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2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案


2017-2018 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00) 一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x) ? x ? 1 的最小值是 x ?1 . 2.已知函数 f ( x) ? ex .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是 . 3.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d ,Sn 为前 n 项和,且满足 an 2 ? S2n?1 , n ? N* ,则数列 ?an ? 的通项 an ? . 2 ? ?2 x ? 3x, x ≥ 0, 4.若函数 f ( x) ? ? 2 是奇函数,则实数 a 的值是 ? ??2 x ? ax, x ? 0 . 5. 已知函数 f ( x) ? lg | x ? 则 f (m) 的值是 10 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m , |. 3 . 6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ? 3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5 . 7.四面体 ABCD 中, AB ? 3 , CD ? 5 ,异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4,夹角 为 60 o ,则四面体 ABCD 的体积为 . 8.若满足 ?ABC ? 是 ? 3 , AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围 . 9.设集合 S ? ?1, 2,?,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中 的最小数,则这样的集合对 ( A, B) 的个数是 . 10.如果正整数 m 可以表示为 x2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ),那么称 m 为“好数” .问 1, 2,3,…,2017-2018 中“好数”的个数为 . 二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知 a , b , c 为正实数, a x ? b y ? c z , ? ? ? 0 ,求 abc 的值. 1 x 1 y 1 z 12.已知 F1 , F2 分别是双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 a 2 b2 (0, b) ,直线 F1B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂 1 直平分线与 x 轴交于点 M .若 MF2 ? F1F2 ,求双曲线 C 的离心率. 2 13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上的高 CH 于点 E .以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE . 14. (1) 正六边形被 3 条互不交叉 (端点可以重合) 的对角线分割成 4 个三角形. 将 每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜 色不同.怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最 大? (2) 凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合) 的对角线分割成 2014 个 三角形.将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角 形涂的颜色不同.在上述分割并涂色的所有情形中,红色三角形个数与蓝色 三角形个数之差的最大值是多少?证明你的结

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