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数学竞赛平面几何讲座5讲 第三讲 点共线、线共点


第三讲

点共线、线共点

在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三 点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。 例 1 如图,设线段 AB 的中点为 C,以

AC 和 CB 为对角线作平行四边形 AECD,BFCG。 又作平行四边形 CFHD,CGKE。求证:H,C,K 三点共线。 证 连 AK,DG,HB。 由题意,AD EC KG,知四边形 AKGD 是平行 四边形,于是 AK DG。同样可证 AK HB。四边形 AHBK 是平行四边形,其对角线 AB,KH 互相平分。 而 C 是 AB 中点,线段 KH 过 C 点,故 K,C,H 三点 共线。 例 2 如图所示,菱形 ABCD 中,∠A=120°, O 为△ABC 外接圆,M 为其上一点,连

G D A E K C B H F

接 MC 交 AB 于 E,AM 交 CB 延长线于 F。求证:D,E,F 三点共线。

证 如图,连 AC,DF,DE。 因为 M 在 O 上,

F B

M E O

A D C

则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB, 有△AMC∽△ACF,得

MC CF CF ? ? 。 MA CA CD
又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得

MC AC AD ? ? 。 MA AE AE
所以

CF AD ? ,又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽ CD AE

△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为 AD∥BC,所以∠ADF=∠DFB=∠ADE,于是 F,E,D 三点共线。

例 3 四边形 ABCD 内接于圆,其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P,AD 与 BC 的延长线交于 点 Q。由 Q 作该圆的两条切线 QE 和 QF,切点分别为 E,F。求证:P,E,F 三点 共线。 证 如图,连接 PQ,并在 PQ 上取一点 M,使得 B,C,M,P 四点共圆,连 CM,PF。设 PF 与圆的另一交点为 E’,并作 QG 丄 PF,垂 足为 G。易如 QE2=QM·QP=QC·QB ∠PMC=∠ABC=∠PDQ。 从而 C,D,Q,M 四点共圆,于是 PM·PQ=PC·PD 由①,②得 PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB, 即 PQ =QC·QB+PC·PD。 易知 PD·PC=PE’·PF,又 QF2=QC·QB,有 PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2, 即 PE’·PF=PQ2-QF2。又 PQ2-QF2=PG2-GF2=(PG+GF)·(PG-GF) =PF·(PG-GF), 从而 PE’=PG-GF=PG-GE’,即 GF=GE’,故 E’与 E 重合。 所以 P,E,F 三点共线。 例 4 以圆 O 外一点 P,引圆的两条切线 PA,PB,A,B 为切点。割线 PCD 交圆 O 于 C, D。又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E。若 F 为 CD 中 点,求证:A,F,E 三点共线。 证 如图,连 AF,EF,OA,OB,OP,BF,OF, 延长 FC 交 BE 于 G。 易如 OA 丄 AP,OB 丄 BP, OF 丄 CP,所以 P,A,F,O,B
2



A G C (E') E

F D Q M

B


P

A D F O E G B C P

五点共圆,有∠AFP=∠AOP=∠POB=∠PFB。 又因 CD∥BE,所以有∠PFB=∠FBE,∠EFD=∠FEB, 而 FOG 为 BE 的垂直平分线,故 EF=FB,∠FEB=∠EBF, 所以∠AFP=∠EFD,A,F,E 三点共线。

2. 线共点的证明 证明线共点可用有关定理(如三角形的 3 条高线交于一点), 或证明第 3 条直线通过另外 两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明。 例 5 以△ABC 的两边 AB,AC 向外作正方形 ABDE,ACFG。 △ABC 的高为 AH。求证:AH,BF,CD 交于一点。 证 如图。延长 HA 到 M, 使 AM=BC。连 CM,BM。 设 CM 与 BF 交于点 K。 在△ACM 和△BCF 中, AC=CF,AM=BC, ∠MAC+∠HAC=180°, ∠HAC+∠HCA=90°, 并且∠BCF=90°+∠HCA, 因此∠BCF+∠HAC=180° ∠MAC=∠BCF。 从而△MAC≌△BCF,∠ACM=∠CFB。 所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°, 即 BF 丄 MC。 同理 CD 丄 MB。AH,BF,CD 为△MBC 的 3 条高线,故 AH,BF,CD 三线交于一 点。

M E G D B A K H C F

例 6 设 P 为△ABC 内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC。又设 D,E 分别是△APB 及 △APC 的内心。证明:AP,BD,CE 交于一点。 证 如图,过 P 向三边作垂线,垂足分别为 R,S,T。 连 RS,ST,RT,设 BD 交 AP 于 M,CE 交 AP 于 N。

易知 P,R,A,S;P,T,B,R; P,S,C,T 分别四点共圆,则 ∠APB-∠ACB=∠PAC+∠PBC =∠PRS+∠PRT =∠SRT。 同理,∠APC-∠ABC=∠RST, 由条件知∠SRT=∠RST,所以 RT=ST。 又 RT=PBsinB,ST=PCsinC, 所以 PBsinB=PCsinC,那么

A R M N D E P B T S

C

PB PC ? 。 AB AC
由角平分线定理知

AN AC AB AM ? ? ? 。 NP PC PB MP
故 M,N 重合,即 AP,BD,CE 交于一点。

例7

O1 与

O2 外切于 P 点,QR 为两圆的公切线,其中 Q,R 分别为

O1,

O2 上

的切点,过 Q 且垂直于 QO2 的直线与过 R 且垂直于 RO1 的直线交于点 I,IN 垂直于 O1O2,垂足为 N,IN 与 QR 交于点 M。证明:PM,RO1,QO2 三条直线交于一点。 证 如图,设 RO1 与 QO2 交于点 O, 连 MO,PO。 因为∠O1QM=∠O1NM=90°,所以 Q,O1,N,M 四点共圆,有∠QMI=∠QO1O2。 而∠IQO2=90°=∠RQO1, 所以∠IQM=∠O2QO1, 故△QIM∽△QO2O1,得
I

R

QO1 O1O2 ? QM MI


Q M O1 N

O P O2

同理可证

RO2 O1O2 QM QO1 ? 。因此 ? RM MI MR RO2

因为 QO1∥RO2,所以有

O1O QO1 ? OR RO2



由①,②得 MO∥QO1。 又由于 O1P=O1Q,PO2=RO2,

所以

O1O O1Q O1 P , ? ? OR RO2 PO2

即 OP∥RO2。从而 MO∥QO1∥RO2∥OP,故 M,O,P 三点共线,所以 PM,RO1, QO2 三条直线相交于同一点。

3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用 定理 1 (塞瓦(Ceva)定理):

设 P,Q,R 分别是△ABC 的 BC,CA,AB 边上的点。若 AP,BQ,CR 相交于一点 M, 则

BP CQ AR ? ? ? 1。 PC QA RB
证 如图,由三角形面积的性质,有

A Q M B P C

AR S ?AMC BP S ?AMB CQ S ?BMC , , . ? ? ? RB S ?BMC PC S ?AMC QA S ?AMB
以上三式相乘,得

BP CQ AR ? ? ? 1. PC QA RB

定理 2 (定理 1 的逆定理): 设 P,Q,R 分别是△ABC 的 BC,CA,AB 上的点。若 CR 交于一点。 证 如图,设 AP 与 BQ 交于 M,连 CM,交 AB 于 R’。 由定理 1 有

BP CQ AR ? ? ? 1,则 AP,BQ, PC QA RB

AR ' AR BP CQ AR' BP CQ AR ? ? ? ? 1. 而 ? ? ? 1,所以 . R' B RB PC QA R' B PC QA RB

于是 R’与 R 重合,故 AP,BQ,CR 交于一点。

定理 3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理): 一条不经过△ABC 任一顶点的直线和三角形三边 BC,CA,AB(或它们的延长线)分别交 于 P,Q,R,则

BP CQ AR ? ? ?1 PC QA RB
证 如图,由三角形面积的性质,有
B

A R Q C P

AR S ?ARP BP S ?BRP CQ S ?CRP , , . ? ? ? RB S ?BRP PC S ?CPR QA S ?ARP
将以上三式相乘,得

BP CQ AR ? ? ? 1. PC QA RB

定理 4 (定理 3 的逆定理): 设 P,Q,R 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 或它们延长线上的 3 点。若

BP CQ AR ? ? ? 1, PC QA RB
则 P,Q,R 三点共线。 定理 4 与定理 2 的证明方法类似。 塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛 的应用。 例 8 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相 交于 F,延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC。 证 如图,连接 BD 交 AC 于 H, 过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I, 过点 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。 对△BCD 用塞瓦定理,可得
A

D H

CG BH DE ? ? ?1 GB HD EC
因为 AH 是∠BAD 的角平分线, 由角平分线定理知 代入①式得


B G

F

E

C J

BH AB ? 。 HD AD

I

CG AB DE ? ? ?1 ② GB AD EC CG CI DE AD ? ? 因为 CI∥AB,CJ∥AD,则 , 。 GB AB EC CJ

代入②式得

CI AB AD ? ? ?1. AB AD CJ
从而 CI=CJ。又由于 ∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ, 所以△ACI≌△ACJ,故∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC.

例 9 ABCD 是一个平行四边形,E 是 AB 上的一点,F 为 CD 上的一点。AF 交 ED 于 G, EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L,交 BC 于 M。求证:DL=BM. 证 如图,设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J,与 DC 的延长线交于点 I。 在△ECD 与△FAB 中分别使用 梅涅劳斯定理,得
J A L G H D M F C I E B

EG DI CH AG FH BJ ? ? ? 1, ? ? ? 1. GD IC HE GF HB JA
因为 AB∥CD,所以

EG AG CH FH ? ? , . GD GF HE HB DI BJ CD ? CI AB ? AJ ? ? 从而 ,即 ,故 CI=AJ. 而 IC JA CI AJ BM BJ DI DL ? ? ? , MC CI AJ LA
且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DL。

例 10 在直线 l 的一侧画一个半圆 T,C,D 是 T 上的两点,T 上过 C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A,半圆的圆心在线段 BA 上,E 是线段 AC 和 BD 的交点,F 是 l 上的点, EF 垂直 l。求证:EF 平分∠CFD。 证 如图,设 AD 与 BC 相交于点 P,用 O 表示半圆 T 的圆心。过 P 作 PH 丄 l 于 H,连 OD,OC,OP。 由题意知 Rt△OAD∽Rt△PAH, 于是有
P

AH HP ? . AD DO
D A E O F(H) C B l

类似地,Rt△OCB∽Rt△PHB, 则有

BH HP ? . BC CO

由 CO=DO,有

AH BH AH BC PD ? ? ? ? 1. ,从而 AD BC HB CP DA

由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC,BD,PH 相交于一点,即 E 在 PH 上,点 H 与 F 重合。 因∠ODP=∠OCP=90°,所以 O,D,C,P 四点共圆,直径为 OP. 又∠PFC=90°, 从而推得点 F 也在这个圆上,因此∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP, 所以 EF 平分∠CFD。
E

例 11 如图,四边形 ABCD 内接于圆,AB,DC 延长线交 于 E,AD、BC 延长线交于 F,P 为圆上任意一点,
B

PE,PF 分别交圆于 R,S. 若对角线 AC 与 BD 相交 于 T. 求证:R,T,S 三点共线。 先证两个引理。
A P T

R C

D S

F

引理 1: A1B1C1D1E1F1 为 圆 内 接 六 边 形 , 若 A1D1 , B1E1 , C1F1 交 于 一 点 , 则 有

A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1. B1C1 D1E1 F1 A1
如图,设 A1D1,B1E1,C1F1 交于点 O,根据圆内接多边形的性质易知 △ OA1B1∽△OE1D1,△OB1C1∽△OF1E1,
A1 B1 C1 O D1 E1 F1

△OC1D1∽△OA1F1,从而有

A1 B1 B1O EF FO CD DO , 1 1 ? 1 , 1 1 ? 1 . ? D1 E1 D1O B1C1 B1O F1 A1 F1O
将上面三式相乘即得 引理 2: 圆内接六边形 A1B1C1D1E1F1,若满足

A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1, B1C1 D1E1 F1 A1

A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1 B1C1 D1E1 F1 A1

则其三条对角线 A1D1,B1E1,C1F1 交于一点。

该引理与定理 2 的证明方法类似,留给读者。 例 11 之证明如图,连接 PD,AS,RC,BR,AP,SD. 由△EBR∽△EPA,△FDS∽△FPA,知 两式相乘,得

BR EB ? FP ? . DS EP ? FD

BR EB PA FP ? ? , . PA EP DS FD



又由△ECR∽△EPD,△FPD∽△FAS,知

CR EC ? FP ? ② AS EP ? FA BR ? AS EB ? FA ? 由①,②得 . 故 DS ? CR EC ? FD BR CD SA EB AF DC ? ? ? ? ? . RC DS AB BA FD CE
对△EAD 应用梅涅劳斯定理,有

CR EC PD FP ? ? , . 两式相乘,得 PD EP AS FA



EB AF DC ? ? ?1 BA FD CE
由③,④得



BR CD SA ? ? ? 1. RC DS AB
由引理 2 知 BD,RS,AC 交于一点,所以 R,T,S 三点共线。





A组 1. 由矩形 ABCD 的外接圆上任意一点 M 向它的两对边引垂线 MQ 和 MP,向另两边延长线 引垂线 MR,MT。证明:PR 与 QT 垂直,且它们的交点在矩形的一条对角线上。

2. 在△ABC 的 BC 边上任取一点 P,作 PD∥AC,PE∥AB,PD,PE 和以 AB,AC 为直径 而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为 D,E。求证:D,A,E 三点共线。

3. 一个圆和等腰三角形 ABC 的两腰相切,切点是 D,E,又和△ABC 的外接圆相切于 F。 求证:△ABC 的内心 G 和 D,E 在一条直线上。

4. 设四边形 ABCD 为等腰梯形,把△ABC 绕点 C 旋转某一角度变成△A’B’C’。证明:线段 A’D, BC 和 B’C 的中点在一条直线上。

5. 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P。设三角形 ABP,BCP,CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1,O2,O3,O4。求证:OP,O1O3,O2O4 三直线交于一点。

6. 求证:过圆内接四边形各边的中点向对边所作的 4 条垂线交于一点。

7. △ABC 为锐角三角形,AH 为 BC 边上的高,以 AH 为直径的圆分别交 AB,AC 于 M,N; M,N 与 A 不同。过 A 作直线 lA 垂直于 MN。类似地作出直线 lB 与 lC。证明:直线 lA, lB,lC 共点。

8. 以△ABC 的边 BC,CA,AB 向外作正方形,A1,B1,C1 是正方形的边 BC,CA,AB 的对 边的中点。求证:直线 AA1,BB1,CC1 相交于一点。

9. 过△ABC 的三边中点 D,E,F 向内切圆引切线,设所引的切线分别与 EF,FD,DE 交 于 I,L,M。求证:I,L,M 在一条直线上。

B组

10. 设 A1,B1,C1 是直线 l1 上的任意三点,A2,B2,C2 是另一条直线 l2 上的任意三点,A1B2 和 B1A2 交于 L,A1C2 和 A2C1 交于 M,B1C2 和 B2C1 交于 N。求证:L,M,N 三点共线。

11. 在△ABC,△A’B’C’中,连接 AA’,BB’,CC’,使这 3 条直线交于一点 S。求证:AB 与 A’B’、BC 与 B’C’、CA 与 C’A’的交点 F,D,E 在同一条直线上(笛沙格定理)。

12. 设圆内接六边形 ABCDEF 的对边延长线相交于三点 P, Q, R, 则这三点在一条直线上(帕 斯卡定理)。


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