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高中数学会考专题训练大全(完全版)


高中数学会考函数的概念与性质专题训练

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、映射f:X→Y是定义域到值域的函数,则下面四个结论中正确的是 A、Y中的元素不一定有原象 C、Y可以是空集 2、下列各组函数中,表示同一函数的是 A、 y ? C、 y ? B、X中不同的元素在Y中有不同的象 D、以上结论都不对 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

x 2 与y ?| x |
( x ? 2)( x ? 3) 与y ? x ? 2 x?3

B、 y ? 2 lg x与y ? lg x 2 D、 y ? x 0与y ? 1

3、函数 y ?

x ? 1 的定义域是
B、[?1,+? ) C、[0,+?] D、(?1,+?)

A、(??,+?)

4、若函数 y ? f ( x ) 的图象过点(0,1), 则 y ? f ( x ? 4 ) 的反函数的图象必过点 A、(4,—1) B、(—4,1) C、(1,—4) D、(1,4)

5、函数 y ? a x ? b与函数y ? ax ? b(a ? 0且a ? 1) 的图像有可能是 y y y

y

x O O

x

x O O

x

A

B

C

D

6、函数 y ? ? 1 ? 4 x 2 的单调递减区间是 A、 ? ? ?, ? 2

? ?

1? ?

B、 ? ,?? ? ?2 ?

?1

?

C、 ?? ,0? ? 2 ?

? 1 ?

D、 ?0, ? 2

? 1? ? ?

7、函数 f(x) ? x ? R ? 是偶函数,则下列各点中必在 y=f(x)图象上的是 A、 ?? a, f (a) ? B、 ?? a,? f (a)? C、 ?? a,? f (?a)? D、 ?a,? f (?a)?

8、如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上 是 A、增函数且最小值是-5 C、减函数且最大值是-5 B、增函数且最大值是-5 D、减函数且最小值是-5

9、偶函数 y ? f (x) 在区间[0,4]上单调递减,则有 A、 f (?1) ? f ( ) ? f (?? )

?

3

B、 f ( ) ? f (?1) ? f (?? )

?

3

C、 f (?? ) ? f (?1) ? f ( )

?

3

D、 f (?1) ? f (?? ) ? f ( )

?

3

10、若函数 f (x) 满足 f (ab) ? f (a) ? f (b) ,且 f .(2) ? m, f (3) ? n ,则 f (72) 的值为 A、 m? n B、 3m ? 2n C、 2m ? 3n D、 m 3 ? n 2

11、 已知函数 y ? f (x) 为奇函数, 且当 x ? 0 时 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , 则当 x ? 0 时,f (x) 的解析式 A、 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 C、 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 B、 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 D、 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3

12、某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程。 在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图象中 较符合该学生走法的是 d d0 A、 d d0 O C、 t0 t D、 O t0 t B、 d d0 O t0 t d d0 O t0 t

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、设 f(x)=5-g(x),且 g(x)为奇函数,已知 f(-5)=-5,则 f(5)的值 为 。 14、函数 y ? ? 1 ? x (x≤1)反函数为 。

( x ≤ ?1) ?x ? 2 ? 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? 15、设 f ( x) ? ? x ? 2x ( x ≥ 2) ?



16、对于定义在 R 上的函数 f(x),若实数 x0 满足 f( x0 )= x0 ,则称 x0 是函数 f(x)的一个不

动点.若函数 f(x)= x 2 ? ax ? 1没有不动点,则实数 a 的取值范围 是 。

三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、试判断函数 f ( x) ? x ?

2 在[ 2 ,+∞)上的单调性. x

18 、 函 数 y ? f (x) 在 ( - 1 , 1 ) 上 是 减 函 数 , 且 为 奇 函 数 , 满 足

f (a 2 ? a ? 1) ? f (a ? 2) ? 0 ,试 a 求的范围.

19、如图,长为 20m 的铁丝网,一边靠墙,围成三个大小相等、紧紧相连的长方形,那 么长方形长、宽、各为多少时,三个长方形的面积和最大?

20、给出函数 f ( x) ? log a (1) (2)

x?2 (a ? 0, a ? 1) . x?2

求函数的定义域; 判断函数的奇偶性;

数学参考答案
二、函数
一、选择题:1—12: DABCC 二、填空题:13. 15 三、解答题: 17.解:设 2 ? x1 ? x2 ? ?? ,则有 14. CAAAB BB 15 .

y ? 1 ? x 2 ( x ? 0)

3

16. (?1,3)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?
= ( x1 ? x2 ) ? (

2 2 2 2 ? ( x2 ? ) = ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 x1 x2

2 2 x2 ? 2 x1 ) ) = ( x1 ? x2 )(1 ? x1 ? x2 x1 ? x2

= ( x1 ? x2 )(

x1 x2 ? 2 ). x1 ? x2

? 2 ? x1 ? x2 ? ?? , x1 ? x2 ? 0 且 x1 x2 ? 2 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以函数 y ? f (x) 在区间[ 2 ,+∞)上单调递增. 18.解:由题意, f (a 2 ? a ? 1) ? f (a ? 2) ? 0 ,即 f (a 2 ? a ? 1) ? ? f (a ? 2) , 而又函数 y ? f (x) 为奇函数,所以 f (a 2 ? a ? 1) ? f (2 ? a) . 又函数 y ? f (x) 在(-1,1)上是减函数,有

?? 1 ? a 2 ? a ? 1 ? 1 ?? 1 ? a ? 0或1 ? a ? 2 ? ? ? ?1 ? a ? 3 ?? 1 ? a ? 2 ? 1 ?1 ? a ? 3 . ?a 2 ? a ? 1 ? 2 ? a ? ? ?? 3 ? a ? 3
所以, a 的取值范围是 (1 3) . , 19.. 解 : 设 长 方 形 长 为 x m , 则 宽 为

20 ? 4 x 3

m , 所 以 , 总 面 积

s ? 3x ?

20 ? 4 x = ? 4 x 2 ? 20x 3

= ? 4( x ? ) ? 25 .所以,当 x ?
2

5 2

5 2 时,总面积最大,为 25m , 2

此时,长方形长为 2.5 m,宽为 20. .解:(1)由题意,

x?2 ? 0 解得: x ? ?2或x ? 2 , x?2

10 m. 3

所以,函数定义域为 {x | x ? ?2或x ? 2} . (2)由(1)可知定义域关于原点对称,则

f (? x) ? l o g a

?x?2 x?2 x ? 2 ?1 ) = log a = log a ( ?x?2 x?2 x?2 x?2 = ? log a = ? f (x) . x?2

所以函数 y ? f (x) 为奇函数. (3)设 y ? log a

x?2 x?2 2a y ? 2 ? a y ,解得 x ? y ,有 , x?2 x?2 a ?1

所以 f

?1

( x) ?

2a x ? 2 , x ?{x | x ? 1, x ? R} . a x ?1

高中数学会考夹角、距离、简单多面体与球专题训练
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、两个对角面都是矩形的平行六面体是 A、正方体 B、正四棱柱 C、长方体 D、直平行六面体 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

2、正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,异面直线 AC 与 B1C1 所成的角是 A、300 B、600 C、900 D、1200

3、已知一个正六棱柱的底面边长是 2 3 ,最长的对角线长为 8,那么这个正六棱柱的高 是 A、 2 3 B、 3 C、4 D、 4 3

4、正四棱锥相邻的侧面所成二面角的平面角是 A、锐角 B、钝角 C、直角 D、以上均有可能

5、一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比是 1:2,则此棱锥的高 (自上而下)被分成两段长度之比为 A、1: 2 B、1:4 C、1: ( 2 ? 1) D、1: ( 2 ? 1)

6、在四棱锥的四个侧面中,可以是直角三角形的个数最多是 A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个

7、三棱锥 P-ABC 中,若 PA=PB=PC,则顶点 P 在底面三角形的射影是底面三角形的 A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

8、四棱柱成为平行六面体的一个充分不必要条件是 A、底面是矩形 C、有一个侧面为矩形 B、底面是平行四边形 D、两个相邻侧面是矩形

9、已知 AD 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边上的高,沿 AD 将△ABC 折成直二面角后, 点 A 到 BC 的距离为 A、

3 2

B、

7 2

C、

14 2

D、

14 4

10、已知异面直线 a、b 所成的角为 500,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都 是 30 的直线有且仅有 A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条
0

11、二面角 ? ? ? ? ? 是直二面角, A ? ? , B ? ? , A, B ? ? ,设直线 AB 与 ? , ? 所成的 角分别为 ? 1 、 ? 2 则 A、 ?1 ? ? 2 ? 900 C、 ?1 ? ? 2 ? 900 B、 ?1 ? ? 2 ? 900 D、 ?1 ? ? 2 ? 900

12、二面角 ? , ? , ? 两两垂直且交于一点 O,若空间有一点 P 到这三个平面的距离分别是 3 4、12 则点 P 到点 O 的距离为 A、5 B、 153 C、13 D.、 4 10 、

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=1,CC1= 3 ,则平面 A1BC 与平面 ABCD 所成 的角的度数是____________ 14、正三棱锥 V-ABC 的各棱长均为 a,M,N 分别是 VC,AB 的中点,则 MN 的长为______ 15、有一个三角尺 ABC, ?A ? 300 , ?C ? 900 ,BC 贴于桌面上,当三角尺与桌面成 450 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是________. 16、已知点 A,B 在平面 ? 同侧,线段 AB 所在直线与 ? 所成角为 300,线段 AB 在 ? 内射 AB 影长为 4, 的中点 M 到 ? 的距离为 8, AB 两端到平面 ? 的距离分别为_________ 则 和____________。 三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、湖面上漂浮着一个球,湖面结冰后将球取出,冰面上留下一个空穴,冰面圆的直径 为 24cm,空穴最深处距冰面为 8cm,求该球的半径。

18、地球北纬 450 圈上有 A,B 两地,分别在东经 1200 和西经 1500 处,若地球半径为 R, 求 A,B 两地的球面距离。

19、如图,在三棱锥 D-ABC 中,DA⊥平面 ABC,∠ACB=900,∠ABD=300,AC=BC,求异 面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值。

20、正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,P,Q,R 分别为棱 AA1,AB,BC 的中点,试求二面 角 P-QR-A 的正弦值。
D1 C1

A1

B1

P D C R Q A B

数学参考答案
十二、夹角、距离、简单多面体与球
一、选择题:1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.C

0 二、填空题: 13.30 14.

2 a 2

15.

6 4 30 10

16.8-

2 3 2 3 ,8+ 3 3 6 3

三、解答题:17.r=13

18.

?R 3

19.

20.

高中数学会考排列、组合、概率专题训练

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、已知集合 A={1,3,5,7,9,11},B={1,7,17}.试以集合 A 和 B 中各取一个数作为点的坐标, 在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是 A、32 B、33 C、34 D、36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

2、以 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真数,则可 以得到不同的对数值的个数为 A、64 B、56 C、53 D、51

3、四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在 一起,则不同的排法数有 A、3600
3

B、3200

C、3080

D、2880

4、由 ( 3x ? 2 )100 展开所得 x 多项式中,系数为有理项的共有 A、50 项 B、17 项 C、16 项 D、15 项

5、设有甲、乙两把不相同的锁,甲锁配有 2 把钥匙,乙锁配有 2 把钥匙,这 4 把钥匙与 不能开这两把锁的 2 把钥匙混在一起,从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是 A、4/15 B、2/5 C、1/3 D、2/3

6、在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是 A、5/6 B、4/5 C、2/3 D、1/2

7、先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 A、1/8 B、3/8 C、7/8 D、5/8

8、在四次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概 率,则事件 A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是

A、[0.4,1]

B、(0,0.4)

C、(0,0.6)

D、[0.6,1]

9、若 (2x ? 3)100 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 100 x100 ,则(a0+a2+a4+?+a100)2-(a1+a3+?+a99)2 的值为 A、1 B、-1 C、0 D、2

10、集合 A={x|1≤x≤7,且 x∈N*}中任取 3 个数,这 3 个数的和恰好能被 3 整除的概率 是 A、19/68 B、13/35 C、4/13 D、9/34

11、某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和 盒装磁盘,根据需要至少买 3 片软件,至少买 2 盒磁盘,则不同的选购方式共有 A、5 种 B、6 种 C、7 种 D、8 种

12、已知 xy<0,且 x+y=1,而(x+y)9 按 x 的降幂排列的展开式中,T2≤T3,则 x 的取值范 围是 A、 (??,

1 ) 5

4 B、 [ , ??) 5

C、 (1 , ??)

4 D、 (?? , ? ] 5

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、已知 A、B 是互相独立事件,C 与 A,B 分别是互斥事件,已知 P(A)=0.2,P(B)=0.6, P(C)=0.14,则 A、B、C 至少有一个发生的概率 P(A+B+C)=____________。 14、 (| x | ?
1 ? 2) 3 展开式中的常数项是___________。 |x|

0 15、求值: C10 ?

1 1 1 2 1 3 1 10 C10 ? C10 ? C10 ? ? ? C10 =____________。 2 3 4 11

16、5 人担任 5 种不同的工作,现需调整,调整后至少有 2 人与原来工作不同,则共有多 少种不同的调整方法?________________。 三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、在二项式 ( x ?
3

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(1)求展开式的第四项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中各项的系数和。

18、设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这 五个球放入 5 个盒子内 (1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种 投放方法?

19、掷三颗骰子,试求: (1)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率; (2)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率。

20、一个布袋里有 3 个红球,2 个白球,抽取 3 次,每次任意抽取 2 个,并待放回后再抽 下一次,求: (1)每次取出的 2 个球都是 1 个白球和 1 个红球的概率; (2)有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球,还有 1 次取出的 2 个球同色的概 率; (3)有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球,还有 1 次取出的 2 个球是红球 的概率。

数学参考答案
十三、排列、组合、概率
一、选择题:1、D 三、解答题 17、展开式的通项为 Tr ?1 ? (? 1 ) r C r x n 2
n ?2r 3

2、C 3、D 4、B 5、A 14、-20

6、C 7、C 8、A 9、A10、B 11、C 12、C 16、119

二、填空题:13、0.82

15、1/11

,r=0,1,2,?,n

1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 2 由已知: (? ) C n , ( )C n , ( ) C n 成等差数列,∴ 2 ? C n ? 1 ? C n ∴ n=8 2 2 2 2 4
(1) T ? ?7x 3 4
2

(2) T5 ?

35 8

(3)令 x=1,各项系数和为

1 256

18、(1)C52A54=1200(种) A55-1=119(种) (2)不满足的情形:第一类,恰有一球相同的放法: 第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法: 5!( ∴ 满足条件的放法数为: A55-45-44=31(种) C51×9=45

1 1 1 1 ? ? ? ) ? 44 2! 3! 4! 5!

19、设 Ai 表示第 i 颗骰子出现 1 点或 6 点, i=1,2,3,则 Ai 互相独立,Ai 与 A i 之间也 互相独立, P(A1 ) ? P(A 2 ) ? P(A 3 ) ?

1 3

(1) P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) ? (1 ? P(A1 ))(1 ? P(A 2 ))(1 ? P(A 3 ))

?

2 2 2 8 ? ? ? 3 3 3 27

(2)设 D 表示“恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率” 则 D ? A1A 2 A 3 ? A1 A 2 A 3 ? A1A 2 A 3 因 A1A 2 A 3 , A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3 互斥

∴ P(D) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1A 2 A 3 )
? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 4 9

20、记事件 A 为“一次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球”,事件 B 为“一次取出的 2 个球都是白球”,事件 C 为“一次取出的 2 个球都是红球”,A、B、C 互相独立

(1)∵ P(A) ?

C 31C 21 C5 2

? 0.6

∴ P3 (3) ? C3 3 ? 0.6 3 ? (1 ? 0.6) 0 ? 0.26 (2)∵ B ? C ? A ∴ 可以使用 n 次独立重复试验 ∴ 所求概率为 P3 (2) ? C3 2 ? 0.6 2 ? (1 ? 0.6) 3?2 ? 0.432 (3)本题事件可以表示为 A·A·C+A·C·A+C·A·A
1 ∴ P(A·A·C+A·C·A+C·A·A)=C3 P(A)P(A)P(C)=0.324

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高中数学会考指数函数与对数函数专题训练

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、化简[ 3 ? 5 2 ] 4 的结果为 ( ) A、5 B、 5 C、- 5 D、-5
3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分

2、函数 y=5x+1 的反函数是 A、y=log5(x+1) B、y=logx5+1 C、y=log5(x-1) D、y=log(x+1)5

3、函数 f (x 2x ? ,使 f (x) ?0成立的 x 的值的集合是 )? 1 A、 xx?0

?

?

B、 xx?1

?

?

C、 xx?0

?

?

D、 xx?1

?

?

4、设 y1

1 ? 4 0.9 , y 2 ? 8 0.44 , y 3 ? ( ) ?1.5 ,则 2
B、y2>y1>y3 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2

A、y3>y1>y2 5、 lg

25 5 32 ? 2 lg ? lg 等于 16 9 81
B、lg3 C、lg4 D、lg5

A、lg2

6、若 3a=2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为 A、a-2 B、3a-(1+a)2 C、5a-2 D、3a-a2

7、某企业 2002 年的产值为 125 万元,计划从 2003 年起平均每年比上一年增长 20%,问 哪一年这个企业的产值可达到 216 万元 A、2004 年 B、2005 年 C、2006 年 D、2007 年

8、“等式 log3x2=2 成立”是“等式 log3x=1 成立”的 A、充分不必要条件 C、充要条件 9、若 f(10x)=x,则 f(3)的值是 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、log310

B、lg3

C、103

D、310

10、若 lg a ? lg b ? 0(其中a ? 1, b ? 1), 则函数f ( x) ? a x与g ( x) ? b x的图象 A、关于直线 y=x 对称 C、关于 y 轴对称 B、关于 x 轴对称 D、关于原点对称

?1 ax 11、下列函数图象中,函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) ,与函数 y ( ? ) 的图象只能是
y 1 O x 1 O x y y 1 O x y 1 O x

A

B

C

D

12、下列说法中,正确的是
x x x -x ① R R y=( 3 )-x 是增函数 任取 x∈ 都有 3 >2 ② a>1 时,任取 x∈ 都有 a >a ③ 当 x ④ |x|的最小值为 1 ⑤ y=2 在同一坐标系中,y=2 与 y ? log 2 x 的图象关于直线 y=x 对

称 A、① ④ ② B、④ ⑤ C、② ④ ③ D、① ⑤

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、已知 2 log 6 x ? 1 ? log 6 3 ,则 x 的值是 14、计算: ( ) ?1 ? 4 ? (?2) ?3 ? ( )0 ? 9 。

1 2

1 4

?

1 2





15、函数 y=lg(ax+1)的定义域为(- ? ,1),则 a=
x 16、当 x∈ [-2,2 ) 时,y=3- -1 的值域是 _

。 .

三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、 分)已知函数 f(x)=ax+b 的图象过点(1,3),且它的反函数 f-1(x)的图象过(2,0) (8 点,试确定 f(x)的解析式.

18、(8 分)设 A={x∈ R|2≤ x ≤ ? },定义在集合 A 上的函数 y=logax (a>0,a≠1)的最大值比最小值大 1,求 a 的值

19、 (10 分) .已知 f(x)=x2+(2+lg a)x+lgb,f(-1)=-2 且 f(x)≥2x 恒成立, 求 a、b 的值.

20、 (10 分)设 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

a2 ? 1的最大值和最小值. 2

数学参考答案
三、指数函数与对数函数
一、选择题: BCCDA ABBBC CB 二、填空题:13. 三、解答题: 17. f(x)=2x+1 18.解: a>1 时,y=logax 是增函数,logaπ-loga2=1,即 loga ? =1,得 a= ? .

2

14

19 . 6

15. -1

8? 16. ? ? , .

? 8 ? ? 9 ?

2 2 =1,得 a= 2 . 0<a<1 时,y=logax 是减函数,loga2-logaπ=1,即 loga
综上知 a 的值为

2

? 或2. 2 ?

?

?

19.解: f(-1)=-2 得: lgb=lga-1 ① 由 即

b 1 2 ? 由 f(x)≥2x 恒成立, x +(lga)x+lgb≥0, 即 a 10

2 2 lga=2,∴ a=100,b=10 把① 代入得,lg a-4lga+4≤0,(lga-2) ≤0 ∴

20.解:设 2x=t,∵ 1≤t≤4 原式化为:y= 0≤x≤2,∴

1 (t-a)2+1 2

①当 a≤1 时,ymin=

a2 3 a2 ? a ? , y max ? ? 4a ? 9 ; 2 2 2

②当 1<a≤

5 a2 3 时,ymin=1,ymax= ?a? ; 2 2 2

5 a2 ymin=1,ymax= ③当 <a<4 时 ? 4a ? 9 2 2
④当 a≥4 时,ymin=

a2 a2 3 ? 4a ? 9, ymax ? ?a? . 2 2 2

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高中数学会考数列专题训练

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

1、数列 0,0,0,0?,0,? A、是等差数列但不是等比数列 C、既是等差数列又是等比数列 2、已知数列 3, 3, 15, A、第 12 项 B、是等比数列但不是等差数列 D、既不是等差数列又不是等比数列

21, 3 3,... 3(2n ?1).... ,则 9 是这个数列的
B、第 13 项 C、第 14 项 D、第 15 项

3、已知等差数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+ 3,则数列的通项公式是 A、an=2n-5 C、an=a+2n-1 4、下列通项公式表示的数列为等差数列的是 A、 a n ? B、an=2n+1 D、an=a+2n-3

n n ?1

B、 an ? n 2 ? 1 D、 an ? 3n ? 1

C、 an ? 5n ? (?1) n 5、在等比数列{an}中,若 a3a5=4,则 a2a6= A、?2 B、2

C、?4

D、4

6、 等差数列{an}中,首项 a1=4,a3=3,则该数列中第一次出现负值的项为 A、第 9 项 B、第 10 项 C、第 11 项 D、第 12 项

7、等差数列{an}中,已知前 13 项和 s13=65,则 a7= A、10 B、

5 2

C、5

D、15

8、若三个数成等比数列,它们的和等于 14,它们的积等于 64,则这三个数是 A、2, 4, 8 C、2, 4, 8 或 8, 4, 2 B、8, 4, 2 D、2, -4, 8

9、已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 27 , a3 ? a6 ? a9 ? 9 则 S 9 等于 A、 27 B、 36 C、 54 D、72

10、实数 x,y,z 依次成等差数列,且 x+y+z=6,,而 x,y,z+1 成等比数列,则 x 值所组成的集合 是 A、{1} B、{4} C、{1,4} D、{1,-2}

11、一个等差数列的项数为 2n,若 a1+a3+?+a2n?1=90,a2+a4+?a2n=72,且 a1?a2n=33,则该数 列的公差是 A、3 B、?3 C、 ?2 D、?1

12、等比数列 {an } 中,已知对任意正整数 n , a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 2n ?1 ,则
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ?? an 等于

A、(2n-1)2

B、

1 n (2 -1) 3

C、

1 n (4 -1) 3

D、4n-1

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、在等差数列{an}中,若 a5=4, a7=6, 则 a9=______. 14、在数列{an}中,已知 a1=2,a2=1,且 an+2=an+1+an(n≥1),那么 a7= 15、 2 与 32 中间插入 7 个实数, 在 使这 9 个实数成等比数列, 该数列的第 7 项是 . .

16、某人存入银行 a 元钱,三个月后本利和为 b 元钱,若每月利息按复利计算(上月利息 要计入下月本金),则银行的月利率为 三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、在数列{an}中,a1=2, an+1=an+3,求 an 及前 n 项和 sn .

18、在等差数列中,a10=23, a25=-22(1)求 a1 及公差 d;(2)n 为何值时,sn 的值最大

19、 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=

3n 2 ? n ,依次取出该数列的第 2 项, 4 项, 8 项, 第 第 ?, 2

n 第 2 项,组成数列{bn},求{bn}的前 n 项和 Tn。

20、某企业利用银行无息贷款,投资 400 万元引进一条高科技生产流水线,预计每年可 获产品利润 100 万元。但还另需用于此流水线的保养、维修费用第一年 10 万元,以 后每年递增 5 万元,问至少几年可收回该项投资?

数学参考答案
四、数列
一、选择题:ACDDD BCCCC BC (16) 3

二、填空题:(13) 8; (14) 18; (15) 16; 三、解答题: 17、解:an=3n-1; Sn ? (3n2 ? n) 18、解:(1)∵ a10=23,a25= -22,∴d=-3 ∴a1= 50
1 2

a ?1 b

(2)由(1)可知,an=a1+(n-1)d=53-3n≥0 当 n=17 时,sn 的值最大 19 解:∵Sn=

3n 2 ? n n ∴a1=s1=1,n≥2,an=sn-sn-1=3n-2 ∴bn= a 2 n =3·2 -2 2

1 2 n n ∴Tn=3(2 +2 +……+2 )-2n=6(2 -1)-2n

20、解:设至少 n 年可收回该项投资,则 100n≥400+[10+15+……+(5n+5)] 即 n -37n+160≤0 5≤n≤32 至少 5 年可收回该项投资
2

高中数学会考不等式专题训练
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式中成立的是 A、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

1 1 ? a b

B、

a ?1 b

C、 a ? b ? 1

D、 a 2 ? b 2

2、函数 y ?

4 ? x 2 的定义域为
B、 ?? ? ? 2? ? ?2,??? D、 ?? ?,?2? ? ?2,???

A、 ?? 2,2? C、 ?? 2,2?

3、不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? ? A、14 A、 a ? b ? a ? b C、 a ? b ? a ? b 5、下列不等式中,与 x ? 1 同解的是 A、 x ? B、10

? 1 1? , ? ,则 a ? b 等于 ? 2 3? C、 ? 14
B、 a ? b ? a ? b D、 a ? b ? a ? b

D、 ? 10

4、设 a, b ? R 且 ab ? 0 ,那么下列不等式中恒成立的是

1 1 ? 1? x x

B、 x 2 ? x D、 x?x ? 4?2 ? ?x ? 4?2 C、 M ? N D、 M 与 N 大小不能

C、 x?x ? 4?2 ? ?x ? 4?2 A、 M ? N 确定 7、已知 a, b ? R, a ? b, 且a ? b ? 2 ,则 A、 ab ? B、 M ? N

6、已知 1 ? x ? 3, M ? 3x 2 ? x ? 1, N ? 4x 2 ? 5x ? 4 ,则

a2 ? b2 ?1 2 a2 ? b2 2

B、 1 ? ab ? D、 ab ? 1 ?

a2 ? b2 2

C、 ab ? 1 ?

a2 ? b2 2

8、对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式:
1 1 ? 1? ① loga ?1 ? a ? ? loga ?1 ? ? ;②③ a1? a ? a1? a ;④ a1?a ? a1? a ; a? ?

其中成立的是( A、①③

) B、①④ C、②③ D、②④

9、设 x ? 0, y ? 0, z ? 0 , a ? x ? A、至少有一个不大于 2

1 1 1 , b ? y ? , c ? z ? , 则 a, b, c 三数 y z x
B、都小于 2

C、至少有一个不小于 2

D、都大于 2

10、甲乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地,甲车一半时间的速度是 a ,另一半时间的速 度为 b;乙车用速度 a 行走了一半路程,用速度 b 行走了另一半路程。若 a ? b ,则 两车到达 B 地的情况是 A、甲车先到达 B 地 C、同时到达 B 地 B、乙车先到达 B 地 D、不能判断

11、使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 4 ? x ? a 能成立的条件是 A、 0 ? a ?
1 10

B、 0 ? a ? 1

C、

1 ? a ?1 10

D、 a ? 1

12 、 设 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 均 为 非 零 的 实 数 , 不 等 式 a1 x 2 ? b1 x ? c_ ? 0 和 1

a2 x 2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别是 M 和 N ,那么“
A、充分不必要条件 C、充要条件 13、不等式 x ? 2 ? x 的解集是 14、已知 a ? 2 7 , b ? 15、 设集合 A ? x

a1 b1 c1 ? ? ”是“ M = N ”的 a 2 b2 c2

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 。 。

?

6 ? 2 2 ,则 a, b 大小关系是

x ? 1 ? 1 ,B ? ?x log2 x ? 0?, A ? B ? 则

?

16、已知 x ? 0 ,有不等式 x ? 为: x ?

1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3, ? ,启发我们可以推广 x 2 2 x x

a ? n ? 1 n ? N * ,则 a 的值为 n x

?

?



三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、(本小题满分 8 分) 解不等式:

1 ? x ?1 x ?1

18、(本小题满分 8 分)

设 A ? ?x

?

x 1? ? ?, B ? x x ? a ? 3 , A ? B ? B , 若 求实数 a 的取值范围。 ? x ? x ? 2 4?
2

?

?

19、(本小题满分 10 分) Q: 设 P: 函数 y ? ?2a ? 1?x ? b 在 R 上是减函数; 不等式 x ?1 ? x ? a 的解集为 R 。 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求实数 a 的取值范围。

20、(本小题满分 10 分)

m 某单位欲用木料制作如下图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x, y (单位为: )
的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8m 2 ,问: x, y 分别是 多少(精确到 0.01m )时用料最省? ( 2 ? 1.414)

y

数学参考答案
八、不等式
一、选择题:ACCBCBDDCADD 二、填空题:13、 ?? 1,??? 三、解答题: 17、 ? 2 ,1 ? 14、a>b 15、 x 1 ? x ? 2

?

?

16、 n n

?

? ?

2,??

?

18、 ? 1 ? a ? 4
1 2

19、解: P: 函数 y ? (2a ? 1) x ? b 在实数集上是减函数 ? a ? ?

Q: 不等式 | x ? 1| ? | x |? a 恒成立 ? f ( x) ?| x ? 1| ? | x | 的最小值 ? a

??1, x ? 1 ? 而 f ( x) ?| x ? 1| ? | x |? ?1 ? 2 x, 0 ? x ? 1 , 故 f min ( x) ? ?1 , ? a ? ?1 ?1, x?0 ?
1 ? 1 ?a ? ? 2 ? ?1 ? a ? ? ; (2)若 P 不正确 Q 正确, 则 (1)若 P 正确 Q 不正确, 则 ? 2 ?a ? ?1 ?
1 ? ?a ? ? 2 ? a ?? ? ?a ? ?1 ?

所以 a 的取值范围为 [ ?1, ? )

1 2

x2 1 x 8? 20、解:由题意知 x ? y ? x ? ? 8 , 4 ? 8? x 0? x?4 2 ?y ? 2 2 x x 4

?

?

于是,框架用料的长度为 l ? 2 x ? 2 y ? 2? ?

? 2x ? ? 3 16 ? ? ? ? 2 ?x ? ? ? ?2 x ? ? 2 ?

?3 ? ? 2 16? ? 2 ? ? 4 6 ? 4 2 ?2 ?
x? ?8?4 2 16 ?3 ? x 3 当 ? ? 2 ?x ? , 即 时等号成立。 此时, ? 2.34, y ? 2.83。 ? 2 x ?2 ? 2 4

答:当 x 为 2.34 , y 为 2.83 时用料最省。

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高中数学会考集合与简易逻辑专题训练

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、下列表示方法正确的是 A、1 ? {0,1,2} C、{0,1,2} ? {0,1,3} B、{1}∈{0,1,2} D、 ? {0} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

2、已知 A={1,2,a2-3a-1},B={1,3}, A ? B ? {3,1}则 a 等于 A、-4 或 1 B、-1 或 4 C、-1 D、4

3、设集合 M ? {3, a} , N ? {x | x 2 ? 3x ? 0, x ? Z} , M ? N ? {1},则 M ? N 为 A、 {1,3,a} B、 {1,2,3,a} C、 {1,2,3} D、 {1,3}

4、集合 P= {( x, y) | x ? y ? 2, x ? R} ,Q= {( x, y) | x ? y ? 2, x ? R} ,则 P ? Q A、(2,0) 5、下列结论中正确的是 A、命题 p 是真命题时,命题“P 且 q”一定是真命题。 B、命题“P 且 q”是真命题时,命题 P 一定是真命题 C、命题“P 且 q”是假命题时,命题 P 一定是假命题 D、命题 P 是假命题时,命题“P 且 q”不一定是假命题 6、“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”是“x=1”的
2

B、{(2,0 )}

C、{0,2}

D、 ? y | y ? 2?

A、充分不必要条件 C、充要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A、真命题的个数一定是奇数 C、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 8、设集合 A ? {x | x ? B 关系的图是 B、真命题的个数一定是偶数 D、上述判断都不正确

n 1 , n ? Z } , B ? {x | x ? n ? , n ? Z } ,则下列能较准确表示 A、 2 2

9、命题“对顶角相等”的否命题是 A、对顶角不相等 C、不是对顶角的角不相等 B、不是对顶角的角相等 D、存在对顶角不相等

0 10、已知锐角三角形 ABC 中, ?B ? 2?C ,用反证法证明 ?A ? 45 。第一步要假设

A、 ?A ? 45

0

B、 ?A ? 45 成立
0

C、 ?B ? 2?C

D、 ?A ? 45

0

11、已知集合 M ? {x | x ? 1} , P ? {x | x ? t} ,若 M ? P ? ? ,则实数 t 满足的条件是 A、 t ? 1 B、 t ? 1 C、 t ? 1 D、 t ? 1

2 2 12、当 a ? 0 时,关于 x 的不等式 x ? 4ax ? 5a ? 0 的解集是

A、{ x | x ? 5a 或 x ? ?a } C、{ x | ? a ? x ? 5a }

B、{ x | x ? 5a 或 x ? ?a } D、{ x | 5a ? x ? ? a }

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、 集合 M 中含有 8 个元素, 中含有 13 个元素, 若 M ? N 有 6 个元素, M ? N N (1) 则 含有__________个元素;(2)当 M ? N 含__________个元素时, M ? N ? ? 。 14、 x ? y ? 0 是

1 1 ? 的___________条件。(填充要性) x y
{0,1,2,3,4}的集合 P 的个数有____________个。

15、满足 {0,1} ? P

16、 要使函数 y ? mx2 ? (m ? 1) x ? (m ? 1) 的值恒为正数, m 的取值范围是__________. 则 三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、 (本小题满分 8 分) 已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若 A ? B={- 3},求实数 a 的值。

18、(本小题满分 8 分)已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0} ,

B ? {x | 1 ? x ? 2} ,若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。

19、 本小题满分 10 分) ( 求证: 直线 x0 x ? y0 y ? 1 0,0 不同时为零) (x y 与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 相离的充要条件是点 P ( x0 , y0 ) 位于单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 内。

20、(本小题满分 10 分)已知 p:方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的实数根,q:方程
2

4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根。若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的范围。

参考答案
一、集合与简易逻辑
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B 6 B 7 B 8 A 9 C 10 D 11 B 12 B

二、填空题:13、15 21 三、解答题:

14、充分不必要

15、 7

16、 m>1

17、解:由题意得: ? 3 ? B (1)当 a ? 3 ? ?3 ,则 a=0。经检验 A ? B ? {1,?3} ,不全题意。 (2)当 2a-1=-3,则 a=-1。此时 A ? B ? {?3} 符合题意。 (3)当 a 2 ? 1 ? ?3 ,显然无解。综上所述实数 a=-1。 18、解:因 A ? B ? A ,所以 B ? A ,而 x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 ,得 ( x ? 2)(x ? a) ? 0 。 当 a<-2 时,如数轴表示,符合题意。

同理,当 ? 2 ? a ? 1 ,也合题意。但当 a>1 时,不合题意。综上可知 {a | a ? 1} 19、解:p 或 q 为真,p 且 q 为假,由这句话可知 p、q 命题为一真一假。

?m 2 ? 4 ? 0 ? (1)当 p 真 q 假时, ? ,得 m ? ?2或m ? 3 ?16(m ? 2) 2 ? 16 ? 0 ?
?m 2 ? 4 ? 0 ? (2)当 p 假 q 真时, ? ,得 1 ? m ? 2 ?16(m ? 2) 2 ? 16 ? 0 ?
综上所述 m 的范围是 {m | m ? ?2或1 ? m ? 2或m ? 3} 20、证明: x0 x ? y0 y ? 1 与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 相离等价于圆心(0,0)到直线的距离大 于1 。 即:

1
2 2 x0 ? y 0

? 1 ——(1)点 P ( x0 , y0 ) 位于单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 内等价于点 P

与圆心的距离小于半径 1。
2 2 即: x0 ? y 0 ? 1

—————(2)显然:(1)式与(2)式等价,所以原命题

成立。

高中数学会考平面向量专题训练
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、若向量方程 2 x ? 3( x ? 2a) ? 0 ,则向量 x 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

?

?

?

?

?

A、

6? a 5

B、 ?6a

?

C、 6a

?

D、 ?

6? a 5

2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别 为 a 和 b ,那么下列命题中错误的一个是 A、 a 与 b 为平行向量 C、 a 与 b 为共线向量 3、 AB ? BC ? AD ? A、 AD

?

?

?

?

B、 a 与 b 为模相等的向量 D、 a 与 b 为相等的向量

?

?

?

?

?

?

??? ??? ???? ? ?
????

B、 CD

??? ?

C、 DB

??? ?

D、 DC

????

4、下列各组的两个向量,平行的是 A、 a ? (?2,3) , b ? (4,6) C、 a ? (2,3) , b ? (3, 2) 5、若 P 分 AB 所成的比为 A、 ?

?

?

B、 a ? (1, ?2) , b ? (7,14) D、 a ? (?3, 2) , b ? (6, ?4)

?

?

?

?

?

?

??? ?

??? ? 3 ,则 A 分 BP 所成的比为 4

3 7

B、 ?

7 3

C、

3 7

D、

7 3

6、已知 a ? (6,0) , b ? (?5,5) ,则 a 与 b 的夹角为 A、 450 B、 600 C、 1350 D、 1200

?

?

?

?

? ? 7、已知 i , j 都是单位向量,则下列结论正确的是
A、 i ? j ? 1 C、 i ∥ j ? i ? j

? ?

B、 i ? j

?2

?2

?

?

? ?

D、 i ? j ? 0

? ?

8、如图,在四边形 ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b ,

??? ?

?

???? ?

D C

??? ? ? ???? BC ? c ,则 DC ?
A、 a ? b ? c C、 a ? b ? c

? ? ?

B、 b ? (a ? c) D、 b ? a ? c

?

? ?

A

B

? ? ?

? ? ?

9、点 A(0, m) (m ? 0) ,按向量 a 平移后的对应点的坐标是 (m,0) ,则向量 a 是 A、 (?m, m) B、 (m,?m) C、 (?m,?m) D、 (m, m)

?

?

10、在 ?ABC 中, b ? 3 , c ? 3 3 , B ? 300 ,则 a ? A、 6 B、 3 C、 6 或 3 D、 6 或 4 ,

11、设 F1,F2 是双曲线: 则 A、 2 的值等于 B、 2 2

的两个焦点,点 P 在双曲线上,且

C、 4

D、 8

12、已知 O 为原点,点 A , B 的坐标分别为 (a,0) , (0, a ) ,其中常数 a ? 0 。点 P 在线 段 AB 上,且 AP ? t AB (0 ? t ? 1) ,则 OA ? OP 的最大值是 A、 a 2 B、 a C、 2 a D、 3a

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、已知 M (3,?2) , N (?1,0) ,则线段 MN 的中点 P 的坐标是________。 14、设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点,下列向量组: (1) AD 与 AB ; (2)

????

??? ?

??? ???? ? ???? ??? ? ? ??? ??? ? DA 与 BC ;(3) CA 与 DC ;(4) OD 与 OB ,其中可作为这个平行四边形所在
??? ?

平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是________________。 15、已知 A(7,8) , B(3,5) ,则向量 AB 方向上的单位向量坐标是________。 16、在 ?ABC 中, AC ? 8 , BC ? 5 ,面积 S ?ABC ? 10 3 ,则 BC ? CA =________。 三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、已知 a ? 3 , b ? (?1, 3) ,(1)若 a ? b ,求 a ;(2)若 a ∥ b ,求 a 。

??? ??? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

18、已知 a ? 3 , b ? 4 , a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

? ? ? ? 3? ,求 (3a ? b) ? (a ? 2b) 。 4

19、在 ?ABC 中,求证: (a 2 ? b 2 ? c 2 ) tan A ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) tan B ? 0

20、设椭圆方程为 x 2 ?

y2 ? 1 ,过点 M (0,1) 的直线 L 交椭圆于 A 、 B 两点, O 是坐标 4

? ? 1 1 1 ??? ??? (OA ? OB) ,点 N 的坐标为 ( , ) 。当直线 L 绕点 M 旋转 2 2 2 ??? ? 时,求:(1)动点 P 的轨迹方程;(2) NP 的最大值与最小值。
原点,点 P 满足 OP ?

??? ?

数学参考答案
七、平面向量
一、选择题:CDDDB CBABC AA 二、填空题:13、(1,-1) 三、解答题 17、(1) a ? ( 14、(1)、(3) 15、 (? ,? )

4 5

3 5

16、 ? 20

?

? ? 3 3 3 ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 , ) 或 a ? (? , ? ) (2) a ? ( , ? ) 或 a ? (? , ) 2 2 2 2 2 2 2 2
19、略

18、 ? 37 ? 24 2

20、(1)设直线 L 斜率为 k,则 L 方程为 y=kx+1,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )

? y ? kx ? 1 ? 2 由题设可得它们是方程组 ? 2 y 的解,即满足 (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 ?x ? 4 ? 1 ?





x1 ? x 2 ? ?

2k 4? k2



y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?

8 4? k2



??? 1 ??? ??? ? ? ? OP ? (OA ? OB) = 2

(

k 4 x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) 。设 P 的坐班为(x,y),则 , ) = (? 2 4? k 4? k2 2 2

k ? ?x ? ? 4 ? k 2 消去 k 得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 。 ? 4 ? y? 4? k2 ?
当 k 不存在时,A,B 中点 O 原点(0,0)也满足上式 所以动点 P 的轨迹方程是 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 (2)由 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ,得 4 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 1 1 ,可得 ? ? x ? 4 4 4

??? 2 ? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 7 NP = ( x ? ) ? ( y ? ) ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? ? 2( x ? ) 2 ? 6 12 2 2 2 2
当x ?

? ? 1 1 ??? 1 ??? 21 时 NP 取最小值= ,当 x ? ? 时 NP 取最大值= 。 4 6 4 6

高中数学会考三角函数概念两角和差二倍角专题训练
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、下列各组角中,终边相同的角是 A、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

k ? ? 与 k? ? 2 2

(k ? Z )

B、 k? ? D、 k? ?

?

C、 (2k ? 1)?与(4k ? 1)? (k ? Z )

?

k 与 ? 3 3 6 与k? ?

(k ? Z )

?
6

(k ? Z )

2、将分针拨慢 10 分钟,则分钟转过的弧度数是

? ? B、- 3 3 14? )的值等于 3、 sin( ? 3
A、 A、

C、

? 6

D、-

? 6

1 2

B、-

1 2

C、

3 2

D、-

3 2

4、点 M(-3,4)是角α终边上一点,则有

3 5 4 C、 tan ? ? ? 3
A、 sin ? ? ?

B、 cos ? ? ? D、 cot ? ?

4 5

3 4

5、若 ?满足sin 2? ? 0, cos? ? sin ? ? 0, 则?在 A、第一象限; 6、已知 sin(? ? B、第二象限; C、第三象限; D、第四象限

1 ? ) ? , 则 cos( ? ? ) ? 4 3 4 2 1 2 2 2 A、 B、 ? C、 3 3 3 sin ? ? 2 cos ? ? ?5, 那么 tan ? 的值为 7、已知 3 sin ? ? 5 cos ? 23 A、-2 B、2 C、 16
8、 sin

?

D、 ?

1 3

D、-

?

12

? 3 cos

?

23 16

12

的值是 B、 ? 2 C、 2 D、2

A、0

9、化简

2 sin 2? cos2 ? 得 ? 1 ? cos 2? cos 2?

A、 tan ?

B、 tan 2?

C、1
A? B a n t 2

D、

1 2
B?C s e c 2 A , 2

t 10、 ?ABC 中, 在 ①sin(A+B)+sinC; ②cos(B+C)+cosA; a ③n

C s ; c ④o 2

其中恒为定值的是 A、① ② B、② ③ C、② ④ D、③ ④

11、已知 f ( x) ? 1 ? x ,化简: f (sin 2) ? f (? sin 2) ? A、 2 cos 1 B、 2 sin 1 C、- 2 cos 1 D、- 2 sin 1

12、2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形, 若直角 三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积是

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于 25
A、1 B、 ?
24 25

C、

7 25

D、 ?

7 25

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、函数 y ? sin x cos( x ? 14、函数 y=tan(x- 是 15、若 ? ? ? ?

?
4

) ? cos x sin( x ?

?
4

) 的最小正周期 T=



? )的定义域是 4

若? ?? ?

3? ,则 (1 ? tan?)(1 ? tan?) 的值 4

. . .

3? ,则 (1 ? tan?)(1 ? tan?) 的值是 4 1 ? tan ? 1 ? 2005, 则 ? tan 2? ? 16、若 1 ? tan ? cos 2?
三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、化简

sin 2 ? cos2 ? ? ? cos2 ? csc 2 ? 2 2 sec ? ? 1 csc ? ? 1

18、已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x.

(Ⅰ) 求 f(

? ? 2 )的值;(Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= ,求 sin ? 的值 4 2 2

19、已知:tanα=3,求 sin2α-3sinαcosα+4cos2α值.

π π 3 5 20、已知 2 <α<π,0<β< 2 ,tanα=- 4 ,cos(β-α)= 13 ,求 sinβ的值.

数学参考答案
五、三角函数概念两角和差二倍角
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 B 6 D 7 D 8 B 9 B 10 B 11 A 12 D

二、填空题:13、 ? ; 三、解答题 17、 解:

14、 ? x x ? k? ?

? ?

3 ? ?,k ? Z?; 4 ?

15、2;

16、2005

sin 2 ? cos 2 ? cos 2 ? 1 ? ? cos 2 ? csc2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? ? csc2 ? 2 2 2 sec ? ? 1 csc ? ? 1 sin ? sin 2 ?

18、解:f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x= 2 sin( 2 x ? (Ⅰ) f(

?

? ? ? ? )= 2 sin( ? ) = 2 cos =1 4 2 4 4

4

)

(Ⅱ) ∵ f(

? ? 2 sin(? ? ? ) ? 1 ? 2 ? )= , ∴ 2 s( ? ? ) ? ∴ ∵ ∈(0, ) i n 2 4 2 2 4 2

∴? ?

?
4

?

7? 5? ∴? ? 12 6

19、解:由 tanα =3 得 sinα =3cosα ,∴1-cos2α =9cos2α .
2 ∴cos α=

1 . 10
2 . 5


2 2 2 2 故原式=(1-cos α)-9cos α+4cos α=1-6cos α= 2 2 解法二:∵sin α+cos α=1.

∴ =



sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 4 cos2 ? tan2 ? ? 3 tan? ? 4 9 ? 9 ? 4 2 ? ? ? 9 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

3 ?? ? 20 、 解 : ∵ ? ? ? ,? ? 且 tan ? ? ? ?2 ? 4 ? ?? ? ? ? 0, ? ? 2?

?? ? ?? ? ? ??, ? ? 2? ?
2

∴ sin ? ?

3 4 ?? ? , cos ? ? ? ; ∵ ? ? ? ,? ? , ?2 ? 5 5



? ? ? ? ? ??,0?

又 ∵

c o? s ?( ? ?

5 ) 13



12 ?5? sin( ? ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?

∴ sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? ? 12 ? ? ? 4 ? ? 5 ? 3 ? 63 ? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 5 65

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高中数学会考直线和圆的方程专题训练

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 A、300 2、直线 A、 B、450 C、600 D、900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

x y ? ? 1 的斜率是 3 2
2 3
B、 ?

2 3

C、

3 2

D、 ?

3 2

3、若直线 ax+by+c=0 在第一、二、四象限,则有 A、ac>0,bc>0 4、平行直线 y ? B、ac>0,bc<0 C、ac<0,bc>0 D、ac<0,bc<0

1 x ? 1 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 之间的距离等于 2
B、

A、

2 5 5

3 5 5

C、

2 5

D、

3 5

5、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是

?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? A、 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? B、 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? C、 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
A、 0 ? k ? C、 0 ? k ? 1 直线 BC 的方程是 A、y=3x+5

?2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? D、 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
B、 1 ? k ? D、 k ?

6、圆 x 2 ? y 2 ? 2kx ? 2 y ? 2 ? 0(k ? 0)与两坐标轴无公共点, 那么实数k 的取值范围

2

2

2

7、设△ABC 的一个顶点是 A(3,-1),∠B,∠C 的平分线方程分别是 x=0,y=x,则

B、y=2x+3

C、y=2x+5

D、 y ? ?

x 5 ? 2 2

8、过圆 C: x 2 ? y 2 ? 4 上两点 A( 3 ,1) 及 B(1, 3 )所作的两条切线的夹角是 A、

5? 6

B、

? 3

C、

? 2

D、

? 6

9、从直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上的点向圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 引切线,则切线长的最小 值为 A、

3 2 2

B、

14 2

C、

3 2 4

D、

3 2 ?1 2

10 、 已 知 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 分 别 是 直 线 l 上 和 直 线 l 外 的 点 , 若 直 线 l 的 方 程 是 1

f ( x, y) ? 0 ,则方程 f ( x, y) ? f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ? 0 表示
A、与 l 重合的直线 C、过 P1 且与 l 垂直的直线 B、过 P2 且与 l 平行的直线 D、不过 P2 但与 l 平行的直线

11、M( x0 , y 0 ) 为圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与 该圆的位置关系为 A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交 12、曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 x ? 2 与直线 y ? k ?x ? 2? ? 4 有两个交点时,实数 k 的取值范 围是 A、 ?

?

?

? 5 3? , ? 12 4 ? ?

B、 ?

? 5 3? ,? ? 12 4 ?

C、 ? , ?

?1 3? ?3 4?

D、 ? 0, ?

? 5? ? 12 ?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a=___________.

1 ? 2? ? ?x ? 1 ? ? 14、 参数方程 ? ( 为参数) 则它的普通方程为________________________. , ? ?y? 1? ? ?
λ

15、如果实数 x, y满足等式( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3, 那么 的最大值 16、已知集合 A={(x,y)|

y x



y?3 =2,x、y∈R},B={(x,y)|4x+ay=16,x、y∈R}, x ?1
若 .

A∩B= ? ,则实数 a 的值为 三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分)

( 17、 等腰三角形 ABC 的顶点 A(?1,0), 底边一端点B的坐标为 2,0) , 求另一端点 C 的轨迹方
程.

18、直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距相等,且到点 P?3,? 的距离恰好为 4,求直线 l 的方程. 4

19、若过点 A?0, 和 B B?4,m ? 并且与 x 轴相切的圆有且只有一个,求实数 m 的值和这 1? 个圆的方程。

20、某承包户承包了两块鱼塘,一块准备放养鲫鱼,另一块准备放养鲤鱼,现知放养这 两种鱼苗时都需要鱼料 A、B、C,每千克鱼苗所需饲料量如下表: 鱼类 鲫鱼/kg 鲤鱼/kg 鱼料 A 15g 8g 鱼料 B 5g 5g 鱼料 C 8g 18g

如果这两种鱼长到成鱼时,鲫鱼和鲤鱼分别是 当时放养鱼苗重量的 30 倍与 50 倍,目前这位 承包户只有饲料 A、B、C 分别为 120g、50g、 144g,问如何放养这两种鱼苗, 才能使得成鱼的 重量最重.

数学参考答案
九、直线和圆的方程
一、选择题:BADB ABCD BBCA 二、填空题:13. ? 三、解答题 17. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9( y ? 0) 18. 24x ? 7 y ? 0 , x ? y ? 7 ? 4 2 ? 0 , x ? y ? 7 ? 4 2 ? 0 19.设圆心为 ?a,b ? ,∵圆与 x 轴相切,∴圆的方程为 ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? b2 .

2 3

14. x ? y ? 1( x ? 2)

15. 3

16.4 或-2

1? 又圆过 A?0, 、 B?4,m ? , 所以:
?a 2 ? ?b ? 1?2 ? b 2, ? 2 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0, ?? 2 ? ?1 ? m?a 2 ? 8a ? m 2 ? m ? 16 ? 0 ? ??a ? 4?2 ? ?b ? m?2 ? b 2, ?a ? 8a ? 2m b? m 2 ? 16 ? 0, ? ?

?

?

由于满足条件的圆有且只有一个,故 ? ? 0 ,得 m ? 1 或 m ? 0 .

5 ? 25 ? 当 m ? 1 时,圆的方程为 ?x ? 2? ? ? y ? ? ? ; 2? 4 ?
2

2

当 m ? 0 时,圆的方程为 ?x ? 4? ? ? y ?
2

? ?

17 ? 289 . ? ? 2? 4

2

20.解:设放养鲫鱼 xkg,鲤鱼 ykg,则成鱼重量为 w ? 30x ? 50y( x, y ? 0) , 15x ? 8 y ? 120 其限制条件为 5 x ? 5 y ? 50 8 x ? 18y ? 1 4 4 画出其表示的区域(如图),不难找出使 30x+50y 最大值为 428kg. 答:鲫鱼放养 3.6kg,鲤鱼放养 6.4kg,此时成鱼的重量最重. y

D

C(3.6,6.4) B

O

A 8x+8y=144 3x+5y=0 5x+5y=50

x

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高中数学会考直线与平面专题训练
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1、下列图形不一定是平面图形的是 A、三角形 B、梯形 C、四边形 D、平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

2、如图,正方体 ABCD? A1 B1 C1 D1 中,直线 BC1 和直 线 A1 D 所成的角为 A、 90? B、 45? C、 60? D、 30?

3、若直线 a 与直线 b,c 所成的角相等,则 b,c 的位置关系为 A、相交 C、异面 B、平行 D、以上答案都有可能

4、过四条两两平行的直线最多确定平面的个数是 A、3 B、4 C、5 D、6

5、当太阳光线与水平面的倾斜角为 60°时,要使一根长为 2m 的细杆的影子最长,则细 杆与水平地面所成的角为 A、15° B、30° C、45° D、60°

6、下图所示的是水平放置的三角形的直观图,D 是△ABC 中 BC 边的中点,那么 AB、AD、AC 三条线段中 A、最长的是 AB,最短的是 AC B、最长的是 AC,最短的是 AB C、最长的是 AB,最短的是 AD D、最长的是 AC,最短的是 AD 7、已知直线 m、n 是异面直线,则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面 A、有且只有一个 C、有一个或不存在 ①若 l // m, m ? ? ,则 l // ? ; ③若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m ; B、有一个或无数多个 D、不存在 ②若 l // ? , m ? ? ,则 l // m ④若 l ? ? , m ? l ,则 m // ? 。

y A

B O

D

C x

8、以下命题(表示 m, l 直线, ? 表示平面)正确的个数有

A、0 个

B、1 个

C、2 个

D、3 个

9、 P 是 ?ABC 所在平面外的一点, PA ? PB ? PC , P 在这个平面的射影是 ?ABC 设 且 则 的 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心

10、如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其 上的三个点,则在正方体盒子中,∠ABC 等于 A.45° B.60° C.90° D.120°

11、在下列条件中,可判断平面α与β平行的是 A、α、β都垂直于平面 r. B、α内存在三点到β的距离相等. C、l,m 是α内两条直线,且 l∥β,m∥β. D、l,m 是两条异面直线,且 l∥α,m∥α, l∥β,m∥β. 12、正方体 ABCD? A1 B1 C1 D1 中, M 是 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱

A1B1 上的任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角为
A、 45? B、 60? C、 90? D、 与点 P 的位置有关
P

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、 过直线外一点与这条直线平行的直线有_________条, 过 直线外一点与这条直线平行的平面有_______个。 14、 P 在 Rt△ACB 所在平面外, PC⊥平面 ABC, = 90°, 点 ∠C 过 P 作侧面△PAB 的高 PD,D 为垂足,则图中直角三 角形有_________个。 15、 若两直线 a, b 在平面α上的射影 a', b' 是平行的直线, a,b 的位置关系是 则 。
C B D A

16、 O 直线 a , b 的夹角为 60? , 是空间一点, 则过 O 与 a , b 都成 60? 的直线有 ______ 条。 三、解答题:(本大题共 4 小题,共 36 分) 17、(8 分)如图,正方体 ABCD? A1 B1 C1 D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 A A 的中点, 1 求证: E、C、D1、F 四点共面。

18、8 分) ( 已知 P 是菱形 ABCD 所在平面外一点, PB=PD,求证: 且 平面PAC ? 平面PBD 。

19、 (10 分)已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1A=AB, E、F 分别是 BD1 和 AD 中点. (1)求异面直线 CD1、EF 所成的角; (2)证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线.
B1 C1 D1

A1 E C F D

B

A

20、(10 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直,M,N 分别是对角 线 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ?

3 AC ,求证:MN//平面 BEC 7

C D

E N F

B

M

A

数学参考答案
十一、直线与平面
一、选择题:CADDB BCBDB DC 二、填空题:13.1, 无数 三、解答题 17.证明:? 在正方体 ABCD? A1 B1 C1 D1 中, 平面ABB1A1 // 平面DCC1D1 且 平面ABB1A1 ? 平面ECD 1 F=EF , 平面DCC1D1 ? 平面ECD1F=CD1 14.8 15.平行或异面 16. 3

? EF // CD1 , ? E、C、 D1 、 F 四点共面
18.证明:设 AC 与 BD 的交点为 O

PO ? BD ? BD ? 平面PAC ? ?? ? ? 平面PAC ? 平面PBD AC ? BD ? BD ? 平面PBD ?
19.(1)解:∵在平行四边形 BAD1C1 中,E 也是 AC1 的中点,∴ EF // C1D , ∴两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异面直线 CD1 与 EF 所成的角. 又 A1A=AB,长方体的侧面 ABB1 A , CDD1C1 都是正方形,∴D1C ? CD1 1
C1 D1

∴异面直线 CD1、EF 所成的角为 90°.
AD (2)证:设 AB=AA1=a, ∵D1F= a ? ? BF, ∴EF⊥BD1 . 4
2 2

B1

A1 E C F D

由平行四边形 BAD1C1 ,知 E 也是 AC1 的中点,且点 E 是 长方体 ABCD—A1B1C1D1 的对称中心, ∴EA=ED,∴EF⊥AD, 又 EF⊥BD1,∴EF 是异面直线 BD1 与 AD 的公垂线. 20.过点 M 作 MP ? AB 于点 P,连结 NP,CD

B

A

C D

E N

B

M

P F A

??CBA ? ?MPA ? 90? ? MP // BC(1) ?
又?

AM AP ? AC AB

AM FN AP FN ? ? ? AC FB AB FB

? P N/ / A F/ / B E( 2 )

由(1)(2)得平面 PNM//平面 BEC ,? MN // 平面BEC .


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