b 的值. 求 解题思路分析: 基本关系式:总利润=总收入-生产费用. 设利润为 y 元, 则可得 y=px-(1000+5x+ 以 p=a+ 1 2 x) 10 x 代入,化简得函数 b 1 1 2 y=( )x +(a5)x-1000 b 10 其中有两个字母 a,b 的值要确定,需要有两个条件.由题设知:当 x=150 时 p=40;又知当 x=150 时利润 y 取最大值.由此解得 a=45,b=30. 例 3,某工厂今年 1 月,2 月,3 月分别生产某产品 1 万件, 1.2 万件, 1.3 万件.为了估测以后每个 月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模 拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系.模拟 函数可选用函数 y=abx+c(其中 a,b,c 为 常数)或二次函数.已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用 以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由. 解题思路分析: 先 确定两种函数的解析式,再比较 x=4 时哪个函数值更接近

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1. 37. 设 y1=f(x)=abx+c,则由 f( 1)=1,f( 2)= 1.2,f( 3)= 1.3,解得 a,b,c,f(x)=0. 8× 0.5x+ 1. 4. 设 y2=g(x)=px2+qx+r,(p≠ 0). 则由 g( 1)=1,g( 2)= 1.2,g( 3)= 1.3 解得 p,q,r,g(x)=0.05x2+ 0.35x+ 0.7 计算 f( 4)= 1.35,g( 4)= 1.3,故用 y 1 作为模拟函数较好. 巩固练习 (一)选择题 1,某商品零售价 1999 年比 1998 年上涨 25\\%,欲控制 2000 年比 1998 年 只上涨 10\\%,则 2000 年应 比 1999 年降价( ) A.15\\% B.12\\% C.10\\% D.50\\% 2, 在国内投寄处埠平信,每封不超过 20 克重需付邮资 8 角,超过 20 克重而不 超过 40 克 重付邮资 16 角,超过 40 克重而不超过 60 克重付邮资 24 角,设信的重量为 x(0<x≤ 60)克时,应 付的邮资为 f(x)角,则函数 y=f(x)的图象是( ) 24 16 8 y 24 8 20 40 60 y 24 8 20 40 60 y 24 8 20 40 60 y 16 16 16

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o x o x o x o 20 40 60 x (A) (B) (C) (D) 3, 某种菌种在培养过程中每 20min 分裂一次 个分裂为 2 个)经过 3h, 个细菌可繁殖为 (1 , 1 ( ) A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个 4,有一批材料可以建成 200m 围墙, 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩 形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等 的矩形如图,则围成的矩形的最大面积是 ( ) B.10000m2 C.2500m2 D.6250m2 A.100m2 5, 某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4\\%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积之比为 y, 则 y=f(x)的图象大致为( ) y 1 o x y y y 1 x o x o 1 x o (A) (B) (C) (D) 6,甲,乙两人同时从 A 出发到 B,甲先骑车到甲点后改步行;乙先步行,到 中点后改骑车,结果 两人同时到达 B(已知骑车快于步行,甲骑车快于乙骑车) ,现把离开 A 的距离 y 表达成时间 x 的函数 并绘成图象(如,下) y y y y o ① x o ② x o ③ x o ④ x 对图象判断正确的是( ) A.甲是①,乙是② B.甲是①,乙是④ C.甲是③,乙是② D.甲是③,

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乙是④ (二)填空题 7,建造一个容积为 8 米 3,深为 2 米的长方体无盖水池,如果池底和 池壁的造价分别为 120 元/米 2 和 80 元/米 2,则总造价 y 关于底面一边长 x 的函数解 析式为. 8.某工厂年产量第二年增长率为 a,第三年增长率为 b,则这两年的平均增长率为 . 9.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x\\%,2000 年底世界人口为 y 亿,那 么 y 与 x 的函数关系是. 10 . 用 12m 长 的 钢 筋 制 作 两 个 正 三 角 形 的 钢 框 , 所 能 得 到 三 角 形 面 积 和 最 小 值 为 m 2. 11. 在 测 量 某 物 理 量 的 过 程 中 , 因 仪 器 和 观 察 的 误 差 , 使 得 n 次 测 量 分 别 得 到 a1,a2,…,an,共 n 个数据.我们规定所测量的物理量的最佳近似值 a 是这样一个量:与其 它近似值比较,a 与各数据差的 平方和最小,依此规定,从 a1,a2,…an 中推出的 a=. (三) 解答题 12.车间生产某种产品,固定成本 2 万元,每生产一件产品成本增加 100 元.已知总收 益 R(总收益指 工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和) (单位:元)是年产量 Q(单位:件)的函数,满足 关系式 400QR=f(Q)= 80000 (Q>4 00) 求每年生产多少件产品时,总利润最大,此时总利润是多少元? 13.银行一年定期存款的年利率为 p,三年定期存款的年利率为 q,如果存一年定期,一 年后取出本息再 一起存入一年定期,这样三年后所取出的本息与直接存三年定期相比较,还 是直接存三年合算,试问 p 与 q 的大小关系如何? 14.某小型自来水厂的蓄水池中存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来水 60 吨,若蓄水池向居民 小区不间断地供水,且 t 小时内供水总量为 120 6t 吨( 0≤t≤ 24). ( 1)供水开始几小时后,蓄水池中的水量最少?最少水量为多少吨? ( 2)若蓄水池中的水量少于 80 吨,就会出现供不紧张现象,试问在一天的 24 小时内,有 多少小时会出 现供水紧张现象,并说明理由. 1 2 Q ( 0≤Q≤4 00) 2 15.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供 政府补贴.设 淡水鱼的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克,根据市场调查,当 8≤x≤14 时,淡水鱼的市场 日供量 p 千克与市场需求量 Q 千克近似地满足关系: P=1000(x+t8) (x≥8, t≥ 0) Q=500 40 ( x 8) 2 ( 8≤x≤ 14) 当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格. (

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1)将市场平衡价格表示的政府补贴的函数,并求出函数的定义域; ( 2)为使市场平衡价格不高于每千克 10 元,政府补贴至少为每千克多少元? 16. 某地现有耕地 10000 公顷, 规划 10 年后粮食单产比现在增加 22\\%, 人均粮食 占有量比现在提高 10\\%, 如果人口年增长率为 1\\%,那么耕地平均每年至多只能减少多 少公顷(精确到 1 公顷)? (粮食单产= 总产量 耕地面积 人均粮食占有量= 总产量 ) 总人口数 【参考答案】 参考答案】 (一)选择题 1,B 1+10\\%=(1+25\\%) (1-x\\%) ,解得 x=12 2,C 由 y=f(x)= 8 16 (0<x≤ 20) (20<x≤ 40) 知选 C 24 (40<x≤ 60) 3,B 3h 时 间 内 分 裂 9 次 , 29=512 4,C 设 每 个 小 矩 形 的 长 为 x,宽 为 y,则 4x+3y=200,面积 S=3xy=x(200-4x) =-4(x25)2+25 00≤2500 5,D 设原绿化面积为 1,则 y=(1+ 10.4\\%)x 6,B 骑车时间就小于步行时间,甲的骑车时间就小于乙的骑车时间. (二)填 空题 7,y=320(x+ 4 4 )+480 .因为容积为 8 米 3,深为 2 米,所以设底面一边为 x 米,则底面另一边为 米, x x 4 4 总造价 y= 4×(x+ )×80+ 4×120=320(x+ )+480 x x 3 + 4(a + 1)(b + 2) + 1 8, . 设 第 一 年 产 量 为 m , 则 第 二 年 产 量 为 m(1+a), 第 三 年 的 产 量 为 2 m(1+a)(1+b),第二年,第三年的总产量为 m(1+a)+m(1+a)(1+b)=m(1+a)(2+b) 又设这两年的 平均增长率为 x,那么第二年,第三年的总产量为 m(1+x)+m(1+x)(1+x)=m(1+x)+m(1+x)2, 由 m(1+a)(2+b)=m(1+x)+m(1+x)2 解得: x= 3 + 4(a + 1)(b + 2) + 1 . 2 9,y= 54.8(1+x\\%)8 .从 1992 年底开始,n 年后世界人口数为 y= 54.8(1+x\\%)n 10,2 3 .设两个正三角形的边长分别为 xm 和 ym,则 3x+3y=12,y=4-x, 两个正三角形面积和 3 2 3 2 3 x + (4 x) 2 = ( x 2) 2 + 4 当 x=2 时,Smin=2 3 (x + y 2 ) = 4 4 2 a1 + a 2 + + a n 11, .设数 x 与 各数据差的平方和为 y,则 n 2 2 2 y=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-an)2 =nx2-2(a1+a2+…+an)x+a 1 + a 2 + + a n

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S= 当 x= [ ] [ ] a1 + a 2 + + a n 时 y 最小. n (三)解答题 12,解 设总利润为 y 元,则 y=R-100Q-20000 300Q= 1 2 Q -20000 2 ( 0≤Q≤400, Q∈N) (Q>400,Q∈N) 60000-100Q 1 (Q-3 00)2+25000 ( 0≤Q≤400, Q∈N) 2 = 60000-100Q, (Q>400,Q∈N) 当 Q>400 时,y 是减函数,y<20000; 当 Q≤400 时,y 是 Q 的二次函数,当 Q=300 时 y 有最大值 250 00.所以每年生产 300 件产品时,利润 最大,最大利润为 25000 元. 13, 设存款数为 a 元, 解 按第一种方式存款三年后本息为 a(1+P)3,而第二种方式存款三年后本息为 a(1+3q) 依题意有:a(1+3q)>a(1+p)3, q > (1 + p ) 3 1 3 14, ( 1)设 t 小时后蓄水池中水量为 y 吨,则 y=400+60t-120 6t ,令 6t =x,则 0≤x≤12 这时 y=400+10x2-120x=10(x6)2+40 当 x=6 即 t=6 时,ymin=40 即从开始供水 6 小时后蓄水池中水量最少,最少 水量为 40 吨. ( 2)由 400+10x2-120x<80,得 4<x<8 即 4< 6t <8 ∵ ∴ 8 32 <t < 3 3 32 8 =8 3 3 2 ∴在一天的 24 小时内,有 8 小时供水紧张. 15,解 ( 1)依题设有 1000(x+t8)=500 40 ( x 8) 化简得 5x +(8t80)x+(4t-2-64t+2 80)=0 当△=800-16t 2≥0 时,得 x=82 4t 2 ± 50 t 2 5 5 0≤t≤ 50 由△≥0,t≥0, 8≤x≤14,得不等式组

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0≤t≤ 50 8≤84t 2 4t 2 + 50 t 2 ≤14 ①或 8≤8- 50 t 2 ≤14 ② 5 5 5 5 由①得 0≤t≤ 10 ,而不等式组②无解 4t 2 ∴所求函数关系式为 x=8- + 50 t 2 ,定义域为 [0, 10 ] 5 5 4t 2 ( 2) 为了使 x≤10,应有 8- + 50 t 2 ≤10,解得 t≥1 或 t≤-5, ∵t ≥0 ∴t≥ 1. 5 5 即政府补贴至少每千克 1 元. 16,解:设耕地每年减少 x 公顷,又设该地区现有人口 P 人, 粮食单产为 m 吨/公顷 将问题中有关数量列表如下: 现 在 10 年后 104 104-10x 耕地 P P(1+1\\%)10 人口(人) m m(1+22\\%) 单产(吨/公顷) 4 m(1+22\\%)(104-10x) 总产量(吨) M×10 人均占有量(吨/人) m(1 + 22\\%)(10 4 10 x) m × 10 4 p 从表中可以看出,10 年后人均占有量提高 10\\%,则 p (1 + 1\\%)10 m(1 + 22\\%)(10 4 10 x) m × 10 4 ≥ (1 + 10\\%) p p (1 + 1\\%)10 1 1(1 + 0. 01)10 化简,得 x≤10 1 1.22 3 近似计算得( 1.0 01)10= 1.1045,则 x≤103 1 1 1 × 1.1045 1.22 解得 x≤ 4.1 所以每年至多只能减少 4 公顷. 七,附录 例 1 的解 设提价 x 元/件,一个月的 总利润为 y 元,根据题意,得 y=(10+x)(a-10x)=-10x2+(a-1 00)x+10a =-10 x (a + 1 00) a 100 + 20 40 2 2 当 a=500 时,x= a 100 =20(元)时,y 取得最大值.这时销售价为 70 元. 20 a 100 当 a=50 时, x= =2.5 元时,y 取得最大值,这时销售价为 47.5 元 20 评注:如果销量较大,由于提价而减少的销量与总销量相比较小时,可以提价销售以获取最大

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利润;如 果由于提价而减少的销量与总销量相比较大时,为获取最大利润需降价销售,这也 是一种市场规律. 例 2 的解 设利润为 y 元,则 y=px-(1000+5x+ 1 2 x) 10 x b x 1 2 x ∴ y=(a+ )x-1000-5xb 10 1 1 2 =( )x +(a5)x-1000 b 10 又 p=a+ 依题意,当 x=150 时,p=40, ∴ 40=a+ ① 150 1 40 a , = 代入①得 b b 150 a 25 2 得 y=x +(a5)x-1000 150 a 25 =150 75(a 5) 75(a 5) 2 x + 1000 a 25 2(a 25) 2 当 a>25 时,y 存在最大值, 75(a 5) = 150 ,解得 a=45,y 取得最大值. a 25 1 40 a 将 a=45 代入 = ,得 b=-30 b 150 仅当 x=150,即 ∴ 符合题意的常数为 a=45,b=-30 例 3 的解 设 y1=f(x)=abx+c,则 f( 1)=ab+c=1 f( 2)=ab2+c= 1.2 f( 3)=ab3+c= 1.3 解得 a=0.8,b= 0.5,c= 1.4 ∴ f(x)=0. 8× 0.5x+ 1.4 f( 4)=0. 8× 0.5x+ 1.4= 1.35 | 1.371.35|= 0.02 (p≠ 0) ,则 设 y2=g(x)=px2+qx+r g( 1)=p+q+r=1 g( 2)=4p+2q+r= 1.2 g(

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3)=9p+3q+r= 1.3 解得 p=0.05 ,q= 0.35, r= 0.7 g(x)=0.05x2+ 0.35x+ 0.7 g( 4)=0. 05×42+ 0. 35×4+ 0.7= 1.3 | 1.371.3|= 0.07 ∴ | 1.371.35|<| 1.371.3| 故用 y=f(x)=0. 8× 0.5x+ 1.4 作为模拟函数较好. 评注:实际问题中的函数关系,不一定能用解析式表示.但可以 根据实际情形,探求函数的经验表达式, 使这种表达式求得的数据与实际问题中数据误差尽 可能地小. 第二章的复习小结与测试 一,复习指导 认真阅读课本第 98 页到第 104 页的内容提要,学习要求和需要注意的问题 以及参考例题. 通过下面的框图了解本章的知识结构和体系: 对应法则 定义域 值域 单调 性 奇偶性 对称性 指数函数 函数的三要素 映射 → 函数 ↓ 映射 →反函数 函数的性质 指数 常见函数 对数 对数函数 二,全章测试题(90 分钟) (一)选择题(共 12 题,每小题 3 分,共 36 分) 1,已知映射 f: A→B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象, 且对任意的 a∈A,在 B 中和它对应的元素是|a|,则集合 B 中元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2,映射 f:A →B 对应的函数的定义域为 A,值域为 B,则下列结论正确的是( ) A.集合 A 中的每一个元素必有象,但 B 中的元素不一定有原象 B.集合 B 中的元素必有原象 C.B 中 的元素只能有一个原象 D.A 或 B 可以是空集 3,已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在 [0,+∞)上是减函数,那么下列式子正确的是( )

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3 ) > f (a2-a+ 1) 4 3 C. f(- ) <f (a2-a+ 1) 4 A. f(5,函数 y= x 2 +1 A. y=2-(x1)2, (x≥ 2) C.y=2-(x1)2, (x≥ 1) 2 B. f(3 ) ≥f (a2-a+ 1) 4 3 D. f(- )≤f (a2-a+ 1) 4 D.[1,+ ∞] 4,函数 y=|x-1|(x+ 5)的单调减区间是( ) A.(- ∞,-2] B.[-2, +∞) C. [-2,1] (x≥ 2)的反函数是( ) 2 B. y=2+(x1) , (x≥ 2) D.y=2+(x1)2, (x≥ 1) 2 6,函数 f(x)=- 1 x 的反函数为 f-1(x)= 1 x ,则 f(x)的定义域是( A. [-1,0] B.[-1,1] C.[0,1] D.(-1, 1) 7,当 x>0 时,函数 f(x)=(a21)x 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是( A.1<|a|< 2 C. |a|<1 0.1 ) ) B. |a| > D.|a|>1 2 ) D.b<1<a 2 8,已知 a= ,b= 1。

10.01,则下列关系正确的是( 3 A.a<1<b 9,函数 y= A. [0,+ ∞) 10,若|loga4|=loga A.a>1 且 b>1 C.a>1 且 0<b<1 B.a<b<1 C.b<a<1 ) C.(0,1] 3 x x

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3 +1 的值域是( B.(0, 1) D.(0,+ ∞) ) 1 1 , |logba|=logb ,则 a,b 满足关系( 4 a B.0<a<1 且 b>1 D.0<a<1 且 0<b<1 11,若函数 f(x)=log a 2 1 (2x+ 1)在区间(A.0<a<1 1 ,0 )上满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是( 2 ) B.|a|>1 ) D.[3,+∞) C.1<|a|< 2 D.|a|> 2 12,若实数 x 满足 log2x+x=3,则 x 所在的区间是( A.[0, 1) B.[1, 2) C.[2, 3) (二)填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 x2 13,函数 y= 的奇偶性是. | 2 + x | 2 14,已知函数 f(x)= x5 的图象关于直线 y=x 对称,则 m=. 2x m 15,函数 y=ax+b 的图象经过点(1, 3) ,其反函数的图象经过点(2, 0) ,则这函数的表达式为 . 16 , 函 数 f(x)=(m1)x2+(1-lgm)x+1 是 偶 函 数 , 则 f( 10),f(-3, 1),f( π ) 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 起 来 为 . 17,将四个数 0.82, 20.8,( 5 )0,log 20.8 按从小到大的顺序排列为 . 18,函数 y=log 1 (5-4x-x 2)的单调递增区间是. 3 (三)解答题(共 5 小题.每小题 8 分,共 40 分) 19,作出下列函数的图象 ( 1) y= -x 20,证明函数 f(x)= x∈(0, 1) x+1 x∈[-1,0] ( 2) y=|x2-4x+3| x 在(-1, 0)上是增函数. 1+ x2 x2 + x 21,已知集合 M= x | a 1 ≤ 2 a x2 , (a > 0, a ≠ 1) 求函数 y=2x(x∈M)的值域. 22,设 x 满足不等式 x2-10x+

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16≤0,求函数 y=(log2x)2-3log2x-1 的最大值和最小值. 10 x 10 x 23,已知函数 f(x)= x 10 + 10 x ( 1)求 f(x)的值域; ( 2)试用 f(x),f(y)表示 f(x+y). 备注:参考答案见下周


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