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3.1.5空间向量运算的坐标表示


主备人:汪相 课题:3.1.5 空间向量运算的坐标表示 班级 【学习目标】
1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2、掌握空间向量的坐标表示方法

审核人:叶丐舟
姓名

【学习重点难点】
空间向量的坐标表示方法

一 自主学习
设 a= (a1 , a 2 , a 3

) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1) a±b= = ( 4) a∥b ? . ;a ? b ? . 。 (2) ? a= .(3) a·b

(5)模长公式:若 a ? (a1, a2 , a3 ) , 则 | a |? (6)夹角公式: cos a ? b ?

a ? a ? a1 ? a2 ? a3 .

2

2

2

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

( 7 ) 两 点 间 的 距 离 公 式 : 若

A( x1, y1, z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则

|A B ?|

2

A ? B

2

( ?21x ) x ? 2 ( 2 ?1y

)y ? 2 (2 ?1z ) z

(8) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = , AB ? . .

AB 的中点 M 的坐标为 疑问:

新课探究
向量能解决的问题:(1) 共线与共面问题 ;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

问题;运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所 求向量用某个合适的基底表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间 直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量 上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决.在寻求向量间的数量关系时, 一个基本的思路是列方程,解方程.

二 互动展示
例 1、 (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) , b =(b1,b2,b3) ,它们平行的充要条件 是( ) A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b

(2)已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是 ( ) A. -3 或 1 B.3 或-1 )
[来源:学。科。网]

C. -3

D.1

(3)下列各组向量共面的是(

A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1)

点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

例 2、 已知空间三点 A (-2, 0, 2) , B (-1, 1, 2) , C (-3, 0, 4) 。 设 a = AB ,b = AC , (1 )求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结 果.

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。

三 总结拓展
知识小结:

四 检测反馈
1. 已知 a ? (cos? ,1,sin ? ), b ? (sin ? ,1,cos? ) ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是( )

( A) 90

( B ) 60

(C ) 30

(D) 0


[来源:Z*xx*k.Com]

2.已知 a ? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值是



( A)

5 5

( B)

55 5

(C )

3 5 5

(D)

11 5

3. 已知 ABCD 为平行四边形, 且 A(4,1,3), B(2, ?5,1), C (3,7, ?5) , 则点 D 的坐标为_____. 4.设向量 a ? (?1,3, 2), b ? (4, ?6, 2), c ? (?3,12, t ) ,若 c ? ma ? nb , 则t ? , m? n ? 。 ,

5. 已知向量 b 与向量 a ? (2, ?1,2) 共线, 且满足 a ? b ? 18 , 则b ? (ka ? b) ? (ka ? b) ,

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

五 作业
1、已知 O 为原点,向量 OA ? ? 3,0,1? , OB ? ? ?1,1, 2 ? , OC ? OA, BC ∥ OA ,求 AC . 2.若 a ? ( x, 2,0), b ? (3, 2 ? x, x2 ) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 ( )

( A ) x ? ?4

( B ) ?4 ? x ? 0

(C ) 0 ? x ? 4

(D) x ? 4
, .

3.设 a ? (2,6, ?3) ,则与 a 平行的单位向量的坐标为 同时垂直于 a ? (2,2,1), b ? (4,5,3) 的单位向量 e ?

4.已知 A(3, ?2,1), B(1,1,1) , O 为坐标原点, (1)写出一个非零向量 c ,使得 c ? 平面 AOB ; (2)求线段 AB 中点 M 及 ?AOB 的重心 G 的坐标; (3)求 ?AOB 的面积。

先预习后思考,最后才是做题目。


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