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2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:专题8 三角函数的图象与性质


热 点 题 型 · 探 究

专题八

三角函数的图象与性质

专 题 限 时 集 训

题型一| 三角函数的概念及其基本关系、诱导公式

(1)已知

?π ? 4 ? cos?6-α? ?=5,则 ? ?

? π? ? sin?α+3

? ?=________. ? ?

(2)已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3x-y
?3π ? ? cos? 2 +θ? ?+cos?π-θ? ? ? 上,则 =________. ?π ? ? - θ sin? ?2 ?-sin?π+θ? ? ?

=0

(3)(2016· 合肥模拟)如图 81,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所 示的坐标系, 设秒针针尖位置 P(x, y). 若初始位置为
? P0? ? ?

3 1? ? 当秒针从 P0(此 , ?, 2 2?

时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系是______.

图 81

?π ?π ? ? ?? π π? π? 4 1 ? ? ? ? ? ? ? (1) (2) (3)y=sin?-30t+6? [(1)由题意得:sin?α+3?=sin? -?6-α? ?? 5 2 ? ? ? ? ?? ?2 ? ?π ? 4 ? =cos?6-α? ?=5. ? ? ?3π ? ? cos? 2 +θ? ?+cos?π-θ? sin θ-cos ? ? θ=3, = ?π ? cos θ+sin ? ? sin?2-θ?-sin?π+θ? ? ?

(2)根据直线的斜率的定义得 tan

θ θ

tan θ-1 1 = = . 1+tan θ 2

π (3)由三角函数的定义可知,初始位置点 P0 的弧度为 ,由于秒针每秒转过 6 π 的弧度为- ,针尖位置 P 到坐标原点的距离为 1,故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 30 的函数关系可能为
? π π? ? y=sin?-30t+6? ?.] ? ?

【名师点评】

1.涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水

车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边 位置有关,与终边上点的位置无关. 2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函 数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁 为简等.

1 .(2016· 南通调研一 )已知 ________.
5 9 -sin
2?

? π? ? ? 1 sin?x+6?= ,则 ? ? 3

? ? ? 5π? ? ? 2 ?π sin?x- 6 ? +sin ?3-x? ? 的值是 ? ? ? ?

?? ? ? ? ? ? ? ? ? 5π? π? π? π? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 2?π 2?π [sin?x- 6 ?+sin ?3-x?=sin??x+6?-π? +sin ? -?x+6??=-sin?x+6? ?+1 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?

? π? ? 5 ?x+6?=9.] ? ?

2.如图 82,以 Ox 为始边作角 α(0<α<π),终边与单位圆相交于点 P,已 知点 P
? 3 4? sin ? ? 的坐标为?-5,5?,则 ? ?

2α+cos 2α+1 =________. 1+tan α

图 82

18 [由三角函数定义, 25 3 4 得 cos α=- ,sin α= , 5 5 2sin αcos α+2cos2α ∴原式= sin α 1+ cos α
? 3? 2cos α?sin α+cos α? ? ?2 18 2 = =2cos α=2×?-5? = .] 25 sin α+cos α ? ? cos α

3.如图 83 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置 在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆 → 的坐标为________. 心位于(2,1)时,OP 【导学号:91632026】

图 83

︵ 2 (2-sin 2,1-cos 2) [设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧PA长为 2,∠ABP= 1 =2. 作 PC⊥x 轴,垂足为 C;BD⊥PC,垂足为 D.

π ∴∠PBD=2- . 2 设 P(x,y),由三角函数定义,
? π? ? x=2-1×cos?2-2? ?=2-sin ? ? ? π? ? y=1+1×sin?2-2? ?=1-cos ? ?

2, 2,

→ 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).] ∴OP

题型二| 三角函数的图象及应用

? π? ? (1)函数 y=sin?2x-3? ?的图象可由函数 y=sin ? ?

x 的图象作两次变换得

到,第一次变换是针对函数 y=sin x 的图象而言的,第二次变换是针对第一次变 换所得图象而言的,现给出下列四个变换:

π A.图象上所有点向右平移 个单位; 6 π B.图象上所有点向右平移 个单位; 3 C.图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变); 1 D.图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变). 2 请按顺序写出两次变换的代表字母:________.

(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图 84 所示,则
?π? ? f? ?3?的值为________. ? ?

图 84

π (1)BD 或 DA (2)1 [(1)由函数 y=sin x 的图象上所有点向右平移 个单位, 3 可得函数
? π? 1 ? ? y=sin?x-3?,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,得函数 2 ? ?

y=

? π? ? sin?2x-3? ?,则两次变换依次为 ? ?

BD.

1 或,由函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,可得函数 y 2 π =sin 2x,再将图象上所有点向右平移 个单位,则两次变换依次为 DA. 6

?π ? 3T 11π π 2π ? (2)由图知:A=2, = - ,T=π,ω= =2.又函数过点?6,2? ?,所以 4 12 6 T ? ?



? ? π ? sin?2×6+φ? ?=1,而 ? ?

π 0<φ<π,所以 φ= . 6
?π? ?2π π? ? ? ? + f?3?=2sin? ?3 ?=1.] 6 ? ? ? ?

所以

? π? ? f(x)=2sin?2x+6? ?,因此 ? ?

【名师点评】

作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个

变量 x 的变化量,因此由 y=sin ωx?ω>0?的图象得到 y=sin?ωx+φ?的图象时,应 |φ| 将图象上所有点向左?φ>0?或向右?φ<0?平移 个单位,而非|φ|个单位. ω

1 1.(2016· 苏北三市三模)已知函数 f(x)=sin x(x∈[0,π])和函数 g(x)= tan x 2 的图象交于 A,B,C 三点,则△ABC 的面积为________.

3 π 4

?π? 1 1 π π 3 ? ? [由 sin x= tan x 得 cos x= , 又 x∈[0, π], ∴x= , 又 f?3?=sin = . 2 2 3 3 2 ? ? ?π A(0,0),B? ?3, ?

不妨设

3? ? ,C(π,0), 2? ?

1 3 3 ∴S△ABC= ×π× = π.] 2 2 4

2.将函数 g(x)的图象,若

? π? π ? ? f(x)=2sin?ωx-3?(ω>0)的图象向左平移 个单位,得到函数 3ω ? ? ? π? ? y=g(x)在?0,4? ?上为增函数,则 ? ?

y=

ω 的最大值为________.

2 [平移后的解析式为

? ? ? π? ? ? ? π? g(x)=2sin?ω?x+3ω?- ?=2sin ? 3? ? ?

ωx,此函数的单调递

? ?2kπ π? π 2 kπ π ? 2 kπ π 2 kπ π ? ? ? 增区间为 - ≤x≤ + ,故 ?0,4? ? ? ω -2ω, ω +2ω? ? (k∈Z) ,即 ω 2ω ω 2ω ? ? ? ?

?2kπ π ? ω -2ω≤0, ① ? ?2kπ+ π ≥π. ② ? ω 2ω 4

1 由①式得 k≤ ,由②式得 0<ω≤8k+2,因为 k∈Z 且要 4

求 ω 的最大值,则 k=0,故 ω 的最大值为 2.]

3.函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图 85 所示,则 f(x)的单调递减区间 为________.

图 85

? 1 3? ? ? 2 k - , 2 k + ? ?,k∈Z 4 4 ? ?

[由图象知,周期

?5 1? ? - T=2? ?4 4?=2, ? ?

2π ∴ =2,∴ω=π. ω 1 π π 由 π× +φ= +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= , 4 2 4
? π? ? ∴f(x)=cos?πx+4? ?. ? ?

π 1 3 由 2kπ<πx+ <2kπ+π,k∈Z,得 2k- <x<2k+ ,k∈Z, 4 4 4
? 1 3? ? ∴f(x)的单调递减区间为?2k-4,2k+4? ?,k∈Z.] ? ?

题型三| 三角函数的性质及应用

(1)若函数 ________. (2)已知函数

? π? ? f(x)=sin(x+θ)?0<θ<2? ?的图象关于直线 ? ?

π x= 对称,则 θ= 6

? π? ? f(x)=2sin?2ωx-4? 则函数 ?(ω>0)的最大值与最小正周期相同, ? ?

f(x)

在[-1,1]上的单调增区间为________.

π (1) 3

? 1 3? ? - , (2)? ? 4 4? ? ?

π [(1)因为三角函数的对称轴经过最值点,所以当 x= 时, 6
?π ? π π ? ? sin?6+θ?=± 1? +θ= +kπ,(k∈Z),又 6 2 ? ?

f(x)=sin(x+θ)取最值,即 π 以 θ= . 3

π 0<θ< ,所 2

(2)由题意可知,函数

? π? π π π ? ? f(x)=2sin?πx-4?,令- +2kπ≤πx- ≤ +2kπ,解得 2 4 2 ? ?

1 3 1 3 - +2k≤x≤ +2k,k∈Z,又 x∈[-1,1],所以- ≤x≤ ,所以函数 f(x)在[- 4 4 4 4
? 1 3? ? - , 1,1]上的单调递增区间为? ? 4 4?.] ? ?

【名师点评】 函数 y=Asin?ωx+φ?的性质及应用的求解思路: 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y = Asin?ωx+φ?+B 的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin?ωx+φ? +B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

1.(2016· 南通二调)设函数

? π? ? y=sin?ωx+3? ?(0<x<π),当且仅当 ? ?

π x= 时,y 12

取得最大值,则正数 ω 的值为________.

2

π [由 0<x<π,当且仅当 x= 时,y 取得最大值,故 12
? ?ω≤2, 即? ? ?ω=2+24k,k∈Z.

?2π ? ω ≥π, ? ?πω+π=π+2kπ,k∈Z, ? 12 3 2 ∴ω=2.]

2. 若 x 是一个三角形的最小内角, 则函数 y=sin x-cos x 的值域是________.

? ? ?-1, ?

3-1? ? [因为 x 是一个三角形的最小内角,所以 ? 2 ?

? ? π? π π π π 3-1? ? ? ? ? 0<x< ,从而- <x- < ,y=sin x-cos x= 2sin?x-4?∈?-1, ?.] 3 4 4 12 2 ? ? ? ?

π 3.直线 y= 3与 y=2sin ωx(ω>0)相距最近的两个交点的距离为 ,则 y= 6 2sin ωx 的最小正周期为________.

π

3 π 2π [由 2sin ωx= 3得 sin ωx= ,∴ωx= 或 . 2 3 3

2π π - π 3 3 2π ∴ = ,∴ω=2,∴T= =π.] 6 ω 2


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