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2016届高考数学一轮复习教学案函数的单调性与最值(含解析)


第三节

函数的单调性与最值

[知识能否忆起] 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数

设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, 定义 x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数 图象 描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是减函数

2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 二、函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最小值

[小题能否全取]
1

1.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 B.y=-x3 1 C.y= x D.y=x|x| )

)

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( 1 A.k> 2 1 B.k< 2 1 C.k>- 2 1 D.k<- 2 )

1 3.(教材习题改编)函数 f(x)= 的最大值是( 1-x?1-x? 4 A. 5 5 B. 4 3 C. 4 4 D. 3

4 . ( 教材习题改编 )f(x) = x2 - 2x(x ∈ [ - 2,4]) 的单调增区间为 ________ ; f(x)max = ________.

?1?? 5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m<n,则 f(m)______f(n);若 f? ??x??<f(1),则实
数 x 的取值范围是______. 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质,是局部的特 征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调. 2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出 函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、 对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先 判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. [注意] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应 分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

函数单调性的判断

典题导入
2

1 [例 1] 证明函数 f(x)=2x- 在(-∞,0)上是增函数. x 由题悟法 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进 行. 以题试法 -2x 1.判断函数 g(x)= 在 (1,+∞)上的单调性. x-1

求函数的单调区间

典题导入 [例 2] (2012· 长沙模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,
?f?x?,f?x?≤k, ? 1 - 定义函数 fk(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间 2 ? ?k,f?x?>k,

为(

) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,-1) D.(1,+∞)

若本例中 f(x) = 2 ________.

- |x|

变为 f(x) = log2|x| ,其他条件不变,则 fk(x) 的单调增区间为

由题悟法 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观 性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间.
3

以题试法 2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] ) D.[2,+∞)

单调性的应用

典题导入 [例 3] (1)若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范围是 ________. (2)(2012· 安徽高考)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞), 则 a=________. 由题悟法 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解 题时要注意:一是函数定义域的限制;二是函数单调性的判定;三是等价转化思想与数 形结合思想的运用. 以题试法 3 . (1)(2013· 孝感调研 ) 函数 f(x) = ________. 1 ? 1 1 1 ,2 上的值域为 ? ,2? ,则 a = (2) 已知函数 f(x) = - (a>0 , x>0) ,若 f(x) 在 ? ?2 ? ?2 ? a x __________. 1 在 [2,3] 上的最小值为 ________ ,最大值为 x-1

1.(2012· 广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) 1?x C.y=? ?2? B.y=- x+1 1 D.y=x+ x

)

2.若函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则 f(1)= ( )
4

A.-7

B .1

C.17

D.25

b 3.(2013· 佛山月考)若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx x 在(0,+∞)上是( A.增函数 ) B.减函数 C.先增后减 D.先减后增

4.“函数 f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值” 的( ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

5.(2012· 青岛模拟)已知奇函数 f(x)对任意的正实数 x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1) -f(x2))>0,则一定正确的是( A.f(4)>f(-6) ) D.f(4)<f(-6)

B.f(-4)<f(-6) C.f(-4)>f(-6)

6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在 [a,b]上有( ) B.最大值 f(b) D.最大值 f? a+b? ? 2 ?

A.最小值 f(a) C.最小值 f(b)

7.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 8.(2012· 台州模拟)若函数 y=|2x-1|,在(-∞,m]上单调递减,则 m 的取值范围是 ________. ax+1 9.若 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________. x+2 10.求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=a1-2x-x2(a>0 且 a≠1).

5

x 11.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

12.(2011· 上海高考)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

6

1.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有( 1? ?1? A.f? ?3?<f(2)<f?2? 1? ?1? C.f? ?2?<f?3?<f(2) 1? ?1? B.f? ?2?<f(2)<f?3? 1? ?1? D.f(2)<f? ?2?<f?3?

)

m 2.(2012· 黄冈模拟)已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 的 M 值为( 1 A. 4 ) 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2

x? 3.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f? ?y?=f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明; (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

7

4、定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m, n, 总有 f(m+n)=f(m)· f(n), 且当 x>0 时,0<f(x)<1. (1)试求 f(0)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明你的结论; (3)设 A={(x,y)|f(x2)· f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+ 2)=1,a∈R},若 A∩B=?, 试确定 a 的取值范围. 解:(1)在 f(m+n)=f(m)· f(n)中,令 m=1,n=0, 得 f(1)=f(1)· f(0). 因为 f(1)≠0,所以 f(0)=1. (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2. 在已知条件 f(m+n)=f(m)· f(n)中,若取 m+n=x2,m=x1,则已知条件可化为:f(x2) =f(x1)· f(x2-x1). 由于 x2-x1>0,所以 0<f(x2-x1)<1. 为比较 f(x2),f(x1)的大小,只需考虑 f(x1)的正负即可. 在 f(m+n)=f(m)· f(n)中,令 m=x,n=-x, 则得 f(x)· f(-x)=1. 因为当 x>0 时,0<f(x)<1, 1 所以当 x<0 时,f(x)= >1>0. f?-x? 又 f(0)=1,所以综上可知,对于任意的 x1∈R, 均有 f(x1)>0. 所以 f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0. 所以函数 f(x)在 R 上单调递减. (3)f(x2)· f(y2)>f(1),即 x2+y2<1. f(ax-y+ 2)=1=f(0),即 ax-y+ 2=0. 由 A∩B=?,得直线 ax-y+ 2=0 与圆面 x2+y2<1 无公共点,所以 得-1≤a≤1. 2 ≥1,解 a +1
2

8


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