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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:2.3.2《抛物线的简单几何性质》课时1


2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)

通过动画展示抛物线的形成,利用图片直观感知抛物线 在我们日常生活中的存在,培养学生善于观察的良好品质,同 时激发了学生探索新知的欲望,充分调动学生学习的积极性 和主动性.运用类比的思想,类比椭圆的性质和双曲线的性质

学习抛物线的性质.
例 1 是利用抛物线的几

何性质求双曲线的标准方程;例 2 是求直线与抛物线相交的弦长问题,利用抛物线的定义和数 形结合的方法帮助学生理解。利用动画展示抛物线的对称性.

1
复 习

抛物线的定义

2 3

抛物线的标准方程 抛物线的图象,焦点坐标,准线方程

4

椭圆及双曲线的性质

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y 2 ? 2px (p ? 0)
y 2 ? ?2px (p ? 0)

p ( , 0) 2
p (? , 0) 2

p x?? 2
p x? 2

x 2 ? 2py (p ? 0)

p (0, ) 2
p (0, ? ) 2

p y?? 2

x 2 ? ?2py (p ? 0)

p y? 2

类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以讨论 抛物线的哪些几何性质?

抛物线的简单几何性质 抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程

y ? 2 px( p ? 0)
2

( 1)

研究它的一些简单几何性质: 1.范围
因为p>0,由方程(1)可知,对于抛物线(1)上的点M (x, y),x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴正向相同; 当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下 方无限延伸.

2.对称性
以-y代y,方程(1)不变,所以这条抛物线关于x轴对 称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程(1)中, 当y=0时,x=0,因此抛物线(1)的顶点就是坐标原点.

4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫 做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.

抛物线的其它几何性质

5.通径
过焦点而垂直于对称轴的

y
A

y2=2px
? p ? ? , p? ?2 ?

弦AB,称为抛物线的通径. |AB|=2p
利用抛物线的顶点、通径的 两个端点可较准确画出反映抛 物线基本特征的草图.

2p

O
B

F

x

p ( , ? p) 2

2p越大,抛物线张口越大.

6.焦半径
连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.

y
焦半径公式:
P

p PF ? x 0 ? . 2

O

F

x

抛物线的几何性质
方程

y2 = 2px ( p> 0) y l

y2 = -2px

x2 = 2py
( p > 0) y F x O

x2 = -2py
( p> 0 ) y


形 范围 对称性 顶点 离心率

( p> 0) y l
x

l x

O F x≥0

F

O

x l

O

F

y∈ R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈ R

y≤0

关于x轴对称 关于x轴对称 (0,0) e=1

关于y轴对称 关于y轴对称

(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,

但没有渐近线;
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线;
(4)抛物线的离心率e是确定的,为1; (5)抛物线的通径为2p, 2p越大,抛物线的张口越大.

抛物线几何性质的应用

解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
?2 2 ),所以,可设它的标 点,并且经过点M(2,

准方程为 y

2

? 2px (p ? 0),
2) ? 2 p ? 2,
2

因为点M在抛物线上,所以 ( ?2

即p =2.
因此,所求抛物线的标准方程是

y ? 4 x.
2

【例2】 斜率为1的直线 l 经过抛物线 y ? 4x的焦点 F, 且与
2

抛物线相交于 A, B两点,求线段 AB的长.
分析:由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l 的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方 程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离 公式可以求出∣AB|.这种方法虽然思路简单,但是需 要复杂的代数运算.

下面,我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.

如图,设 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ). 由抛物线的定义可知, AF 等于 点 A到准线的距离 AA ? .设 AA ? ? d A , 而 d A ? x1 ? 1, 于是 AF ? d A ? x1 ? 1.同理, BF ? BB? ? d B ? x 2 ? 1, 于是得

A'

y

A
x

O F B' B

A B ? A F ? B F ? x1 ? x 2 ? 2.
由 此 可 见 , 只 要 求 出 点 A , B 的 横 坐 标 之 和 x1 ? x 2 , 就 可 以 求 出 AB .

p 解:由 题意可知, p ? 2, ? 1, 焦点F(1, 0), 准 线 l : x ? ? 1. 2
如 图 , 设 A(x1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ), A , B 到 准 线 l 的 距 离 分 别 为 d A , d B .由 抛 物线的定义可知

A'

y

A
x

AF ? d A ? x 1 ? 1, BF ? d B ? x 2 ? 1,
于 是 A B ? A F ? B F ? x1 ? x 2 ? 2.

O F B' B
(1)

由 已 知 得 抛 物 线 的 焦 点 为 F (1, 0 ), 所 以 直 线 AB的 方 程 为 y ? x ? 1.

将 ( 1) 代 入 方 程 y 2 ? 4 x , 得

( x ? 1)2 ? 4 x ,

化 简 得 x ? 6x ? 1 ? 0.
2

由求根公式得 x1 ? 3 ? 2 2 , x 2 ? 3 ? 2 2 ,

于 是 A B ? x1 ? x 2 ? 2 ? 8.

所 以 , 线 段 A B 的 长 是 8.

还可以如何 求x1+x2?

利用根与系数的关系可以 直接求出 x1 ? x 2 ? 6.

如上题,求证:以AB为直径的圆和抛物线的准线相切.
y

分析:运用抛物线的 定义和平面几何知识 来证比较简捷.

C H D E F A

B O
x

证明:如图,设AB的中点为E,过A,E,B分别向准 线l引垂线AD,EH,BC,垂足分别为D,H,C, 则|AF|=|AD|,|BF|=|BC|
y

∴|AB|=|AF|+|BF| =|AD|+|BC| =2|EH|
所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且 EH⊥l,因而圆E和准线l相切.

C H D E F A

B O
x

1、求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点在直线x-2y-4=0上.

y ? 16 x或 x ? ? 8 y
2 2

(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 15.

y ? 12 x 或 y ? ? 4 x
2 2

2.抛物线

y ? 4 x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
2

3 ,

则焦点到AB的距离为

2



1.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程
2=16y x 是 .

(2)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则 p=

4

. y轴 .

(3)抛物线y=2px2(p>0)的对称轴为

1. 范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也 可以无限延伸,但没有渐近线; 2. 对称性:抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3. 顶点: 抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4. 离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1.

课后练习

课后习题


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