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归纳法在高一物理中应用


宜昌市何老师(15997574932) 宜昌市何老师(15997574932)理科教室物理方法序列

归纳法在摩擦力中应用
从某些个别物理现象或特殊物理过程出发, 可以推论出具有普遍意义的一般结论, 这种 从个别到一般,从特殊到普遍的逻辑推理方式叫归纳法。与归纳法的思想程序相反,从某个 具有普遍意义的一般性结论出发, 也可以推论出某一个别的物理现象或特殊的物理过程, 这 种从一般到个别、从普遍到一般的推理方式叫做演绎法。归纳法与演绎法的交叉应用,是我 们解决问题的常用思维方法。 归纳法。归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。它通过许多个别的事例或分论点, 然后归纳出它们所共有的特性, 从而得出一个一般性的结论。 归纳法可以先举事例再归纳结 论,也可以先提出结论再举例加以证明。前者即我们通常所说之归纳法,后者我们称为例证 法。例证法就是一种用个别、典型的具体事例实证明论点的论证方法。归纳法是从个别性知 识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论。它把特性或关系归结 到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型;或公式表达基于对反复再现的现象的模式 (pattern)的有限观察的规律。 归纳法在高一物理应用中应用具有很独到作用, 不仅仅可以活跃学生思维, 更多可以提 升我们思维能力和品质。特别是结合归纳和数列知识,加强数学和物理结合。下面我们就这 种思维在高一物理几个应用实例来说明。 例 1 一弹性小球自 高处自由下落,当它与水平桌面每碰撞一次后, 高处自由下落,当它与水平桌面每碰撞一次后,速度减小到碰

前的

,试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间。 试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间。

解析:每碰撞一次后小球均做竖直上抛运动,可分为上升和回落两个阶段,不计空气阻 力,这两段所用时间和行程相等。小球原来距桌面高度为 ,用 表示,下落至桌面时

的速度

应为:

,下落时间为:

首先用演绎法:

小球第一次和桌面碰撞后的速率:

第一次碰撞后上升、回落需用时间:

小球第二次和桌面碰撞后的速率: 第 二 次 碰 撞 后 上 升 、 回 落 需 用 时 间 :

再用归纳法:

依次类推可得:小球第 次和桌面碰撞后上升、回落需用时间:

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所以小球从开始下落到经过 次和桌面碰撞后静止所用总时间为:

括号内为等比级数求和,首项 级数的和为:

,公比

,因为

,所以无穷递减等比

所以 等份.今让一物体 可视为质点)从 今让一物体(可视为质点 例 2:AB 两点相距 s,将 s 平分为 n 等份 今让一物体 可视为质点 从 A 点由静止开始向 B : 将 做匀加速运动,但每过一个等份点 但每过一个等份点,加速度都增加 时的速度. 做匀加速运动 但每过一个等份点 加速度都增加 a/n,试求该物体到达 B 点时的速度 试求该物体到达 解析:,由于物体在每等份段上都做匀加速运动,所以每段的初速度末速度应满足同样关系:
2 v12 ? v0 = 2a

s n

1 s 2 v2 ? v12 = 2a (1 + ) n n
2 2 vn ? vn?1 = 2a (1 +

2 s 2 2 v3 ? v2 = 2a (1 + ) n n
各式相加得:

n ?1 s ) n n

s? 1 2 n ?1 ? 2 vn = 2a ?1 + (1 + ) + (1 + ) + L + (1 + ) n? n n n ? ? s 1 2 n ?1 = 2a ( n + + + L + ) n n n n 1 = (3 ? )as n 1 vn = (3 ? )as n
高处自由落下,当它与水平地面每碰撞一次后 当它与水平地面每碰撞一次后,速度减小到碰前 例 3:一弹性小球自 4.9m 高处自由落下 当它与水平地面每碰撞一次后 速度减小到碰前 : 试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间. 的 7/9,试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间 试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间 解:小球每次碰撞后做竖直上抛运动

v0 = 2 gh0 = 2 × 9.8 × 4.9 = 9.8m/s t0 = 2h0 / g = 2 × 4.9 ÷ 9.8 = 1s
第一次碰后速率:

v1 = v0 × 7 / 9

第一次碰后上升回落时间: 第二次碰后速率:

2t1 = 2v1 / g = 2 × 7 / 9s

v2 = v1 × 7 / 9 = v0 × (7 / 9) 2 2t 2 = 2v2 / g = 2 × (7 / 9) 2 s 2t n = 2vn / g = 2 × (7 / 9) n s

第二次碰后上升回落时间: 第 n 次碰后上升回落时间:

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所求总时间:

T = t0 + 2t1 + 2t 2 + L + 2t n

利用等比数列求和可得: T=8s 逐页叉叠放在一起,放在水平桌面上,设每页书(一张纸) 例题 4:两本书 A 和 B 逐页叉叠放在一起,放在水平桌面上,设每页书(一张纸)的质 : 张纸, 量为 5g,两本书均有 100 张纸,纸与纸之间的动摩擦因素为 0.3,若要把书沿水平方向抽出 , , 至少需要施加多大的力? 至少需要施加多大的力? 解:本书总共 200 张 从上到下: 第一张和第二张间动摩擦力=1*0.005*10*0.3 第二张和第三张间动摩擦力=2*0.005*10*0.3 …… 第 199 张和第 200 张间动摩擦力=199*0.005*10*0.3

总摩擦力=(1+2+……+199)*0.005*10*0.3 =[(1+199)*199/2]*0.005*10*0.3 =298.5N 例 5:我们在火车站常看到载重列车启动时,机车要往后倒退一下,目的是使各节车厢之间 的挂钩都离开一段距离, 以便于启动, 这是因为机车和车厢与铁轨之间的最大静摩擦力大于 它们之间的动摩擦力, 若机车不倒退直接启动, 启动以后机车和车厢与铁轨之间的摩擦力由 静摩擦力变为动摩擦力, 当列车加速到一定的速度后, 列车的机车就必须减少牵引力使列车 匀速直线运动, 资源不能得到充分的利用, 所以载重列车常常采用我们所见到的启动方式启 动。今有一列载重列车,若它不倒退以恒定的牵引力直接启动,机车的牵引力能带动 49 节 车厢(不含机车),那么它利用倒退后用同样大小的恒定牵引力启动,该机车启动 59 节同 样质量的车厢以后,恰好做匀速直线运动,已知机车与各节车厢的质量均为 m,机车和各节 车厢与铁轨之间的动摩擦力为 μmg,假设机车倒退后,各节车厢之间的挂钩离开相同的距 离 s, 机车加速后, 每拉动一节车厢的瞬间可近似地认为满足动量守恒定律的条件。 (1) 求: 每一节车厢与铁轨之间的最大静摩擦力? (2) 列车采用机车倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度? (最终结果可以用根式表示) 解:(1)设每节车厢所受最大静摩擦力为 fm,机车的牵引为为 F 直接启动时,有 F=(49+1)fm (1) 当采用倒退方式启动时,有 F=(59+1)?mg (2) 由①、②两式可得:fm=1.2?mg (3) (2)设第一节车厢被拉动前,机车的速度为 V1,被拉动后,机车的速度为 V1′

由动能定理有

(4)

由动量守恒定律有

(5)

由 ④、⑤得

(6)

设第二节车厢被拉动前,机车的速度为 V2,被拉动后,机车的速度为 V2′,

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由动能定理有

(7)

由动量守恒定律有

(8)

由 ⑦、⑧得

(9)

同理可得

(10)

由数学归纳法有

(11)

∴ 即,列车采用倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度为 :

(12)

例题 6:如图 6 所示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高 H,上端套着一个细 环。棒和环的质量均为 m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力 kmg(k>1) 。断开轻绳, 棒和环自由下落。假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动能损失。棒在整 个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计。求: (1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度; (2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程 S; (3)从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功。 解: (1)设棒第一次上升过程中,环的加速度为

环受合力



由牛顿第二定律



由①、②得

,方向竖直向上。

(2)以地面为零势能面,向上为正方向,棒第一次落地的速度大小为

由机械能守恒

解得:

设棒弹起后的加速度为

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由牛顿第二定律

棒第一次弹起的最大高度

解得

棒运动的路程

(3)棒第一次弹起经过 时间,与环达到相同速度

环的速度

棒的速度

环的位移

棒的位移 棒环一起下落至地

相对位移

解得

解得 同理,环第二次相对棒的位移

=

。。。 。。。

=

环相对棒的总位移

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得 解题策略:在解题的过程中,同学要自己独立地探究环与棒的相对位移的规律,这就是 归纳法解题。例如本例中用牛顿定律和运动学公式,根据物理规律写出方程式,求解出第 1 个物理过程的解,本例中的 ,然后根据第 2、3 个物理过程的结果(如 、 ) ,找出其

中的规律性(



等) ,列出递推公式(如

等) ,最后根据递推公

式求解未知量,如


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